中学数学　関数

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中学3年生課程

A数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 関数

ア	事象と関数 y＝ax2
イ	関数 y＝ax2の特徴
・	各部名称
・	y＝ax 2 のグラフ
・	実は全ての放物線は相似
・	比例定数 a
①	変域
②	変化の割合
③	一次関数との交点
・	関数の原型
④	一次関数との接点
ウ	関数 y＝ax2を用いた具体的な事象の説明
①	具体的な事象
・	「加速・減速」の放物線
・	停止距離
・	「風圧」の放物線
・	パスカルとは
・	空気抵抗とは
・	「ふりこの紐」の長さの放物線
・	「ダイヤモンドの価格」の放物線
・	世界最大のダイヤ原石は3106ctだった
・	「動く点がつくる面積」の放物線
・	「動く図形がつくる面積」の放物線
②	グラフ操作問題
・	相似と放物線
・	正方形と放物線
・	正三角形と放物線
・	平行四辺形と放物線
・	面積と放物線
・	(座標上の2点間の距離)
エ	いろいろな事象と関数
・	円運動の関数
・	段階料金の関数

 

関数

 

ア　事象と関数 y＝ax²

 

関数とは、x の値が決まれば、y の値が「ただ1つ決まる」関（・）係の数（・）字達でしたね！

 

1年では、『比例』を学びましたね ← 原点(0, 0)を通る一次関数

 

　と、『反比例』

 

2年では、『一次関数』

 

そして、3年では『関数y = ax2 』

 

を学んでいきますね

 

ちなみに、高校では『二次関数』

を学ぶことになりますね

 

ということは、今から学ぶ『関数y = ax2 』は「二次関数の1場面」、
「必ず頂点が(0, 0)な二次関数」ということができますね！

 

『一次関数』が、(0, 0)を通れば『比例』という個別名称があるのに、
『二次関数』の頂点が、(0, 0)のときは『関数y = ax2 』……個別名称とは
言い難いですが、個別名称がないのでこれがそのまま個別名称です

 

では、どのような現象のとき このようなグラフが発生するのでしょうか？

 

 

ex) 1辺xcmの正方形とその面積ycm2の関係を見ると

 

 

 

→ 上はy = 1x2 ですね
このようなときも、『yはx2 に比例する』といいます
そして「yはx2 に比例する」と言えば、数式の基本形は『y = ax2』となりますね
yはx2 の1倍 → y = 1x2 →「1」は書かないので → y = x2 ですね！
cf) yはx2 の2倍 → y = 2x2　ですね

 

 

ex) 球が斜面を転がり始めてから、x秒間に転がる距離ymの関係

 

 

→ yはいつもx2の半分ですね、「yはx2に比例」していますね！

 

 

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イ　関数y＝ax²の特徴

 

各部名称

 

 

 

 

 

y＝ax² のグラフ

 

「グラフを描け」という問題は、定期テストでしか出ませんが、1度描いてみますね

 

 

《 例 》
y = x2 、y = 2x2 、y = -2x2 、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2、y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 のグラフを描きましょう

 

 

 

 

 

 

 

戻りまして、
y =ax2 のグラフを目盛りから描くことは、習い始めだけですね！
今後、問題を解く上で必要と思われるのは、
自分なりの「略グラフ」を持つということだと思います

 

例えば、y = x2 なら

 

 

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2 なら

 

 

 

y = 2x2 なら

 

 

 

というふうに、「自分なりの略グラフ」を持つこと、すぐ描けること、が大事になっていきますね！

 

 

 

比例定数 a

 

比例　y = ax の「a」は、「比例定数」
一次関数 y = ax+b の「a」は、「変化の割合」「傾き」
関数 y = ax2 の「a」は「比例定数」 と言いましたね！

 

比例の「a」も 関数 y = ax2 の「a」も「比例定数」
ということは、2つの「a」は同じ意味なのでしょうか？

 

→ 同じ意味です！
ただ、結果が変わってきますね

 

・比例 y = ax の aはxに対する「比例定数」
∴ 必ず「直線」→ 「 = 傾き具合」を表す

 

・関数 y = ax2 の aはx2 に対する「比例定数」
∴ 必ず「放物線」→ 「曲線の開き具合」

 

ということですね！

 

 

 

《 例 》
関数y = ax2 のグラフが点( 3 , 6 )を通るとき、aの値を求めましょう

 

→ 代入するだけで文字がaだけになりますね
6 ＝ a・32　→　9a = 6　→　a = \(\large{\frac{6}{9}}\)
　∴ a = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

 

 

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①　変域

 

1年の比例の変域、2年の一次関数の変域と全く同じ考え方でOKですね！

 

ただ一つ気をつける点は、曲線であるために「yがはみ出る？
(両端のxの値に対応するyの値が、必ずしもそのままyの範囲ではない」ことがある。)
ということですが、
範囲を求めるときは、「簡単でいいから略図を書く」それさえ実行すれば
なんということはないですね！

 

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの最大値と最小値を求めましょう

 

(1)　x≦-2

 

→ 略図ですね

 

 

(2)　-4≦x≦2

 

 

↑x = -4、x = 2の「代入だけでは出てこない部分」も略図ですぐ判明ですね！

 

 

(3)　x ≧-2

 

 

 

《 例 》
関数y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの最大値と最小値を求めましょう

 

(1)　x≧-2

 

 

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの変域を求めましょう

 

(1)　-4≦x≦-2

 

　→　略図ですね

 

 

　∴2≦y≦8

 

 

(2)　-4≦x≦2

 

 

 

 

(3)　-2≦x≦4

 

　∴　0≦y≦8

 

 

(4)　2≦x≦4

 

　∴　2≦y≦8

 

 

 

《 例 》
関数y = ax2 で、xの変域が -1≦x≦2のとき、yの変域は-1≦y≦0であった、
このとき、aの値を求めましょう

 

→ yの変域が -1≦y≦0 ということは、
高校で学ぶ y = ax2+bx+cであれば、

 

 

中学の関数 y = ax2は、必ず「頂点が(0, 0)」なので、
yが「-1」の値をとりうるグラフは

 

 

 

というわけで、適当に上に凸なグラフを描いて

 

 

 

 

 

∴ y = ax2 に点(2, -1)を代入して
　-1 = 4a　→　a = -\(\large{\frac{1}{4}}\)

 

 

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②　変化の割合

 

一次関数で「変化の割合」といえば「a」、
すなわち、「直線」の「傾き具合」でしたね

 

直線であれば、どこの2点をとっても「傾き具合」は同じ、一定ですが
放物線に直線部分はありませんので、2点の取り方によって
「様々な傾き具合がある」ということになります

 

 

