中学数学　比例・反比例

トップページ ＞ 中学1年生 ＞ 比例・反比例

 

中学1年生

中学2年生課程へ

中学3年生課程へ

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 比例、反比例

ア	関数関係の意味
・	関数の分類表
イ	比例、反比例の意味
・	比例の式
・	反比例の式
ウ	座標の意味
・	座標の各部名称
・	座標の意味
エ	比例、反比例の特徴
・	比例のグラフ　(比例定数の求め方)
・	反比例のグラフ　(比例定数の求め方)
・	反比例なのに比例定数？
オ	比例、反比例を用いた具体的な事象の説明
・	比例の具体例
・	反比例の具体例
・	変域
・	比例の変域
・	反比例の変域
a	比の計算
・	比の値
・	比の計算 (方程式)
・	連比
・	=でつながるものを比に戻す

 

比例・反比例

 

ア　関数関係の意味

 

関数とは、ともに関わりあう数字ですね。
もう少し具体的に言うと、

 

xが決まれば、yの値がただ一つ決まる関係ですね。

 

例えば、

・	ハワイ島は1年間で、9cm日本に近づいている → 関数ですね(2年で18cm)
・	人は1年間で、9cm身長が伸びる → 関数ではない(2年で3cmの人もいれば、10cmの人もいる)
・	1時間 機械を動かせば、製品が50個できる → 関数(2時間で100個)
・	1時間 勉強すれば、成績が2点上がる → 関数ではない(3点上がる人もいる)

 

xに色々な数字を入れてみた時、
yが「複数」あるもの(＝1つに決まらないもの)は、 「関数ではない」ということですね

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

イ　比例、反比例の意味

 

比例の式

 

例えば、平均時速20kmで走っているときの、
「距離」と「時間」は
「比例」ですね
「式」で表すと、

 

20・x の「・」は「×（かける）」の省略語です

例えば、
x = 1のとき(1時間走った時)、 y = 20(距離は20km)
x = 2のとき(2時間走った時)、 y = 40(距離は40km)

 

よって、「比例」は式で表すと

 

 となります

 

 

よって、y = ax で表すことができるなら、「比例」ということになります

 

 

y = ax を、a = の式にすると、
↓ax = y
↓xa = y
→ a = \(\boldsymbol{\large{\frac{y}{x}}}\)　となります

 

よって、逆に、
\(\large{\frac{y}{x}}\) (← y÷x)をしたとき、
aが常に「一定」のときも、「比例」ということですね

 

 

 

 

 

 

 

 

反比例の式

 

例えば、距離100kmを走るときの、
「速さ」と「時間」は「反比例」ですね

 

「式」で表すと、

 

　

 

例えば
x = 20のとき(時速20kmの時)、y = 5(時間は5時間)
x = 40のとき(時速40kmの時)、y = 2.5(時間は2.5時間)
(「距離」は定まっているのだから、2倍の「速さ」で走れば、半分(\(\large{\frac{1}{2}}\))の「時間」で着くイメージ)

 

よって、「反比例」は式で表すと

 となります

 

よって、y = \(\boldsymbol{\large{\frac{a}{x}}}\) で表すことができるなら、「反比例」ということですね

 

この y=\(\large{\frac{a}{x}}\) を、a =の式にすると、
↓\(\large{\frac{a}{x}}\) = y
→ a = xy となります (xとyは逆数の関係ということですね！)

 

よって、逆に、
xy (← x×y)をしたとき、aが常に「一定」のときも、
「反比例」ということですね

 

反比例は、「xy=a」 、「y=\(\large{\frac{a}{x}}\)」の2つセットで「基本形」としてしまいましょうね
xy=a の方が反比例の意味を簡潔に表しているので

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

ウ　座標の意味

 

座標の名称

 

 

 

 

座標の意味

 

イメージとして、

 

点が1つあれば、点の、
・「位置関係」　がイメージできますね

 

点が2つあれば、2点を結んだ線の、
・「位置関係」
・「長さ」
・「傾き加減」　がイメージできますね

 

点が3つあれば、3点をむすんだ平面の、
・「位置関係」
・「形」
・「大きさ(面積)」　がイメージできますね

 

その他、点達の関係性まで掴めますね

 

