中学数学 比例・反比例

 

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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 比例、反比例
関数関係の意味
  ・ 関数の分類表
比例、反比例の意味
  ・ 比例の式
  ・ 反比例の式
座標の意味
  ・ 座標の各部名称
  ・ 座標の意味
比例、反比例の特徴
  ・ 比例のグラフ (比例定数の求め方)
  ・ 反比例のグラフ (比例定数の求め方)
  ・ 反比例なのに比例定数?
比例、反比例を用いた具体的な事象の説明
  ・ 比例の具体例
  ・ 反比例の具体例
  ・ 変域
  ・ 比例の変域
  ・ 反比例の変域
 a 比の計算
  ・ 比の値
  ・ 比の計算
  ・ 連比
  ・ =でつながるものを比に戻す

 

比例・反比例

 

ア 関数関係の意味

 

関数とは、ともにわりあう字ですね。
もう少し具体的に言うと、

 

xが決まれば、yの値がただ一つ決まる関係ですね。

 

例えば、
・ハワイ島はx年間で、9cm日本に近づいている →関数ですね(2年で18cm)
・人はx年間で、9cm身長が伸びる →関数ではない(2年で3cmの人もいれば、10cmの人もいる)
・x時間 機械を動かせば、製品が50個できる →関数(2時間で100個)
・x時間 勉強すれば、成績が2点上がる →関数ではない(3点上がる人もいる)

 

xに色々な数字を入れてみた時、
yが「複数」あるもの(=1つに決まらないもの)は、
「関数ではない」ということですね

 

 

余談

 

関数の分類

 

関数の種類

 

 

 

「比例(y = ax)」は、
「1次関数(y = ax+b)」の「基礎」、「簡単バージョン」といえますね

 

・「比例」のグラフは、必ず「原点を通る」、だから「+b」がないですね
・対して、「1次関数」のグラフは、「原点を通っても、通らなくてもよい」
だから、通るときは 「+b」 が 「+0」 になるだけですね

 

 

・1次関数では「a」のことを「変化の割合」や「傾き」といいますが、
「比例」という、実は「特別な場合」には、aのことを「比例定数」と呼びますね

 

 

ここでは、「比例式=関数」ではなく、
「比例式は関数の中のごく小さな一場面」
ということだけを理解してくださいね。

 

 

ちなみに、反比例(y = \(\large{\frac{a}{x}}\))は y = ax-1ともいえますね
-1次式(マイナス1次式)とは聞いたことがありませんが、
1次式ではない」ということは確かですね!

 

 

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イ 比例、反比例の意味

 

比例の式

 

例えば、平均時速20kmで走っているときの、
「距離」と「時間」は
「比例」ですね
「式」で表すと、

 

比例の説明
と表せば、
便利ですね。

 

例えば、
x = 1のとき(1時間走った時)、 y = 20(距離は20km)、
x = 2のとき(1時間走った時)、 y = 40(距離は40km)

 

よって、「比例」は式で表すと

 

比例定数: その場面、その問題においては、一定の数字が入る (ただしa≠ 0)

中学数学 比例・反比例 |
となります

変数: その場面、その問題において、色々な数字を入れて試すことができる

 

cf. 定数:その場面、その問題において 
     定まった数字が入る
  変数:その場面、その問題において
     色々な数字を入れることができる
     箱のような文字

 

よって、y = ax で表すことができるなら、「比例」と言えますね

 

 

この式を、a =の式にすると、→ ax = y → xa = y →
a = \(\large{\frac{y}{x}}\) となります

 

よって、逆に、
\(\large{\frac{y}{x}}\) (←y÷x)をしたとき、
aが常に「一定」のときも、「比例」ということですね

 

 

練習問題比例式の選択

練習問題比例式の選択

 

 

 

 

 

反比例の式

 

例えば、距離100kmを走るときの、
「速さ」と「時間」は「反比例」ですね

 

「式」で表すと、

 

中学数学 比例・反比例 |
 
と表せば、
便利ですね

 

例えば
x = 20のとき(時速20kmの時)、y = 5(時間は5時間)
x = 40のとき(時速40kmの時)、y = 2.5(時間は2.5時間)
(「距離」は定まっているのだから、2倍の「速さ」で走れば、半分(\(\large{\frac{1}{2}}\))の「時間」で着くイメージ)

