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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 比例、反比例
 
関数関係の意味
  ・ 関数の分類表

比例、反比例の意味

  ・ 比例の式
  ・ 反比例の式
座標の意味
  ・ 座標の各部名称
  ・ 座標の意味
比例、反比例の特徴
  ・ 比例のグラフ (比例定数の求め方)
  ・ 反比例のグラフ (比例定数の求め方)
  ・ 反比例なのに比例定数?
比例、反比例を用いた具体的な事象の説明
  ・ 比例の具体例
  ・ 反比例の具体例
  ・ 変域
  ・ 比例の変域
  ・ 反比例の変域
 a 比の計算
  ・ 比の値
  ・ 比の計算 (方程式)
  ・ 連比
  ・ =でつながるものを比に戻す

 

比例・反比例

 

ア 関数関係の意味

 

関数とは、ともにわりあう字ですね。
もう少し具体的に言うと、

 

xが決まれば、yの値がただ一つ決まる関係ですね。

 

例えば、

ハワイ島は1年間で、9cm日本に近づいている → 関数ですね(2年で18cm)
人は1年間で、9cm身長が伸びる → 関数ではない(2年で3cmの人もいれば、10cmの人もいる)
1時間 機械を動かせば、製品が50個できる → 関数(2時間で100個)
1時間 勉強すれば、成績が2点上がる → 関数ではない(3点上がる人もいる)

 

xに色々な数字を入れてみた時、
yが「複数」あるもの(=1つに決まらないもの)は、 「関数ではない」ということですね

 

 


余談

 

関数の分類

 


  関数  


  分数関数  

  反比例 (中1)  



  1次関数 (中2)  

  比例 (中1)   



  2次関数 (高校)  

  関数y=ax2 (中3)   

   3次関数 (高校)

   ・
   ・
   ・

 

 

 

「比例(y = ax)」は、
「1次関数(y = ax+b)(中学2年)」の「基礎」「簡単バージョン」ですね

 

「比例」のグラフは必ず「原点を通る」、だから「+b」がないですね

 y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x
 y=3/2xのグラフ

 

対して、「1次関数」のグラフは、「原点を通っても、通らなくてもよい」  → 通るときは 「+b」 が 「+0」 になるだけ(y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x+0 → y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x)ですね

 y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x+2
 y=3/2x+2のグラフ

 

 

 1次関数 y=ax+bでは「a」のことを「変化の割合」や「傾き」といいますが、

「比例」という、実は「特別な場合」には、aのことを「比例定数」と呼びますね

 

 

ここでは、「比例式=関数」ではなく、
「比例は関数の中のごく小さな一場面」
ということだけを理解していてくださいね。

 

 

ちなみに、反比例(y = \(\large{\frac{a}{x}}\))は y = ax-1ともいえますね
-1次式(マイナス1次式)とは聞いたことがありませんが、
1次関数ではない」ということは確かですね!

 

 

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イ 比例、反比例の意味

 

比例の式

 

例えば、平均時速20kmで走っているときの、
「距離」と「時間」は
「比例」ですね
「式」で表すと、

 

比例式の説明
と表せば、
便利ですね。

20・x の「・」は「×かける」の省略語です

例えば、
x = 1のとき(1時間走った時)、 y = 20(距離は20km)
x = 2のとき(2時間走った時)、 y = 40(距離は40km)

 

よって、「比例」は式で表すと

 

比例定数: 直線の傾き具合を表す (ただしa≠ 0)

y=20x となります

変数: 色々な数字を入れて試すことができる

 


  cf  

定数 … その場面その問題において、『定まった数字」が入る
変数 … その場面その問題において、色々な数字を入れて試すことができる『箱のような文字』

 

よって、y = ax で表すことができるなら、「比例」ということになります

 

 

y = ax を、a = の式にすると、
↓ax = y
↓xa = y
a = \(\boldsymbol{\large{\frac{y}{x}}}\) となります

 

よって、逆に、
\(\large{\frac{y}{x}}\) (← y÷x)をしたとき、
aが常に「一定」のときも、「比例」ということですね

 

 

 


  まとめ  

比例 ⇔ y=ax で表せる
a は一定 → \(\large{\frac{y}{x}}\) は一定

 

 

 

 

 

