中学数学 式の展開・因数分解

 

1年生問題集(excel) が完成しましたので(無料)、よろしければご利用くださいね(全1256問) → ダウンロードページへ

 

中学1年生課程へ 中学2年生課程へ 中学3年生課程
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 平方根 (2) 式の展開・因数分解 (3) 二次方程式
単項式と多項式の乗法多項式を単項式で割る除法
  ・ 単項式と多項式の乗法
  ・ 単項式と多項式の除法
簡単な一次式の乗法、簡単な式の展開や因数分解
  ・ 多項式と多項式の乗法
 ① 展開公式
 ② 因数分解の方法
 L1 共通因数でくくる
 L2 展開公式の逆
 L3 置き換え
 L4 1度展開
 L5 共通因数作成
 L6 2-△2の意識
  ・ 因数分解ポイントまとめ
  ・ 難しい因数分解の例題
  ・ たすき掛けの方法
文字を用いた式による数量関係の説明
 ① 工夫して計算を楽にする
 ② 式の値
 ③ 式の計算を利用した証明
 ④ 式の計算の利用(図形)
  ・ =で結ばれたものを「比」にする (連比)

 

式の展開・因数分解

 

ア 単項式と多項式の乗法、多項式を単項式で割る除法

 

単項式と多項式の乗法

 

これは、2年生で学んだ「文字を含んだ乗法・除法」に毛が生えただけですね!

 

単項式・・・項(元)が1つ ex) 6, a, x2, 2x, xy, xy2 などなど
多項式・・・項(元)が2つ以上 ex) 2+3, 2-b, x+y, x2-2xy+y2 など
でしたね!

 

 

そして、単項式×多項式ということは、
単項式多項式
2x(3x+4y)=6x^2+8xy 

 

というふうに1つの「項」自体が少し複雑になっただけで
『分配法則』さえ知っていれば、全く同じ手順ですね!

 

練習問題単項式×多項式

 

 

 

 

単項式と多項式の除法

 

これも、2年生と全く同様ですね! 

 

「÷〇」 の〇を逆数にして

 

×\(\large{\frac{1}{〇}}\)」」とするだけですね!

 

練習問題多項式÷単項式

練習問題多項式÷単項式

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

イ 簡単な一次式の乗法,簡単な式の展開や因数分解

 

多項式と多項式の乗法

 

多項式どうしの乗法(掛け算)も、「分配法則」さえ知っていれば計算(展開)できますね、

 

a(x+y)=ax+ay

 

(a+b)(x+y)=ax+ay+bx+xy

 

(a+b+c)(ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz

 

● (a+b)(c+d)(x+y)  = acx+acy+adx  +ady+bcx+bcy+bdx+bdy

 

 

このような「ルール(展開方法)」でしたね!
ですが、今後は特に
(+△)(+□) のような形が、多く出てきますね!
すなわち、 2つの(カッコ) の中の先頭の項が「同じ」ものですね!

 

 

 

《 例 》

 

問題と答えを見比べると、「規則性」がありますね
というわけで、1つ公式の完成です

 

先頭どうしの積+(後ろどうしの和)先頭+後ろどうしの積

 

これで、今後は途中式を省けますね!
 ex) (x-4)(x+5) = x2+x-20 !!

 

 

 

《 例 》

 

2+2 = 2×2 = 4
3+3 = 3×2 = 6
4+4 = 4×2 = 8
8+8 = 8×2 = 16
a+a = a×2 = 2a

 

  当たり前ですが、
  ど忘れしてしまう
 「同じものの足し算」= 2倍
  同じものの足し算 = ×2


 

というわけで、(x+a)(x+b) の公式をマスターしていれば、十分足りるのですが、
憶える労力の割には「大変使える!」ので、2つ目の公式として、

 

先頭の2乗+2(後ろ)先頭+後ろの2乗

 

ex) (x+4)2 = x2+8x+16 !!
 「x2プラスニシが8x+しし16」

 

 

 

 

《 例 》

(x-3)2  

= (x-3)(x-3)
= x2+(-3-3)x+(-3)2
= x2+2(-3)x+9
= x2-2(3)x+9
= x2-6x+9


 

 

(x-8)2  

 

= (x-8)(x-8)
= x2+(-8-8)x+(-8)2
= x2+2(-8)x+64
= x2-2(8)x+64
= x2-16x+64


 

 

(x-a)2  

= (x-a)(x-a)
= x2+(-a-a)x+(-a)2
= x2+2(-a)x+a2
= x2-2(a)x+a2
= x2-2ax+a2


 

というわけで、3つ目の公式

先頭の2乗-(後ろの2倍)先頭+後ろの2乗

 

ex) (x-6)2 = x2-12x+36 !!
 「x2マイナス ニロク12x プラスロクロク36」

 

 

 

最後に、1番スッキリ気分なものを!
《 例 》

(x-1)(x+1)  

= x2+(-1+1)x+(-1)(+1)
= x2+0x-1
= x2-1


 

(x+7)(x-7)  

= x2+(7-7)x+(+7)(-7)
= x2+0x-49
= x2-49


 

(x+a)(x-a)  

= x2+(a-a)x+(a)(-a)
= x2+0x-a2
= x2-a2


 

というわけで、4つ目の公式

先頭どうしの積-後ろどうしの積

 

真ん中にあるはずの   (後どうしの和)×先頭  が打ち消しあって「消滅」 !!