 

よって、「反比例」は式で表すと

比例定数: その場面、その問題においては、一定の数字が入る (ただしa≠ 0)

中学数学 比例・反比例 |
となります

変数: その場面、その問題において、色々な数字を入れて試すことができる

 

よって、y = \(\large{\frac{a}{x}}\) で表すことができるなら、「反比例」と言えますね

 

この式を、a =の式にすると、→ \(\large{\frac{a}{x}}\) = y →

 

a = xy となります (xとyは逆数の関係ということですね!)

 

よって、逆に、
xy (←x×y)をしたとき、aが常に「一定」のときも、
「反比例」と言えますね

 

反比例は、a=xy 、y=\(\large{\frac{a}{x}}\) の2つセットで「基本形」としてしまいましょうね

 

 

練習問題反比例式の選択

練習問題反比例式の選択

 

比例し、反比例し

比例し、反比例し

 

 

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ウ 座標の意味

 

座標の名称

 

座標の各部名称

 

  前、(点Aの) x座標
  中学数学 比例・反比例 |
  後ろ、(点Aの) y座標


 

 

 

座標の意味

 

イメージとして、

 

点が1つあれば、の、
・「位置関係」 がイメージできますね

 

点が2つあれば、2点を結んだの、
・「位置関係」
・「長さ」
・「傾き加減」 がイメージできますね

 

点が3つあれば、3点をむすんだ平面の、
・「位置関係」
・「形」
・「大きさ(面積)」 がイメージできますね

 

その他、点達の関係性まで掴めますね

 

ですが、それはあくまで「イメージ」であって、
「正確かどうかもわからない」
「他人に伝えることもできない」
ですね。
しかし、「座標」を用いれば、
「正確に」それらのデータを「他者に」示すことができますね。

 

 

練習問題座標上の点の位置

練習問題座標上の点の位置

 

 

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エ 比例、反比例の特徴

 

比例のグラフ (比例定数の求め方)

 

比例のグラフの特徴は

 

① 直線である 
② 原点( 0, 0 )を通る

 

これだけですね!

 

そして、ポイントは、

 

y = ax の式で表すことができる(基本形)
a = \(\large{\frac{y}{x}}\) (y = ax をaの式にしただけですね)

 

 

この比例定数a = \(\large{\frac{y}{x}}\) は、もう少し正確にいうと、

 

a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)なのです

 

たとえば、

比例式の特徴

(0,0)(3,2)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)  = \(\large{\frac{2-0}{3-0}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

(3,2)(9,6)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{6-2}{9-3}}\)  = \(\large{\frac{4}{6}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

(0,0)(12,8)
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\) = \(\large{\frac{8-0}{12-0}}\)  = \(\large{\frac{8}{12}}\)  = \(\large{\frac{2}{3}}\)


 

当然、直線なのですから「比例定数」は、どこで図っても「\(\large{\frac{2}{3}}\)」ですね。

 

そして、1番簡単に計算できるのは、①か③ですね。
そうです、「原点(0, 0)」を通る「直線」なら
(0, 0)を使わない手はないのです!

 

a = \(\large{\frac{y}{x}}\) の本当の意味は、

 

a = 高さの割合(底辺に対する) = \(\large{\frac{高さ}{底辺}}\) ですね (割合とは)
→ \(\large{\frac{6高さ}{9につき}}\) = \(\large{\frac{4高さ}{6につき}}\) = \(\large{\frac{2高さ}{3につき}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
かっこよく言うと
a = \(\large{\frac{yの増加分}{xの増加分}}\)  = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)  = \(\large{\frac{y_2-0}{x_2-0}}\)  = \(\large{\frac{y_2}{x_2}}\)  = \(\large{\frac{y}{x}}\) だったのです

 

 

2年生の話となりますが、
原点(0 , 0) を通らない  直線(y = ax+b)の場合は、
2つの点を利用する②の方法で「傾き」を求めることになりますね!

 

 

よって、原則は②で、
「(0, 0)を通る」ときは、①や③で楽ができる ということになります

 

 

もし、「xの増加量」と「yの増加量」…どっちが分母だったっけ? となったら、
a = 高さの割合yが上(分子)
または、
比例式「y = ax」を、aの式にしてくださいね!