反比例の式

 

例えば、距離100kmを走るときの、
「速さ」と「時間」は「反比例」ですね

 

「式」で表すと、

 

y=100/x
 
と表せば、
便利ですね

 

例えば
x = 20のとき(時速20kmの時)、y = 5(時間は5時間)
x = 40のとき(時速40kmの時)、y = 2.5(時間は2.5時間)
(「距離」は定まっているのだから、2倍の「速さ」で走れば、半分(\(\large{\frac{1}{2}}\))の「時間」で着くイメージ)

 

よって、「反比例」は式で表すと

比例定数: 双曲線のり具合を表す (ただしa≠ 0)

y=a/x となります

変数: 色々な数字を入れて試すことができる

 

よって、y = \(\boldsymbol{\large{\frac{a}{x}}}\) で表すことができるなら、「反比例」ということですね

 

この y=\(\large{\frac{a}{x}}\) を、a =の式にすると、
↓\(\large{\frac{a}{x}}\) = y
a = xy となります (xとyは逆数の関係ということですね!)

 

よって、逆に、
xy (← x×y)をしたとき、aが常に「一定」のときも、
「反比例」ということですね

 

反比例は、「xy=a」 、「y=\(\large{\frac{a}{x}}\)」の2つセットで基本形」としてしまいましょうね
xy=a の方が反比例の意味を簡潔に表しているので

 

 

 


  まとめ  

反比例 ⇔ y=\(\large{\frac{a}{x}}\) や xy=a で表せる
a は一定 → xy は一定

 

 

 

 

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ウ 座標の意味

 

座標の名称

 

座標の各部名称

 

  前、(点Aの) x座標
  A(5, 4)
  後ろ、(点Aの) y座標


 

 

 

座標の意味

 

イメージとして、

 

点が1つあれば、の、
・「位置関係」 がイメージできますね

 

点が2つあれば、2点を結んだの、
・「位置関係」
・「長さ」
・「傾き加減」 がイメージできますね

 

点が3つあれば、3点をむすんだ平面の、
・「位置関係」
・「形」
・「大きさ(面積)」 がイメージできますね

 

その他、点達の関係性まで掴めますね

 

ですが、それはあくまで「イメージ」であって、
「正確かどうかもわからない」
「他人に伝えることもできない」
ですね。
しかし、「座標」を用いれば、
「正確に」それらのデータを「他者に」示すことができますね。

 

 

 

 

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エ 比例、反比例の特徴

 

比例のグラフ (比例定数の求め方)

 

比例のグラフの特徴は

 

直線である 
原点( 0, 0 )を通る

 

これだけですね!

 

そして、ポイントは、

 

 y = ax の式で表すことができる(基本形)
 a = \(\boldsymbol{\large{\frac{y}{x}}}\) (y = ax をaの式にしただけですね)

 

この比例定数(傾き具合) a = \(\large{\frac{y}{x}}\) は、もう少し正確にいうと、

 

a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\) ですね

 

たとえば、

比例式の特徴

(0,0)(3,2)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)  = \(\large{\frac{2-0}{3-0}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

(3,2)(9,6)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{6-2}{9-3}}\)  = \(\large{\frac{4}{6}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

(0,0)(12,8)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{8-0}{12-0}}\)  = \(\large{\frac{8}{12}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)


 

当然、同じ形の直角三角形なのですから「比例定数(傾き具合)」は、どこで図っても「\(\large{\frac{2}{3}}\)」ですね。

 

そして、1番簡単に計算できるのは、①か③ですね
そうです、「原点(0, 0)」を通る「直線」なら
(0, 0)を使わない手はないのです!

 

比例定数 a = \(\large{\frac{y}{x}}\) の本当の意味は、直角三角形の斜辺の「傾き具合」ですね
直角三角形の斜辺の傾き具合の例
すなわち

 

 a =傾き具合 高さの割合(底辺に対する) = \(\boldsymbol{\large{\frac{高さ}{底辺}}}\) ですね (割合とは)
→ \(\large{\frac{6高さ}{9底辺につき}}\) = \(\large{\frac{4高さ}{6につき}}\) = \(\large{\frac{2高さ}{3につき}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

背景に座標があれば
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\)  = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)  = \(\large{\frac{y_2-0}{x_2-0}}\)  = \(\large{\frac{y_2}{x_2}}\)  = \(\large{\frac{y}{x}}\) だったのですね

 

(\(x_1,\ \ x_2\))、(\(y_1,\ \ y_2\)) はどちらの点を設定してもOKです

 

ex.
2点(0, 0)、(3, -2) を通る直線の比例定数は?

