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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 正の数・負の数 (2) 文字を用いた式 (3) 一元一次方程式 
 
方程式などの意味
  ・ 方程式」という名前の由来
等式の性質と方程式
  ・ 等式とは
  ・ 『等式の性質』
簡単な一元一次方程式の解法と活用
  ・ 方程式を解く道具 ①移項
  ・ 方程式を解く道具 ②本体の改造
  ・ 方程式を解く道具 ③全とっかえ
  ・ 方程式を解く道具 ④全符号かえ
  ・ 〇元〇次の意味
 ① 不等式
 ② 年齢 (文章問題)
 ③ 距離 (文章問題)
  ・ 「分」を「時間」に直す
  ・ 速さとは
  ・ 3つの速さ
  ・ 問題集の解答例と違っても…
  ・ 3つのうち2つが解れば残りも解る
 ④ 割合 (文章問題)
  ・ 百分率とは、歩合とは
  ・ 分子の方が大きい割合の意味
  1 食塩水」の問題
  2 値段」の問題
  ・ 利益率とは
  ・ 利益率で何を知る?
  ・ 競争率とは
  ・ 勾配の%とは
  ・ 割合のイメージ画像
 ⑤ その他文章問題
  ・ 文章問題の出題傾向

 

一元一次方程式

 

ア 方程式などの意味

 

方程式 (ほうていしき)」・・・何か言葉だけで威圧されてしまいますね。
ですが、構える必要は全くないです。
順を追って説明しますね

 

《 例 》
3x+2=8 という式があるとします。
等号(または不等号)の、左を「左辺」、右を「右辺」といいます。

 

 等式の各部名称と方程式

 

3x+2=8 は x=2のときだけ、式として成り立ちますね (代入してみて下さいね)
これは方程式です

 

対して、
x+2x=3x という式は、
x=1(→1+2=3)でも、x=2(→2+4=6)でも、x=3(→3+6=9)でも、
何でも成り立ちますね!
これは方程式ではありません!

 

簡単に言えば、「xを求めることができる等式が方程式」

 

そして、方程式の目的は、
「xの値(解)を求めたい! できれば簡単に!」それだけです!

 

 


余談

 

「方程式」という名前の由来

 

方・・・昔、「」とは「左右」という意味でした
程・・・どれ(ほど)か比べること

 

「方程式」・・・左右を比べる式」 だったようですね。

 

もう少し言葉を補足すれば、
「左右を比べて、未明な値(解)を求めるための式」といった感じでしょうか。

 

 

 

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イ 等式の性質と方程式

 

等式とは

 

左辺=右辺

 

 

のように「左辺」と「右辺」が「等号」の関係である式を「等式」といいます。
簡単に言えば、「=(イコール)で結ばれている式等式
ということは、「 <, >(不等号)で結ばれているいる式は不等式」ですね。

 

アの《 例 》の x+2x = 3x は「方程式」ではないですが「等式」ではありますね。

 

 

 〇 =
のように、「右辺」がないものは、「等式」ではなく、
今まで学習してきた「計算せよ!」ですね!
実際は、「計算せよ!」の問題では、「=(イコール)」は書かれていませんね!
自分で「=」を書き出します。

 

今後、難解な「計算せよ」を計算していると、
うっかりミスで、
つい自分の作り出した「=(イコール)以下」を
「等式の右辺と勘違いしてしまい、
両辺を、つい「2」で割ってみたりしてしまいます。
これができるのは等式・不等式だけですね!
なぜダメなのか・・・

 

ex) 「計算せよ」6+4 は?・・・
6+4=10  両辺を「2」で割ってしまうと 3+2=5 答え.5 
・・・違いますよね!
問題は、6+4 でしたよね。答えは10ですよね。

 

「計算せよ」は「等式」ではない!
ということを忘れないでくださいね!
「計算せよ」に「等式の性質」(後述)は、使ってはいけません~!

 

〇 = 0
左辺 右辺
右辺が「0 (ゼロ)」! これは「等式」ですね!

 

 

 

等式の性質

 

方程式を解く( xを求める) ためには、「等式の性質」を利用します。

 

例えば、赤のペットボトル(1本500g) を2本と、
青のペットボトル(同500g) を2本、
天秤にのせます。 つり合っていますね。

 

等式の例(天秤図)

 

 それぞれに、500の重りを足し(+)ます。 つり合っていますね。
 それぞれから、1本引き(-)ます。 つり合っていますね。
 それぞれを、2倍(×)します。 つり合っていますね。
 それぞれを、2で割り(÷)ます。 つり合っていますね。

 

 

これを文字で表すと「公式」になります

 


公式

等式の性質

 

 A=B ならば、

① A+c = B+c (同じものなら、両辺に足しても成り立つ)
A-c = B-c (同じものなら、両辺から引いても成り立つ)
A・c = B・c (同じものなら、両辺に掛けても成り立つ)
A÷c= B÷c (同じものでなら、両辺を割っても成り立つ)

 

 

となりますが、
実際、方程式を解くときは、①(両辺に+)と②(両辺に-)は「移項」(後述)でカバーしますので、
結局、使うものは、 「移項」だけとなっていきます!

 

 

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ウ 簡単な一元一次方程式の解法と活用

 

移項

 

例えば、次の等式の左辺を5だけにしたい場合

 

移項の正体
 (ここを0にできればよい)
5+3-3 = 8-3 (「等式の性質」を利用して、両辺に-3を足した)
5 = 5
ですが、これは
5+3=8 +3のを、-3にして右辺に動させたことと同じですね!
5  = 8-3 動 → 移項いこうですね!

 

 

マイナスも同様です
左辺を5だけにしたい場合

 

5-2 = 3
5-2+2 = 3+2 「等式の性質を」を利用して、両辺に2を足した
5 = 5
ですが、これは
5-2=3 -2のを、+2にして右辺に動させたことと同じですね!
5  = 3+2

 

 

それでは、上の例の「5」を「x」に置き換えて、
同様にできることを確認してみましょう

 

5+3=8
5  = 8-3                 
5  = 5

 

x+3=8
x  = 8-3                 
x  = 5


 

 

5-2=3
5  = 3+2                 
5  = 5

 

x-2=3
x  = 3+2                 
x  = 5


 

 

 

当然、右辺から左辺 に移項しても符号が変わります

 

まとめますと、

項(元)は、 = (イコール)をまたぐと符号が変わる

それだけです!

 

 

 

本体の改造

 

移項が終わったら、次は残った本体の「項自体の改造」ですね
「等式の性質」の 3, 4 を使います。

 

 

たとえば、

 

3・6=18 で左辺を「6」だけにしたいとします
「等式の性質」を使って、両辺を3で割る(=\(\large{\frac{1}{3}}\)を掛ける)だけですね!

 

等式の性質(×÷)

 

 6 = 6 ですね!

 

では、次に
\(\large{\frac{1}{2}}\)・6=3 の左辺を「6」だけにするには、
もう言うまでもないですか・・・・両辺に「2」を掛けるだけですね!