イメージ的には・・・
短距離ランナーを2秒間隔で連写撮影すると

 

 

どの2点間も「(2点間の)平均速度 (  = \(\large{\frac{距離}{時間}}\)  = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\))」が違いますね

 

加速中（・）だから1秒あたり進める距離が後半ほど長くなっているからですね

 

 

というわけで、放物線の「変化の割合」は「2点」必要ということになります
　　( 1点だけで求める「瞬間時速」は高校で！)

 

そして、2点を取り出して、それらを結んだものは当然「直線」ですね！
すなわち、その2点だけに通用する一次関数の「傾き」を求めるということですね

 

 

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2で、xの値が -4から 2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう

 

→ x = -4のとき(式に代入して)yは4、x = 2のときyは1
→ すなわち2点の座標は  (-4, 4)  (2, 1)
→ 傾きa ＝ \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\) = \(\large{\frac{1-4}{2-(-4)}}\) = \(\large{\frac{-3}{6}}\) = -\(\large{\frac{1}{2}}\)　//　

 

同じく、xの値が2から4まで増加するとき、変化の割合を求めましょう
→ 結局　(2, 1) (4, 4)の2点を通る直線の傾きと同じことですね
→ 傾きa ＝ \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\) = \(\large{\frac{4-1}{4-2}}\)  = \(\large{\frac{3}{2}}\)　//　

 

 

 

 

《 例 》
関数 y = ax2で、xの値が x1から x2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう

 

→ 上と全く同じ問題ですが、全て文字ですね

 

 

 

《 先ほどと同問 》
関数 y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2で、xの値が-4から2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう

 

→ 関数 y = ax2 上の2点を結ぶ直線の傾き  = a(x2+x1)  = \(\large{\frac{1}{4}}\)(2-4)
　= -\(\large{\frac{1}{2}}\)　//　←確かに同じ答えですね

 

→ ですが！全くの余談公式です、テストで2点間の傾きを求めることは
1テストあたり、あっても2、3問ですので
2点を結ぶ直線の傾き

 

で十分ですね！

 

・曲線の開き具合の「a」 (y = ax2 の「a」) なのか
・直線の傾き具合の「a」 (y = ax+b の「a」) なのか

 

完全に混乱しなくなってから、使った方がよいのかなと思います

 

 

 

《 例 》
2つの関数 y = ax2 と y = -3x+2 において、xの値が2から4まで増加するときの変化の割合が等しいとき、aの値を求めましょう

 

 

 

 

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③　一次関数との交点

 

一次関数どうしの交点、すなわち、直線と直線の交点は連立方程式で求めましたね！

 

放物線と直線の交点も全く同様、連立方程式です！

 

 

 

《 例 》
関数y = 2x2 と y = x+1のグラフの交点の座標を求めましょう

 

→ 連立方程式ですね、「ひっ算方式」でも「代入方式」でもどちらでもOKですね

 

\(\small{\begin{cases}
y = 2x^2　\\
y = x+1
\end{cases}}\)

 

(ひっ算方式)
　　y = 2x2
-) y = x+1
　　0 = 2x2-x-1
(2x+1)(x-1) = 0
∴ x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1

 

(代入方式)
y = x+1のyに、(y=)2x2を代入して
2x2 = x+1
→ 以下ひっ算方式と同様に
　x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1

 

 

 

→ あとは、y = 2x2 か y = x+1に x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1を代入してy座標ですね
計算しやすい方で！どちらでもOKです、y = 2x2に代入しますね

 

・y = 2(-\(\large{\frac{1}{2}}\))2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)
・y = 2(1)2 = 2

 

∴　(\(-\large{\frac{1}{2}}\), \(\large{\frac{1}{2}}\))　(1, 2)

 

 

 

 

 

 

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④　一次関数との接点

 

「接点」…接する点ですね

 

　　

 

まず、y = ax2 は放物線という(全部分)曲線ですので、直線部分はありませんね
そして、一次関数y = ax+bは直線ですので、その2つが接する部分は
「面」ではなく、必ず「点（・）」ですね

 

 

　　

 

これら3つは直線が曲線をまたいでいる（・・・・・・）ので、「接点」ではなく「ただの交点」ですね

 

 

　

 

これは接していないので、当然「接点」はありませんね

 

よって、曲線と直線の「接点」は

となりますね

 

そして
(ア)は y=a の直線ですので、一次関数ではないですね
…「関数」とはxの値が決まれば、yの値がただ1つ決まる関係
→ y=a は … xの値に関係なくyは一定の数字(定数)
→ 「接線」ではあるが、惜しいかな「一次関数」と「二次関数」の「接線」
とは言い難いですね

 

 

(イ)は x=0 の直線ですので、「あっても1つ」の「１つ」ではありますが
・「接点」ではなく、またいでいるので「ただの交点」
・しかも直線 x=0 は一次関数ではない

 

(ウ)は実はいずれグラフの上の方で「交わり」ますので、(イ)になりますね

 

 

よって、一次関数 y=ax+b は90°の縦線や180°の横線ではなく、
必ず「傾き」というものがありますので
結局のところ 関数　y=ax2 と一次関数 y=ax+b の交点は

 

　① 2点で交わる
　② 1点で交わる
　③ 交わらない

 

の3つにしか分類できないということになりますね！

 

 

すなわち、y = ax2 とy = ax+b の交点(共通解)が「１つ」であれば
それは「接点」ということにまりますね

 

 

 

 

《 例 》
2つの関数の交点の座標を求めましょう
さらに、(確認のため)判別式Ｄでxの解( = 交点のx座標)の個数を確認しましょう
　( 判別式Ｄ)

 

(1)　y = x2 と y = 2x+3

 

● 交点のx座標 = 共通x座標 → x2 = 2x+3　←今後は「ひっ算方式」ではなく「代入方式」でいきますね
→ x2-2x-3 = 0 → (x-3)(x+1) = 0
∴ x = 3, -1  → 交点の座標は(3, ？)(-1, ？)

 

交点のy座標 = 共通y座標 → y = x2 の方に  x = 3, -1を順次代入
↑今後は「一次関数」ではなく「y = ax2」の方に代入でいきますね

 

・ y = x2 → y = (3)2  → y = 9   ∴ (3, 9)
・ y = x2 → y = (-1)2  → y =1   ∴ (-1, 1)

 

ちなみにグラフは

 

 

● 二次方程式x2 = 2x+3 → x2-2x-3 = 0を判別式Ｄで検査すると
Ｄ/4 = (bの半分)2-ac  = \(\left(\large{\frac{-2}{2}}\right )^2\)-1・(-3)  = 1+3  = 4
　∴ Ｄ＞0(Dの値は0より大きい) → xの解は2つ (= x座標が2つ = 交点が2つ)
　(確かに2つありましたものね！)