ですが、それはあくまで「イメージ」であって、
「正確かどうかもわからない」
「他人に伝えることもできない」
ですね。
しかし、「座標」を用いれば、
「正確に」それらのデータを「他者に」示すことができますね。

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

エ　比例、反比例の特徴

 

比例のグラフ　(比例定数の求め方)

 

比例のグラフの特徴は

 

① 直線である　
② 原点( 0, 0 )を通る

 

これだけですね！

 

そして、ポイントは、

 

①	y = ax の式で表すことができる(基本形)
②	a = \(\boldsymbol{\large{\frac{y}{x}}}\)　(y = ax をaの式にしただけですね)

 

この比例定数(傾き具合) a = \(\large{\frac{y}{x}}\) は、もう少し正確にいうと、

 

a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\) ですね

 

たとえば、

 

当然、同じ形の直角三角形なのですから「比例定数(傾き具合)」は、どこで図っても「\(\large{\frac{2}{3}}\)」ですね。

 

そして、１番簡単に計算できるのは、①か③ですね
そうです、「原点(0, 0)」を通る「直線」なら
(0,　0)を使わない手はないのです！

 

 

 

2年生の話となりますが、
原点(0 , 0) を通らない  直線(y = ax+b)の場合は、
2つの点を利用する②の方法で「傾き」を求めることになりますね！

 

よって、原則は②で、
「(0, 0)を通る」ときは、①や③で楽ができる ということになります

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反比例のグラフ　(比例定数の求め方)

 

反比例のグラフの特徴は

 

①　双曲線（そうきょくせん）である　
②　原点( 0, 0 )を通らない
③　双曲線がx軸、y軸に接触しない

 

これだけですね！

 

そして、ポイントは、

 

①	y = \(\boldsymbol{\large{\frac{a}{x}}}\) または   xy = aの式で表すことができる
②	a = xy (aの式にしただけですね)

 

 

「反比例」の問題は出題率的には低いので、3年生の後半には、
「反比例て…確か…xが増えたら…yが減る…？」
みたいになってしまいがちです。

 

そこで、絶対に忘れない「イメージ例」を、1つ2つ持っていると安心ですね

 

① 九九（くく）の「ロクロク36」 などはいかがでしょうか
「36」は固定させます。あとは、「(x=)1のとき(y=)36、2のとき18、
3のとき12、4・9 = 36、6・6 = 36、9・4 = 36、…」
「ああ！積が36で一定のあれね！」

 

② 「距離」もよいですね
「距離」は決定させます。「速さ2倍で走れば、半分の時間で到着する、
速さ\(\large{\frac{1}{2}}\) で走れば(歩けば)、2倍の時間がかかる…」

 

というわけで、y = \(\large{\frac{a}{x}}\) よりも、(同じことを言っているのですが、)
xy = a の方が「反比例」を単純に表現しているといえますね

 

 

それでは、本題に戻りますね、
比例定数a は xyで求めることができる。 ←「比例」のときの「比例定数a」より簡単ですね！

 

 

 

 

比例は
xの値が 1.5倍、2倍、3倍になると
yの値も 1.5倍、2倍、3倍になりましたが

 

 

 

反比例は
xの値が 1.5倍(\(\large{\frac{3}{2}}\)倍)、2倍、3倍になると
yの値は \(\large{\frac{2}{3}}\)倍、\(\large{\frac{1}{2}}\)倍、\(\large{\frac{1}{3}}\)倍、
逆数倍ですね

 

 

 

そういう意味で、
曲線は限りなくx軸やy軸に近づいていきますが、
軸には絶対に接触しないということです。

 

 

そして、第1象限の曲線は+(プラス)と+(プラス)ですので、
自然界のもので具体例をあげることができますね！

 

 

 

「自転車の5段目は少し踏めば、よく進む・・・『その代わり』重い
1段目はクルクル回しても、あまり進まない・・・『その代わり』軽い

 

 

「駅まで歩きの速さで行くと楽、・・・『その代わり』20分かかる」
「駅まで走る速さで行くと疲れる、・・・『その代わり』10分で着く」

 

 

「面積12の長方形の横を短い1にすると、『その代わり』縦は長い12が必要」
「面積12の長方形の横を長い12にすると、『その代わり』縦は短い1ですむ」

 