 

y = ax → (ax=y) → a = \(\large{\frac{y}{x}}\) → xが下(分母) ですね!

 

 

練習問題簡単な比例

練習問題簡単な比例

 

 

 

 

反比例のグラフ (比例定数の求め方)

 

反比例のグラフの特徴は

 

① 双曲線そうきょくせんである 
② 原点( 0, 0 )をと通らない
③ 双曲線がx軸、y軸に接触しない

 

これだけですね!

 

そして、ポイントは、

 

y = \(\large{\frac{a}{x}}\) または   xy = aの式で表すことができる
a = xy (aの式にしただけですね)

 

 

「反比例」の問題は出題率的には低いので、3年生の後半には、
「反比例て…確か…xが増えたら…yが減る…?」
みたいになってしまいがちです。

 

そこで、絶対に忘れない「イメージ例」を、1つ2つ持っていると問題なしですね

 

九九くくの「ロクロク36」 などはいかがでしょうか
「36」は固定させます。あとは、「(x=)1のとき(y=)36、2のとき18、
3のとき12、4・9 = 36、6・6 = 36、9・4 = 36、…」
「ああ!答え(a)36が一定のあれね!」

 

② 「距離」もよいですね
「距離」は決定させます。「速さ2倍で走れば、半分の時間で到着する、
速さ\(\large{\frac{1}{2}}\) で走れば(歩けば)、2倍の時間がかかる…」

 

ということで、y = \(\large{\frac{a}{x}}\) よりも、(同じことを言っているのですが、)
xy = a の方が「反比例」を単純に表現しているといえますね

 

 

それでは、本題に戻りますね、
比例定数a は xyですね。「比例」のときの「比例定数a」より簡単ですね!

 

 

余談

 

反比例なのに比例定数?

 

反比例の式 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) において、
aは「比例定数」ではなく「反比例定数」とは呼ばないの?
という小さな疑問がありますが、

 

反比例で反比例定数と言わない理由
となっていましたね

 

ということは、

 

1/xに比例する
と考えることもできますね

 

というわけで、
反比例の式の「a」も「比例定数」と言ってかまわない、となります。

 

 

 

比例は
xの値が 1.5倍、2倍、3倍になると
yの値も 1.5倍、2倍、3倍になりましたが

 

比例の表

 

 

反比例は
xの値が 1.5倍(\(\large{\frac{3}{2}}\)倍)、2倍、3倍になると
yの値は \(\large{\frac{2}{3}}\)倍、\(\large{\frac{1}{2}}\)倍、\(\large{\frac{1}{3}}\)倍、
逆数倍ですね

 

反比例の表

 

 

y = \(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = 12) のグラフ
反比例の具体例1

 

「第1象限 (+, +)のエリア」の拡大図
第1象限の拡大
赤四角も青四角も黒四角も
面積が同じですね!
1×12 = 12
2×6 = 12
3×4 = 12
4×3 = 12
12×1 = 12
 ・
 ・
1200×0.01 = 12

 

「12」という「しばり」が
ある限り「0」はありえないですね。


そういう意味で、
曲線は限りなくx軸やy軸に近づいていきますが、
軸には絶対に接触しないということです。

 

 

そして、第1象限の曲線は+(プラス)と+(プラス)ですので、
自然界のもので具体例をあげることができますね!

 

反比例の具体例…例えば…
「予算3000円(y)で、x円使えば、手持ちが減る・・・」
これは、y = 3000-x で、
全然 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) になっていませんね!

<% 反比例の具体例


 

 

「自転車の5段目は少し踏めば、よく進む・・・その代わり「重い」
1段目はクルクル回しても、あまり進まない・・・その代わり「軽い」
・・・わかりにくいですね・・・

 

お父さん! お母さん! 腕の見せ所です!
子供たちが納得する「良い例」を聞かせてあげてくださいね!

 

第2象限(左上)、第3象限(左下)、第4象限(右下)は、
マイナス」を扱いますので
「自然界」のもので具体例をあげることはできません
よって、「理論」で説明するしかないですね!

