中学数学 関数

 

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A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 関数

事象と関数 y=ax2
関数 y=ax2 の特徴
 ・ 各部名称
 ・ y=ax 2 のグラフ
 ・ 実は全ての放物線は相似
 ・ 比例定数 a
 ① 変域
 ② 変化の割合
 ③ 一次関数との交点
  ・ 関数の原型
 ④ 一次関数との接点
関数 y=ax 2を用いた具体的な事象の説明
 ① 具体的な事象
  ・ 「加速・減速」の放物線
  ・ 停止距離
  ・ 「風圧」の放物線
  ・ パスカルとは
  ・ 空気抵抗とは
  ・ 「ふりこの紐」の長さの放物線
  ・ 「ダイヤモンドの価格」の放物線
  ・ 世界最大のダイヤ原石は3106ctだった
  ・ 「動く点がつくる面積」の放物線
  ・ 「動く図形がつくる面積」の放物線
 ② グラフ操作問題
  ・ 相似と放物線
  ・ 正方形と放物線
  ・ 正三角形と放物線
  ・ 平行四辺形と放物線
  ・ 面積と放物線
  ・ (座標上の2点間の距離)
いろいろな事象と関数
 ・ 円運動の関数
 ・ 段階料金の関数

 

関数

 

ア 事象と関数 y=ax2

 

関数とは、x の値が決まれば、y の値が「ただ1つ決まる」係の字達でしたね!

 

1年では、『比例』を学びましたね ← 原点(0, 0)を通る一次関数

 ・基本形 y = ax
 ・aのことを 比例定数
 ・グラフは (0, 0)を通る直線

 比例のグラフ


 

 と、『反比例』

 ・基本形 y=\(\large{\frac{a}{x}}\) (xy =a)
 ・aのことを 比例定数
 ・グラフは 双曲線

 反比例のグラフ


 

2年では、『一次関数』

 ・基本形 y = ax+b
 ・aのことを 変化の割合や、傾き
 ・グラフは 直線

 一次関数のグラフ


 

そして、3年では『関数y = ax2

 ・基本形 y = ax2
 ・aのことを、比例定数
 ・グラフは、頂点が(0, 0)の放物線

 y=ax^2のグラフ


 

を学んでいきますね

 

ちなみに、高校では『二次関数』

 ・基本形 y = ax2+bx+c
 ・aのことを 比例定数
 ・グラフは 放物線

 y=ax^2+bx+cのグラフ


を学ぶことになりますね

 

ということは、今から学ぶ『関数y = ax2 』は「二次関数の1場面」、
「必ず頂点が(0, 0)な二次関数」ということができますね!

 

『一次関数』が、(0, 0)を通れば『比例』という個別名称があるのに、
『二次関数』の頂点が、(0, 0)のときは『関数y = ax2 』……個別名称とは
言い難いですが、個別名称がないのでこれがそのまま個別名称です

 

では、どのような現象のとき このようなグラフが発生するのでしょうか?

 

 

ex) 1辺xcmの正方形とその面積ycm2の関係を見ると

 

1辺1の正方形1辺2の正方形1辺3の正方形1辺4の正方形

 

y=ax^2の表y=ax^2の表2

 

→ 上はy = 1x2 ですね
このようなときも、『yはx2 に比例する』といいます
そして「yはx2 に比例する」と言えば、数式の基本形は『y = ax2』となりますね
yはx2 の1倍 → y = 1x2 →「1」は書かないので → y = x2 ですね!
cf) yはx2 の2倍 → y = 2x2 ですね

 

 

ex) 球が斜面を転がり始めてから、x秒間に転がる距離ymの関係

 

斜面を転がる球のイラスト

 

x ^2に比例する表x ^2に比例する表2
→ yはいつもx2半分ですね、「yはx2に比例」していますね!

 

 

練習問題x ^2に比例するものの選択

 

 

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イ 関数y=ax2特徴

 

各部名称

 

y=ax ^2のグラフの各部名称

 

 

 

 

y=ax2 のグラフ

 

「グラフを描け」という問題は、定期テストでしか出ませんが、1度描いてみますね

 

 

《 例 》
y = x2 、y = 2x2 、y = -2x2 、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2、y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 のグラフを描きましょう

 

y=ax ^2のグラフの描き方

 

① それぞれの式で
 「x = 1のとき、yは…」
 「x = 2のとき、yは…」
 という点を2、3個かきこむ

 

② 対称軸(y軸)の反対側に
 同様の点を書き込む
 (代入作業の省略)

 

③ 各点を手書きで
 適当に滑らかに結ぶ

 

完成です!
(点の結び方がカクカクさえして
いなければ、マル!ですね)


 

 

ポイント

〔 関数y = ax2 のグラフの特徴 〕

 

y=ax ^2のグラフの特徴まとめ

 

① 頂点は、必ず「原点(0, 0)」
② 対称軸(y軸)について対称な曲線 (= 左右対称)
③ a>0のとき、下にとつ(= 上開き)
  a<0のとき、上に凸 (= 下開き)
④ aが大きいほど開きが小さい (= 細長くなる) (= aが開き具合を決める)
⑤ y = ax2 のグラフと y = -ax2 のグラフは、x軸について対称
⑥ グラフの上端(y=-ax2では下端)付近では曲線が直線に見えるが
 あくまで曲線である (= 直線部分はない)

 

 

余談

 

実は放物線は全て相似

 

〔全くの余談です〕
「相似」ということは、形が同じということですね
y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2のグラフも、y = x2のグラフも、y = 2x2のグラフも、
その他全てのy = ax2 のグラフも…同じ形…?
開き具合が違うのに・・・

 

ですが、ちゃんと「相似」なのです!

