中学数学 一元一次方程式

 

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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 正の数・負の数 (2) 文字を用いた式 (3) 一元一次方程式
方程式などの意味
  ・ 方程式」という名前の由来
等式の性質と方程式
  ・ 等式とは
  ・ 『等式の性質』
簡単な一元一次方程式の解法と活用
  ・ 方程式を解く道具 ①移項
  ・ 方程式を解く道具 ②本体の改造
  ;・ 方程式を解く道具 ③全とっかえ
  ・ 方程式を解く道具 ④全符号かえ
  ・ 〇元〇次の意味
 ① 不等式
 ② 年齢 (文章問題)
 ③ 距離 (文章問題)
  ・ 「分」を「時間」に直す
  ・ 速さとは
  ・ 3つの速さ
  ・ 問題集の解答例と違っても…
  ・ 3つのうち2つが解れば残りも解る
 ④ 割合 (文章問題)
  ・ 百分率とは、歩合とは
  ・ 分子の方が大きい割合の意味
  1 食塩水」の問題
  2 値段」の問題
  ・ 利益率とは
  ・ 利益率で何を知る?
  ・ 競争率とは
  ・ 勾配の%とは
  ・ 割合のイメージ画像
 ⑤ その他文章問題
  ・ 文章問題の出題傾向

 

一元一次方程式

 

ア 方程式などの意味

 

方程式 (ほうていしき)」・・・何か言葉だけで威圧されてしまいますね。
ですが、構える必要は全くないです。
順を追って説明しますね

 

《 例 》
3x+2=8 という式があるとします。
等号(または不等号)の、左を「左辺」、右を「右辺」といいます。

 

 等式の各部名称と方程式

 

3x+2=8 は x=2のときだけ、式として成り立ちますね (代入してみて下さいね)
これは方程式です

 

対して、
x+2x=3x という式は、
x=1(→1+2=3)でも、x=2(→2+4=6)でも、x=3(→3+6=9)でも、
何でも成り立ちますね!
これは方程式ではありません!

 

簡単に言えば、「xを求めることができる等式が方程式」

 

そして、方程式の目的は、
「xの値(解)を求めたい! できれば簡単に!」それだけです!

 

 

余談

 

「方程式」という名前の由来

 

方・・・昔、「」とは「左右」という意味でした
程・・・どれ(ほど)か比べること

 

「方程式」・・・「左右を比べる式」 だったようですね。

 

もう少し言葉を補足すれば、
「左右を比べて、未明な値(解)を求めるための式」といった感じでしょうか。

 

 

 

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イ 等式の性質と方程式

 

等式とは

 

左辺=右辺

 

 

のように「左辺」と「右辺」が「等号」の関係である式を「等式」といいます。
簡単に言えば、「=(イコール)で結ばれている式等式
ということは、「 ><(不等号)で結ばれているいる式は不等式」ですね。

 

アの《 例 》の x+2x = 3x は「方程式」ではないですが「等式」ではありますね。

 

 

 〇 =
のように、「右辺」がないものは、「等式」ではなく、
今まで学習してきた「計算せよ!」ですね!
実際は、「計算せよ!」の問題では、「=(イコール)」は書かれていませんね!
自分で「=」を書き出します。

 

今後、難解な「計算せよ」を計算していると、
うっかりミスで、
つい自分の作り出した「=(イコール)以下」を
「等式の右辺と勘違いしてしまい、
両辺を、つい「2」で割ってみたりしてしまいます。
これができるのは等式・不等式だけですね!
なぜダメなのか・・・

 

ex) 「計算せよ」6+4 は?・・・
6+4 = 10  両辺を「2」で割ってしまうと 3+2 = 5 答え.5 
・・・違いますよね!
問題は、6+4 でしたよね。答えは10ですよね。

 

「計算せよ」は「等式」ではない!
ということを忘れないでくださいね!
「計算せよ」に「等式の性質」(後述)は、使ってはいけません~!

 

〇 = 0
左辺 右辺
右辺が「0 (ゼロ)」! これは「等式」ですね!

 

 

 

等式の性質

 

方程式を解く( xを求める) ためには、「等式の性質」を利用します。

 

例えば、赤のペットボトル(1本500g) を2本と、
青のペットボトル(同500g) を2本、
天秤にのせます。 つり合っていますね。

 

等式の例(天秤図)

 

① それぞれに、500の重りを足し(+)ます。 つり合っていますね。
② それぞれから、1本引き(-)ます。 つり合っていますね。
③ それぞれを、2倍(×)します。 つり合っていますね。
④ それぞれを、2で割り(÷)ます。 つり合っていますね。

 

これを文字で表すと「公式」になります

 


公式

等式の性質

 

 A=B ならば、
① A+c = B+c (同じものなら、両辺に足しても成り立つ)
② A-c = B-c (同じものなら、両辺から引いても成り立つ)
③ A・c = B・c (同じものなら、両辺に掛けても成り立つ)
④ A÷c= B÷c (同じものでなら、両辺を割っても成り立つ)

 

となりますが、
実際、方程式を解くときは、①(両辺に+)と②(両辺に-)は「移項」(後述)でカバーしますので、
結局、使うものは、 「移項」だけとなっていきます!

 

 

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ウ 簡単な一元一次方程式の解法と活用

 

移項

 

例えば、次の等式の左辺を5だけにしたい場合

 

移項の正体
 (ここを0にできればよい)
5+3-3 = 8-3 (「等式の性質」を利用して、両辺に-3を足した)
5 = 5
ですが、これは
5+3=8 +3のを、-3にして右辺に動させたことと同じですね!
5  = 8-3 動 → 移項いこうですね!

 

 

マイナスも同様です
左辺を5だけにしたい場合

 

5-2 = 3
5-2+2 = 3+2 「等式の性質を」を利用して、両辺に2を足した
5 = 5
ですが、これは
5-2=3 -2のを、+2にして右辺に動させたことと同じですね!
5  = 3+2

 

 

それでは、上の例の「5」を「x」に置き換えて、
同様にできることを確認してみましょう

 

5+3=8
5  = 8-3                 
5  = 5

 

x+3=8
x  = 8-3                 
x  = 5


 

 

5-2=3
5  = 3+2                 
5  = 5

 

x-2=3
x  = 3+2                 
x  = 5


 

 

 

当然、右辺から左辺 に移項しても符号が変わります

 

まとめますと、

項(元)は、 = (イコール)をまたぐと符号が変わる

それだけです!