 

 

(2)　y = x2 と y = 2x-1

 

● 交点のx座標→ x2-2x+1 = 0  → (x-1)2 = 0　∴ (1, ？)
　交点のy座標→ y = (1)2  → y = 1　∴ (1, 1)

 

● Ｄ/4 = 1-1 = 0
　∴ Ｄ = 0 → xの解は1つ( = x座標が1つ = 交点が1つ)

 

 

 

(3)　y = x2 と y = 2x-2
● 交点のx座標→ x2-2x+2 = 0  → きれいに因数分解できなさそう
解の公式 → x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)  = \(\large{\frac{2±\sqrt{4-8}}{2}}\)  = \(\large{\frac{2±\sqrt{\color{red}{-}4}}{2}}\)
∴ √ の中がマイナス  → そんな実数は存在しない  → 解なし  → 共通解なし  →交点なし

 

交点のy座標→ 当然なし

 

 

● Ｄ = 4-8 = -8
∴ Ｄ＜0 → xの解はない( = 共通x座標がない = 交点がない)

 

 

以上3つのグラフを並べておきますね

 

 

 

《 例 》
放物線y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2と直線  y = mx-2がただ1つの共有点をもつようなmを求めましょう。ただしmは正の数とします

 

 

→ 2つの線の交点のx座標が「ただ一つ」ということは
D = 0 になればよいということですね

 

・\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 = mx-2  → (Dの検査は必ず右辺を0にする)  → \(\large{\frac{1}{2}}\)x2-mx+2 = 0  → x2-2mx+4 = 0
・D/4 が 0 → m2-4 = 0  → m = -2, 2
→ m＞0の指定より  　A.　m = 2

 

cf. m＞0の指定がなければ、答は m＝- 2, 2 の2つですね

 

 

 

 

《 例 》
放物線y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2と直線  y = 2x+mが ただ1つの共有点をもつようなmを求めましょう

 

 

→ 上と同様に D = 0 になればよいということですね
\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 = 2x+m  → x2-4x-2m = 0
D/4 = 0 → 4-(-2m) = 0  → 2m = -4
　A.　m = -2

 

 

 

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ウ　関数 y＝ax²を用いた具体的な事象の説明

 

①　具体的な事象

 

【 加速・減速 】

 

まずは、「距離」「時間」「速さ」の関係をイメージしてみましょう
最高時速90km( 90km/60分 = 1.5km/分 = 25m/秒 ←「25m毎秒」と読めばよいと思います)の電車が、
A駅→B駅間(3km)を
「静止」→「加速」→「一定走行(等速)90km/時」→「減速」→「停止(静止)」
を行う場合のグラフを考えてみますね

 

x軸を「時間」、y軸を「距離」とすると…

 

x軸を「時間」、y軸を「速さ」にすると…

 

実際、静止状態からいきなり速さ90km/時になったら…
　…大けがでは済まないですね
足元の床が急に90km/時で動き出したら…あっという間に転ばされて、
あっという間に車両の後ろ壁が90km/時で衝突してきますね

 

 

ここでは、おおよそ

 

 

というイメージだけ持っていただければ 十分かと思います

 

 

 

《 例 》
ある斜面を球が転がるとき、進んだ距離をy、時間をxとすると
yはx2 に比例します、今4秒後に24m進みました。

 

(1) yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはx2 に比例する」というフレーズが出れば
　y = 〇x2 すなわち開き具合は分からないが「頂点(0, 0)の放物線」
　すなわち、y = ax2という基本形が確定ということですね (～は～に比例する)
→ y = ax2 に x = 4, y = 24を代入してaを求めるだけですね
　y = ax2 → 24 = 16a  → a = \(\large{\frac{24}{16}}\)  = \(\large{\frac{3}{2}}\)
∴　y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2

 

 

(2) 転がり始めてから2秒後から4秒後の「距離」を求めましょう

 

・ 2秒後の距離 → y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2 に、x = 2(秒)を代入  → y = 6(m)
・ 4秒後の距離  → y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2に、  = 4(秒)を代入  → y = 24(m)

 

∴ 24-6 = 18　Ａ．(2秒後から4秒後に進んだ距離は) 18m

 

 

(3) 2秒後から4秒後間の「平均の速さ」を求めましょう

 

→ 4秒-2秒の「2秒間」で、「18m」進んでいるので

 

　18÷2 = 9　　 Ａ．9m/秒

 

 

(4) 転がり始めてから2秒後から4秒後間の「変化の割合」を求めましょう

 

この2点間にだけ通用する「直線」の傾きですね

 

変化の割合 = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)   = \(\large{\frac{24-6}{4-2}}\)   = \(\large{\frac{18}{2}}\)   = 9
A.　9　←直線y = 9x+b の「9」

 

→ 当然、2秒後から4秒後間の「平均の速さ」と同じ「9」ですね

 

 

 

《 例 》
Ａ君は自転車で4m/秒(14.4km/時)の速さで、バス停で停車中のバスを追い抜きました。 Ａ君が追い抜いてから5秒後にバスが y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2の加速感で走り出しました。バスは何秒後にＡ君に追いつくでしょうか

 

 

→ あとは交点を求めるだけですね
\(\large{\frac{1}{4}}\)x2 = 4x+20  → x2-16x-80 = 0  → (x-20)(x+4) = 0
∴ x = -4, 20　x＞0より  x = 20
Ａ． 20秒後

 

 

 

《 例 》
ある中学校の体育祭の男女混合リレーの1場面で
Ａさんが4m/秒で走ってきました。次走者のＢ君はトップスピードになるまでは
y = 2x2で加速できます
Ａさんが何m後方に達したときに走りだせばロスのないバトンパスができる
でしょうか

 

 

①1m後方の時に走り出すと、ロスがありますね
③3m後方の時に走り出すと、ＡさんばＢ君に追いつけずバトンパスができませんね
②2m後方の時に走り出すと、両者とも(その瞬間での)最高速度→ロスなしですね

 

→ グラフで判明してしまいましたが、ロスのないバトンパスは
直線が放物線の接線のときですね
すなわち、y = 2x2 と   y = 4x+bの接線の式の「b」を求めればよいですね

 

→ 接線であるためには、「交点が1つ」であればよい でしたね！

 

2x2 = 4x+b  → 2x2-4x-b = 0

 

Ｄ/4 = 0  → 4-(-2b) = 0  → 2b = -4  → b = -2

 

∴ 直線y = 4x+bがy = 2x2 の接線になるためには、b = -2
Ａ．　Ｂ君は、Ａさんが2m後方に来た時に(全開で)走り出せばよい

 

