中学数学 文字を用いた式

 

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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 正の数・負の数 (2) 文字を用いた式 (3) 一元一次方程式
文字を用いることの必要性と意味
  ・ 文字にxを選んだ訳
  ・ 文字式の基礎ルール
  ・ 代入とは
  ・ 0乗が「1」の理由
文字を用いた式における乗法・除法
  ・ とは、係数とは、定数項とは
  ・ 絶対値とは
  ・ 1次式の計算方法
簡単な一次式の加法・減法
文字を用いた式による表現や読み取り

 

文字を用いた式

 

ア 文字を用いることの必要性と意味

 

一言で言うと
「数学っぽいからです」「かっこいいからですね!」

 

例えば、

 

6+□ = 9 より   6+x = 9、
\(\large{\frac{24}{□}}\) = 8 より   \(\large{\frac{24}{x}}\) = 8

 

の方が、数学っぽいですね。それだけです。
文字は、xでもいいし、y、□、〇、△、( )、?、あ、山、何でもいいですね。

 

( )で囲まれたらそれで「一文字」とイメージできるなら、
(x+y) でも(山+海)でも  (xy)でも  (山海)でも、かまわないということですね。

 

 6+(山+海)=9のとき、  山+海は?   → 山+海 = 9-6 = 3

 

ただ、数学では、わからないものは「 x 」と置くことが多いですね!

 

余談

 

未知なるもの

 

西欧では昔から、「未知なるもの」を「 x 」と表すことが多かったようです。

 

例えば、昔、ドイツの物理学者、ヴィルヘルム・レントゲンは、
「紫 (可視光線)」の外側の「紫外線 (不可視光線:目に見えない線)」の、さらに外側に、
何か未知なる「線」を発見し、
「X線 ( エックス線) 」と名付けました。
現在では、「レントゲン線」とも言いますね。

 

     可視光線色合い

 

ポイント

 

文字式の基礎ルール

 

●「× 」を省略します
ex) 3×a → 3a

 

数字は文字の前です
ex) y3 → 3y

 

「1」を省略します
ex) 1z → z, -1b → -b
(zを書くときは、「2」と間違えないように工夫しましょう

z
、斜め線を入れるとか)

 

●「÷、「×逆数」で表します
(「÷」という記号は数学ではほとんど使いません)
ex) x÷3 →\(\large{\frac{x}{3}}\)か\(\large{\frac{1}{3}}\)x,  3÷x → \(\large{\frac{3}{x}}\)

 

●原則 アルファベット順です
ex) 2bac → 2abc、  yx2→ x2y

 

 

●× -3のときは、( )を忘れずに!連続符号はダメですね → ×(-3)

 

●明らかに単体になったら、( )は不要
ex) 3÷(x+1) → \(\large{\frac{(3)}{(x+1)}}\) → \(\large{\frac{3}{x+1}}\)
(逆に単体でなくなったら、( )を忘れずに!!! 上で、  3÷x+1は  (3÷x)+1です!別物になってしまいます!)

 

●( )の、( の直後は、+(プラス)が望ましい
ex) +(-3x+2)  → -(+3x-2)  → -(3x-2)

 

分母は+(プラス)が望ましい
ex) \(\large{\frac{x+y}{-3}}\) (←「\(\large{\frac{-1}{-1}}\)」という「1」を掛けて) → \(\large{\frac{-x-y}{3}}\)または -\(\large{\frac{x+y}{3}}\)

 

 

練習問題事象を文字式で表す

練習問題事象を文字式で表す

 

 

 

代入

 

文字を「数」に置きかえることですね。

 

練習問題式の値

練習問題式の値

 

 

余談

 

0乗はなぜ1

 

全ての「項」には「そのものがある」という意味の「1」が隠されていますね

 

x3 = x×x×x (1にxを3回掛ける)
x2 = x×x (1にxを2回掛ける)
x1 = x (1にxを1回掛ける)
x0 = 1 「1にxを、1回も掛けない」

 

→「1にxは掛けない」という意味ですね!
「じゃあ1に0を掛けよう」ということにはつながらない!ですね
「0乗」と「×0」とは根本的に違うということですね

 

 

ちなみに、高校の話で、中学生には関係ありませんが…

x-1 = \(\large{\frac{1}{x}}\)
x-2 = \(\large{\frac{1}{x^2}}\)
x-3 = \(\large{\frac{1}{x^3}}\) ですね