 

 \(\large{\frac{0-(-2)}{0-3}}\) = \(\large{\frac{+2}{-3}}\) = -\(\large{\frac{2}{3}}\)
 
 \(\large{\frac{-2-0}{3-0}}\) = \(\large{\frac{-2}{3}}\) = -\(\large{\frac{2}{3}}\)
 
 同じですね、同じなら xの値が大きいほうを前にすれば、分母はいつもプラスにできますね(分母がマイナスは気持ち悪い) → 自分ルールを持てば間違いも減らせますね!

 

 

 

2年生の話となりますが、
原点(0 , 0) を通らない  直線(y = ax+b)の場合は、
2つの点を利用する②の方法で「傾き」を求めることになりますね!

 

比例式の特徴
よって、原則は②で、
「(0, 0)を通る」ときは、①や③で楽ができる ということになります

 

 

もし、「xの増加量」と「yの増加量」…どっちが分母だったっけ? となったら…

 

・a は 高さの割合yが上(分子) ですね
 または、

比例式「y = ax」を、aの式にしてくださいね!

y = ax → (ax=y) → a = \(\large{\frac{y}{x}}\) → xが下(分母) ですね!

 

 

 

 

 

 

 

反比例のグラフ (比例定数の求め方)

 

反比例のグラフの特徴は

 

① 双曲線そうきょくせんである 
② 原点( 0, 0 )を通らない
③ 双曲線がx軸、y軸に接触しない

 

これだけですね!

 

そして、ポイントは、

 

 y = \(\boldsymbol{\large{\frac{a}{x}}}\) または   xy = aの式で表すことができる
 a = xy (aの式にしただけですね)

 

 

「反比例」の問題は出題率的には低いので、3年生の後半には、
「反比例て…確か…xが増えたら…yが減る…?」
みたいになってしまいがちです。

 

そこで、絶対に忘れない「イメージ例」を、1つ2つ持っていると安心ですね

 

九九くくの「ロクロク36」 などはいかがでしょうか
「36」は固定させます。あとは、「(x=)1のとき(y=)36、2のとき18、
3のとき12、4・9 = 36、6・6 = 36、9・4 = 36、…」
「ああ!積が36で一定のあれね!」

 

② 「距離」もよいですね
「距離」は決定させます。「速さ2倍で走れば、半分の時間で到着する、
速さ\(\large{\frac{1}{2}}\) で走れば(歩けば)、2倍の時間がかかる…」

 

というわけで、y = \(\large{\frac{a}{x}}\) よりも、(同じことを言っているのですが、)
xy = a の方が「反比例」を単純に表現しているといえますね

 

 

それでは、本題に戻りますね、
比例定数a は xyで求めることができる。 ←「比例」のときの「比例定数a」より簡単ですね!

 

 


余談

 

反比例なのに比例定数?

 

反比例の式 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) において、
aは「比例定数」ではなく「反比例定数」とは呼ばないの?
という小さな疑問がありますが、

 

比例式
反比例で反比例定数と言わない理由
となっていましたね

 

ということは、
反比例式
1/xに比例する
と考えることもできますね

 

というわけで、
反比例の式の「a」も「比例定数」と言ってかまわない、となります。

 

 

 

比例は
xの値が 1.5倍、2倍、3倍になると
yの値も 1.5倍、2倍、3倍になりましたが

 

比例の表

 

 

反比例は
xの値が 1.5倍(\(\large{\frac{3}{2}}\)倍)、2倍、3倍になると
yの値は \(\large{\frac{2}{3}}\)倍、\(\large{\frac{1}{2}}\)倍、\(\large{\frac{1}{3}}\)倍、
逆数倍ですね

 

反比例の表

 

 

y = \(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = 12) のグラフ
反比例の具体例1

 

 「第1象限 (+, +)のエリア」の拡大図
第1象限の拡大

 

 赤四角も青四角も黒四角も
 面積が同じですね!
 1x×12y12a
 2×6 = 12
 3×4 = 12
 4×3 = 12
 12×1 = 12

  ・
  ・
  ・

 1200×0.01 = 12

 

 「12」という「しばり」がある限り
 x や y の値に「0」はありえないですね。


そういう意味で、
曲線は限りなくx軸やy軸に近づいていきますが、
軸には絶対に接触しないということです。

 

 

そして、第1象限の曲線は+(プラス)と+(プラス)ですので、
自然界のもので具体例をあげることができますね!