 

1/2×6×2=3×2の約分

 

 6=6ですね!

 

それでは、「6」を「x」に置き換えて
同様にできることを確認してみましょう

 

3×6=18            

 

 

3×x=18            

 

 


1/2×6=3            

 

 

1/2×x=3            


 

 

結局は、「どうすれば xの係数が『1』になるか」ということですね!

 

 

 

全とっかえ

 

言うまでもないとは思いますが、

 

3・2 = 6 は
6 = 3・2のように左辺と右辺を、まるまる入れ替えられますね。

 

 

 

全符号かえ

 

両辺に「-1」を掛けると、全ての項の符号が変わりますね
7×3 = 21
-1(7×3) = -1(21)
-(7×3) = -21

 

5+3 = 3×2+3-1
-1(5+3) = -1(3×2+3-1)
-(5+3) = -(3×2+3-1)

 

 

 


余談

 

項のイメージ

 

正の数・負の数の余談の「(カッコ)の意味」でお話しましたが、
もう一度!

 

●「×÷」でつながっている

 

 ×÷でつながる 

 

「元」は1つ
(「元」がどのように「変形」したのか
イメージ:横に大きくなって、次に縦に大きくなって、次は全体的に小さくなって・・・ )

 

例) 3 → 1×3
  xy → 1×x×y
  \(\large{\frac{1}{2}}\)xyz → 1÷2×x×y×z

 

 

 

●「+-」でつながっている

 

 +-でつながる 

 

「元」は 複数 ある
(「元」に「何がくっついてきたのか」
「何が引かれてしまったのか」 )

 

 例) 1+2
   x+y
   \(\large{\frac{1}{2}}\)+x+y+z

 

 

 

(  )で囲まれているということは、それで「一文字」です!
それで「元」です!
それで「項」と思ってよいです!

 

元=項
↑本来は計算した -(+11) = +(-11)→「-11」が項
-3+2+5-7-8の項

 

cf.
-6・2・3・2 のように「×÷」でつながっているものは、元々、「元」が一つ(=一つの項)、
(カッコ)で囲む必要がないということですね!

 

長くなってしまいましたが
一次方程式を解く「ツール」は結局、 

 

1. 移項
2.等式の性質3、4、 (項自体の改造)
3.全とっかえ 5=x+2 → x+2=5
4.全符号かえ -x-3=7 → -(-x-3)=-(7)

 

だけですね!

 

では、「方程式を解いていきましょう」

 

 

左辺を「x」だけにする作業です

 

 


余談

 

〇元〇次の意味 (次数)

 

〇元 … 使われている文字の種類数
一元 → 1種類
〇次 … 文字どうしの掛け合わせ数
一次 → かけ合わせがなく、最高1乗

 

《 例 》

x+y=0→ 二元一次
3(x+1)=9→ 一元一次
xy=6→ 二元二次
a2+2a2b+b2=0 → 二元三次
x2+2x+1=0→ 一元二次
abc=3→ 三元三次

 

 

「~元」は気にしてもあまり意味がないので、よく省略されますね

 

 

 

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① 不等式

 

不等式の解を求めることも、ほぼ、一次方程式を解く方法と同じですね。
違う点は、

 

3. 全とっかえ をすると当然、不等号の向きもそれに伴う向きになりますね

 5>x+1 → x+1<5

 

4. 全符号かえ(両辺にそれぞれ  -1を掛ける) をすると、
「不等号」の向きが変わる 

 -x>6
  ↓
 x<-6
それだけです!

 

1.の移項 2.の本体自体の改造
 は一次方程式と全く同様に使えますね!

 

 

 

 

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② 年齢

 

《 例 》
現在母の年齢は39歳、子は15歳、母の年齢が子の年齢の3倍であったのは何年前でしょうか。

 

① イメージするために簡単な図を描きましょう

 

例題の図 

 

② 何を xと置くと楽か 図を見ながら考えましょう。
(これをxとしなければならない、ということはありません。
答えと理論が正しければ 〇です。)

 

おおよそ、「求めよ」といわれているものが「x」になりますね
「何年前の「何」がxかな」
「2人の「x年前の「年齢」」が3倍の関係か・・・」

 

③ 母のx年前の年齢  …(39-x)歳

子のx年前の年齢  …(15-x)歳

 

④ 「2つの年齢が3倍の関係か・・・」ということは

子の方を3倍にすれば「=」の関係になるということか
36-x=3(15-x) かな、

 

もちろん、母の年齢を\(\large{\frac{1}{3}}\)倍すれば「=」の関係か・・・でもOKです
\(\large{\frac{1}{3}}\)(39-x)=15-x でもよいですね

 

とりあえず解いてみると・・・x=3

 

⑤ 確認作業、xに3を代入してみると
・母 39-3=36歳
・子 15-3=12歳
ちゃんと3倍の関係になってる!
 A.  3年前

 

 

 

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③ 距離

 

《 例 》
Aさんは2300mはなれた公園にいくのに、はじめは毎時4.2kmの速さで歩き、
途中から毎時9kmの速さで走ったら、26分かかりました。
このときAさんが歩いたのは何分間でしょうか。

 

① 前提として、
距離、時間、速さ の関係が頭に浮くようにしましょう

 

 マル図

 

ですね。数学の基本は
3つのうち、2つが解れば、残りの1つは求まる」ですね。
距離=速さ×時間、  時間=距離÷速さ、  速さ = 距離÷時間
と個別に憶える必要はありませんね。

 

「距離」「時間」「速さ」の3単語を憶えて、
1番大きいもの(マル図でいえば上)は距離」と憶えると楽ですね。

 

・ (だいたい掛けると大きいものが出るから、) 小2つを掛けると大(距離)
大(距離)を小(時間)で割ると、もう一方の小(速さ)
大(距離)を小(速さ)で割ると、もう一方の小(時間)

 が求まるという図です

 

イメージできるまでは、毎回、〇図(マル図)を書きましょう
(もちろん、問題をたくさん解いているうちに、

 

距離=速さ×時間、  時間=距離÷速さ、  速さ = 距離÷時間

 

対象 = 割合×全体、  全体 = 対象÷割合、  割合 = 対象÷全体

 

と個別にも憶えてしまいますね)

 

 

簡単な図 を描きましょう

 

「分」と「時(毎時)」、「km」と「m」が混ざっているので、
楽な方に統一しながら・・・

 

(大体、中学では 「mと分」「kmと時間」がセットですね)

 

再度、問題文です

Aさんは2300mはなれた公園にいくのに、はじめは毎時4.2kmの速さで歩き、途中から毎時9kmの速さで走ったら、26分かかりました。
このときAさんが歩いたのは何分間でしょうか。

 

・4.2km/1時 = 4200m/60分  = 70m/分
・9km/1時 = 9000m/60分  = 150m/分

 

図を書く

 

 