 

〔証明〕
1目盛りの「価値」が異なる方眼用紙に、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2、y = x2、y = 2x2を描いてみますね

 

y=1/2x^2のグラフy=x^2のグラフy=2x^2のグラフ

 

→ 升目の価値を無視すれば、全く同じ形の放物線ですね!
イメージ的には、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2を見ている位置から、
2倍の望遠鏡で y = x2 を見れば、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2 と同じ大きさ、形に見える
4倍の望遠鏡で y = 2x2 を見れば、y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2 と同じ大きさ、形に見える
感じでしょうか

 

そして、基準が同じ方眼用紙に3つを描けば
升目が縮まる分、放物線が細くなるものも
升目が広まる分、放物線が開くものが出てくるということですね!

 

どのようなとがった頂点もズームアップして見れば、同じ形ということですね

 

 

 

戻りまして、
y =ax2 のグラフを目盛りから描くことは、習い始めだけですね!
今後、問題を解く上で必要と思われるのは、
自分なりの「略グラフ」を持つということだと思います

 

例えば、y = x2 なら

y = x^2の開き具合
 手書きで
「これくらいのバランス」

 

 

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2 なら

y = 1/2x^2の開き具合
 手書きで
「これくらいのバランス」

 

 

 

y = 2x2 なら

y=2x^2の開き具合
 手書きで
「これくらいのバランス」

 

 

 

というふうに、「自分なりの略グラフ」を持つこと、すぐ描けること、が大事になっていきますね!

 

 

 

比例定数 a

 

比例 y = ax の「a」は、「比例定数」
一次関数 y = ax+b の「a」は、「変化の割合」「傾き」
関数 y = ax2 の「a」は「比例定数」 と言いましたね!

 

比例の「a」も 関数 y = ax2 の「a」も「比例定数」
ということは、2つの「a」は同じ意味なのでしょうか?

 

→ 同じ意味です!
ただ、結果が変わってきますね

 

・比例 y = ax の aはxに対する「比例定数」
∴ 必ず「直線」→ 「 = 傾き具合」を表す

 

・関数 y = ax2 の aはx2 に対する「比例定数」
∴ どうしても「曲線」→ 「曲線に傾きはない」→ 「曲線の開き具合

 

ということですね!

 

中学数学 関数 |

「比例のa、一次関数のa」と「関数y = ax2 のa」は同じ意味、作用ではあるが、
( xが一つ多い分) 結果が異なる

 

・比例y = axの「a」、一次関数y = ax+b の「a」→ 「直線の傾き具合
・関数 y = ax2 の「a」→ 「放物線の開き具合」 を表す

 

◎ 結果が違う → 別物と考えるべき

 

 

《 例 》
関数y = ax2 のグラフが点( 3 , 6 )を通るとき、aの値を求めましょう

 

→ 代入するだけで文字がaだけになりますね
6 = a・32 → 9a = 6 → a = \(\large{\frac{6}{9}}\)
 ∴ a = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

 

 

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① 変域

 

1年の比例の変域、2年の一次関数の変域と全く同じ考え方でOKですね!

 

ただ一つ気をつける点は、曲線であるために「yがはみ出る?
(両端のxの値に対応するyの値が、必ずしもそのままyの範囲ではない」ことがある。)
ということですが、
範囲を求めるときは、「簡単でいいから略図を書く」それさえ実行すれば
なんということはないですね!

 

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの最大値と最小値を求めましょう

 

(1) x≦-2

 

→ 略図ですね

例題問題yの最大値、最小値を求める1

中学数学 関数 |

 

あとはyの目盛りを読んで
 ∴ 最大値 無限ですね
 すなわち、最大値 なし
     最小値2


 

 

(2) -4≦x≦2

 

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |

 

 ∴ 最大値 8
   最小値 0
  ↑2ではないですよ~


 

↑x = -4、x = 2の「代入だけでは出てこない部分」も略図ですぐ判明ですね!

 

 

(3) x ≧-2

例題問題yの最大値、最小値を求める2

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |

 

∴ 最大値 なし
  最小値 0


 

 

 

《 例 》
関数y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの最大値と最小値を求めましょう

 

(1) x≧-2

 

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |

 

∴ 最大値 0
  最小値 なし


 

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2で、xの変域が次の場合、yの変域を求めましょう

 

(1) -4≦x≦-2

 

 → 略図ですね

 

 

例題問題yの変域を求める中学数学 関数 | ∴2≦y≦8

 

 

(2) -4≦x≦2

 

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |
2≦y≦8ではないですね
→ yが取り得る範囲は…

 

中学数学 関数 |

 

    0≦y≦8 ですね!