 

ex) (x-4)(x+4) = x2-16 !!
  (x+4)(x-4) = x2-16 !!

 

公式

 

展開公式

 

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
(x+a)2   = x2+2ax+a2
(x-a)2   = x2-2ax+a2
(x+a)(x-a) = x2-a2

 

 

 

《 例 》
 計算しましょう (=展開しましょう)

 

・(2x+3)(2x+4) = 4x2+14x+12

 

・(3x-1)(3x+2) = 9x2+3x-2

 

・(x+2y)(x+3y) = x2+5xy+6y2

 

・(x+3)(2x+2) → 先頭が異なるので「地道展開」ですね
  = 2x2+2x+6x+6 = 2x2+8x+6

 

・(x+1)(3+x) = (x+1)(x+3) = x2+4x+3

 

・(-x-2)(x+5) = -(x+2)(x+5)= -(x2+7x+10)= -x2-7x-10

 

・(x+y+2)(x+y-5) → x+yをX(ラージエックス)とおくと、
 = (X+2)(X-5) = X2-3X-10Xをx+yに戻すと、
 = (x+y)2-3(x+y)-10
 = x2+2xy+y2-3x-3y-10
 ですが、(カッコ)を「1文字」と見れるなら…x+yに(カッコ)をつけて、
 = (x+y+2)(x+y-5)
 = {(x+y)+2}{(x+y)-5} ←(x+y)を「1文字」と見れる人
 = (x+y)2-3(x+y)-10
 = x2+2xy+y2-3x-3y-10

 

・(x-y+3)2 = {(x-y)+3}2
  = (x-y)2+6(x-y)+9
  = x2-2xy+y2+6x-6y+9

 

・(x+2y-3)(x+2y+3) = {(x+2y)-3}{(x+2y)+3}
  = (x+2y)2-9
  = x2+4xy+4y2-9

 

 

 

《 例 》
 (x+a)(x-a) = x2-a2を利用して、有理化しましょう

 

・\(\large{\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\) どのような「1」を掛けましょうか?

 

 \(\large{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}\) という「1」ですね!

 

→ \(\large{\frac{2・(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}\)
  = \(\large{\frac{2・(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}}\)
  = \(\large{\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}}\)
  = \(\small{\sqrt{5}}\)-\(\small{\sqrt{3}}\)

 

・\(\large{\frac{2}{3-\sqrt{7}}}\) = \(\large{\frac{2・(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}}\) = \(\large{\frac{6+2\sqrt{7}}{9-7}}\)= \(\large{\frac{6+2\sqrt{7}}{2}}\) = 3+\(\small{\sqrt{7}}\)

 

・\(\large{\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}\) = \(\large{\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}}\) = \(\small{\sqrt{5}}\)+\(\small{\sqrt{2}}\)

 

慣れてくると途中式を省けるようになりますね!

 

 

 

練習問題展開公式の確認

練習問題展開公式の確認

 

 

 

 

 

因数分解

 

素因数分解や因数分解の意味や必要性は
もう2年生課程で見てきましたので、ここでは省略しますね(素因数・因数の意味とその必要性)

 

3年生過程では、具体的な因数分解の方法を見ていきましょうね!

 

 

 

〈レベル1〉共通因数でくくる

 

a(a+1)を展開すると → a2+a でしたね
因数分解は、その逆の作業でしたから
a2+a を因数分解すると、 = a(a+1) ですね

↑(a)・(a+1)
(カッコ)を「1文字」と見れれば、〇×〇の形であるとわかりますね

 

このとき、
a2 = a×a で 因数「a」を2つ持つ
a = a で 因数「a」を1つ持つ

 

共通因数は 『a(1つ)』、それぞれその「aを1つ」を出すことを
共通因数でくくる」と表現しますね!
→ a2+a = a(a+1)

 

 

 

練習問題指定した因数でくくる

練習問題指定した因数でくくる

 

 

《 例 》 因数分解しましょう

 

・4ax+8ay = 4a(x+2y)

→ 4(ax+2ay) や  a(4x+8ay)  2a(2x+4ay) は
因数分解しきれていないですね! → 共通因数が残っている
→ 自転車のイメージなら、前タイヤは外したけど、後ろタイヤを外し忘れですね


 

・8xy2-6xy = 2xy(4y-3)

 

 

 

〈レベル2〉 展開公式の逆

 

展開公式は
1. (x+a)(x+b)   = x2+(a+b)x+ab
2. (x+a)2 = x2+2ax+a2
3. (x-a)2 = x2-2ax+a2
4. (x+a)(x-a) = x2-a2 でしたね

 

逆を言えば、
1. x2+(a+b)x+abのような形に見えれば、  (x+a)(x+b)になるかもと疑う
2. x2+2ax+a2のような形に見えれば、  (x+a)2になるかもと疑う
3. x2-2ax+a2のような形に見えれば、  (x-a)2になるかもと疑う
4. x2-a2のような形に見えれば、  (x+a)(x-a) になるかもと疑う
ですね! 