 何を x と置くと楽か図を見ながら考えましょう。

70m/分で歩いた時間かな・・・x分間 ( 図にどんどん書き足しましょう)

 

「150m/分で歩いた時間」もわからないな・・・y分間とするか・・・
でもいいのですが、これは2年生の「連立方程式」ですね!
ちなみに 
\(\small{\begin{cases}
x+y=26 (時間) \\
70x+150y=2300 (距離)
\end{cases}}\) 
ですね、
少し整理して
→ \(\small{\begin{cases}
y=26-x \\
7x+15y=230
\end{cases}}\)

 

→ 7x+15y = 230 の式に y=26-x を代入して
xだけの式にします → 7x+15(26-x) = 230 → x=20   A. 20分

 

戻って、ここに、「150m/分で歩いた時間」のヒントがありますね!
そうです y=26-x の右辺です。yの正体は26-x 「全体-x」だったのですね。
yを使わなくても、xだけで表すことができるということですね。

 

26-xの残りは?
・?を「y」とおく    → 連立方程式 (2年)
・?を「26-x」とおく    → 一次方程式


 

 式を立ててみる (習っていない技は定期テストでは使ってはいけないので)

連立方程式ではなく、一次方程式の式をたてる

 

● 時間+時間 = 全時間
x+(26-x)=0 → 26=0  → xを求められない → 方程式ではない

 

では、
● 距離+距離=全距離
→ 速さ・時間+速さ・時間=全距離
→ 70・x+150・(26-x)=2300 → 70x+150(26-x)=2300
 ∴ x=20  A. 20分間

 

 

問題集の解答だとおそらく、
\(\large{\frac{4200}{60}}\)x+\(\large{\frac{9000}{60}}\)(26-x)=2300

 

だと思いますが

これは、

km/時 を m/分 になおす
② 式を立てる


を同時に処理していますね

 

ですが 段階的に処理しても大丈夫です。
入試では答えが合っていればいいのですから。
定期テストでは「考え方」と「答え」が合っていればいいのですから!

 

 


余談

 

「分」を「時間」になおす

 

例えば「5分」は「\(\large{\frac{5}{60}}\) 時間」ですね

 

どうして 「分」を「時間」にするには「60」で割るの?
という、素朴な疑問の回答として・・・

 

まずは 「60で割る」というフレーズを忘れていただいて、

 

⇒ 「1分」=「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間」ということは、なにかイメージできますね

 

1分のイメージ

 

→ 1時間には60の目盛りがある
→ 1目盛り
 \(\large{\frac{1}{60}}\)は、1分である
→ 15分なら \(\large{\frac{1}{60}}\)×15  = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間

 

これだけですね
結果、「\(\Large{\frac{}{60}}\) 」が「60で割っている」形と見えるだけ


∴ 「60で割る」 というより「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間を何個使うか」というイメージが楽ですね

 

「分」はその数字に \(\Large{\frac{}{60}}\) を付ければ  「時間」になる

 

数学では「分数のまま」が計算しやすいですね(小数にする必要はないですね)
「実社会」は小数表記が多いですが、代表的な小数だけ憶えていれば十分ですね

 

1/4と1/2と3/4のイメージ図

 

0.25時間 = \(\large{\frac{1}{4}}\)時間   = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間  = 15分
0.5時間 = \(\large{\frac{1}{2}}\)時間   = \(\large{\frac{30}{60}}\)時間   = 30分
0.75時間 = \(\large{\frac{3}{4}}\)時間  = \(\large{\frac{45}{60}}\)時間  = 45分

 

 

 


余談

 

速さとは

 

200kmを4時間で行った時の速さは?

 

200kmを4時間で行くような速さ !! でも〇なのですが、

 

4時間速200km!    3時間速120km
0.5時間速50km! 

 

「早いのか、遅いのか」イメージできませんね!

 

「距離」には「定規」、「時間」には「時計」があって、イメージできますが、
「速さ」自体には基準がないから、イメージできないですね。

 

そこで、
1時間あたりに進む距離 を速さ」(1時間速→時速)
1分間あたりに進む距離 を速さ」(1分間速→分速)
など
「時間」あたりの「距離」を「速さ」
と基準づけたのです。
 マル図

 

そして、「速さ」と言ってもただの「割合」であることには間違いないので、
それが、「早いのか」「遅いのか」を
「イメージしたもの」が本当の意味の「速さ(スピード感)」ですね。
「イメージ」ということは、「経験」を重ねていくしかないのでしょうね。
動く点を紙に書いて表現することはできないですものね。

 

小さなお子様に、
はるか上空のジェット機を指して、
「早いね~」と言っても
経験がない分、「遅い!」と言うかもしれませんね。

 

ちなみに、電車の運転士さんは、
スピードメーターを見なくても、流れる景色から
「現在、時速67km!」とか、わかるらしいです。
「絶対音感」ならぬ、「絶対スピード感」ですね!

 

長くなりましたが、
もしかしたら、昔の人が
「速さ」=「時間」÷「距離」と基準づけしていたら
「1kmあたり〇時間かかるような速さ」(1km間速)
となっていたかもしれませんね!
「慣れ」ってすごいですね!

 

「大谷選手出たー! 160km(/時)!」
「大谷選手出たー! 22.5秒(/km)!」
なんてね。

 

 


余談

 

3つの速さ

 

中学数学の方程式では、3種類の「速さ」がありますね

 

①「(絶対)速さ

 

例えば、60km離れた地点に、1時間で行けたら・・・
誰が見ても「絶対的に」
「速さ」= 60÷1  = 60km/時ですね

 

60km/1時間のイメージ

 

最もポピュラーな「速さ」ですね

-絶対速さ-

両地点が 動かない (基準がある)
他の力が 影響しない (自分の実力のみ)

 

 

 

②「乗っかる速さ」 (親中用語)

 

例えば、流速30km/時の川で
60km離れた下流地点に、1時間で行けたら

 

30km/h+30km/hのイメージ図

 

「速さ」= 60÷1  = 60km/時ですが
内訳は
・川の速さ 30km/時
・ボートの速さ 30km/時 ( 実力 )

 

ボートの「乗っかる速さ」 = 川の「速さ」+ボートの「速さ」= 60km/時ということですね
乗っかる速さ=本体の速さ±足元の速さ =実力±x

-乗っかる速さ-

両地点が動かない (基準がある)
他の力が影響する (自分の実力±足元の速さ)

逆に、上流に向かう場合は 30km/時-30km/時 = 0km/時
ルームランナーのようにその場にとどまっていますね

 

ex) エスカレーター、動く歩道を歩く人
 電車の中を歩く人
 気流の中の飛行機

 

 

 

③ 「相対速さ」 (親中用語)

 

例えば、「宇宙空間で」「周りに星がない(基準がない)」空間で
星Aと60km離れた星Bが 1時間後に衝突しました

 

星と星が1時間後に衝突するイメージ図

 

Aの速さは? と言われても…

 