 

頭の中でグラフがイメージできるまでは必ず略図を描いてくださいね!
xの変域(範囲)が、対称軸(=y軸)をまたぐ(-〇≦x≦+〇)のときは特に!

 

 

(3) -2≦x≦4

 

中学数学 関数 |中学数学 関数 | ∴ 0≦y≦8

 

 

(4) 2≦x≦4

 

例題問題2つの変域から比例定数を求める1中学数学 関数 | ∴ 2≦y≦8

 

 

 

《 例 》
関数y = ax2 で、xの変域が -1≦x≦2のとき、yの変域は-1≦y≦0であった、
このとき、aの値を求めましょう

 

→ yの変域が -1≦y≦0 ということは、
高校で学ぶ y = ax2+bx+cであれば、

 

中学数学 関数 |
(上開き)も考えられますが、

 

中学の関数 y = ax2は、必ず「頂点が(0, 0)」なので、
yが「-1」の値をとりうるグラフは

 

中学数学 関数 |
(原点を通る)「上に凸なグラフ」しかあり得ませんね!

 

 

というわけで、適当に上に凸なグラフを描いて

 

例題問題2つの変域から比例定数を求める2
 x, yの範囲を書き込んでみると

 

中学数学 関数 |
 yの変域 -1≦y≦0の「-1」は

 

中学数学 関数 |
-1に対する-1ではなく、

 

中学数学 関数 |
2に対する-1とわかりますね!

 

∴ y = ax2 に点(2, -1)を代入して
 -1 = 4a → a = -\(\large{\frac{1}{4}}\)

 

 

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② 変化の割合

 

一次関数で「変化の割合」といえば「a」、
すなわち、「直線」の「傾き具合」でしたね

 

直線であれば、どこの2点をとっても「傾き具合」は同じ、一定ですが
放物線に直線部分はありませんので、2点の取り方によって
「様々な傾き具合がある」ということになります

 

y=ax ^2のグラフにおける変化の割合の説明

 

どの2点を結ぶ直線も
違う傾きですね!


 

イメージ的には・・・
短距離ランナーを2秒間隔で連写撮影すると

 

ランナーイラスト

 

どの2点間も「(2点間の)平均速度 (  = \(\large{\frac{距離}{時間}}\)  = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\))」が違いますね

 

加速だから1秒あたり進める距離が後半ほど長くなっているからですね

 

 

というわけで、放物線の「変化の割合」は「2点」必要ということになります
  ( 1点だけで求める「瞬間時速」は高校で!)

 

そして、2点を取り出して、それらを結んだものは当然「直線」ですね!
すなわち、その2点だけに通用する一次関数の「傾き」を求めるということですね

 

 

【 確認 】
一次関数の変化の割合の復習

 

a = \(\large{\frac{高さ}{底辺}}\)
 = \(\large{\frac{yの長さ}{xの長さ}}\)
 = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)
 = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)
 中学数学 関数 |

 

 (傾きの求め方の自分ルール:2年1次関数)

 

※ このaは、2点間の直線の傾き(変化の割合)の「a」であって、
関数y= ax2 の比例定数「a」ではない
ということは言うまでもありませんね!

 

 

《 例 》
関数y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2で、xの値が -4から 2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう

 

→ x = -4のとき(式に代入して)yは4、x = 2のときyは1
→ すなわち2点の座標は  (-4, 4)  (2, 1)
→ \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\) = \(\large{\frac{1-4}{2-(-4)}}\) = \(\large{\frac{-3}{6}}\) = -\(\large{\frac{1}{2}}\) // 中学数学 関数 |

 

同じく、xの値が2から4まで増加するとき、変化の割合を求めましょう
→ 結局 (2, 1) (4, 4)の2点を通る直線の傾きと同じことですね
→ \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\) = \(\large{\frac{4-1}{4-2}}\)  = \(\large{\frac{3}{2}}\) // 中学数学 関数 |

 

 

《 例 》
関数 y = ax2で、xの値がx1からx2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう

 

→ 上と全く同じ問題ですが、全て文字ですね

→ 変化の割合

  = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)
  = \(\large{\frac{ax_2^2-ax_1^2}{x_2-x_1}}\)
  = \(\large{\frac{a(x_2^2-x_1^2)}{(x_2-x_1)}}\) ←因数分解できる
  例題問題x の変域が文字である場合
  = a(x2+x1)


 

【 余談公式 】

 

関数 y = ax2 上の2点を結ぶ直線の傾き = a(x2+x1)
( y = ax+b 上の2点には使えません)

 

 

《 同問 》
関数 y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2で、xの値が-4から2まで増加するとき、変化の割合を求めましょう
→ 関数 y = ax2 上の2点を結ぶ直線の傾き  = a(x2+x1)  = \(\large{\frac{1}{4}}\)(2-4)
 = -\(\large{\frac{1}{2}}\) // ←←確かに同じ答えですね

 

→ ですが!全くの余談公式です、テストで2点間の傾きを求めることは
1テストあたり、あっても2、3問ですので
2点を結ぶ直線の傾き

 = \(\large{\frac{高さ}{底辺}}\)

 = \(\large{\frac{yの長さ}{xの長さ}}\)
 = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)
 = \(\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\)
 中学数学 関数 |

 

で十分ですね!