 

 

《 例 》
ブレーキが効き始めてから車が止まるまでに進む距離を  制動距離といいます。
制動距離ymは、時速xkmで走っているとき、
yはxの2乗に比例することがわかっています

 

(1-a) 時速80kmで走っている「乗用車」がブレーキをかけ、
止まるまでに54m進みました。yをxの式で表しましょう

 

→ xが「時間」ではなく「速さ」ですね
ですが、そのx(速さ)が「yはxの2乗に比例する」と問題文が言うのですから、
そのままま当てはめていきましょう
→ 「yはxの2乗に比例する」というフレーズがあれば
y = ax2 ですね

 

54 = (80)2a → 6400a = 54  → a = \(\large{\frac{54}{6400}}\)  → a = \(\large{\frac{27}{3200}}\)
∴　y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)x2

 

 

(1-b) この「乗用車」が時速40kmで走っていた場合の制動距離は？

 

A.　13.5m

 

 

(2-a) 時速80kmで走っている「大型トラック」がブレーキをかけ、
止まるまでに84m進みました。yをxの式で表しましょう

 

→ 同様に y = ax2 ですね
84 = (80)2a → 6400a = 84  → a = \(\large{\frac{84}{6400}}\)  → a = \(\large{\frac{42}{3200}}\)  = \(\large{\frac{21}{1600}}\)
∴　y = \(\large{\frac{21}{1600}}\)x2

 

 

(2-b) この「大型トラック」が時速40kmで走っていた場合の制動距離は？

 

　A.　21m
同じ時速40kmでも、乗用車より大型トラックの方が 制動距離が長い  = 重いものは止まりにくい

 

 

 

 

《 例 》
乗用車の空走距離ymは、時速xkmで走っているとき、
yはxに比例します

 

(1) 時速80kmで走っている「乗用車」がブレーキをかけようと思ってから
ブレーキが効き始めるまでに22m進みました。(空走距離ですね)
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはxに比例する」というフレーズ → y = ax
80 = 22a → a = \(\large{\frac{80}{22}}\) = \(\large{\frac{40}{11}}\)
∴ y = \(\large{\frac{40}{11}}\)x

 

 

(2) 「乗用車」の制動距離yは速さxとの関係において
y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)x2 とわかっています
時速60kmのときの「停止（・・）距離」を求めましょう

 

→ 空走距離 y = \(\large{\frac{40}{11}}\)x …(1)より
　空走距離 y = \(\large{\frac{40}{11}}\)・60  = \(\large{\frac{2400}{11}}\) (≒22m)

 

 

∴ 停止距離 = 空走距離+制動距離 ≒ 22+30 ≒ 52m
Ａ． およそ52m

 

( テストで出る場合は歯切れのよい数字になると思います)

 

 

 

 

 

 

【 風圧 】

 

《 例 》
風の風速をxm/秒、その風が物体にかける風圧をyパスカルとすると、
yはxの2乗に比例することが知られています

 

(1) 今、風速5m/s(秒)のとき、物体にかかる風圧は12.5パスカルでした
yをxの式で表しましょう

 

 

→ 見慣れない単位が出てきても、もう「単純作業」ということは分かってきましたね
→ 「yはxの2乗に比例」というフレーズ →   y = ax2の形
→ 判明している y, x の値を代入してaを求める
　12.5 = (5)2a → 25a = 12.5 → a = \(\large{\frac{12.5}{25}}\) = \(\large{\frac{125}{250}}\) = \(\large{\frac{5}{10}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)
∴ y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2

 

 

(2) 風速60m/ｓ (←室戸台風最大瞬間風速)のとき、物体が受ける風圧は？

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2  → y = \(\large{\frac{1\cdot60\cdot60}{2}}\)  = 1800  　A.　1800パスカル

 

 

 

 

 

《 例 》

 

(1) 今、ローター径が40mのとき、発電量は500kwでした
yをxの式で表しましょう

 

y = ax2 → 500 = (40)2a  → 1600a = 500  → a = \(\large{\frac{5}{16}}\)
∴　y = \(\large{\frac{5}{16}}\)x2

 

 

(2) ローター径を2倍にすると、発電量は何倍？

 

→ ローター径が2倍ということは、80m
y = \(\large{\frac{5}{16}}\)・802  = \(\large{\frac{5\cdot80\cdot80}{16}}\)  = 5・400  = 2000kw

 

∴ 2000kw÷500kw = 4  　A.　4倍

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》
ふりこのひもの長さym、ふりこが左右の1往復にかかる時間をx秒とすると
yはxの2乗に比例することが知られています

 

 

(1) 今、ボンボン時計のふりこの長さが1mのとき、
１往復にかかる時間は2秒でした。
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはx2の2乗に比例する」 → y = ax2
∴ 1= 22･a → a = \(\large{\frac{1}{4}}\)
∴ y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2

 

 

(2) ふりこの長さを90cmにすると１往復にかかる時間は？
\(\small{\sqrt{2}}\) = 1.4、\(\small{\sqrt{5}}\) = 2.2として求めましょう

 

→ 90cm = 0.9m (立てた式がm → 代入する値もmに！)
yに0.9を代入してxを求めると

 

 

(3) １往復にかかる時間が１秒のときふりこの長さは？

 

→ xに1を代入してyを求めると
y = \(\large{\frac{1}{4}}\) ・12 = \(\large{\frac{1}{4}}\) = 0.25　  A.　0.25m (25cm)

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》
ダイヤモンドの重さをxct(カラット)、価格をy円とすると
yは(およそ)xの2乗に比例することが知られています

 

(1) 今、重さが1ctのとき、価格は70万円でした。
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはxの2乗に比例」  → y = ax2 の形
∴ 70万 = 12・a   → a = 70万
Ａ． y = 70万x2

 

 

(2) 0.3ctのダイヤモンドの価格は？

 

→ y = 70万･0.32  = 700000・0.09  = 7000×9  = 63000
Ａ． 63000円

 

 

 

 

 

 

【 動く点 】

 

《 例 》

 

→ x秒後のBQの距離は、 2xcm(= 底辺)
→ x秒後の正三角形の高さは、PからBQへの垂線
　垂線とBQの交点をhとすると x秒後の高さは・・・

 

 

∴ y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・底辺・高さ  = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2x・\(\small{\sqrt{3}}\)x  　A.　y = \(\small{\sqrt{3}}\)x2

 

 

 

 

 

 

《 例 》
1辺の長さが4cmの正方形ABCDの辺上を動く2点P, Qがあります
点Bを同時に出発して、点Pは毎秒2cmの速さで矢印の方向に、
点Qは毎秒1cmの速さで矢印の方向に進むとき、
x秒後の△BPQの面積をycm2とします