Bが止まっているなら Aは右に60km/時
Aが止まっているなら、Bが左に60km/時
Bが左に30km/時なら、Aは右に30km/時
Bが右に30km/時なら、Aは右に90km/時 ・・・

 

∴ Aの速さは、Bを「止めて」考えるのがよいですね

 Aの「相対速さ」 = Aの速さ±Bの速さ
 Aが進んだ距離+Bが進んだ距離=60km

(同方向なら、Aが進んだ距離-Bが進んだ距離=60

 Aの動いた時間 = 1時間 (Bの速さがなんであれ)

 

-相対速さ-

両地点が動く (基準がない)
他の力が影響する (自分の速さ±相手の速さ)

 

ex) 電車に抜かれる人、すれ違う人

 

方程式の問題では、
「衝突する」「出会う」「追いつく」『地点』までの
「距離」「時間」がわからないことが多いですね
(それぞれの「速さ」「2つの間の距離」はわかっている問題が多い)ので
立てる式は・・・

「全距離 = A距離+B距離」→「全距離=A速さ・x時間+B速さ・x時間」
「A距離 = B距離」→「A速さ・x時間 = B速さ・x時間」など

距離」を基本に式を立てることが多いですね
(「出会う地点までの距離か時間がわかっていれば、方程式など立てなくても普通の計算問題ですものね)

 

直線での途中時間と途中位置 円周上での途中時間と途中位置

 

 

 


余談

 

問題集の解答例

 

どのような数学の問題集の解答も「解答」です。
あくまで「例」です。

 

最後の答えだけは「唯一無二」ですが・・・

 

途中の計算式は、違っていて当然ですね。
答えにたどり着くまでのアプローチはたくさんありますので、

 

自分のアプローチと解答例が違っていても
「自分の解き方はダメだ」と、思わないで下さいね!
「良い解き方」を探している段階なのですから!

 

逆に、「この問題集はダメだ」とも思わずにいてくださいね。
「この解答例は、どういう考え方なのか」を追求することも、
とても勉強になります。

 

人と人との付き合いも全く同様ですね!

 

 


余談

 

数学の大原則

 

数学では、「3つのうち2つが解れば、残りの1つは必ずわかる」ですね!

 

x+y=z 、xy=z 、三角形の3内角マル図の3関係などなど

 

・x、y が解れば → 残りの zが解る
・x、z が解れば → 残りの yが解る
・y、z が解れば → 残りの xが解る

 

「4つなら3つ解れば、残りの1つは必ずわかりますね!」

 

 

マル図の延長

 

に派生していきますね!

 

 

 

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④ 割合

割合とは

 

割合とは・・・一言で言うと・・・

 

分母の数に対する 分子の数』です ただそれだけです!

 

例えば、

 

● 40人クラスに 鈴木さんが2人 『(クラスに対する) 鈴木さんの割合は?

 

答.
鈴木さんの(クラスに対する)割合は\(\Large{\frac{2人}{40人}}\) 鈴木さんの割合

 

これだけです!
日本語で言うと、全40人につき(分母)、2人が鈴木さん(分子)

 

分数の意味>

 

 

 

● 200の食塩水に 食塩が20g『(食塩水に対する) 食塩の割合は?=『食塩水の濃度は?』
答.
食塩の(食塩水に対する)割合(=濃度)は…\(\Large{\frac{20g}{200g}}\) 濃度10%のイメージ

 

これだけです!
日本語で言うと、全200につき(分母)、20gが食塩(分子)

 

 

 

 

● 定価1000円に 値引き額が200円 『(定価に対する) 値引き額の割合は?

 

答え.
値引き額の(定価に対する)割合は\(\Large{\frac{200円}{1000円}}\) 値引き額の割合

 

これだけです
日本語で言うと、全1000円につき(分母)、200円が値引き額(分子)

 

 

 

 

● 昨日の来場者2000人に 今日は20人減少 『(昨日に対する) 減少者の割合は?

 

答え.
減少者の(昨日に対する)割合(=減少率)\(\Large{\frac{20人}{2000人}}\) 減少者の割合

 

これだけです
日本語で言うと、全2000につき(分母)、20人が減少数(分子)

 

 

 

 

● 100mの横に対し、50mの高さ 『(横に対する) 高さの割合は?』

 

答え.
高さの(横に対する)割合(=傾き)\(\Large{\frac{50 m}{100 m}}\) 高さの割合

 

これだけです
日本語で言うと、100mにつき(分母)、50mの高さ(分子)

 

→ 「比例定数」「変化の割合」「傾き」「勾配」のことですね
それぞれ名前は違いますが、全て『高さの割合』ということですね

 

 

 

 

● 2時間で100km  『(時間に対する) 距離の割合は?

 

距離の(時間に対する)割合(=速さ)\(\Large{\frac{100km}{2時間}}\) 距離の割合>

 

これだけです!
日本語で言うと、2時間につき(分母)、100kmの距離(分子)

 

(「単位」どうしが約分できないものは「km/時間」などが残りますね
km/分」「m/分」「人/日」「点/人」などなど たくさんありますね!

 

 

 

 

● 全体の数に対し これだけの対象の数 『(全体に対する) 対象の割合は?』

 

答え.
対象の(全体に対する)割合は… \(\Large{\frac{対象}{全体}}\) 対象の割合

 

これだけです!
日本語で言うと、全体の数につき(分母)、これだけの対象の数(分子)

 

 

 

 

主役を分子にもって来るだけですね!
「割合」はただこれだけです!

 

分数」にするだけで「につき」「ごとに」などの割合になります!

 

 

 

・・・ですが、 『約分』できるものがありますね

 

鈴木さんの割合 \(\large{\frac{2人}{40人}}\)などは、\(\large{\frac{1人}{20人}}\)
日本語で言うと、20人につき(分母)、1人が鈴木さん(分子)

 

逆約分 (造語です)」すれば、80人につき4人が鈴木さん、160人につき8人が鈴木さん…ですね

 

 

 

「割合といえば…『0.03.』とか『3割3分』とか『30%』とかではないの?」
 → 上の例もちゃんと 全く同じことを言っているのです

 

 

ex)
200gの食塩水中に 食塩が20g 濃度(塩の割合)は?

 

基準をずらすだけのイメージ図

 

確かにどれも「 = 」ですね、(少数まで計算すればどれも「0.1=10%」)

 

「数学」ではどれも「割合」ですが
「世間一般の割合」は『分母が1化』されたものを「割合」と言いますね

 

→「1化」されて「単位も約分」できたものは「百分率 (%)」や「歩合 (割、分、厘)」で表現することがゆるされますね

 

「濃度0.1」 = 「濃度10%」 = 「濃度1割」

 

 

ここまでくると 従来の
割合 = 「対象」を「全体」で「割る」という意味もわかりましたね

 

例えば\(\large{\frac{20}{200}}\) で分母を1化するためには分母を200で割りますね、 当然分子も200で割らなければいけませんね  \(\large{\frac{20÷200}{200÷200}}\) = \(\large{\frac{0.1}{1}}\)

 

(結果「分子」も「分母と同じ数」で割る → 「分子」を「分母」で割る → 「対象」を「全体」で「割る」
ということにつながりますね 「本来は分母を「1」にするのが目的」だった)

 

● 割合 = 全体(分母)の1化 → 結果、「対象÷全体

 

 

では、どうして分数のままでも「割合」なのに、
「約分」を通り越して わざわざ「分母の1化 (以後1化)」までするのでしょうか?