 

・曲線の開き具合の「a」 (y = ax2 の「a」) なのか
・直線の傾き具合の「a」 (y = ax+b の「a」) なのか

 

完全に混乱しなくなってから、使った方がよいのかなと思います

 

 

 

《 例 》
2つの関数 y = ax2 と y = -3x+2 において、xの値が2から4まで増加するときの変化の割合が等しいとき、aの値を求めましょう

 

例題問題直線と放物線の開き具合の一部の変化の割合が同じときの比例定数を求める

→ 放物線上の2点を結んだ線の傾きが、
 「(一次関数の傾きである) -3」と同じ

∴ \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\) = -3 より
→\(\large{\frac{16a-4a}{4-2}}\) = -3
 \(\large{\frac{12a}{2}}\) = -3
 6a = -3
 a = -\(\large{\frac{1}{2}}\) //


 

 

 

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③ 一次関数との交点

 

一次関数どうしの交点、すなわち、2直線の交点は
連立方程式で求めましたね!

 

放物線と直線の交点も全く同じです!

 

 

《 例 》
関数y = 2x2 と y = x+1のグラフの交点の座標を求めましょう

 

→ 連立方程式ですね、「ひっ算方式」でも「代入方式」でもどちらでもOKですね

 

\(\small{\begin{cases}
y = 2x^2 \\
y = x+1
\end{cases}}\)

 

(ひっ算方式)
  y = 2x2
-) y = x+1
  0 = 2x2-x-1
(2x+1)(x-1) = 0
∴ x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1

 

(代入方式)
y = x+1のyに、(y=)2x2を代入して
2x2 = x+1
→ 以下ひっ算方式と同様に
 x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1

 

ひっ算方式も代入方式も意味は同じでしたね!
→ 解答スペースが少なくて済む分、
今後 親子中学では「代入方式」でいきますね!

 

例題問題放物線と直線の交点の座標を求める方法は連立方程式

2点のx座標が確定!


 

→ あとは、y = 2x2 か y = x+1に x = -\(\large{\frac{1}{2}}\), 1を代入してy座標ですね
計算しやすい方で!どちらでもOKです、y = 2x2に代入しますね

 

・y = 2(-\(\large{\frac{1}{2}}\))2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)
・y = 2(1)2 = 2

 

∴ (\(-\large{\frac{1}{2}}\), \(\large{\frac{1}{2}}\)) (1, 2)

 

引き算、足し算がない分 シンプルですね
今後 親子中学では「y = ax2に代入」でいきますね!

 

 

余談>

 

関数の原型

 

関数の分類表

 

では、逆に
● y = ax はどのような直線?
  → y = a(x)  → y = a(x-0)+0 ∴ (0, 0)を通る、傾きaの直線

 

● y = ax+b はどのような直線?
  → y = a(x)+b  → y = a(x-0)+b ∴ (0, b)を通る、傾きaの直線

 

● y = ax2 はどのような放物線?
  → y = a(x)2  → y = a(x-0)2+0 ∴ (0, 0)を頂点とする、開き具合aの放物線

 

 

 

〔 以下全くの余談です(高校課程) 〕
● y = ax2+bx+c はどのような放物線?

 

 平方完成で頂点が分かりましたね( 平方完成の作り方)

 

y = ax^2+bx+cの平方完成

y = ax^2+bx+cの平方完成


 

 ∴  
中学数学 関数 |
を頂点とする、
開き具合aの放物線

 

 

さらに、
 因数分解でx軸との交点が分かりましたね

 

y = ax2+bx+c
 y=ax ^2+bx +cの因数分解
中学数学 関数 |

 

∴ x軸上の2点
中学数学 関数 |
,
中学数学 関数 |
を通り

 

かつ、頂点
中学数学 関数 |
の放物線

 

 

 

《 例 》
y = x2+2x-8 のグラフを描いて、必要データを書き込みましょう

 

(① 平方完成で頂点)
 y = (x2+2x)-8  → y = (x+1)2-1-8  → y = (x+1)2-9
 ∴ 頂点(-1, -9)

 

 

(② 因数分解でx切片)
 y = x2+2x-8
  = (x+4)(x-2)
 ∴ x切片 (-4, 0) (2, 0)

二次方程式   0 = x2+2x-8
の解は、 ↑yが「0」のとき、
すなわち、x切片だったのですね!
中学数学 関数 |
x軸上の点
=yが「0」のときのxの値


 

 

(③ xに0を代入でy切片)
 y = x2+2x-8
→y = 02+2・0-8 = -8
 ∴ y切片(0, -8)

 

 

①②③よりグラフは

 

例題問題y=ax ^2+bx +cの具体的な頂点や切片の座標を求める
 ←二次関数の基本データになります

 

文字だけの式  y = ax2+bx+c ではとんでもなく難しそうでしたが、
実際の数式で行うと…それほど難しくはなさそうですね!