 

 

 

本体の改造

 

移項が終わったら、次は残った本体の「項自体の改造」ですね
「等式の性質」の 3, 4を使います。

 

 

たとえば、

 

3・6=18 で左辺を「6」だけにしたいとします
「等式の性質」を使って、両辺を3で割る(=\(\large{\frac{1}{3}}\)を掛ける)だけですね!

 

等式の性質(×÷)

 

 6 = 6 ですね!

 

では、次に
\(\large{\frac{1}{2}}\)・6=3 の左辺を「6」だけにするには、
もう言うまでもないですか・・・・両辺に「2」を掛けるだけですね!

 

1/2×6×2=3×2の約分

 

 6=6ですね!

 

それでは、「6」を「x」に置き換えて
同様にできることを確認してみましょう

 

3×6=18            

 

 

3×x=18            

 

 


1/2×6=3            

 

 

1/2×x=3            


 

 

結局は、「どうすれば xの係数が『1』になるか」ということですね!

 

 

 

全とっかえ

 

言うまでもないとは思いますが、

 

3・2 = 6 は
6 = 3・2のように左辺と右辺を、まるまる入れ替えられますね。

 

 

 

全符号かえ

 

両辺に「-1」を掛けると、全ての項の符号が変わりますね
7×3 = 21
-1(7×3) = -1(21)
-(7×3) = -21

 

5+3 = 3×2+3-1
-1(5+3) = -1(3×2+3-1)
-(5+3) = -(3×2+3-1)

 

 

 

余談

 

もう一度確認しておきますね

 

正の数・負の数の余談の「(カッコ)の意味」でお話しましたが、
もう一度!

 

●「×÷」でつながっている

 

 ×÷でつながる 

 

「元」は1つ
(「元」がどのように「変形」したのか
イメージ:横に大きくなって、次に縦に大きくなって、次は全体的に小さくなって・・・ )

 

例) 3 → 1×3
  xy → 1×x×y
  \(\large{\frac{1}{2}}\)xyz → 1÷2×x×y×z

 

 

 

●「+-」でつながっている

 

 +-でつながる 

 

「元」は 複数 ある
(「元」に「何がくっついてきたのか」
「何が引かれてしまったのか」 )

 

 例) 1+2
   x+y
   \(\large{\frac{1}{2}}\)+x+y+z

 

 

 

(  )で囲まれているということは、それで「一文字」です!
それで「元」です!
それで「項」と思ってよいです!

 

元=項
↑本来は計算した -(+11) = +(-11)→「-11」が項
-3+2+5-7-8の項

 

cf. -6・2・3・2 のように「×÷」でつながっているものは、元々、「元」が一つ(=一つの項)、
(カッコ)で囲む必要がないということですね!

 

長くなってしまいましたが
一次方程式を解く「ツール」は結局、 

 

1. 移項
2. 等式の性質3、4、 (項自体の改造)
3. 全とっかえ
4. 全符号かえ

 

だけですね!

 

では、「方程式を解きましょう」

 

 

左辺を「x」だけにする作業です

練習問題1次方程式

練習問題1次方程式

 

 

余談

 

〇元〇次の意味 (次数)

 

「一元」・・・使われている文字が 1種類
「一次」・・・文字の掛け合わせがなく、最高1乗

 

《 例 》
x+y=0    → 二元一次
3(x+1)=9   → 一元一次
xy=6     → 二元二次
a2+2a2b+b2=0 → 二元三次
x2+2x+1=0  → 一元二次
abc=3     → 三元三次

 

 

 

「~元」は気にしてもあまり意味がないので、よく省略されますね

 

 

 

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① 不等式

 

不等式の解を求めることも、ほぼ、一次方程式を解く方法と同じですね。
違う点は、

 

3. 全とっかえ をすると当然、不等号の向きもそれに伴う向きになりますね

 

4. 全符号かえ(両辺にそれぞれ  -1を掛ける) をすると、
「不等号」の向きが変わる 
それだけです!

 

1.の移項 2.の本体自体の改造 は一次方程式と全く同様に使えますね!

 

練習問題不等式

練習問題不等式

 

 

 

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② 年齢

 

《 例 》
現在母の年齢は39歳、子は15歳、母の年齢が子の年齢の3倍であったのは何年前でしょうか。

 

①イメージするために簡単な図を描きましょう

 

例題の図 

 

②何を xと置くと楽か図を見ながら考えましょう。
(これをxとしなければならない、ということはありません。
答えと理論が正しければ 〇です。)

 

おおよそ、「求めよ」といわれているものが「x」になりますね
「何年前の「何」がxかな」
「2人の「x年前の「年齢」」が3倍の関係か・・・」

 

③母のx年前の年齢  …(39-x)歳
子のx年前の年齢  …(15-x)歳

 

④「2つの年齢が3倍の関係か・・・」ということは
子の方を3倍にすれば「=」の関係になるということか
36-x=3(15-x) かな、

 

もちろん、母の年齢を\(\large{\frac{1}{3}}\)倍すれば「=」の関係か・・・でもOKです
\(\large{\frac{1}{3}}\)(39-x)=15-x でもよいですね

 

とりあえず解いてみると・・・x=3

 

⑤確認作業、xに3を代入してみると
・母 39-3=36歳
・子 15-3=12歳
ちゃんと3倍の関係になってる!
 A.  3年前

 

 

 

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③ 距離

 

《 例 》
Aさんは2300mはなれた公園にいくのに、はじめは毎時4.2kmの速さで歩き、
途中から毎時9kmの速さで走ったら、26分かかりました。
このときAさんが歩いたのは何分間でしょうか。

 

①前提として、
距離、時間、速さ の関係が頭に浮くようにしましょう

 

 マル図

 

ですね。数学の基本は
3つのうち、2つが解れば、残りの1つは求まる」ですね。
距離=速さ×時間、  時間=距離÷速さ、  速さ = 距離÷時間
と個別に憶える必要はありませんね。

 

「距離」「時間」「速さ」の3単語を憶えて、
1番大きいもの(マル図でいえば上)は距離」と憶えると楽ですね。

 

・(だいたい掛けると大きいものが出るから、) 小2つを掛けると大(距離)
・大(距離)を小(時間)で割ると、もう一方の小(速さ)
・大(距離)を小(速さ)で割ると、もう一方の小(時間)
 が求まるという図です

 