 

答えは2つですね

 

理由1.イメージしやすいから」 → 「%」「何割何分何厘」が使える

 

ex)
果汁30%の350ccの缶ジュースを持って「これの30%が天然果汁か」

 

果汁割合

 

「30%かぁ これくらいかな(イメージしやすい)」
「\(\large{\frac{105cc}{350cc}}\) よりイメージしやすいですね」

 

 

・100円硬貨(4.8g)の金属含有率「ニッケルは1.2g」も1化すると・・・
「 ニッケル0.25(25%)、銅0.75(75%)」

 

 100円硬貨のニッケル含有率

 

「100円硬貨のイチカ」 (右の赤部分がニッケル、左が銅)
リアル:「100円硬貨(4.8g)は、1.2gがニッケル」
1化後:「100円硬貨の25%はニッケル」

 

 

・閉店間際の処分価格弁当(500円)の 「半額(= 50%引き)シール」

 

半額弁当のイメージ図

 

「500円弁当のイチカ」
リアル:「500円弁当が、250円値引」
1化後:「500円弁当が、50%引き(半額)」なぜかお得なイメージ

 

これは、心理学的なことで数学の話ではなかったですね。
ちなみに「車」のような高価なものは、「1化」表示しない方がお得感がありますね
「この200万円の車、1割引きしますよ!」
「この200万円の車、20万円値引きしますよ!」「20万も!」

 

 

 

理由2.暗算しやすいから

 

 基準を1にして計算を楽にする

 

→ 1化していると暗算しやすいですね

 

「10% = 0.1 = \(\large{\frac{1}{10}}\) =\(\large{\frac{0.1}{1}}\)=\(\large{\frac{②塩は 0.1g}{①食塩水 1gにつき}}\) という「基準(お墨付き)」を得た!」ので

 

食塩水1000gなら…分母が1000倍、 分子も1000倍 → 結果0.1×1000= 100g!」
食塩水5gなら…結果0.1×5 =0.5gが塩!」
食塩水12gなら…結果0.1×12 =4.2gが塩!」

 

 

 

「暗算」しやすいですね、
ですが「計算」は「分数のまま」の方が全然楽ですね

 

ex)
306gの水に塩を54g混ぜた食塩水を120gと190gに分けたとき、
120gの方には塩が何g含まれているか?

 

分数のまま計算をする方が楽という証明
(分数のまま) 54/360×120 = \(\large{\frac{54}{3}}\) = 18 (g)

 

1化より楽ですね! 約分はどれとしてもよい!のですから

 

よって
数学の割合の計算では分数表記で慣れていきましょうね
文字式をつくるときも分数表記になってしまいますので!

 

ex)
水agに 塩bg を混ぜた時の濃度は何%?

→ 濃度=塩の割合 =\(\large{\frac{対象}{全体}}\) =\(\large{\frac{塩}{食塩水}}\) =\(\large{\frac{b}{a+b}}\) → (%表示指定より)  → \(\large{\frac{100b}{a+b}}\) (%)
(\(\large{\frac{b}{a+b}}\)は、少数にしようがないですものね)

 

 

他方、「マル図」の
「対象」「全体」「割合」の3つの関係は当然といえば当然ですね

マル図   

 

1 = 3×\(\large{\frac{1}{3}}\)
3 = 1÷\(\large{\frac{1}{3}}\)
\(\large{\frac{1}{3}}\) = 1÷3


 

当たり前の関係ですね

 

マル図

 

対象 = 全体×割合
全体 = 対象÷割合 = \(\large{\frac{対象}{割合}}\)
割合 = 対象÷全体 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)


 

当たり前の関係と思うようになっていきますね

 


  まとめ  

「割合」とは 『分母の数に対する 分子の数

(分数にしただけで 『分母につき分子』 の意味になる)
 

 世間一般の割合は 『分母を1化までしたもの』
 
 1化の方法は 「分母」「分子」ともに「分母と同じ数(文字)で割る

(結果「分子」÷「分母」)
 

「イメージ」と「暗算」は『1化』が有利

 「計算」は『分数のまま』が有利
 

◎  

本来の図

本来の図


 

 

 

 

それでは、問題を解く上での簡単な「割合」の略図の書き方です

 

ex)
1000人中、左利き100人の割合は?

 

図の書き方

図の書き方

2本書きます、(「相似」の関係ではありますが、見やすさを優先して同じ長さでOKです)

 

マル図  

 

100人(対象)÷1000人(全体)で、\(\large{\frac{1}{10}}\)(割合)が出ますね
100人(対象)÷\(\large{\frac{1}{10}}\)(割合)で、1000人(全体)が出ますね
1000人(全体)×\(\large{\frac{1}{10}}\)(割合)で、100人(対象)が対象が出ますね

 

(もちろん \(\large{\frac{1}{10}}\) は 0.1 でもOKです)

 

 

そして、大事なことが隠されていますね、 「裏対象 (造語)」「裏割合 (造語)」です!
スポットの当たっていない側の「対象」「割合」ですね

 

裏対象、裏割合

裏対象、裏割合

 

 割合のマル図

 

表対象同様に

900人(裏対象)÷1000人(全体)で、0.9(裏割合)が出ますね。または(1-0.1(表割合))
900人(裏対象)÷0.9(裏割合)で、1000人(全体)が出ますね
1000人(全体)×0.9(裏小数)で、900人(裏対象)が出ますね。または(1000-100(表対象) )

 

 そうです、「右利き」です。食塩水でいえば「水」です
 そして、ひっかけは・・・

 

対象と割合がずれている例

対象と割合がずれている例

 

のように、「対象」と「割合」が対応していない場合です。
「表対象」からは「表割合」、「裏対象」からは「裏割合」しか出ないですね!

 

 

 

 

あと、従来の勘違いしやすいところをはっきりさせておきましょうね
例えば、『濃度1%の食塩水』とは、どのようなイメージなのでしょうか?

 

99:1の升目

 

①の式 = \(\large{\frac{1}{99+1}}\) = \(\large{\frac{1}{100}}\) = 0.01

 

1% ですね

 

そして、勘違いしやすいイメージがこれですね!

 

100:1の升目

 

②の式 = \(\large{\frac{1}{100+1}}\) = \(\large{\frac{1}{101}}\) = 0.0099…

 

0.99…%ですね!

 

「全体」というからには「対象」も含んで「全体」です!
「対象」は「全体」の中にいます!