 

 

 

 

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④ 一次関数との接点

 

接点」…接するですね

 

放物線の接線にあたる直線とは1 中学数学 関数 | 中学数学 関数 |

 

まず、y = ax2 は放物線という(全部分)曲線ですので、直線部分はありませんね
そして、一次関数y = ax+bは直線ですので、その2つが接する部分は
「面」ではなく、必ず「」ですね

 

 

中学数学 関数 | 中学数学 関数 | 中学数学 関数 |

 

これら3つは直線が曲線をまたいでいる・・・・・・ので、「接点」ではなく「ただの交点」ですね

 

 

中学数学 関数 | 中学数学 関数 |

 

これは接していないので、当然「接点」はありませんね

 

よって、曲線と直線の「接点」は

① 「ただの交点」ではなく、またがない交点=「接する点」
② あっても1つ

となりますね

 

そして
(ア)は y=a の直線ですので、一次関数ではないですね
…「関数」とはxの値が決まれば、yの値がただ1つ決まる関係
→ y=a は … xの値に関係なくyは一定の数字(定数)
→ 「接線」ではあるが、惜しいかな「一次関数」と「二次関数」の「接線」
とは言い難いですね

 

 

(イ)は x=0 の直線ですので、「あっても1つ」の「1つ」ではありますが
・「接点」ではなく、またいでいるので「ただの交点」
・しかも直線 x=0 は一次関数ではない

 

(ウ)は実はいずれグラフの上の方で「交わり」ますので、(イ)になりますね

 

 

よって、一次関数 y=ax+b は90°の縦線や180°の横線ではなく、
必ず「傾き」というものがありますので
結局のところ 関数 y=ax2 と一次関数 y=ax+b の交点は

 

 ① 2点で交わる
 ② 1点で交わる
 ③ 交わらない

 

3つにしか分類できないということになりますね!

 

二次関数と一次関数の交点が一つだあれば直線は接線である

 

すなわち、y = ax2 とy = ax+b の交点(共通解)が「1つ」であれば
それは「接点」ということにまりますね

 

中学数学 関数 |

 

 →交点が1つ
 = 共通x座標が1つ、共通y座標も1つ


 

 

 

《 例 》
2つの関数の交点の座標を求めましょう
さらに、(確認のため)判別式Dでxの解( = 交点のx座標)の個数を確認しましょう
 ( 判別式D)

 

(1) y = x2 と y = 2x+3

 

● 交点のx座標 = 共通x座標 → x2 = 2x+3 ←今後は「ひっ算方式」ではなく「代入方式」でいきますね
→ x2-2x-3 = 0 → (x-3)(x+1) = 0
∴ x = 3, -1 → 交点の座標は(3, ?)(-1, ?)

 

交点のy座標 = 共通y座標→ y = x2 の方に  x = 3, -1を順次代入
今後は「一次関数」ではなく「y = ax2」の方に代入でいきますね

 

・ y = x2 → y = (3)2  → y = 9   ∴ (3, 9)
・ y = x2 → y = (-1)2  → y =1   ∴ (-1, 1)

 

ちなみにグラフは
例題問題交点の個数とその座標を求める1

 

 

● 二次方程式x2 = 2x+3 → x2-2x-3 = 0を判別式Dで検査すると
D/4 = (bの半分)2-ac  = \(\left(\large{\frac{-2}{2}}\right )^2\)-1・(-3)  = 1+3  = 4
 ∴ D>0(Dの値は0より大きい) → xの解は2つ (= x座標が2つ = 交点が2つ)
 (確かに2つありましたものね!)

 

 

(2) y = x2 と y = 2x-1

 

● 交点のx座標→ x2-2x+1 = 0  → (x-1)2 = 0 ∴ (1, ?)
 交点のy座標→ y = (1)2  → y = 1 ∴ (1, 1)

 

● D/4 = 1-1 = 0
 ∴ D = 0 → xの解は1つ( = x座標が1つ = 交点が1つ)

 

例題問題交点の個数とその座標を求める2

 

 

(3) y = x2 と y = 2x-2
● 交点のx座標→ x2-2x+2 = 0  → きれいに因数分解できなさそう
解の公式 → x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)  = \(\large{\frac{2±\sqrt{4-8}}{2}}\)  = \(\large{\frac{2±\sqrt{\color{red}{-}4}}{2}}\)
∴ √ の中がマイナス  → そんな実数は存在しない  → 解なし  → 共通解なし  →交点なし

 

交点のy座標→ 当然なし

 

ちなみに、平方完成方式でxを求めてみると
x2-2x+2 = 0  → (x-1)2-1+2 = 0  → (x-1)2 = -1
(x-1)2 = -1をよく見ると…「左辺を丸々2乗したら、-1?」
→ 2乗してマイナスになる実数なんてないですね! ∴ 解なし

 

● D = 4-8 = -8
∴ D<0 → xの解はない( = 共通x座標がない = 交点がない)

実は先の「解の公式」の中で b2-4ac を計算しているので同等な(不要な)作業ではありましたが、念のためでした

 

D>0、D=0、D<0の場合のイメージ図

 

以上3つのグラフを並べておきますね
D>0のグラフD=0のグラフ>D<0のグラフ

 

 

 

《 例 》
放物線y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2と直線  y = mx-2がただ1つの共有点をもつようなmを求めましょう。ただしmは正の数とします

 

例題問題判別式を利用して直線の傾きを求める

 

→ 2つの線の交点のx座標が「ただ一つ」ということは
D = 0 になればよいということですね

 

・\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 = mx-2  → (Dの検査は必ず右辺を0にする)  → \(\large{\frac{1}{2}}\)x2-mx+2 = 0  → x2-2mx+4 = 0
・D/4 が 0 → m2-4 = 0  → m = -2, 2
→ m>0の指定より   A. m = 2

 

cf. m>0の指定がなければ、答は m=- 2, 2 の2つですね

 

中学数学 関数 |

 

 確かに
 どちらも接線ですね!