 

 

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イ 文字を用いた式における乗法・除法

 

項、係数

 

8x+3 という数式があるとします

 

今までは、
「+-でつながっているものは、『元』がその数の分だけある」
と言ってましたが、数学的には『元』のことを『(こう)』といいます

 

8x+3の項

 

そして、文字を含む項の数字の部分を「係数」といいます
上の例であれば、8x の係数は?→ 「8」となりますね。

 

そして、8xのxは「掛け合わせのない一つの文字」ですので、
8xは「1次の項」といいます
「2つの文字(x2 、xy など)」であれば「2次の項」ですね

 

3は項は項でも文字を含んでいませんので
特別に「定数項」といいます

 

「1次の項」だけでできている数式を「1次式」といいます

 

 

練習問題何次式?

 

 

余談

 

絶対値

 

絶対値とは「距離」ですね ただそれだけです

 

 |5|と|-5|の図

 

点線 は「距離」を表すときによく使われますね

 

∴ -5 の絶対値は 5  記号で表すと |-5|(読み:絶対値-5)= 5
  5 の絶対値は5  記号で表すと  |5|= 5

 

 絶対値のイメージ

 

∴ 逆に 絶対値が 5 のとりうる値(地点名)は -5と5
  絶対値が 5 のとりうるマイナスの値(マイナスの地点名)は -5

 

(問) |-5+2| = |-3| = 3
  |-5|+|2| = 5+2 = 7

 

絶対値記号(||)の外し方まとめ

 

① ||の中が「+」のとき、 ||をそのまま外すだけ
② |0|は、0
||の中が「-」のとき、 中身に -1 を掛けて外す

 

③において「符号を取るだけ」「符号をプラスにするだけ」との案内もあるかとは思いますが、
親子中学では「-1を掛けて外す」でいきますね

 

 

ex ) |\(\small{\sqrt{3}}\)-2|の値を求めましょう (= 絶対値を求めましょう。||を外しましょう。

 

→ 「符号を取るだけ」「符号をプラスにするだけ」では対応できませんね
|1.732…-2| = |-0.267…| = 0.267… これでは「概数」ですね

 

→ \(\small{\sqrt{3}}\) =1.732…なので  ∴ まず||の中は「マイナス」と判明
∴ |\(\small{\sqrt{3}}\)-2|  = -1(\(\small{\sqrt{3}}\)-2)= -\(\small{\sqrt{3}}\)+2 //

 

( 「0.267…」と「-\(\small{\sqrt{3}+2}\)」では、「-\(\small{\sqrt{3}+2}\)」の方が正しく数値を表している!

 

 cf. 「3.14…」と「π」では、「π」の方が正しく数値を表している )

 

 

 

いつか
① a>0のとき、|a|= a
② a = 0のとき、|a|=0
③ a<0 のとき、  |a|= -a

 

という「まとめ」を見る時が来るとは思いますが (高校?)、その時に
|a| =-a だけを見て…
「ん!?   |a| = -a?   絶対値は外したら「+」じゃないの?」と

 

変に混乱してしまった場合には・・・
次のように読み替えて下さいね

 

⇒  a<0 のとき (すなわちaが負のとき)、|a|の中身はマイナス なので
aに-1を掛けたら||が外れるという意味で|a| = -a  → |a| = a×-1)  → |a| = a(に)×-1(を掛ければよい)

 

 絶対値の誤解のイメージ>

 

最初のまとめの③を 文字で表現すると後の③になってしまうのです

 

 |a|と|aの図

 

 

1次式の計算

 

公式

1. ( )を外す 分配法則を用いて
2. 同じ文字の項をまとめる(同類項をまとめる)
3. 数字は計算する

これだけです

 

x-(3x+2)

  

= y-6x+4


  

y-2(3x+2)

 

= x-3x-2
= -2x-2


 

・3a×6 = 18a

 

・(8x-4)÷2  

= \(\large{\frac{1}{2}}\)(8x-4)
= 4x-2


 

勘違い注意

 

 

練習問題1次式の計算

練習問題1次式の計算

 

 

 

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ウ 簡単な一次式の加法・減法の解法と活用

 

練習問題同類項をまとめる

練習問題同類項をまとめる

 

 

 

 

 

 

エ 文字を用いた式による表現や読み取り

 

練習問題文字を使った表現

練習問題文字を使った表現

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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