 

反比例の具体例…例えば…
「予算3000円(y)で、x円使えば、手持ちが減る…」
これは、y = 3000-x で、
全然 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) になっていませんね!

<% 反比例の具体例


 

 

「自転車の5段目は少し踏めば、よく進む・・・『その代わり』重い
1段目はクルクル回しても、あまり進まない・・・『その代わり』軽い

 

 

「駅まで歩きの速さで行くと楽、・・・『その代わり』20分かかる」
「駅まで走る速さで行くと疲れる、・・・『その代わり』10分で着く」

 

 

「面積12の長方形の横を短い1にすると、『その代わり』縦は長い12が必要」
「面積12の長方形の横を長い12にすると、『その代わり』縦は短い1ですむ」

 

 

・・・わかりにくいですね・・・
反比例の具体例は『その代わり』というフレーズがお似合い ということは確かなのですが…

 

 

お父さん! お母さん! 腕の見せ所です!
子供たちが納得する「良い例」を聞かせてあげてくださいね!

 

 

 

第2象限(左上)、第3象限(左下)、第4象限(右下)は、
マイナス」を扱いますので
「自然界」のもので具体例をあげることはできません
よって、「理論」で説明するしかないですね!

 

では、aがマイナスのグラフは・・・
ex) y = -\(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = -12) のグラフ(赤双曲線)
マイナスの反比例グラフ

 

y = \(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = 12)
x座標対応するy座標

 

y = -\(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = -12)
x座標対応するy座標

 

確かに原点(0, 0)の反対側にも同じ曲線がありますね! → 双曲線

双曲線そうきょく: 2つついになっている曲線 (要は図のような曲線)

 

 

ここで、上の「対応表」において、
xが0のとき、yは「×(バツ)」となっています。
これは、反比例の式 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) の xに
「0」を代入(y=\(\large{\frac{a}{(\color{red}{0})}}\))しようとするものですが…

 

そうですね! 数学では「分母が0 (0で割る)」は定義しない、(扱わない)でしたね!

 

 

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オ 比例、反比例を用いた具体的な事象の説明

 

比例の具体例

 

● 平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積yと、底辺、高さ

 

(高さが一定(定数)な場合)

 

面積y = 一定高さa×底辺x 底辺だけ変わる長方形

 

y = 2x という比例ですね

 

 

同様に、(底辺が一定(定数)な場合)

 

平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積y、底辺a、高さx

 

面積y = 一定底辺a×高さx 高さだけ変わる長方形

 

y = 3x という比例ですね

 


  cf.  

ちなみに、底辺も、高さも 2倍、3倍になると…

 

底辺も高さも変わる長方形

 

y = 6x2 という「関数y = ax2」の話の一部ですね

 

また、「倍率の2乗」が、「面積の比」になっている
これが「相似比の2乗は面積比になる」という
中学3年の「相似」の話の一部ともいえますね

 

「相似比の2乗は面積比になる」は三角形でも円でも同様に使えますね

 

 

● 三角形の面積y、底辺、高さ

 

(高さが一定(定数)な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定高さa×底辺x

 

高さが同じ直角三角形3つ

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・3・x = \(\large{\frac{3}{2}}\)x → y=\(\large{\frac{3}{2}}\)x という比例ですね  ←数字部分は計算できるので y=ax の型に → 比例だ

 

 

同様に、(底辺が一定(定数)な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定底辺a×高さx

 

底辺が同じな直角三角形3つ

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2・x = 1x = x → y=x という比例ですね

 

 

● 正方形の周囲の長さy、1辺x

 

周囲の長さy = 4×1辺x

 

正方形の周囲の長さ

 

y = 4x という比例ですね

 

 

● 円周y、円周率π、半径x

 

円周y = 円周率π×2×半径x
y = 2πx という比例ですね

 

 

● 距離y、速さa、時間x  → y = ax
  距離y、速さx、時間a  → y = ax

 

 

● バネの「延び」y、重りx、伸び率a

 

バネの「延び」y = 重りx×伸び率a

 

 

ex. 伸び、10gで2cmのバネ
→ 1g で0.2cmのびる → \(\large{\frac{0.2}{1につき}}\)

 

バネ量りイラスト y=1/5xのグラフ

 

y = 0.2x という比例ですね

 


  cf.  