イメージできるまでは、毎回、〇図(マル図)を書きましょう
(もちろん、問題をたくさん解いているうちに、

 

距離=速さ×時間、  時間=距離÷速さ、  速さ = 距離÷時間

 

対象 = 割合×全体、  全体 = 対象÷割合、  割合 = 対象÷全体

 

と個別にも憶えてしまいますね)

 

 

簡単な図 を描きましょう

 

「分」と「時(毎時)」、「km」と「m」が混ざっているので、
楽な方に統一しながら・・・

 

(大体、中学では 「mと分」「kmと時間」がセットですね)

 

・4.2km/1時 = 4200m/60分  = 70m/分
・9km/1時 = 9000m/60分  = 150m/分

 

図を書く

 

 

③何を x と置くと楽か図を見ながら考えましょう。
70m/分で歩いた時間かな・・・x分間 ( 図にどんどん書き足しましょう)

 

「150m/分で歩いた時間」もわからないな・・・y分間とするか・・・
でもいいのですが、これは2年生の「連立方程式」ですね!
ちなみに 
\(\small{\begin{cases}
x+y=26 (時間) \\
70x+150y=2300 (距離)
\end{cases}}\) 
ですね、
少し整理して
→ \(\small{\begin{cases}
y=26-x \\
7x+15y=230
\end{cases}}\)

 

→ 7x+15y = 230 の式に y=26-x を代入して
xだけの式にします → 7x+15(26-x) = 230 → x=20   A. 20分

 

戻って、ここに、「150m/分で歩いた時間」のヒントがありますね!
そうです y=26-x の右辺です。yの正体は26-x 「全体-x」だったのですね。
yを使わなくても、xだけで表すことができるということですね。

 

26-xの残りは?
・?を「y」とおく    → 連立方程式
・?を「26-x」とおく    → 一次方程式


 

④式を立ててみる (習っていない技は定期テストでは使ってはいけないので)
連立方程式ではなく、一次方程式の式をたてる

 

●時間+時間 = 全時間
x+(26-x)=0 → 26=0  → xを求められない → 方程式ではない

 

では、
●距離+距離=全距離
→ 速さ・時間+速さ・時間=全距離
→ 70・x+150・(26-x)=2300 → 70x+150(26-x)=2300
 ∴ x=20 A. 20分間

 

 

問題集の解答だとおそらく、
\(\large{\frac{4200}{60}}\)x+\(\large{\frac{9000}{60}}\)(26-x)=2300

 

だと思いますが

これは、

km/時 を m/分 になおす
②式を立てる


を同時に処理していますね

 

ですが 段階的に処理しても大丈夫です。
入試では答えが合っていればいいのですから。
定期テストでは「考え方」と「答え」が合っていればいいのですから!

 

 

【 「分」を「時間」になおす 】

 

例えば「5分」は「\(\large{\frac{5}{60}}\) 時間」ですね

 

どうして 「分」を「時間」にするには「60」で割るの?
という、素朴な疑問の回答として・・・

 

まずは 「60で割る」というフレーズを忘れていただいて、

 

① 「1分」は「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間」ということは、なにかイメージできますね

 

1分のイメージ

 

→ 1時間には60の目盛りがある
→ 1目盛り
\(\large{\frac{1}{60}}\)は、1分である
→ 15分なら \(\large{\frac{1}{60}}\)×15  = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間
これだけですね
結果、「\(\Large{\frac{}{60}}\) 」が「60で割っている」形と見えるだけ


∴ 「60で割る」 というより「\(\large{\frac{1}{60}}\)時間を何個使うか」というイメージが楽ですね

 

「分」はその数字に \(\Large{\frac{}{60}}\) を付ければ  「時間」になる

 

数学では分数のままが計算しやすいですね(小数にする必要はないですね)
「実社会」は小数表記が多いですが、代表的な小数だけ憶えていれば十分ですね

 

1/4と1/2と3/4のイメージ図
0.25時間 = \(\large{\frac{1}{4}}\)時間   = \(\large{\frac{15}{60}}\)時間  = 15分
0.5時間 = \(\large{\frac{1}{2}}\)時間   = \(\large{\frac{30}{60}}\)時間   = 30分
0.75時間 = \(\large{\frac{3}{4}}\)時間  = \(\large{\frac{45}{60}}\)時間  = 45分

 

 

練習問題分時間

練習問題分時間

 

余談

 

速さとは

 

200kmを4時間で行った時の速さは?

 

200kmを4時間で行くような速さ !! でも〇なのですが、

 

4時間速200km!    3時間速120km
0.5時間速50km! 

 

「早いのか、遅いのか」イメージできませんね!

 

「距離」には「定規」、「時間」には「時計」があって、イメージできますが、
「速さ」自体には基準がないから、イメージできないですね。

 

そこで、
1時間あたりに進む距離 を速さ」(1時間速→時速)
1分間あたりに進む距離 を速さ」(1分間速→分速)
と基準づけたのです。

 

そして、「速さ」と言っても「距離」であることには間違いないので、
それが、「早いのか」「遅いのか」を
「イメージしたもの」が本当の意味の「速さ(スピード感)」ですね。
「イメージ」ということは、「経験」を重ねていくしかないのでしょうね。
動く点を紙に書いて表現することはできないですものね。

 

小さなお子様に、
はるか上空のジェット機を指して、
「早いね~」と言っても
経験がない分、「遅い!」と言うかもしれませんね。

 

ちなみに、電車の運転士さんは、
スピードメーターを見なくても、流れる景色から
「現在、時速67km!」とか、わかるらしいです。
「絶対音感」ならぬ、「絶対スピード感」ですね!

 

長くなりましたが、
もしかしたら、昔の人が
「速さ」=「時間」÷「距離」と基準づけしていたら
「1kmあたり〇時間かかるような速さ」(1km間速)
となっていたかもしれませんね!
「慣れ」ってすごいですね!

