中学数学　一次方程式

「方程式」という名前の由来

もう少し言葉を補足すれば、
「左右を比べて、未明な値(解)を求めるための式」といった感じでしょうか。

〇元〇次の意味　(次数)

《 例 》

「～元（げん）」は気にしてもあまり意味がないので、よく省略されますね

1年生で今 学んでいる 一次方程式は
正確には、「一元一次方程式」ということですね

　〇 ＝
のように、「右辺」がないものは、「等式」ではなく、
今まで学習してきた「計算せよ！」ですね！
実際は、「計算せよ！」の問題では、「＝(イコール)」は書かれていませんね！
自分で「＝」を書き出します。

今後、難解な「計算せよ」を計算していると、
うっかりミスで、
つい自分の作り出した「＝(イコール)以下」を
「等式の右辺」と勘違いしてしまい、
両辺を、つい「2」で割ってみたりしてしまいます。
これができるのは等式・不等式だけですね！
なぜダメなのか・・・

ex) 「計算せよ」6+4 は？・・・
6+4＝10　 両辺を「2」で割ってしまうと 3+2＝5　答え．5　
・・・違いますよね！
問題は、6＋4 でしたよね。答えは10ですよね。

「計算せよ」は「等式」ではない！
ということを忘れないでくださいね！
「計算せよ」に「等式の性質」(後述)は、使ってはいけません～！

等式の性質

　A＝B ならば、

それでは、上の例の「5」を「x」に置き換えて、
同様にできることを確認してみましょう

項(元)は、 ＝ (イコール)をまたぐと符号が変わる

それでは、「6」を「x」に置き換えて
同様にできることを確認してみましょう

項のイメージ

正の数・負の数の余談の「(カッコ)の意味」でお話しましたが、
もう一度！

●「×÷」でつながっている

「元」は1つ
(「元」がどのように「変形」したのか
イメージ：横に大きくなって、次に縦に大きくなって、次は全体的に小さくなって・・・ )

例) 3　→　1×3
　 xy　→　1×x×y
　 \(\large{\frac{1}{2}}\)xyz → 1÷2×x×y×z

●「+-」でつながっている

「元」は 複数 ある
(「元」に「何がくっついてきたのか」
「何が引かれてしまったのか」 )

　例)　1+2
　　　x+y
　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)+x+y+z

(　　)で囲まれているということは、それで「一文字」です！
それで「元」です！
それで「項」と思ってよいです！

↑本来は計算した -(+11) = +(-11)→「-11」が項

cf.
-6・2・3・2 のように「×÷」でつながっているものは、元々、「元」が一つ(＝一つの項)、
(カッコ)で囲む必要がないということですね！

「150m/分で歩いた時間」もわからないな・・・y分間とするか・・・
でもいいのですが、これは2年生の「連立方程式」ですね！
ちなみに　
\(\small{\begin{cases}
x+y=26　(時間) \\
70x+150y=2300　(距離)
\end{cases}}\)　
ですね、
少し整理して
→ \(\small{\begin{cases}
y=26-x \\
7x+15y=230
\end{cases}}\)

→ 7x+15y = 230 の式に y=26-x を代入して
xだけの式にします → 7x+15(26-x) = 230 → x=20 　 A. 20分

「分」を「時間」になおす

例えば「5分」は「\(\large{\frac{5}{60}}\) 時間」ですね

どうして 「分」を「時間」にするには「60」で割るの？
という、素朴な疑問の回答として・・・

まずは 「60で割る」というフレーズを忘れていただいて、

⇒ 「1分」＝「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間」ということは、なにかイメージできますね

→ 1時間には60の目盛りがある
→ 1目盛り
　\(\large{\frac{1}{60}}\)は、1分である
→ 15分なら \(\large{\frac{1}{60}}\)×15  = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間

これだけですね
結果、「\(\Large{\frac{}{60}}\) 」が「60で割っている」形と見えるだけ

∴ 「60で割る」 というより「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間を何個使うか」というイメージが楽ですね

数学では「分数のまま」が計算しやすいですね(小数にする必要はないですね)
「実社会」は小数表記が多いですが、代表的な小数だけ憶えていれば十分ですね

0.25時間 = \(\large{\frac{1}{4}}\)時間   = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間  = 15分
0.5時間 = \(\large{\frac{1}{2}}\)時間   = \(\large{\frac{30}{60}}\)時間   = 30分
0.75時間 = \(\large{\frac{3}{4}}\)時間  = \(\large{\frac{45}{60}}\)時間  = 45分