 

 

(1) yをxの式で表しましょう

 

→ 確認として、2点PQの速さが違いますね
→ 簡単にシミレーションしましょう (早い方Pを自分としますね)
Pが2秒でCに到着したときQはまだABの真ん中
Pが4秒でDに到着したときQはやっと点A
P, QがそれぞれD, Aを出発して、Pが\(\large{\frac{1}{3}}\) 秒で\(\large{\frac{2}{3}}\)ADの地点でQと合流

 

→ ターニングポイントは3つしかなく、しかもPだけを基準に考えられますね
(問題によっては、Pが方向を変えていない間に
Qの方向が変わる(ターニングポイント)こともあります

 

→ 簡単な図を書き込んでイメージ化

 

①と②の間がイメージしにくいなら、さらに途中イメージを描いてみる

 

 

(0＜x≦2秒 のとき)
→ (点BPQが作る三角形において、どこを底辺、どこを高さとみなすかは自由です)
(BPを底辺、BQを高さとしてみますね)
BPの距離(長さ) = 2x cm　←距離 = 速さ×時間 = 2cm/秒×x秒)
(2秒で点Cに到着することがわかりますね)

 

BQの距離(高さ) = 1x cm　←距離 = 速さ×時間 = 1cm/秒×x秒)

 

∴ 三角形の面積 y  = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・2x・1x  = x2

 

 

(2≦x≦4秒 のとき)
→ 今度はBQを底辺としてみますね
→ すると点PがCD間を動いている間は高さはずっと「4」ですね
　( 底辺が大きくなっていくので、完全な等積変形ではないですが、考え方は使えますね )

 

∴ 三角形の面積  y = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・1x・4  = 2x

 

 

(4≦x≦\(\large{\frac{1}{3}}\) 秒のとき)

 

→ 今度はADの辺を底辺としてみると、
ⅰ) △BPQ ＝ \(\large{\frac{1}{2}}\)・PQ・4   ＝ \(\large{\frac{1}{2}}\)・(AD-PD-AQ)・高さ4 　

 

　　他にも
ⅱ) △BPQ = △BAD-Pの速さが3cm/秒の△BDP(QはAで停止)と考えても同じことですね　 ←(3つの速さのうちの「相対速さ」)

 

 

ⅰ) y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・｛4-(2x-8)-(1x-4)｝・4  = (12-2x-x+4)・2  = (-3x+16)・2  = -6x+32  　 (動点Pの位置表現)

 

ⅱ) y = △BAD-△BDP  = 8-△BDP
  = 8-\(\large{\frac{1}{2}}\) ・4・3(x-4)  = 8-6x+24  = -6x+32

 

 

A.　y = x2　(0＜x≦2のとき)
　　y = 2x　(2≦x≦4のとき)
　　y = -6x+32　(4≦x≦\(\large{\frac{16}{5}}\) のとき)

 

 

 

(2) (1)で求めた関数をグラフに書き込みましょう
　

 

ここで、(1)の4≦x≦\(\large{\frac{16}{5}}\)のときの関数を求める場合の  (x-4)をxで求めていたら
→ y = △BAD-△BAQ-△BDP  = 8-△BAQ-△BDP
  = 8-\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・x -\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・2x  = 8-2x-4x  = -6x+8 となりますね

 

 

面積的には正しいのですが、時間の流れ的におかしいということですね！

 

よって、

 

( 直線の平行移動)

 

　

 

 

(3) y = 3 となるxの値を求めましょう

 

・y = x2  → 3 = x2  → x = ±\(\small{\sqrt{3}}\)  → x＞0より  　x = \(\small{\sqrt{3}}\)
・y = -6x+32  → 3 = -6x+32  → 6x = 29  → x = \(\large{\frac{29}{6}}\)
・確認のため、y=2x でも試すと、 → 3 = 2x → x = \(\large{\frac{3}{2}}\)ですが、
　y=2x のときの変域は(2≦x≦4)ですので、x=\(\large{\frac{3}{2}}\)は「不適」ですね！

 

∴　x = \(\small{\sqrt{3}}\) 、x = \(\large{\frac{29}{6}}\) のとき

 

 

 

【 重なる図形 】

 

《 例 》
図のような台形ABCDと長方形EFGHが点CFで接して並んでいます

 

 

長方形を固定し、台形を矢印の方向に点Cと点Gが重なるまでスライドします
FCの距離をxcm、重なった部分の面積をycm2としたとき
yをxの式で表しましょう

 

→ まずは、台形がどのような台形か分析ですね

 

 

→ ①ターニングポイントは、DがEに重なるまで → 直角二等辺三角形の拡大

 

 

→ ②その後は、台形の幅が広くなっていく ですね

 

 

(0≦x≦4のとき)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・x・x = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2

 

(4≦x≦8のとき)

 

 

 

　　y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2　(0≦x≦4のとき)
A.　y = 4x-8　(4≦x≦8のとき)

 

 

 

 

《 例 》
先ほどとほぼ同じ問題になりますが・・・
図のような台形ABCDと長方形EFGHが点CFで接して並んでいます

 

 

長方形を固定し、台形が矢印の方向に2cm/秒の速さで
点Cと点Gが重なるまでスライドします
x秒後の重なった部分の面積をy cm2としたとき
yをxの式で表しましょう

 

→ xが「距離」から「時間」になりましたが
　時間を、2cm秒×時間にすれば結局「距離」ですね

 

→ ターニングポイント、2秒(2cm/秒×2秒 = 4cm)までは直角二等辺三角形
　その後、台形の幅が広くなっていく ですね

 

 

(0≦x≦2 のとき)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・2x・2x = 2x2

 

(2≦x≦4 のとき)

 

　　y = 2x2　(0≦x≦2のとき)
A.　y= 8x-8　(2≦x≦4のとき)

 

 

(2) 面積が16cm2となるのは、動き始めから何秒後でしょう

 

→ 適当にyに16を代入してみると…
・y = 2x2  → 16 = 2x2  → x2 = 8  → x = 2\(\small{\sqrt{2}}\)
∴ xの値が、0≦x≦2 に収まっていないので OUT！

 

・y = 8x-8  → 16 = 8x-8  → 8x = 24  → x = 3
∴ xの値が、2≦x≦4 に収まっているのでSAFE！
A.　3秒後

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

②　グラフ操作問題

 

二次関数のメインどころとなりますね！

 

【 相似 】

 

《 例 》
関数y = ax2のグラフ上に、2点A(-3, 9)、B(b, b2) がある
2点A、Bを通る直線がx軸と交わる点をCとする
AB：BC = 2：1であるとき bの値を求めましょう