 

 

 

《 例 》
放物線y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2と直線  y = 2x+mが ただ1つの共有点をもつようなmを求めましょう

 

例題問題判別式を利用して直線のy切片を求める

 

 傾き2は決定しているということですね


 

→ 上と同様に D = 0 になればよいということですね
\(\large{\frac{1}{2}}\)x2 = 2x+m  → x2-4x-2m = 0
D/4 = 0 → 4-(-2m) = 0  → 2m = -4
 A. m = -2

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

ウ 関数 y=ax2を用いた具体的な事象の説明

 

① 具体的な事象

 

【 加速・減速 】

 

まずは、「距離」「時間」「速さ」の関係をイメージしてみましょう
最高時速90km( 90km/60分 = 1.5km/分 = 25m/秒←「25m毎秒」と読めばよいと思います)の電車が、
A駅→B駅間(3km)を
「静止」→「加速」→「一定走行(等速)90km/時」→「減速」→「停止(静止)」
を行う場合のグラフを考えてみますね

 

x軸を「時間」、y軸を「距離」とすると…

加速、減速は2次関数、等速走行は一次関数1

(イメージ)

加速中、減速中
→ 二次関数(放物線)
等速走行中
→ 一次関数(直線)

身体が後に持っていかれる
 = 加速中
身体が前に持っていかれる
 = 減速中
ふんばらなくてもよい
 = 等速走行中


 

x軸を「時間」、y軸を「速さ」にすると…

加速、減速は2次関数、等速走行は一次関数2

 

簡単なイメージは
こんな感じですね

 

← このグラフは問題では
ほとんど出てきません


 

実際、静止状態からいきなり速さ90km/時になったら…
 …大けがでは済まないですね
足元の床が急に90km/時で動き出したら…あっという間に転ばされて、
あっという間に車両の後ろ壁が90km/時で衝突してきますね

 

 

ここでは、おおよそ

 

加速中、減速中は  → 放物線(二次関数)
等速走行中は  → 直線(一次関数)

 

というイメージだけ持っていただければ 十分かと思います

 

 

 

《 例 》
ある斜面を球が転がるとき、進んだ距離をy、時間をxとすると
yはx2 に比例します、今4秒後に24m進みました。

 

(1) yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはx2比例する」というフレーズが出れば
 y = 〇x2 すなわち開き具合は分からないが「頂点(0, 0)の放物線」
 すなわち、y = ax2という基本形が確定ということですね
→ y = ax2 に x = 4, y = 24を代入してaを求めるだけですね
 y = ax2 → 24 = 16a  → a = \(\large{\frac{24}{16}}\)  = \(\large{\frac{3}{2}}\)
∴ y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2

 

 

(2) 転がり始めてから2秒後から4秒後の「距離」を求めましょう

 

・ 2秒後の距離 → y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2 に、x = 2(秒)を代入  → y = 6(m)
・ 4秒後の距離  → y = \(\large{\frac{3}{2}}\)x2に、  = 4(秒)を代入  → y = 24(m)

 

∴ 24-6 = 18 A.(2秒後から4秒後に進んだ距離は) 18m

 

 

(3) 2秒後から4秒後間の「平均の速さ」を求めましょう

 

→ 4秒-2秒の「2秒間」で、「18m」進んでいるので

 

 18÷2 = 9    A.9m/秒

 

 

(4) 転がり始めてから2秒後から4秒後間の「変化の割合」を求めましょう

 

例題問題斜面を転がる球の特定部分の変化の割合を求めるこの2点間にだけ通用する「直線」の傾きですね

 

変化の割合 = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)   = \(\large{\frac{24-6}{4-2}}\)   = \(\large{\frac{18}{2}}\)   = 9
A. 9 ←直線y = 9x+b の「9」

 

→ 当然、2秒後から4秒後間の「平均の速さ」と同じ「9」ですね

 

 

 

《 例 》
A君は自転車で4m/秒(14.4km/時)の速さで、バス停で停車中のバスを追い抜きました。 A君が追い抜いてから5秒後にバスが y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2の加速感で走り出しました。バスは何秒後にA君に追いつくでしょうか

 

例題問題放物線と直線の交点を利用する

 

→ バスの走り出しを基準にすると、
 A君はすでに20m(4m/秒×5秒)先に
 いますね


 

→ あとは交点を求めるだけですね
\(\large{\frac{1}{4}}\)x2 = 4x+20  → x2-16x-80 = 0  → (x-20)(x+4) = 0
∴ x = -4, 20 x>0より  x = 20
A. 20秒後

 