 

「大谷選手出たー! 160km(/時)!」
「大谷選手出たー! 22.5秒(/km)!」
なんてね。

 

余談

 

3つの速さ

 

中学数学の方程式では、3種類の「速さ」がありますね

 

①「(絶対)速さ

 

例えば、60km離れた地点に、1時間で行けたら・・・
誰が見ても「絶対的に」
「速さ」= 60÷1  = 60km/時ですね

 

60km/1時間のイメージ

 

最もポピュラーな「速さ」ですね

-絶対速さ-
・両地点が 動かない (基準がある)
・他の力が 影響しない (自分の実力のみ)

 

 

 

②「乗っかる速さ」 (親中用語)

 

例えば、流速30km/時の川で
60km離れた下流地点に、1時間で行けたら

 

30km/h+30km/hのイメージ図

 

「速さ」= 60÷1  = 60km/時ですが
内訳は
・川の速さ 30km/時
・ボートの速さ 30km/時 ( 実力 )

 

ボートの「乗っかる速さ」= 川の「速さ」+ボートの「速さ」 = 60km/時ということですね
乗っかる速さ=本体の速さ±足元の速さ=実力±x

-乗っかる速さ-
・両地点が動かない (基準がある)
・他の力が影響する (自分の実力±足元の速さ)

逆に、上流に向かう場合は30km/時-30km/時 = 0km/時で
ルームランナーのようにその場にとどまっていますね

 

ex) エスカレーター、動く歩道を歩く人
 電車の中を歩く人
 気流の中の飛行機

 

 

 

③ 「相対速さ」 (親中用語)

 

例えば、「宇宙空間で」「周りに星がない(基準がない)」空間で
星Aと60km離れた星Bが 1時間後に衝突しました

 

星と星が1時間後に衝突するイメージ図

 

Aの速さは? と言われても…

 

Bが止まっているなら Aは右に60km/時
Aが止まっているなら、Bが左に60km/時
Bが左に30km/時なら、Aは右に30km/時
Bが右に30km/時なら、Aは右に90km/時 ・・・

 

∴ Aの速さは、Bを「止めて」考えるのがよいですね
Aの「相対速さ」 = Aの速さ±Bの速さ
→ Aが進んだ距離+Bが進んだ距離=60km
 (同方向なら、Aが進んだ距離-Bが進んだ距離=60
→ Aの動いた時間 = 1時間 (Bの速さがなんであれ)

 

-相対速さ-
・両地点が動く (基準がない)
・他の力が影響する (自分の速さ±相手の速さ)

 

ex) 電車に抜かれる人、すれ違う人

 

方程式の問題では、
「衝突する」「出会う」「追いつく」『地点』までの
「距離」「時間」がわからないことが多いですね
(それぞれの「速さ」「2つの間の距離」はわかっている問題が多い)ので
立てる式は・・・
・「全距離 = A距離+B距離」→「全距離=A速さ・x時間+B速さ・x時間」
・「A距離 = B距離」→「A速さ・x時間 = B速さ・x時間」など
距離」を基本に式を立てることが多いですね
(「出会う地点までの距離か時間がわかっていれば、方程式など立てなくても普通の計算問題ですものね)

 

直線での途中時間と途中位置 円周上での途中時間と途中位置

 

 

 

余談

 

問題集の解答例

 

どのような数学の問題集の解答も「解答」です。
あくまで「例」です。

 

最後の答えだけは「唯一無二」ですが・・・

 

途中の計算式は、違っていて当然ですね。
答えにたどり着くまでのアプローチはたくさんありますので、

 

自分のアプローチと解答例が違っていても
「自分の解き方はダメだ」と、思わないで下さいね!
「良い解き方」を探している段階なのですから!

 

逆に、「この問題集はダメだ」とも思わずにいてくださいね。
「この解答例は、どういう考え方なのか」を追求することも、
とても勉強になります。

 

人と人との付き合いも全く同様ですね!

 

 

余談

 

数学の大原則

 

数学では、「3つのうち2つが解れば、残りの1つは必ずわかりますね!」

 

x+y=z 、xy=z 、三角形の3内角マル図の3関係などなど

 

・x、y が解れば → 残りの zが解る
・x、z が解れば → 残りの yが解る
・y、z が解れば → 残りの xが解る

 

 

「4つなら3つ解れば、残りの1つは必ずわかりますね!」

 

 

マル図の延長

 

に派生していきますね!

 

 

 

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④ 割合

割合とは

 

割合とは・・・一言で言うと・・・

 

分母の数に対する 分子の数』です ただそれだけです!

 

例えば、

 

● 40人クラスに 鈴木さんが2人 『(クラスに対する) 鈴木さんの割合は?

 

答.
鈴木さんの(クラスに対する)割合は\(\Large{\frac{2人}{40人}}\) 鈴木さんの割合

 

これだけです!
日本語で言うと、40人につき(分母)、2人が鈴木さん(分子)

 

分数の意味>

 

 

 

● 200の食塩水に 食塩が20g『(食塩水に対する) 食塩の割合は?=『食塩水の濃度は?』
答.
食塩の(食塩水に対する)割合(=濃度)は…\(\Large{\frac{20g}{200g}}\) 濃度10%のイメージ

 

これだけです!
日本語で言うと、200につき(分母)、20gが食塩(分子)

 

 

 

 

● 定価1000円に 値引き額が200円 『(定価に対する) 値引き額の割合は?

 

答え.
値引き額の(定価に対する)割合は\(\Large{\frac{200円}{1000円}}\) 値引き額の割合

 

これだけです
日本語で言うと、1000円につき(分母)、200円が値引き額(分子)

 

 

 

 

● 昨日の来場者2000人に 今日は20人減少 『(昨日に対する) 減少者の割合は?

 

答え.
減少者の(昨日に対する)割合(=減少率)\(\Large{\frac{20人}{2000人}}\) 減少者の割合

 

これだけです
日本語で言うと、2000につき(分母)、20人が減少数(分子)

 

 

 

 

● 100mの横に対し、50mの高さ 『(横に対する) 高さの割合は?』

 

答え.
高さの(横に対する)割合(=傾き)\(\Large{\frac{50 m}{100 m}}\) 高さの割合

 

これだけです
日本語で言うと、100mにつき(分母)、50mの高さ(分子)

 

→ 「比例定数」「変化の割合」「傾き」「勾配」のことですね
それぞれ名前は違いますが、全て『高さの割合』ということですね

 

 

 

 

● 2時間で100km  『(時間に対する) 距離の割合は?

 

距離の(時間に対する)割合(=速さ)\(\Large{\frac{100km}{2時間}}\) 距離の割合>

 

これだけです!
日本語で言うと、2時間につき(分母)、100kmの距離(分子)

 

(「単位」どうしが約分できないものは「km/時間」などが残りますね
km/分」「m/分」「人/日」「点/人」などなど たくさんありますね!