バネの「延び」ではなく、バネの「長さ」になると…

 

スプリングイラスト y = 2x+3のグラフ

 

2年生の、y = 0.2x+3  ← 一次関数ですね

 

 

 

● 水槽の水位y、噴出率a、時間x  → y = ax

 

 

などなど

上の他にも、たくさんありますが、
基本的には 公式などでよく見かける形
〇=□×××・・・ のように「×(掛ける)だけでつながっているものは、
右辺の1文字だけを「x」、右辺の残り全てを「定数(数字)」にできれば、
全て比例式ということですね!

 

例えば、
・三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×高さ なら
「底辺」か「高さ」のどちらかを何か数字で固定すれば「比例」ですね!

 

・ひし形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×(合計高さ) も同様ですね (ひし形の面積)

 

文字= 数字 数字 数字 文字
 ↓数字は計算できるので
 ↓結局は…
 文字y= 数字a 文字x
y = ax → 比例式ということですね!

 

・台形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×上底+下底 × 高さ

 

→ (上底+下底)セットで固定で、高さがxなら「比例」
→ 高さが固定で、(上底+下底)セットでxなら「比例」
→ 上底か下底のどちらかだけがxならアウト →「1次関数」ですね

 

  台形イラスト

 

 y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(3+x)×4  → y = 2x+6 アウト!!  → 「一次関数」 ですね

 

 

 

 

 

反比例の具体例

 

 面積が固定されている、平行四辺形系、三角形 (24は例です↓)

 

・平行四辺形の面積24 = 底辺x×高さy
・三角形の面積24 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺x×高さy  → 48 = 底辺x×高さy

 

 

距離が固定されている、「速さ」と「時間」

 

24 = 速さx・時間y

 

 

● つり合っている天秤の「重り」と「距離」 (てこの原理)

 

中学数学 比例・反比例 |

支点から離れるほど
軽い重りで
つり合うことができる


 

400a = xy という反比例ですね

 

 

● 歯車の回転、

 

2つの歯車イラスト

 

動力源歯車の「歯数」×「回転数/時間」=相手歯車の「歯数x」×「回転数/時間y

動力源歯車の「歯数」×「回転数/時間」とは → 結局は時間あたりにこなせる歯数

 

ex.
動力源歯車「30歯」×「2回転/秒」  = \(\underbrace{ 60歯車/秒}_{a }\) (固定)

 

(相手歯車)
対応表

 

60 = xy という反比例ですね

 

《 例 》
歯数が15で毎分6回転する歯車Aとかみ合って回転する歯車Bの歯数をx、1分間の回転数をyとするとき、yをxの式で表しなましょう

 

→ A = 1分で、15歯×6回転 = 90歯/分
→ B = 1分で、x歯×y回転 = xy歯/分
⇒ A=B より 90歯/分 = xy歯/分 → 90=xy → y=\(\large{\frac{90}{x}}\)

 


  cf.  

Aの歯数/分 = Bの歯数/分 → 動いている「時間」は絶対同じ(歯車でどちらかだけが動いている状態はない) → 結局、両辺に同じ△分をかけて(等式の性質)、Aの歯数 = Bの歯数 でもよいですね
→ 90歯 = xy歯 → 90=xy → y=\(\large{\frac{90}{x}}\)

 

 

反比例の具体例は
〇 = □×△ のように「×(掛ける)でつながっているもの」で、
左辺が数字で固定されているものが「反比例」ですね!