 

 

→ データを書き込んでみると
y = ax2 は1点が判れば 式がわかるので
→ 9 = (-3)2a  → 9a = 9  → a = 1  　∴ y = x2

 

( 相似「Ａ型、Ｌ型、Ｈ型」)

 

 

 

 

《 例 》
図の①はy = x2、②はy = ax2 (a＞1)のグラフである
今、直線③が①、②、y軸と図のようにA、B、C、D、Eで交わっている
Aのx座標は-1、AB：BC：CD = 1：2：3 である

 

 

(1) aの値を求めましょう

 

→ B, C, D のそれぞれの「x座標」は比から求められますね

 

 

文字が残りながらも(x座標、y座標)が解りましたので、あとは「相似」の
「山型、L型」を利用してy座標ですね

 

 

→ \(\large{\frac{4}{9}}\)a-1：a-1 = ①：⑥

 

①・(a-1) = ⑥・(\(\large{\frac{4}{9}}\)a-1)  → 3a-3 = 8a-18  → -5a = -15
A.　a = 3

 

 

(2) Eの座標を求めましょう

 

→ A、B、C、Dの座標が全て数字で判明したのであとは自由自在ですね
2点から直線③の式を求め、y = x2 との交点を求めますね

 

きれいな数字の  A(-1, 1)と  D(1, 3)でいきますね
直線y = \(\large{\frac{3-1}{1+1}}\)(x+1)+1  = \(\large{\frac{2}{2}}\)(x+1)+1 = x+1+1  = x+2
∴ 直線③は y = x+2

 

交点は
　\(\small{\begin{cases}
y = x^2　\scriptsize{…①}\\
y = x+2　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

→ x2 = x+2 → x2-x-2 = 0 → (x-2)(x+1) = 0
∴ x = -1, 2 ←この-1は交点Aのx座標ですね
x＞0より　x座標は(2,　　)

 

y座標 → y = (2)2 = 4
A.　E(2, 4)

 

 

 

 

 

【 正方形 】

 

《 例 》
図のように正方形(各辺がx軸、y軸に平行)なとき、Aの座標を求めましょう

 

 

→ Aのx座標を(t,　　)とおくと・・・
y座標は、y = \(\large{\frac{1}{3}}\)x2に  x = tを代入して\(\large{\frac{1}{3}}\)t2  → A(t, \(\large{\frac{1}{3}}\)t2)
ということはDの座標は、D(t, 0)

 

→ 正方形より、AD = CD = 2OD
AD = 2OD →　\(\large{\frac{1}{3}}\)t2 = 2t  → t2-6t = 0  → t(t-6) = 0
∴ t = 0, 6　t＞0より  　t = 6

 

 

t = 6と判明しましたので、y座標も数字でわかりますね
y座標 = \(\large{\frac{1}{3}}\)t2 = \(\large{\frac{1}{3}}\)(6)2  = 12
A.　A(6, 12)

 

 

 

《 例 》
図のように正方形があるとき、Aの座標を求めましょう

 

 

↑Aをtとおく決まりはありません、BでもDでもCでもOKです

 

→ 正方形より、DA = AB
2t = 2t2-t2  → t2-2t = 0  → t(t-2) = 0
∴ t = 0, 2　t＞0より　t = 2
∴ A(t, t2) に t = 2を代入して
A.　A(2, 4)

 

 

 

《 例 》
図のグラフは、y = ax2 、  y = a
図形ABCDは正方形、
点A、Cはy = ax2 上の点である
正方形の面積が100のとき、aの値を求めましょう

 

 

→ 正方形の面積が100ということは、１辺は 10 ですね

 

→ y = ax2とy =aの交点が求められるかチャレンジですね
ア) 先のようにAのx座標を(t,　　)としてもよいですし
イ) 今までのように、「交点は連立方程式」でもよいですね

 

イ)の方が単純ですが、ア)でいってみますね

 

x座標を(t,　　)とすると、y座標は・・・
　y = ax2から (t, at2) とも表せられるし
　y = aから (t, a) とも表せますね

 

y座標は共通(交点)であるから   at2 = a  → t2 = 1  → t = ±1
t＞0 より　t = 1　∴ A(1, a)

 

 

→ C(11, a+10)は y = ax2 上の点より、代入するとaだけの式になって
aが求められそうですね
a+10 = a(11)2  → a+10 = 121a  → 120a = 10
A.　a = \(\large{\frac{1}{12}}\)

 

 

 

 

 

【 正三角形 】

 

《 例 》
関数y = ax2 のグラフとy = 4が2点A, Bで交わり、
三角形OABは正三角形になっています

 

 

(1) 点Aの座標を求めましょう

 

→ 正三角形ということは、その半分は「サブローキュー」ですね

 

 

 

(2) aの値を求めましょう

 

→ 判明した座標を代入するだけですね
y = ax2  → 4 = a(\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\))2  → 4 = a・\(\large{\frac{16・3}{9}}\)  → 12 = 16a
A.　a = \(\large{\frac{3}{4}}\)

 

 

(3) 点Bを通り、△OABを2等分する直線の式を求めましょう

 

 

 

→ ということは、
ア) BとAOの中点を通ればよい または
イ) Bを通り傾きがAOと垂直であればよい または
ウ) 図形の性質から単独で傾きを求める どれでもOKですね

 

考え方ア)

 

2点 B(-\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\), 4)、m(\(\large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\), 2) を通る直線の式は

 

\(\small{\begin{cases}
4 = -\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\small{a+b}　\\
2 = \large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\small{a+b}
\end{cases}}\)

 

　　12 = -4\(\small{\sqrt{3}}\)a+3b
-)　6 = 2\(\small{\sqrt{3}}\)a  +3b  
　　6 = -6\(\small{\sqrt{3}}\)a

 

∴ a = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) , b = \(\large{\frac{8}{3}}\)
∴ y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+\(\large{\frac{8}{3}}\)

 

 

考え方イ) Bを通り傾きがAOと垂直であればよい

 

 

→ AOの傾き = \(\large{\frac{4-0}{\large{\frac{4\small{\sqrt{3}}}{3}}-0}}\)  = \(\large{\frac{12}{4\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{3}{\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{3}}{3}}\)  = \(\small{\sqrt{3}}\)

 

→ 傾き\(\small{\sqrt{3}}\)に垂直な傾き  = -\(\large{\frac{1}{\small{\sqrt{3}}}}\)  = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
(垂直な傾き：2年一次関数)

 

 

 

 

考え方ウ) 図形の性質から単独で傾きを求める

 

 

正三角形の1辺AOの中点と頂点Bを通るということは
直線は∠ABOの二等分線
∴ ∠ABC = ∠OCB = 30° (錯角)