速さとは

200kmを4時間で行った時の速さは？

200kmを4時間で行くような速さ !! でも〇なのですが、

4時間速200km！　　  3時間速120km！
0.5時間速50km！　

「早いのか、遅いのか」イメージできませんね！

「距離」には「定規」、「時間」には「時計」があって、イメージできますが、
「速さ」自体には基準がないから、イメージできないですね。

そこで、
「1時間あたりに進む距離　を速さ」(1時間速→時速)
「1分間あたりに進む距離　を速さ」(1分間速→分速)
など
「時間」あたりの「距離」を「速さ」
と基準づけたのです。
　

そして、「速さ」と言ってもただの「割合」であることには間違いないので、
それが、「早いのか」「遅いのか」を
「イメージしたもの」が本当の意味の「速さ(スピード感)」ですね。
「イメージ」ということは、「経験」を重ねていくしかないのでしょうね。
動く点を紙に書いて表現することはできないですものね。

小さなお子様に、
はるか上空のジェット機を指して、
「早いね～」と言っても
経験がない分、「遅い！」と言うかもしれませんね。

ちなみに、電車の運転士さんは、
スピードメーターを見なくても、流れる景色から
「現在、時速67km！」とか、わかるらしいです。
「絶対音感」ならぬ、「絶対スピード感」ですね！

長くなりましたが、
もしかしたら、昔の人が
「速さ」＝「時間」÷「距離」と基準づけしていたら
「1kmあたり〇時間かかるような速さ」(1km間速)
となっていたかもしれませんね！
「慣れ」ってすごいですね！

「大谷選手出たー！　160km(/時)！」
「大谷選手出たー！　22.5秒(/km）！」
なんてね。

3つの速さ

中学数学の方程式では、3種類の「速さ」がありますね

①「(絶対)速さ」

例えば、60km離れた地点に、1時間で行けたら・・・
誰が見ても「絶対的に」
「速さ」= 60÷1  = 60km/時ですね

最もポピュラーな「速さ」ですね

②「乗っかる速さ」 (親中用語)

例えば、流速30km/時の川で
60km離れた下流地点に、1時間で行けたら

「速さ」= 60÷1  ＝ 60km/時ですが
内訳は
・川の速さ 30km/時
・ボートの速さ 30km/時 ( 実力 )

ボートの「乗っかる速さ」 = 川の「速さ」+ボートの「速さ」= 60km/時ということですね
乗っかる速さ＝本体の速さ±足元の速さ ＝実力±x

逆に、上流に向かう場合は 30km/時-30km/時 = 0km/時で
ルームランナーのようにその場にとどまっていますね

ex) エスカレーター、動く歩道を歩く人
　電車の中を歩く人
　気流の中の飛行機

③ 「相対速さ」 (親中用語)

例えば、「宇宙空間で」「周りに星がない(基準がない)」空間で
星Aと60km離れた星Bが 1時間後に衝突しました

Aの速さは? と言われても…

Bが止まっているなら Aは右に60km/時
Aが止まっているなら、Bが左に60km/時
Bが左に30km/時なら、Aは右に30km/時
Bが右に30km/時なら、Aは右に90km/時 ・・・

∴ Aの速さは、Bを「止めて」考えるのがよいですね

ex) 電車に抜かれる人、すれ違う人

方程式の問題では、
「衝突する」「出会う」「追いつく」『地点』までの
「距離」「時間」がわからないことが多いですね
(それぞれの「速さ」「2つの間の距離」はわかっている問題が多い)ので
立てる式は・・・

「距離」を基本に式を立てることが多いですね
(「出会う地点までの距離か時間がわかっていれば、方程式など立てなくても普通の計算問題ですものね)

問題集の解答例

どのような数学の問題集の解答も「解答例」です。
あくまで「例」です。

最後の答えだけは「唯一無二」ですが・・・

途中の計算式は、違っていて当然ですね。
答えにたどり着くまでのアプローチはたくさんありますので、

自分のアプローチと解答例が違っていても
「自分の解き方はダメだ」と、思わないで下さいね！
「良い解き方」を探している段階なのですから！

逆に、「この問題集はダメだ」とも思わずにいてくださいね。
「この解答例は、どういう考え方なのか」を追求することも、
とても勉強になります。

人と人との付き合いも全く同様ですね！

数学の大原則

数学では、「3つのうち2つが解れば、残りの1つは必ずわかる」ですね！

x+y=z 、xy=z 、、、などなど

・x、y が解れば → 残りの zが解る
・x、z が解れば → 残りの yが解る
・y、z が解れば → 残りの xが解る

「4つなら3つ解れば、残りの1つは必ずわかりますね！」

に派生していきますね！

→ 濃度＝塩の割合 ＝\(\large{\frac{対象}{全体}}\) ＝\(\large{\frac{塩}{食塩水}}\) ＝\(\large{\frac{b}{a+b}}\) → (％表示指定より)  → \(\large{\frac{100b}{a+b}}\) (％)
(\(\large{\frac{b}{a+b}}\)は、少数にしようがないですものね)