 

ちなみに、
②の食塩水を1化したイメージ図は

 

 0.99%の升目

 

 

 

 

 

百分率(%)、歩合(割、分、厘)

 

割合は「対象」の方が「全体」より少なければ
必ず、0~1 の中にありますから必ず「小数や分数」になりますね

 

では、どうして、「0.△△」や「\(\large{\frac{△△}{100}}\)を、100分率()や 歩合( _割り_分(ぶ)_厘(りん))
になおすのでしょうか。

 

⇒ 言葉にしたときに、「割合~と言わなくても、『割合』の話だなと分かる」
「イメージもしやすい」からですね

 

「割合 0.05の食塩水を作ってください」
 ↓
「5%の食塩水を作ってください」
 
 
「割合0.32のバッター」
 ↓
「3割2分のバッター」

 


  (確認)  

(計算時に使う)
「割合」→ \(\large{\frac{3642}{10000}}\)  または 0.3642 ⇒ 「数値」だ!

 

(表現時に使う)

%は、「1化」ならぬ「100化」ですね → 36.42% ⇒「言葉」だ!
割分厘毛は、「イチカの位別の読み方」みたいなものでしょうか  → 3割6分4厘2毛 ⇒ 「言葉」だ!

 

割合が、なんとなくややこしくなる理由の一つは、
これらの「表現方法」(%や、~割)を、
計算途中では「分数、小数」になおすからだと思います。
ですから、完全分離させてくださいね

 

 計算のときは、分数または小数しか使ってはいけない

 

・ 20%は → \(\large{\frac{20}{100}}\) や \(\large{\frac{2}{10}}\) や 0.2になおす

 

 最後の答えだけ、問題にあった表現方法「%」や「割分厘毛」で表現する

 

・ 0.2は → 0.2×100 = 20% と表現できる
・ \(\large{\frac{a}{a+b}}\) → \(\large{\frac{a}{a+b}}\)×100 で \(\large{\frac{100a}{a+b}}\)%

 

 

 

というわけで、割合の問題で使う道具(公式)は、やはり

 

  割合マル図

 

だけになりますね!
あとは、どのように使うかという「考え方」ということで、
これ以上「公式化」する必要はないと思います。
「公式化」すればするほどややこしくなる分野と思います。

 

 

 


ポイント

 

分子の方が大きい割合の意味

 

《 例 》
クラスの全体は40人、鈴木さんという苗字が2名の場合

 

● 鈴木さん(=対象)の、(クラス40人に対する)「割合」は?

 

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{2}{40}}\) = \(\large{\frac{0.05}{1}}\)  A. 5%

 

 

● では、逆にしてみた場合の、\(\large{\frac{40}{2}}\) とは、
どんな意味になるのでしょうか

 

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\)

 

クラス(=対象)は鈴木さんの「20倍」という
小学算数のイメージ通りですが、
「20倍」=「2000%」とすれば、
ちゃんと「割合」の話ということがわかりますね

 

⇒ クラス40人(=対象)の、(鈴木さん2人に対する)「割合」
割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\)  A. 2000%

 

 

 

 

 

 

1. 食塩水

 

まずは、小学生の復習です。

 

「濃度」とは、「塩」の(食塩水に対する)割合ですね
(食塩水 = 水+塩 = 全体)

 

割合のマル図塩のマル図塩のマル図(簡易版)

 

・ 濃度 = \(\large{\frac{塩}{全体}}\)
・ 塩 = 全体×濃度(割合)
・ 全体 = \(\large{\frac{塩}{割合}}\)

 

3つのうち、2つがわかれば、残りの1つは求まるという基本ですね

 

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》
6%の食塩水150gに、水を加えて2%にしたい、水を何g足せばよいでしょう。

 

① 簡単な図を描いて、正体を明らかにしましょう
A図
例題問題食塩水濃度右矢印  水と塩の内訳

 

B図
グラフでのイメージ右矢印水と塩の内訳

 

図は自分の解りやすいもの選んでくださいね(親子中学では今後、食塩水ではA図でいきます)

 

③ 水を加えて2%にしたい → 式を考えましょう
「塩の量は変わらず9gかぁ」「割合を\(\large{\frac{2}{100}}\)かぁ」「加える水をxとして」
→ 9÷全=\(\large{\frac{2}{100}}\)  → 9÷(150+x) = \(\large{\frac{2}{100}}\) 「水の量141gはいらなかったのかぁ」
(水単体の量を求めることは、ほぼありません)

 

cf. 式を「1本で立て」たいなら・・・
③の式で、自分で先に求めた値を式に戻しましょう

塩9gは150×\(\large{\frac{6}{100}}\)で求めましたね。9を  「150×\(\large{\frac{6}{100}}\)」に戻すだけですね
\(\large{\frac{\color{red}{9}}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\) → \(\large{\frac{\color{red}{150×0.06}}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\)

 

●模擬試験や入試 → 答えだけでいいので、  9÷(150+x)=\(\large{\frac{2}{100}}\)を解きましょう
\(\large{\frac{9}{150+x}}\)=\(\large{\frac{2}{100}}\) → 両辺に   (150+x)(100)を掛けて (分数方程式求め方)、例題問題食塩水濃度2  → 900=2(150+x) → 両辺を2で割って   450=150+x   A. 300g

 

 

《 例 》
3%の食塩水40gと12%の食塩水50gがあります。それぞれの食塩水からxの水を蒸発させて、両方の食塩水を1つに混ぜ合わせると10%の食塩水ができました。xを求めましょう。

 

(注:塩は蒸発しません、「蒸発」は水だけを減らしたい時によく使われます)

 

① 簡単な図をかいて ②マル図の計算で出るところを書き込んで

 

塩マル図
塩1.2g水38.8g-x+塩6g水44g-x=塩7.2g水82.8g-2x

 

② 方程式式を考えましょう
出来上がった食塩水の濃度 0.1 = \(\large{\frac{塩}{全}}\)  → \(\large{\frac{1.2+6}{40+50-2x}}\)=\(\large{\frac{10}{100}}\)

 

●「1本式」なら → 40×0.03+50×0.12/40+50-2x=10/100

 

●模擬テストや入試 → xの値を求めるだけ → 1本式不要

\(\large{\frac{1.2+6}{40+50-2x}}\)=\(\large{\frac{10}{100}}\) → \(\large{\frac{7.2}{90-2x}}\)=\(\large{\frac{1}{10}}\) → 両辺に(90-2x)(10)を掛けて、7.2(90-2x)(10)/90-2x=(90-2x)(10)/10の約分
→ 72=90-2x → 2x=18  A. x=9

 

 


  食塩水の問題のコツ  

1. 移り変わりのイメージ図を書く
2.塩、全体、濃度の3つで  ある作用を加えたとき、変化するもの、しないものを判別できるように
3.変化するものは、書き換え、または再計算
4.式が複雑になってきても焦らない!

 ですね!!