 

・・・わかりにくいですね・・・
反比例の具体例は『その代わり』というフレーズがお似合い ということは確かなのですが…

 

 

お父さん！　お母さん！　腕の見せ所です！
子供たちが納得する「良い例」を聞かせてあげてくださいね！

 

 

 

第2象限(左上)、第3象限(左下)、第4象限(右下)は、
「マイナス」を扱いますので
「自然界」のもので具体例をあげることはできません
よって、「理論」で説明するしかないですね！

 

では、aがマイナスのグラフは・・・
ex) y = -\(\large{\frac{12}{x}}\)　(xy = -12) のグラフ(赤双曲線)

 

y = \(\large{\frac{12}{x}}\)　(xy = 12)

 

y = -\(\large{\frac{12}{x}}\)　(xy = -12)

 

確かに原点(0, 0)の反対側にも同じ曲線がありますね！ → 双曲線

 

 

ここで、上の「対応表」において、
xが0のとき、yは「×(バツ)」となっています。
これは、反比例の式 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) の xに
「0」を代入(y=\(\large{\frac{a}{(\color{red}{0})}}\))しようとするものですが…

 

そうですね！　数学では「分母が0　(0で割る)」は定義しない、(扱わない)でしたね！

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

オ　比例、反比例を用いた具体的な事象の説明

 

比例の具体例

 

● 平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積yと、底辺、高さ

 

(高さが一定(定数)な場合)

 

面積y = 一定高さa×底辺x　

 

y = 2x という比例ですね

 

 

同様に、(底辺が一定(定数)な場合)

 

平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積y、底辺a、高さx

 

面積y = 一定底辺a×高さx　

 

y = 3x という比例ですね

 

 

 

● 三角形の面積y、底辺、高さ

 

(高さが一定(定数)な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定高さa×底辺x

 

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・3・x = \(\large{\frac{3}{2}}\)x　→ y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x という比例ですね　 ←数字部分は計算できるので y=ax の型に → 比例だ

 

 

同様に、(底辺が一定(定数)な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定底辺a×高さx

 

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2・x = 1x = x　→ y=x という比例ですね

 

 

● 正方形の周囲の長さy、1辺x

 

周囲の長さy = 4×1辺x

 

 

y = 4x という比例ですね

 

 

● 円周y、円周率π、半径x

 

円周y = 円周率π×2×半径x
y = 2πx という比例ですね

 

 

● 距離y、速さa、時間x  → y = ax
　 距離y、速さx、時間a  → y = ax

 

 

● バネの「延び」y、重りx、伸び率a

 

バネの「延び」y = 重りx×伸び率a

 

 

ex. 伸び、10gで2cmのバネ
→ 1g で0.2cmのびる → \(\large{\frac{0.2}{1につき}}\)

 

　

 

y = 0.2x という比例ですね

 

 

 

● 水槽の水位y、噴出率a、時間x  → y = ax

 

 

などなど

 

 

 

 

反比例の具体例

 

●	面積が固定されている、平行四辺形系、三角形 (24は例です↓)

 

・平行四辺形の面積24 = 底辺x×高さy
・三角形の面積24 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺x×高さy  → 48 = 底辺x×高さy

 

 

● 距離が固定されている、「速さ」と「時間」

 

24 = 速さx・時間y

 

 

● つり合っている天秤の「重り」と「距離」 (てこの原理)

 

 

400（a） = xy という反比例ですね

 

 

● 歯車の回転、

 

 

動力源歯車の「歯数」×「回転数/時間」＝相手歯車の「歯数（x）」×「回転数/時間（y）」

 

ex.
動力源歯車「30歯」×「2回転/秒」  = \(\underbrace{ 60歯車/秒}_{a }\) (固定)

 

(相手歯車)

 

60 = xy という反比例ですね

 

《 例 》
歯数が15で毎分6回転する歯車Aとかみ合って回転する歯車Bの歯数をx、1分間の回転数をyとするとき、yをxの式で表しなましょう

 