 

 

 

 

● 全体の数に対し これだけの対象の数 『(全体に対する) 対象の割合は?』

 

答え.
対象の(全体に対する)割合は… \(\Large{\frac{対象}{全体}}\) 対象の割合

 

これだけです!
日本語で言うと、全体の数につき(分母)、これだけの対象の数(分子)

 

 

 

 

主役を分子にもって来るだけですね!
「割合」はただこれだけです!

 

分数」にするだけで「につき」「ごとに」などの意味になります!

 

 

 

・・・ですが、 『約分』できるものがありますね

 

鈴木さんの割合 \(\large{\frac{2人}{40人}}\)などは、\(\large{\frac{1人}{20人}}\)
日本語で言うと、20人につき(分母)、1人が鈴木さん(分子)

 

逆約分 (造語です)」すれば、80人につき4人が鈴木さん、160人につき8人が鈴木さん…ですね

 

 

 

「割合といえば…『0.03.』とか『3割3分』とか『30%』とかではないの?」
 → 上の例もちゃんと 全く同じことを言っているのです

 

 

ex) 200gの食塩水に 食塩が20g 濃度(塩の割合)は?

 

 基準をずらすだけのイメージ図

 

確かにどれも「 = 」ですね、(少数まで計算すればどれも「0.1」)

 

・「数学」ではどれも「割合」ですが
・「世間一般の割合」は『分母が1化』されたものを「割合」と言いますね

 

→「1化」されて「単位も約分」できたものは「百分率 (%)」や「歩合 (割、分、厘)」で表現することがゆるされますね

 

「濃度0.1」 = 「濃度10%」 = 「濃度1割」

 

 

ここまでくると 従来の
割合 = 「対象」を「全体」で「割る」という意味もわかりましたね

 

例えば\(\large{\frac{20}{200}}\) で分母を1化するためには分母を200で割りますね、当然分子も200で
割らなければいけませんね \(\large{\frac{20÷200}{200÷200}}\) = \(\large{\frac{0.1}{1}}\)

 

(結果「分子」も「分母と同じ数」で割る → 「分子」を「分母」で割る → 「対象」を「全体」で「割る」
ということにつながりますね 「本来は分母を「1」にするのが目的」だった)

 

● 割合 = 全体(分母)の1化 → 結果、「対象÷全体

 

 

では、どうして分数のままでも「割合」なのに、
「約分」を通り越して わざわざ「分母の1化 (以後1化)」までするのでしょうか?

 

答えは2つですね

 

1.イメージしやすいから」 → 「%」「何割何分何厘」が使える

 

ex) 果汁30%の350ccの缶ジュースを持って「これの30%が天然果汁か」

 

果汁割合

 

「30%かぁ これくらいかな(イメージしやすい)」
「\(\large{\frac{105cc}{350cc}}\) よりイメージしやすいですね」

 

 

・100円硬貨(4.8g)の金属含有率「銅3.6g、ニッケル1.2g」も1化すると・・・
「 銅0.75(75%)、ニッケル0.25(25%)」

 

 100円硬貨のニッケル含有率

 

「100円硬貨のイチカ」 (右の赤部分がニッケル、左が銅)
リアル:「100円硬貨(4.8g)は、1.2gがニッケル」
1化後:「100円硬貨の25%はニッケル」

 

 

・閉店間際の処分価格弁当(500円)の 「半額(= 50%引き)シール」

 

半額弁当のイメージ図

 

「500円弁当のイチカ」
リアル:「500円弁当が、250円値引」
1化後:「500円弁当が、50%引き(半額)」なぜかお得なイメージ

 

 

これは、心理学的なことで数学の話ではなかったですね。
ちなみに「車」のような高価なものは、「1化」表示しない方がお得感がありますね
「この200万円の車、1割引きしますよ!」
「この200万円の車、20万円値引きしますよ!」「20万も!」

 

 

 

2.暗算しやすいから

 

 基準を1にして計算を楽にする

 

→ 1化していると暗算しやすいですね

 

「10% = 0.1 = \(\large{\frac{1}{10}}\) =\(\large{\frac{②塩は 0.1g}{①食塩水 1gにつき}}\) という「基準」を得た!」ので

 

・食塩水1000gなら…分母が1000倍、分子も1000倍 →結果0.1×1000= 100g!」
・食塩水5gなら…結果0.1×5 =0.5gが塩!」
・食塩水12gなら…結果0.1×12 =4.2gが塩!」

 

 

 

「暗算」しやすいですね、
ですが「計算」は「分数のまま」の方が全然楽ですね

 

ex) 306gの水に塩を54g混ぜた食塩水を120gと190gに分けたとき、
120gの方には塩が何g含まれているか?

 

分数のまま計算をする方が楽という証明

 

1化より楽ですね! 約分はどれとしてもいいのですから

 

よって
数学の割合の計算では分数表記で慣れていきましょうね
文字式をつくるときも分数表記になってしまいますので!

 

ex) 水agに塩bgを混ぜた時の濃度は何%は?

→ \(\large{\frac{b}{a+b}}\) → (%表示指定より)  → \(\large{\frac{100b}{a+b}}\) (%)
(\(\large{\frac{b}{a+b}}\)は、少数にしようがないですね)

 

 

他方、「マル図」の
「対象」「全体」「割合」の3つの関係は当然といえば当然ですね
 マル図

 

 1 = 3×\(\large{\frac{1}{3}}\)
 3 = 1÷\(\large{\frac{1}{3}}\)
 \(\large{\frac{1}{3}}\) = 1÷3


当たり前の関係ですね

 

 マル図
対象 = 全体×割合
全体 = 対象÷割合 = \(\large{\frac{対象}{割合}}\)
割合 = 対象÷全体 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)


当たり前の関係と思うようになっていきますね

 

まとめ
◎「割合」とは 『分母の数に対する 分子の数
 (分数にしただけで 『分母につき分子』 の意味になる)

 

◎ 世間一般の割合は 『分母を1化までしたもの』

 

◎ 1化の方法は 「分母」「分子」ともに「分母と同じ数(文字)で割る」
 (結果「分子」÷「分母」)

 

◎ 「イメージ」と「暗算」は『1化』が有利
 「計算」は『分数のまま』が有利

 

◎  

本来の図


 

 

 

それでは、問題を解く上での簡単な「割合」の略図の書き方です

 

ex) 1000人中、左利き100人の割合は?