 

ちなみに、aがマイナスのグラフは・・・
ex) y = -\(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = -12) のグラフ(赤双曲線)
マイナスの反比例グラフ

 

y = \(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = 12)
x座標対応するy座標

 

y = -\(\large{\frac{12}{x}}\) (xy = -12)
x座標対応するy座標

 

確かに原点(0, 0)の反対側にも同じ曲線がありますね! → 双曲線
(双曲線: 2つで1組の曲線)

 

 

ここで、上の「対応表」において、
xが0のとき、yは「×(バツ)」となっています。
これは、反比例の式 y = \(\large{\frac{a}{x}}\) のxに
「0」を代入しようとするものですが…

 

そうですね! 数学では「分母が0 (0で割る)」は定義しない、(扱わない)ですね!

 

 

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オ 比例、反比例を用いた具体的な事象の説明

 

比例の具体例

 

● 平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積y、底辺、高さ

 

(高さが一定な場合)

 

面積y = 一定高さa×底辺x 底辺だけ変わる長方形

 

y = 2x という比例ですね

 

 

同様に、(底辺が一定な場合)

 

平行四辺形系 (長方形、正方形、ひし形)の面積y、底辺a、高さx

 

面積y = 一定底辺a×高さx 高さだけ変わる長方形

 

y = 3x という比例ですね

 

ちなみに、底辺も、高さも 2倍、3倍になると…

 

底辺も高さも変わる長方形

 

y = 6x2 という「関数y = ax2」の話の一部ですね

 

また、「倍率の2乗」が、「面積の比」になっている
これが「相似比の2乗は面積比になる」という
中学3年の「相似」の話の一部ともいえますね

 

「相似比の2乗は面積比になる」は三角形でも円でも同様に使えますね

 

 

● 三角形の面積y、底辺、高さ

 

(高さが一定な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定高さa×底辺x

 

中学数学 比例・反比例 |

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・3・x = \(\large{\frac{3}{2}}\)x という比例ですね

 

 

同様に、(底辺が一定な場合)

 

面積y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×一定底辺a×高さx

 

中学数学 比例・反比例 |

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2・x = 1x = x という比例ですね

 

 

● 正方形の周囲の長さy、1辺x

 

周囲の長さy = 4×1辺x

 

正方形の周囲の長さ

 

y = 4x という比例ですね

 

 

● 円周y、円周率π、半径x

 

円周y = 円周率π×2×半径x
y = 2πx という比例ですね

 

 

● 距離y、速さa、時間x  → y = ax
  距離y、速さx、時間a  → y = ax

 

 

● バネの「延び」y、重りx、伸び率a

 

バネの「延び」y = 重りx×伸び率a

 

(伸び、10gで2cmのバネ) 
→ 1g で0.2cm

 

 バネ量りイラスト


 

y = 0.2x という比例ですね

 

バネの「延び」ではなく、バネの「長さ」になると…

 

中学数学 比例・反比例 | y = 2x+3のグラフ

 

2年生の、y = 0.2x+3  ← 一次関数ですね

 

 

 

● 水槽の水位y、噴出率a、時間x  → y = ax

 

 

などなど

上の他にも、たくさんありますが、
基本的には 公式などでよく見かける形
〇=□×××・・・ のように「×(掛ける)だけでつながっているものは、
右辺の1文字だけを「x」、右辺の残り全てを「定数(数字)」にできれば、
全て比例式ですね!

 

例えば、
・三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×高さ なら
「底辺」か「高さ」のどちらかを何か数字で固定すれば「比例」ですね!

 

・ひし形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×(合計高さ) も同様ですね

 

・台形の面積も、上底下底固定で、高さがxなら「比例」、
 高さが固定で、(上底+下底)でxなら「比例」、
 上底か下底のどちらかだけがxならアウト→「1次関数」ですね

 

 台形イラスト

 

 y = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(3+x)×4  → y = 2x+6 アウト!!  → 「一次関数」 ですね

 

文字= 数字 数字 数字 文字
 ↓数字は計算できるので
 ↓結局は…
 文字= 数字文字
y = ax → 比例式ということですね!

