中学数学　文字を用いた式 |

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中学1年生

A 数と式

(2) 文字を用いた式


ア	文字を用いることの必要性と意味
・	文字にｘを選んだ訳
・	文字式の基礎ルール
・	代入とは
・	0乗が「1」の理由
イ	文字を用いた式における乗法・除法
・	項とは、係数とは、定数項とは
・	絶対値とは
・	１次式の計算方法
ウ	簡単な一次式の加法・減法
エ	文字を用いた式による表現や読み取り

文字を用いた式

ア　文字を用いることの必要性と意味

一言で言うと
「数学っぽいからです」「かっこいいからですね！」

例えば、

6+□ = 9　より　 6+x = 9、
\(\large{\frac{24}{□}}\) = 8　より　 \(\large{\frac{24}{x}}\) = 8

の方が、数学っぽいですね。それだけです。
文字は、xでもいいし、y、□、〇、△、(　)、？、あ、山、何でもいいですね。

(　)で囲まれたらそれで「一文字」とイメージできるなら、
(x＋y) でも(山＋海)でも (xy)でも (山海)でも、かまわないということですね。

　6＋(山＋海)＝9のとき、山＋海は？　 → 山＋海＝ 9－6 ＝ 3

ただ、数学では、わからないものは「 x 」と置くことが多いですね！

未知なるもの

西欧では昔から、「未知なるもの」を「 x 」と表すことが多かったようです。

例えば、昔、ドイツの物理学者ヴィルヘルム・レントゲンは、
「紫 (可視光線)」の外側の「紫外線 (不可視光線：目に見えない線)」のさらに外側に何か未知なる「線」を発見し、
「X線 ( エックス線) 」と名付けました。
現在では「レントゲン線」とも言いますね

　　　　　可視光線色合い

ポイント

文字式の基礎ルール

●「 ×（かける）」を省略します
ex) 3×a → 3a
(「元は1つ」とさらにイメージしやすくなりましたね)

● 数字は文字の前です
ex) y3 → 3y

●「 1 」を省略します
ex) 1z → z,　-1b → -b
(zを書くときは「2」と間違えないように工夫しましょう。、←斜め線を入れるなど)

●「 ÷ 」は、「×（かける）逆数」で表します
(「÷」という記号は数学ではほとんど使いません)
ex)　x÷3 →\(\large{\frac{x}{3}}\)か\(\large{\frac{1}{3}}\)x,　 3÷x → \(\large{\frac{3}{x}}\)

● 原則 アルファベット順です
ex) 2baｃ → 2abc、　 yx2→ x2y

● ×（かける）－3のときは、(　)を忘れずに！連続符号はダメですね → ×(－3)

● 明らかに単体になったら、(　)は不要
ex) 3÷(x+1) → \(\large{\frac{(3)}{(x+1)}}\) → \(\large{\frac{3}{x+1}}\)
　　(2)(x+7) → 2(x+7)
(逆に単体でなくなったら、(　)を忘れずに！上で、 3÷x+1は (3÷x)+1です！別物になってしまいます！)

● (　)の、( の直後は、+(プラス)が望ましい
ex) +(-3x+2) → -(+3x-2) → -(3x-2)

● 分母は+(プラス)が望ましい

ex) \(\large{\frac{x+y}{-3}}\) (←「\(\large{\frac{-1}{-1}}\)」という「1」を掛けて) → \(\large{\frac{-x-y}{3}}\)

または分母全体の「-」や分子全体の「-」を前に出すだけ

・ \(\large{\frac{-x-y}{3}}\) ＝ \(\large{\frac{-(x+y)}{3}}\) ＝ -\(\large{\frac{x+y}{3}}\)
・ \(\large{\frac{x+y}{-3}}\) ＝ -\(\large{\frac{x+y}{3}}\)

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代入

文字を「数」や「他の文字」や「式」に置きかえることですね。

《例》
6x+1 において
x ＝（は） y+3と判明しました
→ 6(y+3)+1　代入ですね

《例》
(y+1)2+3(y+1)+2 において
y+1＝xと判明しました
→ (x)2+3(x)+2　代入ですね

0乗はなぜ 1

全ての「項」には「そのものがある」という意味の「1」が隠されていますね　 (「ある」という意味の1)

x3 = 1×x×x×x　(1にxを3回掛ける)
x2 = 1×x×x　(1にxを2回掛ける)
x1 = 1×x　(1にxを1回掛ける)
x0 = 1　「1にxを、1回も掛けない」

→「1にxは掛けない」という意味ですね！
「じゃあ1に0を掛けよう」ということにはつながらない！ですね
「0乗」と「×0」とは根本的に違うということですね

ちなみに、マイナスの指数は…

x-1 = 1×\(\large{\frac{1}{x}}\)
x-2 = 1×\(\large{\frac{1}{x^2}}\)
x-3 = 1×\(\large{\frac{1}{x^3}}\)　ですね

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イ　文字を用いた式における乗法・除法

項、係数

8x+3　という数式があるとします

今までは、
「＋－でつながっているものは、『元』がその数の分だけある」
と言ってましたが、数学的には『元』のことを『項(こう)』といいます

そして、文字を含む項の数字の部分を「係数」といいます
上の例であれば、8x の係数は？→ 「8」となりますね
ex. 2xyの係数は？ → 2
　2xyでyの係数は？ → yが基準 → 係数は 2x

そして、8xは「文字の掛け合わせが1つ」なので、8xは「1次の項」といいます
「2つの文字のかけ合わせ(x2 、xy など)」であれば「2次の項」ですね

「+3」は項は項でも文字を含んでいませんので
特別に「定数項」といいます
(中学では問われることはありませんが、
　3の係数は？ → 3 となります)

「1次の項」だけでできている数式を「1次式」といいます
ex. 3x,　x+4=0,　2x+3y=12

何次式の練習問題

絶対値

絶対値とは「距離」ですねただそれだけです

　｜5｜と｜-5｜の図

　は「距離」を表すときによく使われますね

∴ －5 の絶対値は 5 　記号で表すと｜－5｜(読み：絶対値－5）＝ 5
　　5 の絶対値は5　記号で表すと｜5｜＝ 5

　絶対値のイメージ

∴　逆に絶対値が 5 のとりうる値(地点名)は－5と5
　　絶対値が 5 のとりうるマイナスの値(マイナスの地点名)は－5

(問) ｜－5＋2｜＝｜－3｜＝ 3
　　｜－5｜＋｜2｜＝ 5＋2 ＝ 7

絶対値記号(｜｜)の外し方まとめ

①	｜｜の中が「＋」のとき、｜｜をそのまま外すだけ
②	｜0｜は、0
③	｜｜の中が「－」のとき、中身に－1 を掛けて外す