 

図の書き方

図の書き方

2本書きます、(「相似」の関係ではありますが、見やすさを優先して同じ長さでOKです)

 

マル図

 ・100人(対象)÷1000人(全体)で、0.1(割合)が出ますね
 ・100人(対象)÷0.1(割合)で、1000人(全体)が出ますね
 ・1000人(全体)×0.1(割合)で、100人(対象)が対象が出ますね


 

(もちろん 0.1は\(\large{\frac{1}{10}}\) でもOKです)

 

 

そして、大事なことが隠されていますね、 「裏対象 (造語)」「裏割合 (造語)」です!
スポットの当たっていない側の「対象」「割合」ですね

 

裏対象、裏割合

裏対象、裏割合

 

表対象同様に
・ 900人(裏対象)÷1000人(全体)で、0.9(裏割合)が出ますね。または(1-0.1(表割合))
・ 900人(裏対象)÷0.9(裏割合)で、1000人(全体)が出ますね
・ 1000人(全体)×0.9(裏小数)で、900人(裏対象)が出ますね。または(1000-100(表対象) )

 

 そうです、「右利き」です。食塩水でいえば「水」です
 そして、ひっかけは・・・

 

対象と割合がずれている例

対象と割合がずれている例

 

のように、「対象」と「割合」が対応していない場合です。
「表対象」と「表小数」、「裏対象」と「裏小数」で対応させてくださいね!

 

 

 

あと、従来の勘違いしやすいところをはっきりさせておきましょうね
例えば、『濃度1%の食塩水』とは、どのようなイメージなのでしょうか?

 

99:1の升目

 

①の式 = \(\large{\frac{1}{99+1}}\) = \(\large{\frac{1}{100}}\) = 0.01

 

1% ですね

 

そして、勘違いしやすいイメージがこれですね!

 

100:1の升目

 

②の式 = \(\large{\frac{1}{100+1}}\) = \(\large{\frac{1}{101}}\) = 0.0099…

 

0.99…%ですね!

 

「全体」というからには「対象」も含んで「全体」です

 

②の食塩水を1化したイメージ図は

 

 0.99%の升目

 

 

 

 

 

百分率(%)、歩合(割、分、厘)

 

割合は「対象」の方が「全体」より少なければ
必ず、0~1 の中にありますから必ず「小数や分数」になりますね

 

では、どうして、「0.__」を、100分率(%)や 歩合( _割り_分(ぶ)_厘(りん))
になおすのでしょうか。
言葉にしたときに、「割合~と言わなくても、『割合』の話だなと分かる」
「イメージもしやすい」からですね

 

・「割合 0.05の食塩水を作ってください」
 「5%の食塩水を作ってください」

 

・「割合0.32のバッター」
 「3割2分のバッター」

 

(確認)

 

(計算時に使う)
「割合」→ 0.3642  または \(\large{\frac{3642}{10000}}\)

 

(表現時に使う)
・%は、「1化」ならぬ「100化」ですね → 36.42%
・割分厘毛は、「イチカの位別の読み方」みたいなものでしょうか   → 3割6分4厘2毛

 

割合が、なんとなくややこしくなる理由の一つは、
これらの「表現方法」(%や、~割)を、
計算途中では「分数、小数」になおすからだと思います。
ですから、完全分離させてくださいね

 

計算のときは、小数または分数しか使ってはいけない

 

20% → \(\large{\frac{20}{100}}\) や \(\large{\frac{2}{10}}\) や 0.2

 

②最後の答えだけ、問題にあった表現方法「%」や「割分厘毛」で表現する

 

0.2 → 0.2×100 = 20%
\(\large{\frac{a}{a+b}}\) → \(\large{\frac{a}{a+b}}\)×100 = \(\large{\frac{100a}{a+b}}\)%

 

というわけで、割合の問題で使う道具(公式)は、やはり

 

  割合マル図

 

だけになりますね!
あとは、どのように使うかという「考え方」ということで、
「公式化」する必要はないと思います。
「公式化」すればするほどややこしくなる分野と思います。

 

 

 

ポイント

 

分子の方が大きい割合の意味

 

《 例 》
クラスの全体は40人、鈴木さんという苗字が2名の場合

 

・鈴木さん(=対象)の、(クラス40人に対する)「割合」は?
割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{2}{40}}\) = \(\large{\frac{0.05}{1}}\)  A. 5%

 

そして、逆にしてみた場合の、\(\large{\frac{40}{2}}\) とは、
どんな意味になるのでしょうか

 

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\)

 

クラス(=対象)は鈴木さんの「20倍」という
小学算数のイメージ通りですが、
「20倍」=「2000%」とすれば、
ちゃんと「割合」の話ということがわかりますね

 

・クラス40人(=対象)の、(鈴木さん2人に対する)「割合」
割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\) = \(\large{\frac{20}{1}}\)  A. 2000%

 

 

 

 

 

 

1. 食塩水

 

まずは、小学生の復習です。
3つのうち、2つがわかれば、残りの1つは求まるという基本ですね

 

練習問題小学生食塩水濃度

練習問題小学生食塩水濃度

 

練習問題小学生食塩水濃度

 

練習問題小学生食塩水濃度

 

 

 

《 例 》
6%の食塩水150gに、水を加えて2%にしたい、水を何g足せばよいでしょう。

 

①簡単な図を描いて、正体を明らかにしましょう
A図
例題問題食塩水濃度右矢印  水と塩の内訳

 

B図
グラフでのイメージ右矢印水と塩の内訳

 

図は自分の解りやすいもの選んでくださいね(親子中学では今後、食塩水ではA図でいきます)

 

③水を加えて2%にしたい → 式を考えましょう
「塩の量は変わらず9gかぁ」「割合が\(\large{\frac{2}{100}}\)かぁ」「加える水がxかな」
→ 9÷全=\(\large{\frac{2}{100}}\)  → 9÷(150+x) = \(\large{\frac{2}{100}}\) 「水の量141gはいらなかったのかぁ」

 

cf. 式を「1本で立て」たいなら・・・
③の式で、自分で先に求めた値を式に戻しましょう
塩9gは150×\(\large{\frac{6}{100}}\)で求めましたね。9を  「150×0.06」に戻すだけですね
\(\large{\frac{9}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\) → \(\large{\frac{50×0.06}{150+x}}\) = \(\large{\frac{2}{100}}\)

 