 

ですが最初は、真ん中の2つは「x2+(a+b)x+ab」と同じと考えましょうね
よって
1. x2+(a+b)x+abのような形に見えれば、  (x+a)(x+b)になるかもと疑う
4. x2-a2のような形に見えれば、  (x+a)(x-a) になるかもと疑う
の2つで十分です!

 

 

練習問題掛けて〇、足して△のような2数を求める

練習問題掛けて〇、足して△のような2数を求める

 

 

《 例 》 因数分解しましょう

 

例題問題展開公式の逆を利用した因数分解

← (x+5)(x+3) でももちろんOKです


 

・ x2+3x-28 = (x+7)(x-4)

 

・ x2-9x+18 = (x-3)(x-6)

 

・ x2+10x+25 = (x+5)(x+5)
        = (x+5)2

 

←ここまでして正解です
ex) 4を素因数分解しましょう
 → 4 = 2×2 = 22
そして、x2+2ax+a2  = (x+a)2
 x2-2ax+a2  = (x-a)2
の2つが、不要という理由ですね
→x2+(a+b)x+ab で十分!


 

・ x2-16x+64  = (x-8)(x-8)   = (x-8)2

 

・ x2+5xy+6y2   = (x+2y)(x+3y)

 

・ x2+xy-20y2  = (x+5y)(x-4y)

 

・ x2-4xy+4y2 = (x-2y)(x-2y) = (x-2y)2

 

x^2-81

 

・ x2-9y2  = (x+3y)(x-3y)

 

・ 4x2-36y2  

= (2x+4y)(2x-4y)
= 2(x+2y)・2(x-2y)
= 4(x+2y)(x-2y
または
=4(x2-9y2)
=4(x+3y)(x-3y)


 

 

 

 

〈レベル3〉 置き換え ←(カッコ)を付けて「1文字」と見る

 

(x+1)2-7(x+1)+12  

→ なんとなく  〇2-7〇+12が見えますね!
→ ・(カッコ)をX(ラージエックス)などに
    置き換えてもよいし
→ ・「1文字」と見れるなら
    そのまま進めてOKですね


・(x+1) = X とおくと
与式 = X2-7X+12= (X-3)(X-4)
Xを (x+1) に戻すと
{(x+1)-3} {(x+1)-4}  = (x-2)(x-3)

 

・(カッコ)を「1文字」と見れる人は
((x+1)-3)((x+1)-4)  = (x-2)(x-3)

 

 

 

《 例 》 因数分解しましょう

 

・(x+y)2-2(x+y)-3  = ((x+y)-3)((x+y)+1)  = (x+y-3)(x+y+1)

 

・(x2+6x)2-2(x2+6x)-35

  → x2-2x-35  = (X-7)(x+5)
  → ((x2+6x)-7)((x2+6x)+5)
 = (x2+6x-7)(x2+6x+5) ←まだいけそう
 = (x+7)(x-1)(x+5)(x+1)


 

(2x+y)2X-2(2x+y)X(x+2y)Y+(x+2y)2Y

  

 → X2-2XY+Y2  = (X-Y)2
 → {(2x+y)-(x+2y)}2
 = (2x+y-x-2y)2
 = (x-y)2


 

 

 

 

〈レベル4〉 1度展開

 

(カッコ)が 2, 3個あるのに「共通因数」が見当たらない場合、1度展開してみる

 

《 例 》
・ (x-1)(x-2)-6  = x2-3x+2-6  = x2-3x-4  = (x-4)(x+1)

 

・ (x+1)2-5(x-1)-16  = x2+2x+1-5x+5-16  = x2-3x-10  = (x-5)(x+2)

 

 

 

 

〈レベル5〉 共通因数作成

 

部分部分で「共通因数」でくくると、残りが「全体の共通因数」になっている
ことがありますが、それを先に意識して「共通因数」を作り出す ですね

 

《 例 》
・ ax-by-ay+bx  = a(x-y)+b(x-y)  = (x-y)(a+b)

  最初に x, y でくくると → x(a+b)-y(a+b) = (a+b)(x-y) ←同じですね  

 

・ ax2+3x-2ax-6

 → xでくくると  ① → x(ax-2a+3)-6 手詰まり
 → xでくくると  ② → x(ax+3)-2(ax+3)
     → (ax+3)(x-2) 正解!
 → aでくくると → a(x2-2x)+3(x-2)
   xも出してみると → ax(x-2)+3(x-2)
     → (x-2)(ax+3) 正解!