 

 

《 例 》
ある中学校の体育祭の男女混合リレーの1場面で
Aさんが4m/秒で走ってきました。次走者のB君はトップスピードになるまでは
y = 2x2で加速できます
Aさんが何m後方に達したときに走りだせばロスのないバトンパスができる
でしょうか

 

例題問題最良のリレーバトンタッチのタイミングを求める1

 

①1m後方の時に走り出すと、ロスがありますね
③3m後方の時に走り出すと、AさんばB君に追いつけずバトンパスができませんね
②2m後方の時に走り出すと、両者とも(その瞬間での)最高速度→ロスなしですね

 

→ グラフで判明してしまいましたが、ロスのないバトンパスは
直線が放物線の接線のときですね
すなわち、y = 2x2  y = 4x+bの接線の式の「b」を求めればよいですね

 

→ 接線であるためには、「交点が1つ」であればよい でしたね!

 

2x2 = 4x+b  → 2x2-4x-b = 0

 

D/4 = 0  → 4-(-2b) = 0  → 2b = -4  → b = -2

 

∴ 直線y = 4x+bがy = 2x2 の接線になるためには、b = -2
A. B君は、Aさんが2m後方に来た時に(全開で)走り出せばよい

 

 

 

《 例 》
ブレーキが効き始めてから車が止まるまでに進む距離を  制動距離といいます。
制動距離ymは、時速xkmで走っているとき、
yはxの2乗に比例することがわかっています

 

(1-a) 時速80kmで走っている「乗用車」がブレーキをかけ、
止まるまでに54m進みました。yをxの式で表しましょう

 

→ xが「時間」ではなく「速さ」ですね
ですが、そのx(速さ)が「yはxの2乗に比例する」と問題文が言うのですから、
そのままま当てはめていきましょう
→ 「yはxの2乗に比例する」というフレーズがあれば
y = ax2 ですね

 

54 = (80)2a → 6400a = 54  → a = \(\large{\frac{54}{6400}}\)  → a = \(\large{\frac{27}{3200}}\)
∴ y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)x2

 

 

(1-b) この「乗用車」が時速40kmで走っていた場合の制動距離は?

 

→ y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)(40)2
乗用車の制動距離を求める1>
= \(\large{\frac{27}{2}}\)
= 13.5

A. 13.5m

 

 

(2-a) 時速80kmで走っている「大型トラック」がブレーキをかけ、
止まるまでに84m進みました。yをxの式で表しましょう

 

→ 同様に y = ax2 ですね
84 = (80)2a → 6400a = 84  → a = \(\large{\frac{84}{6400}}\)  → a = \(\large{\frac{42}{3200}}\)  = \(\large{\frac{21}{1600}}\)
∴ y = \(\large{\frac{21}{1600}}\)x2

 

 

(2-b) この「大型トラック」が時速40kmで走っていた場合の制動距離は?

 

→ y = \(\large{\frac{21}{1600}}\)(40)2   
乗用車の制動距離を求める2
  = 21

 A. 21m
同じ時速40kmでも、乗用車より大型トラックの方が 制動距離が長い  = 重いものは止まりにくい

 

 

余談

 

停止距離

 

実際の「停止距離」は、「空走距離」+「制動距離」となりますね
「空走距離」とは、「止まろう!」と思ってブレーキ操作を始めて、
実際にブレーキが利き始めるまでの距離ですね
 (この間はブレーキは全く効いていません)

 

自転車ならば、ブレーキレバーを握り始めてブレーキシュー( = ブレーキゴム)がリムに当たるまでの時間、この間は操作はしていますが全くブレーキが効いていませんね
この間(反射時間)は0.1秒位ですが、0.1秒でもいく分かは進んでしまっているということですね

 

 

乗用車では、操作が多い分(アクセルペダルから足を外して、
ブレーキペダルに足を乗せ換える)、反射時間は0.5秒くらいになってしまいますね

 

ということは、
時速80kmの空走距離は、
80km/時×0.5秒  → 1333m/分×0.5秒  → 22m秒×0.5秒
∴ 11mも進んでしまっていますね、そこから「制動距離」25mを足すと36m
「危ない!止まりたい!」と思ってから36mもかかりますね

 

35m先に人影を発見しても止まり切れないということですね

 

停止距離とは

 

 

制動距離は放物線、空走距離は直線である

 

 確かにおよそ
 減速中(制動距離)は
 放物線
 y = ax2
 等速走行中(空走距離)は
 直線
 y = ax
 になっていますね!