●模擬試験や入試 → 答えだけでいいので、  9÷(150+x)=0.02を解きましょう
\(\large{\frac{9}{150+x}}\)=\(\large{\frac{2}{100}}\) → 両辺に   (150+x)(100)を掛けて、例題問題食塩水濃度2  → 900=2(150+x) → 両辺を2で割って   450=150+x   A. 300g

 

 

 

《 例 》
3%の食塩水40gと12%の食塩水50gがあります。それぞれの食塩水からxの水を蒸発させて、両方の食塩水を1つに混ぜ合わせると10%の食塩水ができました。xを求めましょう。

 

(注:塩は蒸発しません、「蒸発」は水だけを減らしたい時によく使われます)

 

①簡単な図をかいて ②マル図の計算で出るところを書き込んで

 

塩1.2g水38.8g-x+塩6g水44g-x=塩7.2g水82.8g-2x

 

②方程式式を考えましょう
出来上がった食塩水の濃度 → \(\large{\frac{塩}{全}}\)=割合  → \(\large{\frac{1.2+6}{40+50-2x}}\)=0.1

 

●「1本式」なら → 40×0.03+50×0.12/40+50-2x=10/100

 

●模擬テストや入試 → xの値を求めるだけ

\(\large{\frac{1.2+6}{40+50-2x}}\)=0.1 → \(\large{\frac{7.2}{90-2x}}\)=\(\large{\frac{1}{10}}\) → 両辺に(90-2x)(10)を掛けて、7.2(90-2x)(10)/90-2x=(90-2x)(10)/10の約分
→ 72=90-2x → 2x=18  A. x=9

 

 

 

 

2. 値段、原価、売値、利益(率)

 

値段問題も「割合」の問題ですから、
使える道具はただ一つ

 

 マル図

 

だけですね


では、
「仕入れ値」「定価」「原価」、
「売値」「損害額」「値引き額」「値上げ額」「定価」「利益」
「値引き前の価格」「利益を見込んだ価格」
「値上げ率」「値下げ率」「利益率」「損害率」

 

などなど、何かたくさんの言葉が出てくる分野ですが、
これらは、マル図のどこに当てはまるのでしょうか・・・

 

…実は、かたくなに当てはめようとしてはいけないのです!
マル図のマスは3つ、ということは、3つしか何かが求まらないのです!
(付随的に、裏対象、裏小数が求まりますが)

 

価格問題では、この「裏対象」「裏小数」がけっこう重要になります。
『食塩水』では、表対象が「塩」、裏対象は「水」でしたね、
『価格」では、表対象が  「値引き額・値上げ額」、裏対象は  「売値系」になります。

 

 

例えば、
「1000円の商品を3割引きした商品価格は?」
表対象の「値引き額(3割の金額) は?」ではなく、
聞かれているものは「裏対象の売値(3割引きしたあとの値段)」ですね

 

実際と割合の関係イメージ

 

マル図の公式は、
「表小数(表割合)」からは「表対象」しか
求められなかったですね
ずれていてはいけないのです。
ということは、2ステップ必要ということになりますね。

 

ずれている場合は2ステップ必要
①表対象を求めてから、   全体-「表対象」  =「裏対象」

 

または
他のステップ
②裏小数を求めてから、   全体×「裏小数」  =「裏対象」

 

日本語なら
①は、1000から1000円の3割の金額を引いた値段 → 700円
②は、1000円の7割の値段 → 700円

 

そして、もう一つの注意点が、
何をもって、「全体(1化)」としているのかが一定ではない ということです。
例えば、

 

1.「『仕入れ値』の2割の利益を見込んで『定価』をつけた」
2.「品薄なので『定価』の2割増しの『売値』にした」

 

上の2つは『定価』の使い方が全然違いますね!!

 

1.は
仕入れ値が基準

 

「仕入れ値」が「全体(1化)」!
「定価」は「裏対象」

 

2.は
定価が基準

 

「定価」が「全体(1化)」!
「値段」が「裏対象」

 

 

このように、問題によって「定価」が、 マル図の「全体」であったりなかったり(裏対象)します。

 

かたくなに当てはめてはいけない理由が少し見えてきましたね!
そうです、問題によって、何を基準に「1」としているのかが違うのです!

 

何が基準になっているかの判別方法は簡単です。

 

 〇〇3割、○○20% などの、「の」の前の○○が1化されている基準です!

 

価格問題は、問題の文脈に応じて、柔軟に対応しましょうね!

 

 

【まとめ】

 

値上げ、値下げのまとめ図

値上げ、値下げのまとめ図

 

 

まずは、小学生の復習です。

 

練習問題小学生値段

練習問題小学生値段

 

 

 

《 例 》
商品に原価の4割の利益を見込んで、定価をつけた。この商品を定価の2割引き
で売っても2640円の利益があります。この商品の原価を求めましょう。

 

① 簡単な図を描きましょう
原価4割が・・・原価が「全体」で、4割が「表割合」かな

 

例題問題値段難問

例題問題値段難問

 

② 方程式を考えましょう

 

最終価格-原価=2640  → 原価をxとすると  → 最終価格-x=2640

 

最終価格=0.8定価
定価=1.4x
∴ 最終価格=0.8(1.4x)

 

∴ 方程式→最終価格-原価=2640 → 0.8(1.4x)-x=2640 → 1.12x-x=2640 → 0.12x=2640 → x=22000 A. 22000円

 

 

余談

 

利益率とは

 

1次関数の文章問題で出てくる値上げ方向を、
ここでは「値上げ率」と言わせていただきますね。

 

この「値上げ率」と
実社会経済で使われる「利益率」は別物です!

 

例えば、
仕入れ値1000円、売値1250円の商品の利益は250円ですね。

 

では、「値上げ率」はいくらでしょうか、計算式は、

 

対象(利益)÷全体 = (1250-1000)÷1000= 250÷1000=0.25

 

「0.25」=25%、 値上げ率は 25% ということになりますね。(仕入れ値に対する利益)

 

 

対して、「利益率」の計算式は、

 

対象(利益)÷「売上(売値)」=(1250-1000)÷1250 = 250÷1250 = 0.2

 

「0.2」=20%、 利益率は 20% ということになります。(売値に対する利益)

 

 

そうです、なにをもって「全体」とするかが違うのです!

 

値上げ率

値上げ率のイメージ図

値上げ率のイメージ図

 

利益率

利益率のイメージ図

利益率のイメージ図

 

「値上げ率」の基準(全体)は、「仕入れ値」
「利益率」の基準(全体)は、「売値(売上)」 !!