 


ポイント

数学には公式のようなものがたくさんありましたね

 

比例の例

 

文字定数文字 などは、積である   が大体1番大きいですね
∴ 大きいものを 「y」 とすれば → 比例

 

 

反比例の例

 

数字文字文字 などは、積である   が大体1番大きいですね
∴ 大きいものが「定数」 として固定されていれば → 反比例

 

 

 

 

変域

「変域」とは「変数(xやy)の値の、「とりうる範囲」ですね!

 

ここまでは、
xのを決めれば(定義すれば)、
yのという『点』が決まりましたね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |

 

「変域」はただ「値」に幅がある、
『点』ではなく『範囲』というだけですね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |

 

「xの値の範囲」を「定義域ていぎいき」、
「yの値の範囲」を「値域ちいき」 と言ったりしますね

 

 

 

【 比例の変域 】

 

「変域」は、「物理的に決まってしまうもの」と「問題が指定しているもの」がありますね
たとえば、
1円の枚数をx、重さをyとします。1円の重さは1ですので、式で表すと、

 

y=1x → y=x  ですね

 

ここで、A君が1円玉を数枚握りしめています、
(A君の手の大きさでは「0枚~24枚しか握ることができませんが、)
今は、どうやら「10枚~20枚」のようです。
重さは? と聞かれた時、
xは、
日本語で表現すれば、「10から20」や「10~20」や「10以上20以内」ですね
さらに数学的に表現すれば、「10≦x≦20」ですね。

 

そして、対応する重さyは、
「10枚のとき10g」「12枚のとき12g」「13枚のとき13g」…「19枚のとき19g」…、面倒ですね!
やはり、yも、「10から20」や「10~20」や「10以上20以内」と楽したいですね!
これを数学的に表現すれば、「10≦y≦20」ですね

 

これが、『変域』です、xやyの値に「」があるというだけです
いままでは、「xが5のとき、yの値は? という『』でしたが、
「xが、●<x<〇のとき、yは、□<y<■ ?という『』になっただけですね!

 

 

 

これをグラフで表すと、

 

変域をグラフ上に表す

 

xが、10から20のとき、
xの範囲
すなわち、10≦x<20 のとき、

 

 

yは、10から20
yの範囲
すなわち、10≦y<20 ですね!

 


 

 

もちろん、「問題文が指定する変域」が最優先!ですね!

 

 

 

そして、具体例もなく、  y = -2x において、xの変域が  -2<x ≦4 のとき、
yの変域は? という場合は、「物理的な変域」はないので、
グラフも、無限に使用できますね

 

変域のまとめ

 

yの変域は、
「x = -2」、「x =4」を  y = -2xに代入して、
(xが-2のとき yは4、   xが4のとき yは-8)

 

yは、4~ -8と表現できれば楽なのですが、
不等号で表わさなければ ですね


 

yの範囲

 

左図を不等号で表すと、
(xのことは切り離しておいてくださいね)
-8≦y<4 (4>y≧-8) ですね!


 


 

比例(などの直線)の変域を軽くまとめますと

 

の比例式y = +axの場合
正の傾きの対応関係
機械的に作業をしても可
(小,小) (大,大)      

 

 

の比例式y =-axの場合
負の傾きの対応関係
クロス!
(小,大) (大,小)

 


となりますがっ!

 

① 公式風に憶えることは大変な割に
間違えやすい!
ので

 

対応する「範囲」を求める場合は、
(今後の、不等式、一次関数、二次関数においても)
簡単で構いませんので、
必ず、略図を書いて下さいね!!

 

横軸の変域略図比例の変域略図

 

反比例変域略図二次関数変域略図

 

などなど、それが範囲を求める「コツ」ですね!!

 

 

 

 

【 反比例の変域 】

 

反比例の変域も同様ですね!
簡単な図」を書けばいいだけです!

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

a 比の計算

せっかく「比例」を学びましたので
「比」について確認していきますね

 

 

【「比」の復習 】

 

<4:x>

 

4:x である。xを求めなさい ・・・困りますね
目測で 4:2.5 くらい?
または、定規を持ってきて測るしかないですね

 

7.5:4.8

 

4.8cm:7.2cm = 4:x   → x = 3

 

このように「比」は、「比べる何かが他に2つ以上」ないと「比」にする必要がないですね
すなわち一番上の図のようであれば「xを定規で測りなさい」が正しい問ですね

 

 

 

【 比の値 】

小学生の復習ですね

 

《 例 》
3:2の比の値は?