 

 

 

 

 

反比例の具体例

 

面積が固定されている、平行四辺形系、三角形 (24は例です)

 

平行四辺形の面積24 = 底辺x×高さy
三角形の面積24 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺x×高さy  → 48 = 底辺x×高さy

 

 

距離が固定されている、「速さ」と「時間」

 

24 = 速さx・時間y

 

 

● つり合っている天秤の「重り」と「距離」 (てこの原理)

 

中学数学 比例・反比例 |

支点から離れるほど
軽い重りで
つり合うことができる


 

400a = xy という反比例ですね

 

 

● 歯車の回転、

 

2つの歯車イラスト

 

基準動力歯車の「歯数」×「回転数/時間」  =相手歯車の「歯数x  ×「回転数y

 

基準歯車「30歯」×「2回転/秒」  = \(\underbrace{ 60歯車/秒}_{a }\) (固定)

 

対応表

 

60 = xy という反比例ですね

 

 

 

反比例の具体例はあまりありませんが、
〇 = □×△ のように「×(掛ける)でつながっているもの」で、
左辺が数字で固定されているものが「反比例」ですね!

 


ポイント

数学には公式のようなものがたくさんありましたね

 

比例の例

 

文字定数文字などは、積である  が大体1番大きいですね
∴ 大きいものを y とすれば → 比例

 

 

反比例の例

 

数字文字文字などは、積である  が大体1番大きいですね
∴ 大きいものが定数 として固定されていれば → 反比例

 

 

 

 

変域

「変域」とは「変数(xやy)の値の、「とりうる範囲」ですね!

 

ここまでは、
xのを決めれば(定義すれば)、
yのという『点』が決まりましたね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |

 

「変域」はただ「値」に幅がある、
『点』ではなく『範囲』というだけですね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |

 

「xの値の範囲」を「定義域ていぎいき」、
「yの値の範囲」を「値域ちいき」 と言ったりしますね

 

 

 

【 比例の変域 】

 

「変域」は、「物理的に決まってしまうもの」と「問題が指定しているもの」がありますね
たとえば、
1円の枚数をx、重さをyとします。1円の重さは1ですので、式で表すと、

 

y=1x → y=x  ですね

 

ここで、A君が1円玉を数枚握りしめています、
(A君の手の大きさでは「0枚~24枚しか握ることができませんが、)
今は、どうやら「10枚~20枚」のようです。
重さは? と聞かれた時、
xは、
日本語で表現すれば、「10から20」や「10~20」や「10以上20以内」ですね
さらに数学的に表現すれば、「10≦x≦20」ですね。

 

そして、対応する重さyは、
「10枚のとき10g」「12枚のとき12g」「13枚のとき13g」…「19枚のとき19g」…、面倒ですね!
やはり、yも、「10から20」や「10~20」や「10以上20以内」と楽したいですね!
これを数学的に表現すれば、「10≦y≦20」ですね

 

これが、『変域』です、xやyの値に「」があるというだけです
いままでは、「xが5のとき、yの値は? という『』でしたが、
「xが、●<x<〇のとき、yは、□<y<■ ?という『』になっただけですね!

 

 

 

これをグラフで表すと、

 

変域をグラフ上に表す

 

xが、10から20のとき、
xの範囲
すなわち、10≦x<20 のとき、

 

 

yは、10から20
yの範囲
すなわち、10≦y<20 ですね!

 


 

 

もちろん、「問題文が指定する変域」が最優先!ですね!

 

 

 

そして、具体例もなく、  y = -2x において、xの変域が  -2<x ≦4 のとき、
yの変域は? という場合は、「物理的な変域」はないので、
グラフも、無限に使用できますね

 

変域のまとめ

 

yの変域は、
「x = -2」、「x =4」を  y = -2xに代入して、
(xが-2のとき yは4、   xが4のとき yは-8)

 

yは、4~ -8と表現できれば楽なのですが、
不等号で表わさなければ ですね


 

yの範囲

 

左図を不等号で表すと、
(xのことは切り離しておいてくださいね)
-8≦y<4 (4>y≧-8) ですね!


 


 

比例(などの直線)の変域を軽くまとめますと

 

の比例式y = +axの場合
正の傾きの対応関係
機械的に作業をしても可
(小,小) (大,大)      

 

 

の比例式y =-axの場合
負の傾きの対応関係
クロス!
(小,大) (大,小)

 


となりますがっ!