 

利益率は1次方程式の、「~を値下げしました」というイメージ図と同じですね。

 

中学数学で「利益率は?」 という問題はないとは思いますが、
雑学として、「利益率」は、基準が「売値(売上)」 であるということを
知っていて損はないのかなと思います。

 

 

余談

 

利益率はやりたい仕事の指標

 

全くの余談になりますが、・・・

 

「Aの商品は、一つ売ると250円の利益がある」
「Bの商品は、一つ売ると5万円の利益がある」

 

皆様はどちらの商品を扱いたいですか?
Bですよね~

 

ですが、仕入れ値が、
Aは1000円、Bが100万円だとしたら・・・

 

「Aは売値1250円・・・広く売れるかな」
「Bは売値105万円・・・そうそうは売れないかな」
と感じますね。

 

そして、「利益率」で表すと、
Aは、 250÷1250=0.20 (利益率20%)
Bは、   50000÷1050000=0.048 (利益率4.8%)

 

なんだかAを扱った方がいいのかなという気がしてきましたね。
実際はどうなんでしょうね?

 

 

 

余談

 

競争率とは

 

志望校の入試情報を調べると、「競争率(倍率)」という項目がありますね
倍率2.3など、一体どういう意味なのでしょうか

 

「入試倍率」も割合の話ですので、使えるものは

 

マル図だけですね

 

そして、比べるものは、「受験者数 (志願者数)」と「合格者数 (定員)」だけですね
たとえば、定員280人の高校に、476人の志願があれば、

 

・競争率(倍率) = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{受験者}{合格者数}}\)  = \(\large{\frac{476}{280}}\)  = 1.7 (倍)

 

競争率での「対象」は、私たち「受験者」ですね
「(合格者に対する) 受験者の割合」ですね!

 

・合格者率 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{合格者数}{受験者数}}\)  = \(\large{\frac{280}{476}}\)  = 0.59

 

合格者率での「対象」は、当然「合格者」ですね
「(受験者に対する) 合格者の割合」ですね!

 

 競争率と合格率の違い

 

 

 

余談

 

道路標識の「勾配」「%」の意味

 

勾配を示す道路標識
10%とは「何の割合?」「坂の角度が10°ということ?」と、
なんとなくイメージが定かではないですね。

 

この「10%」とは、
こんな感じです。

 

勾配のイメージ

勾配のイメージ

 

「高さ (標高)」÷「 底辺 (地図上の距離)」
「角度」も「斜辺 (実走行距離)」も関係ないのです!

 

実際、運転する者の身からすれば、
前もって、「地図上」で坂道部分だけ距離を測ることはないですし、
どちらかというと、
運転席のスピードメーター内の「トリップメーター」トリップメーターイメージ図を見て
「〇〇m走ったのか…」
ということは「坂の始めから、300m高くなったのか」と思いたいですよね
どうせだったら、「高さ」÷「地図上の距離」ではなく、
「高さ」÷「実走行距離(斜辺)」の方が、実用性があるの
かなと、個人的には思いました。
(10% → 100m走ったら10m上がっている!)みたいに。

 

中学3年生は、上の三角形の斜辺の長さを求めることができますね。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)ですね
「斜辺」=\(\small{\sqrt{(底辺)^2+(高さ)^2}}\) ですね、
=\(\small{\sqrt{10000+100}}\)=\(\small{\sqrt{10100}}\)  =10\(\small{\sqrt{101}}\)  =10×約10.045  =約100.45m
10%の坂道では「地図上の距離(底辺)」と「実走行距離(斜辺)」は大差・・・ないですね…
ということは、
「10%は、大体100m強走れば、10m上がっている」 で十分ですね!
これは、実社会の話ですので、
中学生の数学では、 きちんと「計算」してくださいね!
また、実社会が「適当」であると言っている訳でもないのであしからずです。

 

また、上の図で角度を求めるとなると至難の業(わざ)ですね!
Excel関数を使えば一発ですので、興味のある方は試してくださいね。
関数を記しておきます。

 

A B
1 B1に高さを入力
2 B2に底辺の長さを入力
3 角度をB3に返す =ATAN(B1/B2)*180/PI()

 

ということで、上図の角度は、およそ 5.71° でした

 

直角二等辺三角形
ちなみに、「100%の坂道」の角度は「45°」です。
「90°」ではないですよ!  ( 1÷1=1.00)

 

 

ということで、勾配の「%」とは、
分数表示にしたとき、
直角三角形の「底辺」に対する「高さ」の割合でした!!
勾配15%であれば → 0.15  → \(\large{\frac{15}{100}}\)
「100の距離があれば、15の高さがあるような直角三角形の角度」ですね

 

15%の勾配イメージ図>

 

高校生なら、tanθ= \(\large{\frac{15}{100}}\) ですね、θ(シータ)=整数となるのは数種類しかないですね。
整数にならないなら、tanθ のまま計算を続けますね。

 

πも整数にならないから、πのまま計算していきますね。
√も整数にならない部分は、√ のまま計算していきますね!

 

R308標識
ちなみに、日本で一番きつい坂道は、
大阪府と奈良県の境にある「暗峠(くらがりとうげ)」の
最大斜度37%、 平均斜度20%です!
しかも歴(れっき)とした国道ですね(国道308号)! すごい!!

 

 

 

余談

割合のイメージ

 

例えば「30%」
30% = 3割 = \(\large{\frac{30}{100}}\)  = \(\large{\frac{3}{10}}\)   = 0.3

 

割合をイメージするgif画像

 

 

「何を、どちらに、折り返すのか?」 ということですね

 

 

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⑤ その他の文章問題

 

練習問題点数

練習問題点数

 

 

余談

 

文章問題の出題傾向

 

公立高校入試において、1次方程式の文章問題は、
東日本では、あまり出ない、または出ても難易度が低い、
西日本では、よく出る、難易度もそこそこな感じがあります。

 

あくまで傾向でありますので、お住いの都道府県の入試過去問で
確認をお願いしますね。

 

難関私学では当然難関な文章問題が出題されています。

 

 

傾向があるとは言いましたが、
この1次方程式の文章問題は、「数学的思考法」を磨くには
もってこいの分野ですので、
できる限り多くの問題にあたることが望ましいかな、と思います。

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

 

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2017/12/5 23:12  
 
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