 

 

青線の傾き = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)   = \(\large{\frac{-1-0}{\sqrt{3}-0}}\)  = \(\large{\frac{-1}{\sqrt{3}}}\)  = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

 

後は　イ)と同様に進めて・・・
y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+\(\large{\frac{8}{3}}\)　ですね

 

 

 

 

《 例 》
図のように正三角形の頂点A, Bを y = x2 上におき、
辺BCをy軸と平行になるようすると 重心Gがy軸上にありました

 

 

(1) 頂点Bのx座標をtとして 頂点Aの座標を求めましょう

 

→ B座標はB(t, t2)
→ BCとAGの延長の交点をDとすると

 

 

Dの座標は・・・D(t, ？)
Aの座標は・・・GがADの重心より  AG：GD = 2：1( 重心)
　∴　A(-2t,　？)

 

AはDと違ってy = x2上の点であるから
x座標が解れば y座標もわかる
x座標-2tをy = x2 に代入して　
∴　A(-2t, 4t2)

 

 

(2) tの値を求めましょう

 

→ Dの座標は・・・Aと同じ高さなので、 D(t, 4t2)

 

　　　　　

 

→ AD：DB = \(\small{\sqrt{3}}\)：1 = 3t：3t2  → 3\(\small{\sqrt{3}}\)t2 = 3t  → \(\small{\sqrt{3}}\)t2-t = 0  → t(\(\small{\sqrt{3}}\)t-1) = 0
∴ t = 0, \(\large{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)  　t＞0より  　A.　t = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

 

 

(3) Cの座標を求めましょう

 

→ B(t, t2) 、D(t, 4t2)より  　DB = 3t2
DB = DC より  　BC間は6t2
∴ C(t, t2+6t2) = (t, 7t2)
これに t = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) を代入して
C(\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\), 7・\(\large{\frac{3}{9}}\))
∴　C(\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\), \(\large{\frac{7}{3}}\))

 

 

 

 

 

【 平行四辺形 】

 

《 例 》
図のようにy = 2x2 上に2点A、Bをとり
Bを通りx軸に平行な直線とy軸との交点をCとします
Aを通りx軸に平行な直線と放物線との交点をDとします
△ABCはBCを斜辺とする直角二等辺三角形であった

 

 

(1) 点Aのx座標を求めましょう

 

 

→ 点Aのx座標を(t,　　)とすると、A(t, 2t2)
後は点Bの座標をtで表して、直角二等辺三角形の性質を用いたら解けそうですね

 

問題により図が正確でない場合がありますので、
イメージのため正確な直角二等辺三角形を書いてみると

 

 

 

→ Hのx座標は(t,　　)、  CH = HBより  CB = 2CH
∴ B(2t,　　)  → y = 2x2 に代入して  → B(2t, 8t2)
ということは H(t, 8t2)
∴ AH：BH = 1：1 = 6t2：t  → 6t2 = t  → 6t2-t = 0  → t(6t-1) = 0
∴ t = 0, \(\large{\frac{1}{6}}\)  　t＞0より  　t = \(\large{\frac{1}{6}}\)
∴A(\(\large{\frac{1}{6}}\), \(\large{\frac{1}{18}}\))

 

 

(2) 原点Oを通る直線が、四角形ABCDの面積を2等分するように
直線の式を求めましょう

 

→ まずは四角形ABCDがどのような四角形か ですね

 

ADとy軸の交点をEとすると
AE = DE (線対称)
∴ DA = CB …①
AC = DC (線対称)
∴ CD = AB …②

 

①②より対辺がそれぞれ等しいので四角形ABCDは平行四辺形
( 平行四辺形の条件)
証明方法は他にもたくさんありそうですね

 

→ 平行四辺形系(平行四辺形・ひし形・長方形・正方形)を2分するには、
平行四辺形の2つの対角線の交点(1つの対角線の中点)を通ればよかったですね

 

 

よって、ACの中点を通ればよいということですね
A(\(\large{\frac{1}{6}}\), \(\large{\frac{1}{18}}\))、C(0, \(\large{\frac{2}{9}}\))

 

→ 原点と(\(\large{\frac{1}{12}}\), \(\large{\frac{5}{36}}\))を通る式は・・・  y = axに代入して
(原点を通るのでy = axで十分ですね、原点以外なら  y = ax+b)
\(\large{\frac{5}{36}}\) = \(\large{\frac{1}{12}}\)a  → 5 = 3a  → a = \(\large{\frac{5}{3}}\)
∴ y = \(\large{\frac{5}{3}}\)x

 

 

 

 

 

【 面積 】

 

《 例 》
図のように2点A、B、を通る直線①と、
2点A、Bをとおり原点を頂点とする放物線②があります
B(-2, 2)、Cは直線のy切片、AC：BC = 2：1であるとき
次の問いに答えましょう

 

 

(1) △ABOの面積を求めましょう

 

→ 判っているデータを書き込むと

 

 

→ あとは●の座標さえわかれば「底辺共有2三角形」より
面積がわかりますね ( 底辺共有2三角形)

 

→ AC：BC = 2：1より、Aのx座標がわかりますね

 

 

∴ BOの距離（・・）が2ということは、A’O’の距離（・・）は4ですね  (2：A’O’ = 1：2)
∴ A’O’ = 4　  ∴ A(4,　　)

 

→ その前に、②の放物線の1点(-2, 2)が判っているので、放物線の式が解る

 

y = ax2   → 2 = a(-2)2  → 2 = 4a  → a = \(\large{\frac{1}{2}}\)
∴ ②の放物線は y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2
∴ Aの座標は y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2  → y = \(\large{\frac{1}{2}}\)(4)2  → y = 8  　∴ A(4, 8)

 

→ あとはCですね、2点が判明したので「直線の式」がわかる、
「直線の式」がわかれば、そのy切片も求められる ですね

 

B(-2, 2)　A(4, 8)より
\(\small{\begin{cases}
2 = -2a+b　\\
8 = 4a+b
\end{cases}}\)　　 これを解いて a= 1、b = 4
∴ ①の直線は y = x+4
∴ y切片であるCは C(0, 4)

 

→ 4座標が判明しましたので、「底辺共有2三角形」より
△ABO = \(\large{\frac{底辺×(合計高さ)}{2}}\)  = \(\large{\frac{CO×(ABの水平距離)}{2}}\)  = \(\large{\frac{4\cdot(2+4)}{2}}\)  = 12  　　A.　△ABO = 12

 

 

(2) △ABOをy軸を軸にして回転させた立体の体積を求めましょう

 

 

 

 

 

→ 上から順に分析しますね
　

 