 

→ (小学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{1.5}{1}}\) = 1.5

 

→ (中学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) まででOKですね

 


公式

 

●:〇の比の値 = \(\large{\frac{前}{後ろ}}\)  = \(\large{\frac{●}{〇}}\)

 

  (ウイリーのイメージですね)
    ウイリーイラスト>

 

日本語なら
「●(〇に対する)割合」 という意味ですね (~の~に対する)
または、〇の「1化」ですね

 

 

《 例 》
塩5g:食塩水100g の比の値は?

 

すなわち「比の値は?」 = 「前の割合は?」 = 「塩の割合は?」または「食塩水の1化は?」 = 「食塩水の濃度は?」

 

前÷後ろ = 5g÷100g

= \(\large{\frac{5g}{100g}}\)
中学数学 比例・反比例 |
= 0.05
ですね

 


  cf.  

⇒ 食塩:食塩水の比の値は? → \(\large{\frac{食塩}{食塩水}}\) → (食塩水に対する食塩の割合) → \(\large{\frac{塩}{\color{red}{全体}}}\) = 『食塩水の濃度』

 

⇒ 食塩:水の比の値は? → \(\large{\frac{食塩}{水}}\) → 『水に対する食塩の割合』というだけの意味 ←濃度ではない

 

 

 

《 例 》
80円:1000円 の比の値は?

 

\(\large{\frac{80円}{1000円}}\)
中学数学 比例・反比例 |
= \(\large{\frac{0.08}{1}}\)
= 0.08

 

→ 80円の(1000円に対する)割合ということですね ← 8%と同じことですね

 

 

 

 

 

比の計算 (方程式)

 


公式

 

〇:△=●:x外側どうしの積=内側どうしの積
外側のどうしの積 = 内側どうしの積
→ 〇x = △● → x = \(\large{\frac{△●}{〇}}\)
(もちろん 内側どうしの積 = 外側のどうし積でもOKです)

 

 

 

〇/△=●/x
 クロスでイコール
→ 〇x = △● → x = \(\large{\frac{△●}{〇}}\)

 

 

 

 

〔どうして、外側の積 = 内側の積 が成り立つの?〕

 

→「比」 = 「割合」なので
3:2 = x:5 などは、比の値で表すと
\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) ですね

 

さらに、「対応するものが間違ってなければ何でもよい」ので
  \(\large{\frac{2}{3}}\) = \(\large{\frac{5}{x}}\) でも  \(\large{\frac{x}{3}}\) =\(\large{\frac{5}{2}}\) でも  \(\large{\frac{3}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{5}}\) でもよいとなります

 

割合や比は「ぶんの」と読まずに「につき」と読むとイメージしやすかったですね
\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) ← 「2につき3は、5につきx」
イメージが定着したら「ぶんの」でもOK!

 

3:2 = x:5 も「3たい2は、xたい5」ですが
「2につき3は、5につきx」と読んでもOKですね

 

⇒ 表現は違えど まったく同じ意味

 

\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) の計算過程では、まず
①分数をなくすために両辺に「2・5」を掛けますね (分かりにくければ「10」を掛けますね)
→ \(\large{\frac{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 5}{2}}\) = \(\large{\frac{x\ \cdot \ 2\ \cdot \ 5}{5}}\)
3・2・5/2=x・2x5/5
→ 3・5 = x・2 ← この形は
外側の積 = 内側の積 ですね。ただそれだけです、途中式を省いただけの公式ですね

 

 

《 例 》
・ x:4 = 8:7
→ 7x = 32  → x = \(\large{\frac{32}{7}}\)

 

・ \(\large{\frac{5}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
→ 両辺に「x・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{5\ \cdot \ x\ \cdot \ 3}{x}}\) = \(\large{\frac{2\ \cdot \ x\ \cdot \ 3}{3}}\) (←なれてくると省略できる途中式)
→ 15 = 2x (←いきなりこれにこれるようになります)
x = \(\large{\frac{15}{2}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ 両辺に「4・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{x\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3}{4}}\) = \(\large{\frac{5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3}{3}}\)
→ 3x = 20
x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ \(\large{\frac{ }{4}}\) 、\(\large{\frac{ }{3}}\) は どうせ消えるし、クロスに掛けるだけ
x/4=5/3
→ 3x = 20
x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

 

 

【 連比 】

 

《 例 》
2:3:5 = 7:x:y

 

→ 2に対応する7を見ると\(\large{\frac{7}{2}}\)倍とわかる
∴ x = 3×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{21}{2}}\)    y = 5×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{35}{2}}\)

 

 

《 例 》
a:b = 1:3、 b:c = 16:1 のときa:b:cは?