 

「何を」「何で」くくれば「共通因数」が浮かび上がってくるかを、
先に暗算で計算することは何気に難しいので、
色々「当たり」を加減をしながら見つけてくださいね!
(多ければ多いほどよい というものではないということですね)
「くくり方しだいで、共通因数が浮いてくるはずだ」
みたいな感じでしょうか

 

 

 

《 例 》 (カッコ)の中が似ている → 符号を変えたい

 

・ (2a-b)x-2(b-2a)y  = (2a-b)x+2(2a-b)y  = (2a-b)(x+y)

 

 

 

 

〈レベル6〉 2-△2 = (〇+△)(〇-△) を常に意識

 

(複雑な式)^2-〇^2の例

 

などは、ふと (〇+△)(〇-△) になることを見落としがちですね

 

 

《 例 》
・ (2x+y)2-1  = (2x+y+1)(2x+y-1)

これを展開してしまうと、
4x2+4xy+y2-1 → アリ地獄?
 ですが、それも勉強ですね!

 

・ x2-(y-2)2  = (x-(y-2))(x+(y-2))  = (x-y+2)(x+y-2)

 

・ x4-1  = (x2-1)(x2+1)  = (x+1)(x-1)(x2+1)

 

・ x2-9(x-y)2

 = x2-32(x-y)2
 = x2-{3(x-y)}2m2・n2 = (mn)2
  = {x-3(x-y)}{x+3(x-y)} ←いきなりここからでもOKですね
 = (x-3x+3y)(x+3x-3y)
 = (-2x+3y)(4x-3y)


 

「因数分解」は「知恵の輪」みたいなものですね!
難しい因数分解は、色々試しながら分解するしかないですね
1回で分解できたら「ラッキー!」くらいの気持ちで!

 

 

 

因数分解ポイント

・共通因数でくくる
・展開公式の逆
・置き換え =(カッコ)を付けて「1文字」と見る
・1度展開
・共通因数作成 (何を何でくくるか)
・〇2-△2  = (〇+△)(〇-△) を常に意識

 

 

 

《 例 》 難しい因数分解

 

・ (x+1)2(x-2)2-14(x+1)(x-2)+40
 = {(x+1)(x-2)}2-14(x+1)(x-2)+40 ←m2・n2 = (mn)2
 = X2-14X+40 ←(x+1)(x-2)をXに置き換え
 = (X-10)(X-4) ←展 開 公 式 の 逆
 = {(x+1)(x-2)-10}{(x+1)(x-2)-4} ←Xを(x+1)(x-2)に戻した
 = (x2-x-2-10)(x2-x-2-4) ←1度展開
 = (x2-x-12)(x2-x-6)
 = (x-4)(x+3)(x-3)(x+2) ←展開公式の逆

 

 

・ a2-ad-ab+bd-ac+cd

 

→ 「項」が6個(偶数)なので、想像できる「因数が浮き出る途中形」は
 ① ●(〇+△)+■(〇+△)+▼(〇+△) = (〇+△)(●+■+▼)
 ② ●(〇+△+□)+▼(〇+△+□) = (〇+△+□)(●+▼)
→ ②で調べる方が楽
 aは4つの項で使われている
 bは2つの項
 cは2つの項
 dは3つの項
→ a(4個の内3個使いたい)とd(3個の内3個使いたい)かな → dがあやしい
 = a2-ab-ac-d(a-b-c) ←dを含む項をdでくくった
 = a(a-b-c)-d(a-b-c) ←因数が浮き出た
 = (a-b-c)(a-d) //

 

 

・ x2+xy+3x+y+2
 → 項が5個(奇数)なので、「展開公式の逆」で、3つの項を2つにするのだろうな
 展開公式の真ん中は「数字×文字」、最後は「掛け合わせ

 

  中学数学 式の展開・因数分解 |

 

 普通はx^2+1x-6=(x+3)(x-2)やa^3+a^2+a=a(a^2+a+1)

 

というわけで、x2 は使うだろうな…
 真ん中が xy なら y2 があるはず → ないのでxyではない → 3xだろうな

∴ x2+3x+2 xy+y

 = (x+1)(x+2)+xy+y
 = (x+1)(x+2)+y(x+1)
 = (x+1){(x+2)+y}
 = (x+1)(x+y+2) //


 

 

・ a2c2+b2d2-a2b2-c2d2+4abcd
→① 〇2-△2  = (〇+△)(〇-△)がいっぱいあるな!に第一感
 a2c2-a2b2  +b2d2-c2d2  +4abcd
  → 4abcd がさばけないかも…

 

→ ② 4abcd は、真ん中の「2ab」の部類かな!に第一感
 (〇△+□▽)^2±(●▼+◆▲)^2
  さらにここが「-」なら、完璧!

 

 → それなら、4abcd 1つでは足りない
  4abcd → 2abcd+2abcd

 

②で行きますね
a2c2+b2d2-a2b2-c2d2+4abcd
 = a2c2+b2d2-a2b2-c2d2+2abcd+2abcd
 = a2c2+2abcd+b2d2- (a2b2-2abcd+c2d2) ←並び替え
 = (ac+bd)2-(ab-cd)2 ←さらに「〇2-△2」の形!
 → X2-Y2 = (X+Y)(X-Y)
 = {(ac+bd)+(ab-cd)}{(ac+bd)-(ab-cd)}
 = (ac+bd+ab-cd)(ac+bd-ab+cd) //

 

 

 

 

余談

 

たすき掛け

 

中学の因数分解では扱わないはずですが、
高校では

 

(〇x+△)(□x+▽)など先頭が異なる場合展開公式を利用する

 

ex)
(ax+b)(cx+d) = acx2+adx+bcx+bd = acx2+(ad+bc)x+bd

 

・ (x+2)(3x+5) = 3x2+(5+6)x+10 = 3x2+11x+10

 

では、 3x2+11x+10 を因数分解しましょう とこられたら
どうすればよいのでしょうか?