 

① 公式風に憶えることは大変な割に
間違えやすい!
ので

 

対応する「範囲」を求める場合は、
(今後の、不等式、一次関数、二次関数においても)
簡単で構いませんので、
必ず、略図を書いて下さいね!!

 

横軸の変域略図比例の変域略図

 

反比例変域略図二次関数変域略図

 

などなど、それが範囲を求める「コツ」ですね!!

 

 

 

 

【 反比例の変域 】

 

反比例の変域も同様ですね!
簡単な図」を書けばいいだけです!

 

練習問題簡単反比例の変域

練習問題簡単反比例の変域

 

 

 

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a 比の計算

せっかく「比例」を学びましたので
「比」について確認していきますね

 

 

【「比」の復習 】

 

<4:x>

 

4:x である。xを求めなさい ・・・困りますね
目測で 4:2.5 くらい?
または、定規を持ってきて測るしかないですね

 

7.5:4.8

 

4.8cm:7.2cm = 4:x   → x = 3

 

このように「比」は、「比べる何かが他に2つ以上」ないと「比」にする必要がないですね
すなわち一番上の図のようであれば「xを定規で測りなさい」が正しい問ですね

 

 

 

【 比の値 】

小学生の復習ですね

 

《 例 》
・3:2の比の値は?

 

→ (小学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{1.5}{1}}\) = 1.5

 

→ (中学なら) \(\large{\frac{3}{2}}\) までですね

 

公式

●:〇の比の値 = \(\large{\frac{前}{後ろ}}\)  = \(\large{\frac{●}{〇}}\)

 

日本語なら
(〇に対する)割合 という意味ですね (~の~に対する)
または、〇の「1化」ですね

 

 

《 例 》
塩5g:食塩水100g の比の値は?

 

すなわち「比の値は?」 = 「前の割合は?」 = 「塩の割合は?」または「食塩水の1化は?」 = 「食塩水の濃度は?」

 

前÷後ろ = 5g÷100g

= \(\large{\frac{5g}{100g}}\)
中学数学 比例・反比例 |
= 0.05
ですね

 

 

 

《 例 》
80円:1000円 の比の値は?

 

\(\large{\frac{80円}{1000円}}\)
中学数学 比例・反比例 |
= \(\large{\frac{0.08}{1}}\)
= 0.08

 

→ 80円の(1000円に対する)割合ということですね ← 8%と同じことですね

 

前:後ろ の「比の値」  = \(\large{\frac{前}{後ろ}}\)

 

→ 「前の割合」または「後ろの1化」と憶えておけば
どっちが分母だったっけ?とならずにすみますね

 

cf) 中学では出ても
32:24の比の値は? → \(\large{\frac{32}{24}}\)  = \(\large{\frac{8}{6}}\)  = \(\large{\frac{4}{3}}\)  くらいですね

 

 

 

比の計算 (方程式)

 

公式

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |
外側のどうしの積 = 内側どうしの積
(もちろん 内側どうしの積 = 外側のどうし積でもOKです)

 

∴ 〇x = ●△ → x = \(\large{\frac{●△}{〇}}\)

 

 

〔どうして、外側の積 = 内側の積 が成り立つの?〕

 

→「比」 = 「割合」なので
対応するものが間違ってなければ何でもよい」ので
3:2 = x:5 などは
\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) でも   \(\large{\frac{2}{3}}\) = \(\large{\frac{5}{x}}\) でも  \(\large{\frac{x}{3}}\) =\(\large{\frac{5}{2}}\) でも  \(\large{\frac{3}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{5}}\) でもよいとなります

 

割合や比は「ぶんの」と読まずに「につき」と読むとイメージしやすかったですね
\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) ← 「2につき3は、5につきx」
イメージが定着したら「ぶんの」でもOK!