→ A ＝ 1分で、15歯×6回転 ＝ 90歯/分
→ B ＝ 1分で、x歯×y回転 ＝ xy歯/分
⇒ A=B より　90歯/分 ＝ xy歯/分　→　90=xy　→　y=\(\large{\frac{90}{x}}\)

 

 

 

反比例の具体例は
〇 = □×△ のように「×(掛ける)でつながっているもの」で、
左辺が数字で固定されているものが「反比例」ですね！

 

 

 

 

変域

「変域」とは「変数(xやy)の値の、「とりうる範囲」ですね！

 

ここまでは、
xの値を決めれば(定義すれば)、
yの値という『点』が決まりましたね

 

 

「変域」はただ「値」に幅がある、
『点』ではなく『範囲』というだけですね

 

 

「xの値の範囲」を「定義域（ていぎいき）」、
「yの値の範囲」を「値域（ちいき）」　と言ったりしますね

 

 

 

【 比例の変域 】

 

「変域」は、「物理的に決まってしまうもの」と「問題が指定しているもの」がありますね
たとえば、
1円の枚数をx、重さをyとします。1円の重さは1ｇですので、式で表すと、

 

y＝1x　→　y＝x　　ですね

 

ここで、A君が1円玉を数枚握りしめています、
(A君の手の大きさでは「0枚～24枚しか握ることができませんが、)
今は、どうやら「10枚～20枚」のようです。
重さは？　と聞かれた時、
xは、
日本語で表現すれば、「10から20」や「10～20」や「10以上20以内」ですね
さらに数学的に表現すれば、「10≦x≦20」ですね。

 

そして、対応する重さyは、
「10枚のとき10g」「12枚のとき12g」「13枚のとき13g」…「19枚のとき19g」…、面倒ですね！
やはり、yも、「10から20」や「10～20」や「10以上20以内」と楽したいですね！
これを数学的に表現すれば、「10≦y≦20」ですね

 

これが、『変域』です、xやyの値に「幅」があるというだけです
いままでは、「xが5のとき、yの値は？　という『点』でしたが、
「xが、●＜x＜〇のとき、yは、□＜y＜■　？という『線』になっただけですね！

 

 

 

これをグラフで表すと、

 

 

 

もちろん、「問題文が指定する変域」が最優先！ですね！

 

 

 

そして、具体例もなく、  y = -2x において、xの変域が  -2＜x ≦4 のとき、
yの変域は？ という場合は、「物理的な変域」はないので、
グラフも、無限に使用できますね

 

 

 

 

比例(などの直線)の変域を軽くまとめますと

 

となりますがっ！

 

① 公式風に憶えることは大変な割に
② 間違えやすい！
ので

 

 

 

 

 

【 反比例の変域 】

 

反比例の変域も同様ですね！
「簡単な図」を書けばいいだけです！

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

a 比の計算

せっかく「比例」を学びましたので
「比」について確認していきますね

 

 

【「比」の復習 】

 

 

4：x である。xを求めなさい ・・・困りますね
目測で 4：2.5 くらい？
または、定規を持ってきて測るしかないですね

 

 

4.8cm：7.2cm = 4：x  　→　x = 3

 

このように「比」は、「比べる何かが他に2つ以上」ないと「比」にする必要がないですね
すなわち一番上の図のようであれば「xを定規で測りなさい」が正しい問ですね

 

 

 

【 比の値 】

小学生の復習ですね

 

《 例 》
3：2の比の値は？

 

→ (小学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{1.5}{1}}\) = 1.5

 

→ (中学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) まででOKですね

 

 

 

《 例 》
塩5g：食塩水100g の比の値は？

 

すなわち「比の値は？」 = 「前の割合は？」 = 「塩の割合は？」または「食塩水の1化は？」 = 「食塩水の濃度は？」

 

前÷後ろ = 5g÷100g

 

 

 

 

《 例 》
80円：1000円 の比の値は？

 

 

→ 80円の(1000円に対する)割合ということですね ← 8％と同じことですね

 

 

 

 

 

【 比の計算 (方程式) 】

 

 

 

 

〔どうして、外側の積 = 内側の積 が成り立つの？〕

 

→「比」 = 「割合」なので
3：2 = x：5 などは、比の値で表すと
\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) ですね

 