 

(ax+b)(cx+d) をひっ算で行うと…

 

(ax+b)(cx+d)のひっ算

 

これの逆の作業を、「当たりをさぐりながら」見つけるしかありませんね

 

1. 「先頭」と「最後」はただの掛け合わせ → 候補が見つけやすい
2. 「真ん中」はその候補をクロスで掛けて、足したもの (bc+ad)x

 

ex) 3x2先頭+11x真ん中+10最後

 

 

3x2+11x+10 = (x  )(x  ) を横ではなく、縦に書きますね

 

たすき掛けのコツ1
  ↑
フレームを書く

 

 

  先頭を決める
  ①「先頭」の候補探し
  → 3×1 だけでOK
  → -3×(-1) は不要
  (同じことなので)

 

  後ろの候補探し
  ②「最後」の候補探し
  → 2×5-2×(-5)
  1×10-1×(-10)
  (「同じこと」でないので
  マイナスの方も候補)


 

後ろの候補選び
③「最後」の候補選び
→ クロスで「真ん中」
 になるような

 

後ろの確定

 


 

  A. (3x+5)(x+2)

 

 

ちなみに、「先頭」を -3×(-1)で行うと

先頭の候補探しで±を入れかえたものは結果同じこと

 = (-3x-5)(-x-2)
 = -1(3x+5)(-1)(x+2)
 = (-1)(-1)(3x+5)(x+2)
 = (3x+5)(x+2) → よって、「同じこと


 

このような感じで、違っていたらフレームを残して、数字だけを消しゴム
で消して、試し試し見つけていくことになりますね

 

・ 3x2+15x+18 を因数分解しましょう
→ 「先頭」の「3x2 」が「何かの2乗」ではないからと言って
 いきなり「クロス作業」ではないですね!
 3、15、18 を見ると、共通因数「3」がありますね
→ 3(x2+5x+6) = 3(x+3)(x+2)

 

 

・ 6x2+35x-6 を因数分解しましょう

 

たすき掛けのコツ2(実数確認)後ろの候補×の見本後ろの候補×の見本

 

後ろの候補〇の見本

 

 

 A. (6x-1)(x+6)


 

「仕組み」に慣れてきましたら、「フレーム」を書かずに

 

フレームなしの後ろ候補選び×の見本フレームなしの後ろ候補選び×の見本フレームなしの後ろ候補選び〇の見本

 

というふうに数字だけでできますが、(いわゆる「たすき掛け因数分解」)。
慣れるまでは「フレーム」を書くことをお勧めしたいと思います
なぜなら、「たすき掛け」は思ったよりは、たまにしか出てこないので
たまに「たすき掛け」をすると・・・
「クロス」に意識が行き過ぎて、「縦がセット? 横がセット?」
「何が、縦? 横? 斜め? 」と根本をど忘れしてしまいがちですね!
「たすき掛け」は「やり方(方法)」を憶えるのではなく、
「フレーム」を憶える!だと思います

 

 

フレームの清書

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

ウ 文字を用いた式による数量関係の説明

 

「展開公式」や「因数分解」を有効利用しよう という意味ですね

 

① 工夫計算

 

《 例 》 計算しましょう

 

(1) 9982 → 「ミチミチ計算」で求めてもかまいませんが…
  できれば、「いい方法(良く言えば)」(悪く言えば「楽な方法」)で解きたいですね
→ 0.012 = 0.0001  0.12 = 0.01  102= 100  1002 = 10000
 のように歯切れがよければ、暗算でできるのに!
→ 「歯切れのよい数字」に改造してみる
∴ 9982 = (1000-2)2
  = 10002-2・2・1000+4 ←「展開公式(x-a)2 = x2-2ax+a2
  = 1000000-4000+4
  = 996004 //

 

(2) 10022 = (1000+2)2
  = 10002+2・2・1000+4
  = 1000000+4000+4
  = 1004004 //

 

(3) 1016×984 = (1000+16)(1000-16) ←「展開公式 (x+a)(x-a) = x2-a2
  = 1000000-162
  = 1000000-256
  = 999744 //

 

(4) 1422-422 = (142+42)(142-42) ←「展開公式の逆 x2-a2 = (x+a)(x-a)」
  = 184・100
  = 18400 //

 

(5) 3916×3912-3910×3918

= (3914+2)(3914-2)-(3914-4)(3914+4)
= (39142-22)-(39142-42)
= 39142-22-39142+42
= -22+42
= -4+16
= 12 //


 

(6) 1022+1012+1002-992-982

= 1022-992+1012-982+1002
= (102+99)(102-99)+(101+98)(101-98)+1002
= 201・3+199・3+1002
= 3(201+199)+10000
= 3・400+10000
= 11200 //


 

 

● 問題により、色々な工夫がありますが、
根本的には答が出ればよいのであって、「最良の方法」でなくても
「ミチミチ計算」よりは「楽」だったら、それで十分ですね!