 

\(\large{\frac{3}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{5}}\) の計算過程では、まず
①分数をなくすために両辺に「2・5」を掛けますね (分かりにくければ「10」を掛けますね)
→ \(\large{\frac{3\cdot2\cdot5}{2}}\) = \(\large{\frac{x\cdot2\cdot5}{5}}\)
中学数学 比例・反比例 |
→ 3・5 = x・2 ← この形は
外側の積 = 内側の積 ですね。ただそれだけです、途中式を省いただけの公式ですね

 

 

《 例 》
・ x:4 = 8:7
→ 7x = 32  → x = \(\large{\frac{32}{7}}\)

 

・ \(\large{\frac{5}{x}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
→ 両辺に「x・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{5\cdot x\cdot3}{x}}\) = \(\large{\frac{2\cdot x\cdot3}{3}}\) (←なれてくると省略できる途中式)
→ 15 = 2x (←いきなりこれにこれるようになります)
x = \(\large{\frac{15}{2}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ 両辺に「4・3」を掛けて
→ \(\large{\frac{x\cdot4\cdot3}{4}}\) = \(\large{\frac{5\cdot4\cdot3}{3}}\)
→ 3x = 20
x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

・\(\large{\frac{x}{4}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)
→ \(\large{\frac{ }{4}}\) 、\(\large{\frac{ }{3}}\) は どうせ消えるし、クロスに掛けるだけ
中学数学 比例・反比例 |
→ 3x = 20
x = \(\large{\frac{20}{3}}\)

 

 

 

【 連比 】

 

《 例 》
2:3:5 = 7:x:y

 

→ 2に対応する7を見ると\(\large{\frac{7}{2}}\)倍とわかる
∴ x = 3×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{21}{2}}\)    y = 5×\(\large{\frac{7}{2}}\) = \(\large{\frac{35}{2}}\)

 

 

《 例 》
a:b = 1:3、 b:c = 16:1 のときa:b:cは?

 

→ 両方に使われている「b」で合わせばよいですね

 

(16を3に近づけるイメージ)
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 3と16の最小公倍数は…「互いに素」なので 3×16 (=48)ですね

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |
16:48:3 ですね

 

 

《 例 》
ある店のすき焼きの割り下は、醤油3:酒1、 醤油16:砂糖1でした
酒480gのとき、酒:醤油:砂糖は?

 

中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |中学数学 比例・反比例 |
∴ 160g:480g:30g ですね

 

 

(きれいにかぶる部分がない場合)
《 例 》
図のようなとき、a:b:cは?

 

中学数学 比例・反比例 |

 

→全体を「1」とすると

 

中学数学 比例・反比例 |
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 「通分」すると

 

中学数学 比例・反比例 |

 

 ∴ b = \(\large{\frac{5}{8}}\)-\(\large{\frac{4}{8}}\) = \(\large{\frac{1}{8}}\)


 

∴ a:b:c = \(\large{\frac{4}{8}}\):\(\large{\frac{1}{8}}\):\(\large{\frac{3}{8}}\) = 4:1:3

 

 

《 例 》
a+b:c = 5:3、 a:b+c = 1:1のとき、a:b:cは?

 

→ 図を書いてみると
中学数学 比例・反比例 |

 

→ 先ほどと同じ問題ですね
∴ a:b:c = 4:1:3

 

 

 

=でつながるものを比に戻す
(=で結ばれたものを比にする)

 

《 例 》
2a = 3b のとき a:bは?

 

「=でつながるものを比にする」には「係数を逆数にするだけ」となります
∴ a:b = \(\large{\frac{1}{2}}\):\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:2

 

ex)
a = 2b で考えるととイメージしやすいですね
→ 式は、aはbの2倍という意味、 ということは、   a:b = 2:1ですね
→ 「係数逆数方式」なら
a:b = \(\large{\frac{1}{1}}\) :\(\large{\frac{1}{2}}\)  = 2:1 ですね

 

cf)
a:b = 2:1 のときaを求めよ

 

→ 外側の積 = 内側の積  → a = 2b ← 途中のこの形とも言えますね!
→ 逆の作業ということですね

 

ex)
2a = 3b → a = \(\large{\frac{3}{2}}\)b
→ aはbを\(\large{\frac{3}{2}}\)倍したものという意味
ということは、a:b  = \(\large{\frac{3}{2}}\):1  = 3:2

 

…考える必要がないぶん やっぱり「係数逆数方式」の方が楽ですね

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

 

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2017/12/5 23:12  
 
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