  まとめ  

あと、従来の勘違いしやすいところをはっきりさせておきましょうね
例えば、『濃度1％の食塩水』とは、どのようなイメージなのでしょうか？

= \(\large{\frac{1}{99+1}}\) = \(\large{\frac{1}{100}}\) = 0.01

1％ ですね

そして、勘違いしやすいイメージがこれですね！

= \(\large{\frac{1}{100+1}}\) = \(\large{\frac{1}{101}}\) = 0.0099…

0.99…％ですね！

「全体」というからには「対象」も含んで「全体」です！
「対象」は「全体」の中にいます！

ちなみに、
②の食塩水を1化したイメージ図は

  (確認)  

(計算時に使う)
「割合」→ \(\large{\frac{3642}{10000}}\)　　または　0.3642　⇒ 「数値」だ！

(表現時に使う)

分子の方が大きい割合の意味

《 例 》
クラスの全体は40人、鈴木さんという苗字が2名の場合

● 鈴木さん(＝対象)の、(クラス40人に対する)「割合」は?

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{2}{40}}\) = \(\large{\frac{0.05}{1}}\) 　A. 5％

● では、逆にしてみた場合の、\(\large{\frac{40}{2}}\) とは、
どんな意味になるのでしょうか

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\)

クラス(＝対象)は鈴木さんの「20倍」という
小学算数のイメージ通りですが、
「20倍」＝「2000％」とすれば、
ちゃんと「割合」の話ということがわかりますね

⇒ クラス40人(＝対象)の、(鈴木さん2人に対する)「割合」
割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\) 　A. 2000％

塩9gは150×\(\large{\frac{6}{100}}\)で求めましたね。9を  「150×\(\large{\frac{6}{100}}\)」に戻すだけですね
\(\large{\frac{\color{red}{9}}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\) → \(\large{\frac{\color{red}{150×0.06}}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\)

●模擬試験や入試 → 答えだけでいいので、  9÷(150+x)＝\(\large{\frac{2}{100}}\)を解きましょう
\(\large{\frac{9}{150+x}}\)=\(\large{\frac{2}{100}}\) → 両辺に   (150+x)(100)を掛けて (分数方程式求め方)、  → 900=2(150+x) → 両辺を2で割って   450=150+x　  A. 300g

\(\large{\frac{1.2+6}{40+50-2x}}\)=\(\large{\frac{10}{100}}\) → \(\large{\frac{7.2}{90-2x}}\)=\(\large{\frac{1}{10}}\) → 両辺に(90-2x)(10)を掛けて、
→ 72=90-2x → 2x=18　 A.　x=9

  食塩水の問題のコツ  

　ですね!!

　
① 表対象を求めてから、   全体-「表対象」  ＝「裏対象」

または
　
② 裏割合を求めてから、   全体×「裏割合」  ＝「裏対象」

日本語なら

・ 定価 ＝原価の4割増 ＝x（原価）+（+）(x×\(\large{\frac{4}{10}}\))（原価の4割） ＝x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))（裏割合）　←複雑な形ですがこれが定価！
・ 最終価格 ＝定価の2割減 ＝x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))（定 価）(1-\(\large{\frac{2}{10}}\))（裏割合） ＝x(\(\large{\frac{14}{10}}\))(\(\large{\frac{8}{10}}\)) ＝\(\large{\frac{x\ \cdot \ 14\ \cdot \ 8}{100}}\)

   cf.   

x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))(1-\(\large{\frac{2}{10}}\))は、(原価)(数字)(数字)  → (原価)×(　)×(　)
→ 積でつながっていいる形  → 「元」が1つでそれがどのように変化するかというイメージを思い出すと理解が深くなりますね

利益率とは

一次方程式の文章問題で出てくる値上げ方向を、
ここでは「値上げ率」と言わせていただきますね。

この「値上げ率」と
実社会経済で使われる「利益率」は別物です！

例えば、
仕入れ値1000円、売値1250円の商品の利益は250円ですね。

では、「値上げ率」はいくらでしょうか、計算式は、

対象(利益)÷仕入れ値 ＝ (1250－1000)÷1000＝ 250÷1000＝0.25

「0.25」＝25％、　値上げ率は 25％ ということになりますね。(仕入れ値に対する利益)

対して、「利益率」の計算式は、

対象(利益)÷「売上(売値)」＝(1250－1000)÷1250 ＝ 250÷1250 ＝ 0.2

「0.2」＝20％、　利益率は 20％ ということになります。(売値に対する利益)

そうです、なにをもって「全体」とするかが違うのです！

・値上げ率

・利益率

「値上げ率」の基準(全体)は、「仕入れ値」
「利益率」の基準(全体)は、「売値(売上)」 !!