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

② 式の値

 

《 例 》
x = 20.4、y = 10.4 のとき、以下の式の値を求めましょう。

 

(1) x2-2xy+y2
→「いきなり直接代入ミチミチ計算」は、大変そうですね
= x2-2xy+y2
= (x-y)2因数分解
→ (20.4-10.4)2
= (10)2
= 100 //

 

(2) x2-y2

= (x+y)(x-y)
→ (20.4+10.4)(20.4-10.4)
= (30.8)(10)
= 308 //


 

 

《 例 》
x = \(\small{\sqrt{3}}\)+2、y= \(\small{\sqrt{3}}\)-2 のとき、以下の式の値を求めましょう。

 

(1) x2-y2

= (x+y)(x-y)
→ {(\(\small{\sqrt{3}}\)+2)+(\(\small{\sqrt{3}}\)-2)}  {(\(\small{\sqrt{3}}\)+2)-(\(\small{\sqrt{3}}\)-2)}
= (\(\small{\sqrt{3}}\)+2+\(\small{\sqrt{3}}\)-2)  (\(\small{\sqrt{3}}\)+2-\(\small{\sqrt{3}}\)+2)
= (2\(\small{\sqrt{3}}\))(4)
= 8\(\small{\sqrt{3}}\) //


 

(2) x3y+2x2y2+xy3

= xy(x2+2xy+y2)
= xy(x+y)2
→ (\(\small{\sqrt{3}}\)+2)(\(\small{\sqrt{3}}\)-2)  (\(\small{\sqrt{3}}\)+2+\(\small{\sqrt{3}}\)-2)2
= (\(\small{\sqrt{3^2}}\)-22)(2\(\small{\sqrt{3}}\))2 ←展開公式
= (3-4)(4・3)
= -1・12
= -12 //


 

 

《 例 》
x = \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)のとき、以下の式の値を求めましょう。

 

(1) x+\(\large{\frac{1}{x}}\)
→ 「いい方法」がないので、「ミチミチ直接代入」ですね…

→ \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{1}{\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}}}\)

= \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}\)

↑後半の分数に
\(\large{\frac{2}{2}}\)という「1」を掛けた

= \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}}\) ←有理化
= \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{6-2\sqrt{5}}{9-5}}\)
= \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}\)
= \(\large{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)+\(\large{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\)
= \(\large{\frac{6}{2}}\)
= 3 //


 

 

(2) x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\)

 

→ x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\) に似た \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )^2\) を計算してみると
  \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )^2\)  = x2+2・x・\(\large{\frac{1}{x}}\)+\(\large{\frac{1}{x^2}}\)
 = x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\)+2 ←「2」増えてしまうと判明
∴ x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\) = \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )^2\)-2

↑頻出かつ重要な「形」ですね
多いものを引いたり足したりして同じにする

∴ (1)の x+\(\large{\frac{1}{x}}\) = 3 より
→ x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\) = \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )^2\)-2
 = 32-2
 = 9-2
 = 7 //

 

 

(3) x3+\(\large{\frac{1}{x^3}}\)

 

→ x3+\(\large{\frac{1}{x^3}}\) に似た形になるかもしれない \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)\(\left( x^2+\frac{ 1 }{ x^2 } \right )\) を計算すると
 \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)\(\left( x^2+\frac{ 1 }{ x^2 } \right )\)  = x3+\(\large{\frac{1}{x}}\)+x+\(\large{\frac{1}{x^3}}\)
∴ x3+\(\large{\frac{1}{x^3}}\) = \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)\(\left( x^2+\frac{ 1 }{ x^2 } \right )\)-\(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)

 

∴ (1)の x+\(\large{\frac{1}{x}}\) = 3  (2)の x2+\(\large{\frac{1}{x^2}}\) = 7 より
→ x3+\(\large{\frac{1}{x^3}}\)  = \(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)\(\left( x^2+\frac{ 1 }{ x^2 } \right )\)-\(\left( x+\frac{ 1 }{ x } \right )\)
  = (3)(7)-(3)
  = 21-3
  = 18 //

 

 

《 例 》
(1) x+y = 3、xy = 1 のとき、x2+y2 の値を求めましょう

 

x2+y2 = (x+y)2-2xy ←多いものを引いて同じにする

 

∴ (3)2-2(1) = 9-2 = 7

 

 

(2) x+y = \(\small{\sqrt{2}}\)、x-y = \(\small{\sqrt{3}}\) のとき、x2+y2 の値を求めましょう

 

それぞれ両辺2乗すると
・ (x+y)2 = 2
・ (x-y)2 = 3

 

それぞれ展開すると
・ x2+2xy+y2 = 2 …①とします
・ x2-2xy+y2 = 3 …②とします

 

①+② をしてみると
  x2+2xy+y2 = 2
+) x2-2xy+y2 = 3
  2x2  +2y2 = 5
  → 2(x2+y2) =5
∴ x2+y2 = \(\large{\frac{5}{2}}\) //
もちろん①-②で xy の値を求めて、xyの値を①か②に代入でも同じですね