さらに、「対応するものが間違ってなければ何でもよい」ので
  \(\large{\frac{2}{3}}\) = \(\large{\frac{5}{x}}\) でも  \(\large{\frac{x}{3}}\) =\(\large{\frac{5}{2}}\) でも  \(\large{\frac{3}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{5}}\) でもよいとなります

 

 

\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) の計算過程では、まず
①分数をなくすために両辺に「2・5」を掛けますね (分かりにくければ「10」を掛けますね)
→ \(\large{\frac{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 5}{2}}\) = \(\large{\frac{x\ \cdot \ 2\ \cdot \ 5}{5}}\)
→
→ 3・5 = x・2 ← この形は
外側の積 = 内側の積 ですね。ただそれだけです、途中式を省いただけの公式ですね

 

 

《 例 》
・ x：4 = 8：7
→ 7x = 32  → x = \(\large{\frac{32}{7}}\)

 

・ \(\large{\frac{5}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
→ 両辺に「x・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{5\ \cdot \ x\ \cdot \ 3}{x}}\) = \(\large{\frac{2\ \cdot \ x\ \cdot \ 3}{3}}\) (←なれてくると省略できる途中式)
→ 15 = 2x (←いきなりこれにこれるようになります)
→ x = \(\large{\frac{15}{2}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ 両辺に「4・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{x\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3}{4}}\) = \(\large{\frac{5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3}{3}}\)
→ 3x = 20
→ x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ \(\large{\frac{ }{4}}\) 、\(\large{\frac{ }{3}}\) は どうせ消えるし、クロスに掛けるだけ
→
→ 3x = 20
→ x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

 

 

【 連比 】

 

《 例 》
2：3：5 = 7：x：y

 

→ 2に対応する7を見ると\(\large{\frac{7}{2}}\)倍とわかる
∴ x = 3×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{21}{2}}\)　　  y = 5×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{35}{2}}\)

 

 

《 例 》
a：b = 1：3、 b：c = 16：1 のときa：b：cは？

 

→ 両方に使われている「b」で合わせばよいですね

 

(16を3に近づけるイメージ)

 

→ 3と16の最小公倍数は…「互いに素」なので 3×16 (=48)ですね

 

∴ 16：48：3 ですね

 

 

《 例 》
ある店のすき焼きの割り下は、醤油3：酒1、　醤油16：砂糖1でした
酒480gのとき、酒：醤油：砂糖は？

 

∴ 160g：480g：30g ですね

 

 

(きれいにかぶる部分がない場合)
《 例 》
図のようなとき、a：b：cは？

 

 

→全体を「1」とすると

 

 

→ 「通分」すると

 

 

∴ a：b：c = \(\large{\frac{4}{8}}\)：\(\large{\frac{1}{8}}\)：\(\large{\frac{3}{8}}\) = 4：1：3

 

 

《 例 》
a+b：c = 5：3、　a：b+c = 1：1のとき、a：b：cは？

 

→ 図を書いてみると

 

→ 先ほどと同じ問題ですね
∴ a：b：c = 4：1：3

 

 

 

 

【 =でつながるものを比に戻す 】
(=で結ばれたものを比に戻すの理由)

 

《 例 》
2a = 3b のとき a：bは？

 

「=でつながるものを比にする」には「係数を逆数にするだけ」となります
∴ a：b = \(\large{\frac{1}{2}}\)：\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3：2

 

ex)
a = 2b で考えるととイメージしやすいですね
→ 式は、aはbの2倍という意味、 ということは、   a：b = 2：1ですね
→ 「係数逆数方式」なら
a：b = \(\large{\frac{1}{1}}\) ：\(\large{\frac{1}{2}}\)  = 2：1　ですね

 

cf)
a：b = 2：1 のときaを求めよ

 

→ 外側の積 = 内側の積  → a = 2b ← 途中のこの形とも言えますね！
→ 逆の作業ということですね

 

ex)
2a = 3b　→　a = \(\large{\frac{3}{2}}\)b
→ aはbを\(\large{\frac{3}{2}}\)倍したものという意味
ということは、a：b  = \(\large{\frac{3}{2}}\)：1  = 3：2

 

…考える必要がないぶん やっぱり「係数逆数方式」の方が楽ですね

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

 

　スポンサーリンク