 

 

 

 

2. 値段、原価、売値、利益(率)

 

値段問題も「割合」の問題ですから、
使える道具はただ一つ

 

 マル図

 

だけですね


では、
「仕入れ値」「定価」「原価」、
「売値」「損害額」「値引き額」「値上げ額」「定価」「利益」
「値引き前の価格」「利益を見込んだ価格」
「値上げ率」「値下げ率」「利益率」「損害率」

 

などなど、何かたくさんの言葉が出てくる分野ですが、
これらは、マル図のどこに当てはまるのでしょうか・・・

 

…実は、かたくなに当てはめようとしてはいけないのです!
マル図のマスは3つ、ということは、3つしか何かが求まらないのです!
(付随的に、裏対象、裏割合が求まりますが)

 

価格問題では、この「裏対象」「裏割合」がけっこう重要になります。
『食塩水』では、表対象が「塩」、裏対象は「水」と決まってましたね、
『価格』では、表対象が  「値引き額・値上げ額」、裏対象は  「売値系」になります。

 

 

例えば、
「1000円の商品を3割引きした『商品価格』は?」
表対象の「値引き額(3割の金額) は?」ではなく、
聞かれているものは「裏対象の売値(3割引きしたあとの値段)」ですね
(1000gの食塩水で濃度30%のとき、『水の量』は?みたいな感じですね)

 

実際と割合の関係イメージ

 

 割合のマル図

 

マル図の公式は、
「表割合」からは「表対象」しか
求められなかったですね
ずれていてはいけないのです。
ということは、2ステップ必要ということになりますね。

 

 ずれている場合は2ステップ必要
① 表対象を求めてから、   全体-「表対象」  =「裏対象」

 

または
 他のステップ
② 裏割合を求めてから、   全体×「裏割合」  =「裏対象」

 

 

日本語なら

①は、「1000円」から「1000円の3割 300円」を引いた値段 → 700円
②は、「1000円の7割」の値段 → 700円

 

 


  cf. くくれば裏割合  

 

1000円の30%引きの値段は?
・ 全体-「表対象」=裏対象

 

 → 1000全体-(1000×\(\large{\frac{30}{100}}\))表対象
  =1000全体-\(\large{\frac{1000×30}{100}}\)表対象=700 円

 

ここで、左辺を「全体」である1000でくくると …

 → 1000全体-\(\large{\frac{1000×30}{100}}\)表対象1000全体(1-\(\large{\frac{30}{100}}\))
  =1000全体(\(\large{\frac{70}{100}}\))裏割合=700円
ということは、(1-\(\large{\frac{30}{100}}\))も裏割合だったということですね

 

くくると
 全体-「表対象」=裏対象が、
 勝手に 全体×「裏割合」=裏対象になる!(くくる とは)

 

 

 

1000円の x % 増しの値段は?
・全体+「表対象」=裏対象

 

 → 1000全体+(1000×\(\large{\frac{x}{100}}\))表対象
  =1000全体+\(\large{\frac{1000x}{100}}\)表対象

 

 「全体」である1000でくくると …

 → 1000表対象(1+\(\large{\frac{x}{100}}\))裏割合 円 ← 解答例でよく見る形ですね

 

x %引きの値段なら
 → 1000表対象(1-\(\large{\frac{x}{100}}\))裏割合 円 ← 解答例でよく見る形ですね

 

くくると
 全体+「表対象」=裏対象 が、
 値引き、値上げに関わらず
 勝手に 全体×「裏割合」=裏対象 になる!

 

⇒ 裏割合を表す、(1+\(\large{\frac{x}{100}}\)), (1-\(\large{\frac{x}{100}}\)) の表現方法には是非是非 慣れてしまってくださいね !!

 

 

 

 

そして、値段問題で もう一つの注意点が、
何をもって、「全体(1化)」としているのかが一定ではない ということです。
例えば、

 

1.「『仕入れ値』の2割の利益を見込んで『定価』をつけた」
2.「品薄なので『定価』の2割増しの『売値』にした」

 

上の2つは『定価』の使い方が全然違いますね!!

 

1. は
仕入れ値が基準

 

「仕入れ値」が「全体(1化)」!
「定価」は「裏対象」

 

2. は
定価が基準

 

「定価」が「全体(1化)」!
「値段」が「裏対象」

 

 

このように、問題文によって「定価」が、 マル図の「全体」であったりなかったり(裏対象)します。

 

かたくなに当てはめてはいけない理由が少し見えてきましたね!
そうです、問題文によって、何を基準に「1」としているのかが違うのです!

 

何が基準(全体)になっているかの判別方法は簡単です。

 

〇〇3割、○○20% などの、「の」の前○○が1化されている基準(全体)です!

 

価格問題は、問題の文脈に応じて、柔軟に対応しましょうね!

 

 

【まとめ】

 

値上げ、値下げのまとめ図

値上げ、値下げのまとめ図

 

 

まずは、小学生の復習です。

 

 

 

 

《 例 》
商品に原価の4割の利益を見込んで、定価をつけた。
この商品を定価の2割引きで売っても2640円の利益があります。
この商品の原価を求めましょう。

 

① 簡単な図を描きましょう
原価4割が・・・原価が「全体」で、4割が「表割合」かな

 

例題問題値段難問

例題問題値段難問

 

② 方程式を考えましょう

 

最終価格-原価=2640
 → 原価をxとすると

 

・ 定価 =原価の4割増 =x原価++(x×\(\large{\frac{4}{10}}\))原価の4割 =x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))裏割合 ←複雑な形ですがこれが定価!
・ 最終価格 =定価2割減 =x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))定 価(1-\(\large{\frac{2}{10}}\))裏割合 =x(\(\large{\frac{14}{10}}\))(\(\large{\frac{8}{10}}\)) =\(\large{\frac{x\ \cdot \ 14\ \cdot \ 8}{100}}\)

 


   cf.   

 

x(1+\(\large{\frac{4}{10}}\))(1-\(\large{\frac{2}{10}}\))は、(原価)(数字)(数字)  → (原価)×( )×( )
→ 積でつながっていいる形  → 「元」が1つでそれがどのように変化するかというイメージを思い出すと理解が深くなりますね

 

∴ 最終価格-原価=+2640円 より
  \(\large{\frac{x\ \cdot \ 14\ \cdot \ 8}{100}}\)-x=2640 (あとは解くだけ)
 14・8・x-100x=264000 楽ができるかもしれないので、すぐにはかけ算の計算をしなかった
 12x=264000 楽はできなかった…
 x=\(\large{\frac{264000}{12}}\)=\(\large{\frac{44000}{2}}\)=22000    A. 原価xは 22000円

 

 


余談

 

利益率とは

 

1次関数の文章問題で出てくる値上げ方向を、
ここでは「値上げ率」と言わせていただきますね。

 

この「値上げ率」と
実社会経済で使われる「利益率」は別物です!