 

 

(3) x+y = \(\small{\sqrt{5}}\)、x-y = \(\small{\sqrt{3}}\) のとき、xy の値を求めましょう

 

それぞれ両辺2乗すると
・ (x+y)2 = 5
・ (x-y)2 = 3

 

それぞれ展開すると
・ x2+2xy+y2 = 5 …①としますね
・ x2-2xy+y2 = 3 …②としますね

 

①-②
  x2+2xy+y2 = 5
-) x2-2xy+y2 = 3
    4xy  = 2
  ∴ xy = \(\large{\frac{1}{2}}\) //

 

 

 

 

《 例 》
\(\large{\frac{1}{x}}\)+\(\large{\frac{1}{y}}\) = 5 のとき、\(\large{\frac{5xy}{x+y}}\) の値を求めましょう

 

→ 通分するためには「\(\large{\frac{y}{y}}\)」と「\(\large{\frac{x}{x}}\)」を掛けますね
→ \(\large{\frac{y}{xy}}\)+\(\large{\frac{x}{xy}}\) = 5 → \(\large{\frac{x+y}{xy}}\) → x+y = 5xy
→ \(\large{\frac{5xy}{x+y}}\) に代入
 \(\large{\frac{5xy}{5xy}}\) = 1
 ∴ \(\large{\frac{5xy}{x+y}}\) = 1 //

 

 

● 値を直接代入することは、ほぼ「ない」ですね!
 「何らかの変形」(因数分解など)ですね
● √ があれば、ほぼ「問題の式を2乗」や逆に「与えられた条件を2乗」
 で糸口が見えますね

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

③ 「式の計算」を利用  「整数の特徴の証明」

 

前提として、「整数」は「m」や「n」で表しますね
「偶数」を表す式は「2n 」
「奇数」を表す式は「2n+1」でしたね!

 

《 例 》
連続する3つの整数で、最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗を引いた差は、真ん中の整数の4倍になることを証明しましょう

 

(証明)
連続する3つの整数を、n、n+1、n+2、とする
(もちろん、n-2、n-1、n、でも n-1、n、n+1としてもOKです)
最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗を引いた差は
 (n+2)2-n2 …①
真ん中の整数の4倍は
 4(n+1) …②

 

①を整理すると、
n2+4n+4-n2 = 4n+4 = 4(n+1)

 

∴ ① = ②より、最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗を引いた差は、真ん中の整数の4倍である

 

 

 

 

《 例 》
連続する 2つの奇数(ex. 1、3や5、7など)において、2つの奇数の積から 小さい方の奇数の2倍を引いた数は、小さい方の奇数の 2乗に等しくなることを証明しましょう

 

(証明)
連続する2つの奇数を、2n+1、2n+3、とする

 

2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数は
 (2n+1)(2n+3)-(2n+1) …①
小さい方の奇数の 2乗は
 (2n+1)2 …②

 

①を整理すると、  4n2+8n+3-4n-2  = 4n2+4n+1
②を整理すると、  4n2+4n+1

 

∴ ① = ②より、連続する 2つの奇数において、2つの奇数の積から小さい方の奇数の2倍を引いた数は、小さい方の奇数の2乗である

 

 

● 「証明」に決まった書式はありません、自由です!
 言っている内容・・が、模範解答と同じ内容・・であれば、〇マルです
● 読む相手が、その内容を「理解しやすければ」なお良しですね!

 

 

 

 

 

④ 「式の計算」の利用  「図形の証明」

 

《 例 》
縦がam、横がbmの長方形の池のまわりに,幅がcmの道があります。
道の中央を通る⾧方形の周りの⾧さをlm、道の面積をSm2とするとき、
S = cl となることを証明しましょう

 

縦a、横b、ふち幅c縦a、横b、ふち幅c,ふちの中線c

 

(証明)

道の面積S

 = (黒四角形)-(青四角形)
 = (a+2c)(b+2c)-ab
 = ab+2ac+2bc+4c2-ab
 = 2ac+2bc+4c2 …①


l の長さ

 = a+b+a+b+8 \(\left( \frac{ c }{ 2 } \right )\)
 = 2a+2b+4c …②


 

②にcを掛けてみると
cl = c(2a+2b+4c)
  = 2ac+2bc+4c2 …③
∴ ① = ③ より S = cl である

 

 

 

《 例 》
三角形の土地のまわりに、幅が a m、中央を通る線の⾧さが l mの道があります。この道の面積を S m2とするとき、
S = al となることを証明しましょう

 

三角形の縁幅aコーナーに補助線を引いた図

 

(証明)

三角形の1辺をそれぞれ b、c、d とすると
3つのコーナー部分の合計面積は、πa2

 

コーナーの集合体は円
コーナーを集めると円になる
円の面積 πr2、 円周 2πr


 

道の面積S = ab+ac+ad+πa2 …①

 

l の長さ = b+c+d+2π\(\left( \frac{ a }{ 2 } \right )\)
    = b+c+d+πa …②

コーナーの中線は円の半分


 