 

2直線の交点も必要ですね、Dとします

 

 

体積 = Aパート+Bパート+Cパート

A.　(体積は)　\(\large{\frac{656}{27}}\)π

 

 

 

 

《 例 》
図のように、y = x2 のグラフ上に2点A、Bがあり、それぞれのx座標は
-2と3であった、放物線上をAからO、Bと動く点をPとする場合
△PABの面積が△OABの面積の\(\large{\frac{2}{3}}\) になるとき、点Pの座標を求めましょう

 

 

 

ということは、「頂点の平行移動」 = 「等積変形」ですね
( ここで言う　「高さ」とは正確には「高さにあたるもの」ですね！)

 

 

→ Aの座標 (-2,　　)が y = x2 上  → y = 4  　∴ A(-2, 4)
　Bの座標 (3, )が y = x2 上  → y = 9  　∴ B(3, 9)

 

→ 2点A, Bを通る黒線の式
y = \(\large{\frac{9-4}{3+2}}\)(x+2)+4  = 1(x+2)+4  = x+6  　∴ y = x+6

 

→ 青線の式
∴ y = x+2

 

→ 青線と放物線の交点
\(\small{\begin{cases}
・y = x^2　\\
・y = x+2
\end{cases}}\)
x2 = x+2  → x2-x-2 = 0  → (x-2)(x+1) = 0
∴ x = -1, 2　∴ P(-1,　　)と(2,　　)

 

y = x2 に代入して
A.　P(-1, 1) または (2, 4)

 

 

 

 

《 例 》
図のように、関数y = ax2 のグラフ上に4点A, B, C, Dがあります
A(-4, 4)、Bのx座標は2、Cのx座標は6、AB//CDのとき
△ABC：△ACD = 1：　　　である

 

 

→ AB//CDであるから ABとCDは「底辺にあたるもの」と見れますね
ということは、△CABも△ACDも高さは共通(同じ)ということですね！

 

 

→ 高さが同じということは…底辺の長さの比が そのまま面積比ですね
すなわち AB：DC = △ABC：△ACD
(高さにあたるもの、底辺にあたるもの)

 

→ あとは AB、CD、長さを求めるために 各座標を求める ですね
順次求めるだけですね

 

 

・y = ax2 が通る点が1つでもいいから完全に判っている  → y = ax2 が判明
A(-4, 1)を代入してaを求めると  … 4 = 16a  → a = \(\large{\frac{1}{4}}\)
　∴ y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2

 

・B、C、の座標は x座標が判っているので   y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 に代入するでけですね
B  → y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(2)2　∴ B(2, 1)
C  → y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(6)2 = 9　∴ C(6, 9)

 

・直線DCの式は ABと同じ傾(a)き そして C(6, 9)を通る
ABの傾き = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)  = \(\large{\frac{1-4}{2-(-4)}}\)  = \(\large{\frac{-3}{6}}\)  = -\(\large{\frac{1}{2}}\)
∴ 平行である直線DCは   y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+b これに判明しているCを入れて
9 = -\(\large{\frac{1}{2}}\)(6)+b  → b = 9+3 = 12
∴ 直線DCは y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+12

 

・直線DCと放物線の交点が Dの座標
\(\small{\begin{cases}
y = \large{\frac{1}{4}}\small{x^2}　\\
y = -\large{\frac{1}{2}}\small{x+12}
\end{cases}}\)

 

→ \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+12  → x2+2x-48 = 0  → (x+8)(x-6) = 0
∴ x = -8, 6  　(6,　　)は点Cですね  → ∴ Dが(-8,　　)
D(-8,　　)を  y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 に代入して y(座標)を求めると
y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(-8)2  = \(\large{\frac{-8\cdot-8}{4}}\) = 16  　∴ D(-8, 16)

 

・AB = \(\small{\sqrt{(横方向)^2+(縦方向)^2}}\)　←ただの三平方の定理ですね

 

 

 

 

 

= \(\small{\sqrt{(2+4)^2+(16-9)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{196+49}}\)  = \(\small{\sqrt{245}}\)  = 7\(\small{\sqrt{5}}\)
∴ △ABC：△ACD = AB：DC = 3\(\small{\sqrt{5}}\)：7\(\small{\sqrt{5}}\) = 3：7  = 1：\(\large{\frac{7}{3}}\)
∴　( 　 　 は) \(\large{\frac{7}{3}}\)

 

→ 後半はただの「作業」でしたね

 

 

 

 

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エ　いろいろな事象と関数(これまでの関数以外)

 

円運動系

「時計」「観覧車」など

 

 

《 例 》
高さ60cmの時計の分針が30分を出発してから
x分後の分針の先端の高さをycmとする

 

(1) 0≦x≦120 の範囲で xとyの関係をグラフに表しましょう

 

 

 

(2) 5分後の高さを求めましょう

 

 

∴ DB = \(\large{\frac{900-450\sqrt{3}}{15\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{60-30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{60\sqrt{3}-90}{3}}\)  = 20\(\small{\sqrt{3}}\)-30

 

DB：DF = 2：\(\small{\sqrt{3}}\)  → (20\(\small{\sqrt{3}}\)-30)：DF = 2：\(\small{\sqrt{3}}\)  → 2DF = 60-30\(\small{\sqrt{3}}\)  → DF = 30-15\(\small{\sqrt{3}}\)
A.　30-15\(\small{\sqrt{3}}\) cm　(≒4.02cm)

 

 

(3) 10分後の高さを求めましょう

 

 

→ ECが高さということですね
AE：AD30cm = 1：2  → 2AE = 30cm
∴ AE = 15cm
∴ EC = 30-15  = 15cm  　A.　15cm

 

 

 

料金系

 

「電車・バス・タクシー料金」「宅配料金」「駐車料金」「四捨五入」など区切段階的なもの

 

 

《 例 》
あるタクシー会社の料金設定は、下の表のようになっています。
このタクシーにxm乗車したときの運賃をy円とします
乗車距離3kmまでのxとyの関係をグラフに表しましょう

 

 

 

このような「階段状」のグラフでも
「xの値が決まれば、yの値がただ一つ決まる」ので「関数」といえますね
→ 「yはxの関数」と言えますが
逆の「xはyの関数」とは言えなさそうですね

 

 

 

《 例 》
xを小数第一位で四捨五入した数値をyとします。

 

(1) 0≦x≦5の変域でグラフに表しましょう

 

 

 

(2) x= 2.49 のとき yの値を求めましょう

 

→ グラフより y = 2
または 2.49を小数第一位で四捨五入すると 2.0
A.　y = 2

 

 

 

 

お疲れ様でした！
その他の問題は、「問題集」で !!

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