 

例えば、
仕入れ値1000円、売値1250円の商品の利益は250円ですね。

 

では、「値上げ率」はいくらでしょうか、計算式は、

 

対象(利益)÷仕入れ値 = (1250-1000)÷1000= 250÷1000=0.25

 

「0.25」=25%、 値上げ率は 25% ということになりますね。(仕入れ値に対する利益)

 

 

対して、「利益率」の計算式は、

 

対象(利益)÷「売上(売値)」=(1250-1000)÷1250 = 250÷1250 = 0.2

 

「0.2」=20%、 利益率は 20% ということになります。(売値に対する利益)

 

 

そうです、なにをもって「全体」とするかが違うのです!

 

値上げ率

値上げ率のイメージ図

値上げ率のイメージ図

 

利益率

利益率のイメージ図

利益率のイメージ図

 

「値上げ率」の基準(全体)は、「仕入れ値」
「利益率」の基準(全体)は、「売値(売上)」 !!

 

利益率は1次方程式の、「~を値下げしました」というイメージ図と同じですね。

 

中学数学で「利益率は?」 という問題はないとは思いますが、
雑学として、「利益率」は、基準が「売値(売上)」 であるということを
知っていて損はないのかなと思います。

 

 

 


余談

 

利益率はやりたい仕事の指標

 

全くの余談になりますが、・・・

 

「Aの商品は、一つ売ると250円の利益がある」
「Bの商品は、一つ売ると5万円の利益がある」

 

皆様はどちらの商品を扱いたいですか?
Bですよね~

 

ですが、仕入れ値が、
Aは1000円、Bが100万円だとしたら・・・

 

「Aは売値1250円・・・広く売れるかな」
「Bは売値105万円・・・そうそうは売れないかな」
と感じますね。

 

そして、「利益率」で表すと、
Aは、 250÷1250=0.20 (利益率20%)
Bは、   50000÷1050000=0.048 (利益率4.8%)

 

なんだかAを扱った方がいいのかなという気がしてきましたね。
実社会ではどうなんでしょうね?

 

 

 


余談

 

競争率とは

 

志望校の入試情報を調べると、「競争率(倍率)」という項目がありますね
倍率2.3など、一体どういう意味なのでしょうか

 

「入試倍率」も割合の話ですので、使えるものは

 

マル図だけですね

 

そして、比べるものは、「受験者数 (志願者数)」と「合格者数 (定員)」だけですね
たとえば、定員280人の高校に、476人の志願があれば、

 

・競争率(倍率) = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{受験者}{合格者数}}\)  = \(\large{\frac{476}{280}}\)  = 1.7 (倍)

 

競争率での「対象」は、私たち「受験者」ですね
「受験者の割合(合格者に対する) 」ですね!

 

 

 

・合格者率 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{合格者数}{受験者数}}\)  = \(\large{\frac{280}{476}}\)  = 0.59

 

合格者率での「対象」は、当然「合格者」ですね
「(受験者に対する) 合格者の割合」ですね!

 

 競争率と合格率の違い

 

 

 


余談

 

道路標識の「勾配」「%」の意味

 

勾配を示す道路標識
10%とは「何の割合?」「坂の角度が10°ということ?」と、
なんとなくイメージが定かではないですね。

 

この「10%」とは、
こんな感じです。

 

勾配のイメージ

勾配のイメージ

 

「高さ (標高)」÷「 底辺 (地図上の距離)」
「角度」も「斜辺 (実走行距離)」も使わないのです!

 

実際、運転する者の身からすれば、
前もって、「地図上」で坂道部分だけ距離を測ることはないですし、
どちらかというと、
運転席のスピードメーター内の「トリップメーター」トリップメーターイメージ図を見て
「〇〇m走ったのか…」
ということは「坂の始めから、300m高くなったのか」と思いたいですよね
どうせだったら、「高さ」÷「地図上の距離」ではなく、
「高さ」÷「実走行距離(斜辺)」の方が、実用性があるの
かなと、個人的には思いました。
(10% → 100m走ったら10m上がっている!)みたいに。

 

中学3年生は、上の三角形の斜辺の長さを求めることができますね。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)ですね
「斜辺」=\(\small{\sqrt{(底辺)^2+(高さ)^2}}\) ですね、
=\(\small{\sqrt{10000+100}}\)=\(\small{\sqrt{10100}}\)  =10\(\small{\sqrt{101}}\)  =10×約10.045  =約100.45m
10%の坂道では「地図上の距離(底辺)」と「実走行距離(斜辺)」は大差・・・ないですね…
ということは、
「10%は、大体100m強走れば、10m上がっている」 で十分ですね!
これは、実社会の話ですので、
中学生の数学では、 きちんと「計算」してくださいね!
また、実社会が「適当」であると言っている訳でもないのであしからずです。

 

また、上の図で角度を求めるとなると至難の業(わざ)ですね!
Excel関数を使えば一発ですので、興味のある方は試してくださいね。
関数を記しておきます。

 

A B
1 B1に高さを入力
2 B2に底辺の長さを入力
3 角度をB3に返す =ATAN(B1/B2)*180/PI()

 

ということで、上図の角度は、およそ 5.71° でした

 

 

ちなみに、「100%の坂道」の角度は「45°」です。
「90°」ではないですよ~!  ( 1÷1=1.00)
直角二等辺三角形

 

 

ということで、勾配の「%」とは、
分数表示にしたとき、
直角三角形の「底辺」に対する「高さ」の割合でした!!
勾配15%であれば → 0.15  → \(\large{\frac{15}{100}}\)
「100の距離があれば、15の高さがあるような直角三角形の角度」ですね

 

15%の勾配イメージ図>

 

高校生なら、tanθ= \(\large{\frac{15}{100}}\) ですね、θ(シータ)=整数となるのは数種類しかないですね。
整数にならないなら、tanθ のまま計算を続けますね。

 

πも整数にならないから、πのまま計算していきますね。
√も整数にならない部分は、√ のまま計算していきますね!

 

R308標識
ちなみに、日本で一番きつい坂道は、
大阪府と奈良県の境にある「暗峠(くらがりとうげ)」の
最大斜度37%、 平均斜度20%です!
しかも歴(れっき)とした国道ですね(国道308号)! すごい!!

 

 

 


ポイント

 

割合のイメージ

 

例えば「30%」
30% = 3割 = \(\large{\frac{30}{100}}\)  = \(\large{\frac{3}{10}}\)   = 0.3

 

割合をイメージするgif画像

 

 

「何を、どちらに、折り返すのか?」 ということですね

 

 

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⑤ その他の文章問題

 

 

 


余談

 

文章問題の出題傾向

 

公立高校入試において、1次方程式の文章問題は、
東日本では、あまり出ない、または出ても難易度が低い、
西日本では、よく出る、難易度もそこそこな感じがあります。

 

あくまで傾向でありますので、お住いの都道府県の入試過去問で
確認をお願いしますね。

 

難関私学では当然難関な文章問題が出題されています。

 

 

傾向があるとは言いましたが、
この1次方程式の文章問題は、「数学的思考法」を磨くには
もってこいの分野ですので、
できる限り多くの問題にあたることが望ましいかな、と思います。

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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