②にaを掛けてみると al = ab+ac+ad+πa2 …③
∴ ① = ③ より S = al である

 

実際の道路で応用できる

 上の「証明」より
 「道の面積 = 中央線 lの長さ × 道幅 a」
 ということの方が、
 実社会では役に立ちそうですね


 

 

陸上トラックのコーナー部分だけを集めると円になるイメージ

 

 

 

《 例 》
下の図のように点Oを中心とする半円がある。斜線部分の面積をS、
点O1を中心とする半円の面積をS1、半円O1、O2の半径をそれぞれ a、b とするとき、以下の問いに答えましょう

 

例題問題図形の面積を求める1

 

(1) S1をaを用いて表しましょう
 S1 = \(\large{\frac{1}{2}}\)πa2

 

 

(2) Sをa、b を用いて表しましょう

S = \(\large{\frac{1}{2}}\)大円面積-\(\large{\frac{1}{2}}\)中円面積-\(\large{\frac{1}{2}}\)小円面積
 = \(\large{\frac{1}{2}}\)π(a+b)2-\(\large{\frac{1}{2}}\)πa2-\(\large{\frac{1}{2}}\)πb2
 = \(\large{\frac{1}{2}}\)π{(a+b)2-a2-b2}
 = \(\large{\frac{1}{2}}\)π(a2+2ab+b2 -a2-b2
 = \(\large{\frac{1}{2}}\)π(2ab)
∴ S = πab

 

 

(3) S = S1のとき、a:b をもっとも簡単な整数の比で表しましょう
 S = S1 より πab = \(\large{\frac{1}{2}}\)πa2
 これを整理(両辺をπaで割る)すると、
b = \(\large{\frac{1}{2}}\)a (←1・b = \(\large{\frac{1}{2}}\)・a)
 → \(\large{\frac{1}{2}}\)a = b
 ∴ a:b = 2:1

 

 

 

余談>

 

=で結ばれたものを「比」にする (連比)

 

〇a = 〇b = 〇c = 〇d を 「比」で表す「方法」は、
それぞれの「係数の逆数がそのまま「比」となりますね

 

ex)
・\(\large{\frac{1}{2}}\)a = b → a:b = \(\large{\frac{2}{1}}\):\(\large{\frac{1}{1}}\) = 2:1
・3a = 6b = c = \(\large{\frac{3}{2}}\)d → a:b:c:d = \(\large{\frac{1}{3}}\):\(\large{\frac{1}{6}}\):\(\large{\frac{1}{1}}\):\(\large{\frac{2}{3}}\) = 2:1:6:4 ←全てに「6」を掛けて「整数比」にした

 

 

これの「仕組み」は
① 

aの「1化」 → 1÷3= \(\large{\frac{1}{3}}\)
  
aの1化

bの「1化」 → 1÷6= \(\large{\frac{1}{6}}\)
  
bの1化

cの「1化」 → 1÷1= \(\large{\frac{1}{1}}\)
  
cの1化

dの「1化」 → 1÷\(\large{\frac{3}{2}}\)= \(\large{\frac{2}{3}}\)
  
dの1化

 


長さがそろった
= 目盛りがそろった
= 共通の定規(共通の価値)


 

③ 3、6、1、\(\large{\frac{3}{2}}\) の価値をそろえると、
 比較できる = 「比」

 

よって、目盛りが共通であるので、単純に

 

\(\large{\frac{1}{3}}\):\(\large{\frac{1}{6}}\):\(\large{\frac{1}{1}}\):\(\large{\frac{2}{3}}\) とできる

 

そして、これは「形的に見ると、係数の逆数」になっている ですね!

 

 

《 例 》
図のような長方形ABCDがあります(AB = a、BC = bとします)
aを1辺とする正方形の頂点をE、F
FCを1辺とする正方形の頂点をG、H
DHを1辺とする正方形の頂点をI、Jを順次作成すると
長方形EGJIができました

 

例題問題文字で表現する1

 

(1) 正方形GFCHの面積を a, b で表しましょう

 

 FC = b-a  ∴ (b-a)2

 

 

(2) 正方形IJHDの面積を a,b で表しましょう

 

 DH = a-(b-a)  
 ∴ {a-(b-a)}2 = (a-b+a)2 = (2a-b)2

 

 

(3) 長方形EGJIの面積を a, b で表しましょう
・IJ = DH = a-(b-a) = ID
・EI = FC-ID = (b-a)-{a-(b-a)}= b-a-a+b-a = -3a+2b
 ∴ 長方形EGJI = (2a-b)(-3a+2b)

 

→ (1)、(2)、(3) ともに「展開」しても、OK正解ですね

 

図形の場合は、ただ「文字」で「面積」や「距離」を表せばよいだけですね

 

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

  
  
このエントリーをはてなブックマークに追加
  

 

 

 

 スポンサーリンク

 

2017/12/5 23:12  
 
スタディサプリ高校・大学受験講座  

スタディサプリ ENGLISH  
 
通常  

スタディサプリENGLISH  
  
 

 


このページの先頭へ戻る