利益率は１次方程式の、「～を値下げしました」というイメージ図と同じですね。

中学数学で「利益率は?」　という問題はないとは思いますが、
雑学として、「利益率」は、基準が「売値(売上)」 であるということを
知っていて損はないのかなと思います。

利益率はやりたい仕事の指標

全くの余談になりますが、・・・

「Aの商品は、一つ売ると250円の利益がある」
「Bの商品は、一つ売ると5万円の利益がある」

皆様はどちらの商品を扱いたいですか？
Bですよね～

ですが、仕入れ値が、
Aは1000円、Bが100万円だとしたら・・・

「Aは売値1250円・・・広く売れるかな」
「Bは売値105万円・・・そうそうは売れないかな」
と感じますね。

そして、「利益率」で表すと、
Aは、　250÷1250＝0.20　(利益率20％)
Bは、　  50000÷1050000＝0.048　(利益率4.8％)

なんだかAを扱った方がいいのかなという気がしてきましたね。
実社会ではどうなんでしょうね？

競争率とは

志望校の入試情報を調べると、「競争率(倍率)」という項目がありますね
倍率2.3など、一体どういう意味なのでしょうか

「入試倍率」も割合の話ですので、使えるものは

だけですね

そして、比べるものは、「受験者数 (志願者数)」と「合格者数 (定員)」だけですね
たとえば、定員280人の高校に、476人の志願があれば、

・競争率(倍率) ＝ \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{受験者}{合格者数}}\)  = \(\large{\frac{476}{280}}\)  = 1.7 (倍)

競争率での「対象」は、私たち「受験者」ですね
「受験者の割合(合格者に対する) 」ですね！

・合格者率 ＝ \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{合格者数}{受験者数}}\)  = \(\large{\frac{280}{476}}\)  = 0.59

合格者率での「対象」は、当然「合格者」ですね
「(受験者に対する) 合格者の割合」ですね！

道路標識の「勾配」「％」の意味

10％とは「何の割合？」「坂の角度が10°ということ？」と、
なんとなくイメージが定かではないですね。

この「10％」とは、
こんな感じです。

「高さ (標高)」÷「 底辺 (地図上の距離)」
「角度」も「斜辺 (実走行距離)」も使わないのです！

中学3年生は、上の三角形の斜辺の長さを求めることができますね。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)ですね
「斜辺」＝\(\small{\sqrt{(底辺)^2+(高さ)^2}}\) ですね、
＝\(\small{\sqrt{10000+100}}\)＝\(\small{\sqrt{10100}}\)  ＝10\(\small{\sqrt{101}}\)  ＝10×約10.045  ＝約100.45m
10％の坂道では「地図上の距離(底辺)」と「実走行距離(斜辺)」は大差・・・ないですね…
ということは、
「10％は、大体100m強走れば、10m上がっている」 で十分ですね！
これは、実社会の話ですので、
中学生の数学では、 きちんと「計算」してくださいね！
また、実社会が「適当」であると言っている訳でもないのであしからずです。

また、上の図で角度を求めるとなると至難の業(わざ)ですね！
Excel関数を使えば一発ですので、興味のある方は試してくださいね。
関数を記しておきます。

ということで、上図の角度は、およそ 5.71° でした

ちなみに、「100％の坂道」の角度は「45°」です。
「90°」ではないですよ～！  ( 1÷1＝1.00)

ということで、勾配の「％」とは、
分数表示にしたとき、
直角三角形の「底辺」に対する「高さ」の割合でした！！
勾配15％であれば → 0.15  → \(\large{\frac{15}{100}}\)
「100の距離があれば、15の高さがあるような直角三角形の角度」ですね

高校生なら、tanθ= \(\large{\frac{15}{100}}\) ですね、θ(シータ)＝整数となるのは数種類しかないですね。
整数にならないなら、tanθ のまま計算を続けますね。

πも整数にならないから、πのまま計算していきますね。
√も整数にならない部分は、√ のまま計算していきますね！

ちなみに、日本で一番きつい坂道は、
大阪府と奈良県の境にある「暗峠(くらがりとうげ)」の
最大斜度37％、 平均斜度20％です！
しかも歴(れっき)とした国道ですね(国道308号)！ すごい！！

割合のイメージ

例えば「30％」
30％ = 3割 = \(\large{\frac{30}{100}}\)  = \(\large{\frac{3}{10}}\)   = 0.3

「何を、どちらに、折り返すのか？」 ということですね

文章問題の出題傾向

公立高校入試において、1次方程式の文章問題は、
東日本では、あまり出ない、または出ても難易度が低い、
西日本では、よく出る、難易度もそこそこな感じがあります。

あくまで傾向でありますので、お住いの都道府県の入試過去問で
確認をお願いしますね。

難関私学では当然難関な文章問題が出題されています。

傾向があるとは言いましたが、
この１次方程式の文章問題は、「数学的思考法」を磨くには
もってこいの分野ですので、
できる限り多くの問題にあたることが望ましいかな、と思います。