 

→ 両方に使われている「b」で合わせばよいですね

 

(16を3に近づけるイメージ)
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 3と16の最小公倍数は…「互いに素」なので 3×16 (=48)ですね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |
16:48:3 ですね

 

 

《 例 》
ある店のすき焼きの割り下は、醤油3:酒1、 醤油16:砂糖1でした
酒480gのとき、酒:醤油:砂糖は?

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |
∴ 160g:480g:30g ですね

 

 

(きれいにかぶる部分がない場合)
《 例 》
図のようなとき、a:b:cは?

 

中学数学 比例・反比例 |

 

→全体を「1」とすると

 

中学数学 比例・反比例 |
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 「通分」すると

 

中学数学 比例・反比例 |

 

 ∴ b = \(\large{\frac{5}{8}}\)-\(\large{\frac{4}{8}}\) = \(\large{\frac{1}{8}}\)


 

∴ a:b:c = \(\large{\frac{4}{8}}\):\(\large{\frac{1}{8}}\):\(\large{\frac{3}{8}}\) = 4:1:3

 

 

《 例 》
a+b:c = 5:3、 a:b+c = 1:1のとき、a:b:cは?

 

→ 図を書いてみると
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 先ほどと同じ問題ですね
∴ a:b:c = 4:1:3

 


  cf.  

中学2年生なら連立方程式でもよいですね

→ \(\small{\begin{cases}
\large{\frac{a+b}{c}}=\large{\frac{5}{3}} \scriptsize{…\large{①}}\\
\large{\frac{a}{b+c}}=\large{\frac{1}{1}} \scriptsize{…\large{②}}
\end{cases}}\)

→ \(\small{\begin{cases}
\large{\frac{a+b}{c}}=\large{\frac{5}{3}} \scriptsize{…①}\\
\large{\frac{a}{b+c}}=\large{\frac{1}{1}} \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

=\(\small{\begin{cases}
3a+3b=5c\\
a=b+c
\end{cases}}\)

 

(下を上に代入) 3(b+c)+3b=5c → 6b=2c  ∴ b:c = \(\large{\frac{1}{6}}\):\(\large{\frac{1}{2}}\) = 1:3
(6b=2c より) c=3b → (これを下に代入) a=b+(3b)=4b ∴ a:b=\(\large{\frac{1}{1}}\):\(\large{\frac{1}{4}}\)=4:1 (「=でつながるものを比に戻す」は次で説明しますね)

 

∴ bがたまたまそろっているので、そのままつなげて、a:b:c = 4:1:3

 

 

 

 

=でつながるものを比に戻す
(=で結ばれたものを比に戻すの理由)

 

《 例 》
2a = 3b のとき a:bは?

 

「=でつながるものを比にする」には「係数を逆数にするだけ」となります
∴ a:b = \(\large{\frac{1}{2}}\):\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:2

 

ex)
a = 2b で考えるととイメージしやすいですね
→ 式は、aはbの2倍という意味、 ということは、   a:b = 2:1ですね
→ 「係数逆数方式」なら
a:b = \(\large{\frac{1}{1}}\) :\(\large{\frac{1}{2}}\)  = 2:1 ですね

 

cf)
a:b = 2:1 のときaを求めよ

 

→ 外側の積 = 内側の積  → a = 2b ← 途中のこの形とも言えますね!
→ 逆の作業ということですね

 

ex)
2a = 3b → a = \(\large{\frac{3}{2}}\)b
→ aはbを\(\large{\frac{3}{2}}\)倍したものという意味
ということは、a:b  = \(\large{\frac{3}{2}}\):1  = 3:2

 

…考える必要がないぶん やっぱり「係数逆数方式」の方が楽ですね

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

 

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2017/12/5 23:12  
 
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