 

 

 

《 例 》
乗用車の空走距離ymは、時速xkmで走っているとき、
yはxに比例します

 

(1) 時速80kmで走っている「乗用車」がブレーキをかけようと思ってから
ブレーキが効き始めるまでに22m進みました。(空走距離ですね)
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはxに比例する」というフレーズ → y = ax
80 = 22a → a = \(\large{\frac{80}{22}}\) = \(\large{\frac{40}{11}}\)
∴ y = \(\large{\frac{40}{11}}\)x

 

 

(2) 「乗用車」の制動距離yは速さxとの関係において
y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)x2 とわかっています
時速60kmのときの「停止・・距離」を求めましょう

 

→ 空走距離 y = \(\large{\frac{40}{11}}\)x …(1)より
 空走距離 y = \(\large{\frac{40}{11}}\)・60  = \(\large{\frac{2400}{11}}\) (≒22m)

 

→ 制動距離
y = \(\large{\frac{27}{3200}}\)x2
= \(\large{\frac{27\cdot60\cdot60}{3200}}\)
例題問題停止距離を求める
= \(\large{\frac{243}{8}}\) (≒30m)

 

∴ 停止距離 = 空走距離+制動距離 ≒ 22+30 ≒ 52m
A. およそ52m

 

( テストで出る場合は歯切れのよい数字になると思います)

 

 

 

動いている物体が重ければ重いほど、
そして 摩擦が少なければ少ないほど
制動距離は長くなりますね

 

同じ乗用車ならタイヤが太ければ太いほど、
地面との摩擦が大きくなるので
制動距離は短くなりますね

 

 

海を16ノット(時速30km )で行く「石油満載タンカー」は
危険を察知してから「全速後進(逆スクリュー)(=フルブレーキ)」をしても、
停止するまでに4kmもかかりますね

 

→ 重いし、スクリューと海水との摩擦が
タイヤとアスファルトほどの摩擦がないですからね!

 

 

 

 

【 風圧 】

 

《 例 》
風の風速をxm/秒、その風が物体にかける風圧をyパスカルとすると、
yはxの2乗に比例することが知られています

 

(1) 今、風速5m/s(秒)のとき、物体にかかる風圧は12.5パスカルでした
yをxの式で表しましょう

 

h (hour) → 時間
m (minute) → 分
s (second) → 秒

 

→ 見慣れない単位が出てきても、もう「単純作業」ということは分かってきましたね
→ 「yはxの2乗に比例」というフレーズ →   y = ax2の形
→ 判明している y, x の値を代入してaを求める
 12.5 = (5)2a → 25a = 12.5 → a = \(\large{\frac{12.5}{25}}\) = \(\large{\frac{125}{250}}\) = \(\large{\frac{5}{10}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2

 

 

(2) 風速60m/s (←室戸台風最大瞬間風速)のとき、物体が受ける風圧は?

 

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2  → y = \(\large{\frac{1\cdot60\cdot60}{2}}\)  = 1800   A. 1800パスカル

 

 

余談

 

圧力の単位 パスカル

 

具体的な場面での二次関数の利用問題では、見慣れない単位が出てきても
ほとんど yは○○、 xは△△ と言ってくれていると思いますので
それほど、見慣れない単位に対して構える必要はないのですが、折角ですので

 

 

Pa「パスカル」・・・圧力の単位ですね
  1Pa = 1N/m2   (1m2あたり1ニュートン)
  1N = 地球上で100gの物体にはたらく重力

 

∴ 結局は
1N → 100g
1Pa = 100g/m2(= 1g/100cm2←10cm四方 = 0.01g/cm2←1cm四方

 

 

イメージ的には1Paは…

 

・大の字に寝転がって(身体の前表面を1m2と思って)、
大きいページの新聞紙(1枚約30g)を3枚を体にまんべんなく乗せたくらいの圧力

 

・指を除いた手のひら(100cm2 = 10cm四方と思って)に、1円玉(1枚1g)を乗せて
点ではなく、手のひら全体で支えているとイメージする感じ

 

とにかく 1Pa位なら十分立ち向かえますね!

風に吹かれる家


 

では、上の例題の室戸台風の風速60m/s、1800パスカルはどのくらい?
→ 1800パスカル = 1800 00g/m2= 180kg/m2
恐ろしいパワーですね・・・

 

 

天気予報では「ヘクトパスカル」ということばをよく聞きますね

 

1hPa(1ヘクトパスカル) = 100Pa

 

そして、海抜0m地点は・・・ 1気圧ですね

  1気圧

= 1013 hPa
= 1013 00 Pa = 1013 00 00g/m2
≒ 約10t/m2 !!
≒ 100kg/100cm210cm四方


 

大の字に寝転がったう上に、100kgの人間が片足つま先立ちで何人も乗っているようなものですか…

 

私たちが深海魚に対して「そんな高圧の中でよく生きていられるな」と思っているように
宇宙人は人間に対して「そんな高圧の中でよく生きていられるな」と
思っているかもしれませんね

 

人間は、深海魚、深海生物ならぬ 深空気生物ですね!

 

 人間
大気圧のすごさをイメージする

 深海魚
深海の水圧のすごさをイメージする


 

 

 

 

《 例 》

風力発電機において、ローター径をxm
発電量をykwとすると
yはx2に比例することが知られています

風力発電機イラスト


 

(1) 今、ローター径が40mのとき、発電量は500kwでした
yをxの式で表しましょう

 

y = ax2 → 500 = (40)2a  → 1600a = 500  → a = \(\large{\frac{5}{16}}\)
∴ y = \(\large{\frac{5}{16}}\)x2

 

 

(2) ローター径を2倍にすると、発電量は何倍?

 

→ ローター径が2倍ということは、80m
y = \(\large{\frac{5}{16}}\)・802  = \(\large{\frac{5\cdot80\cdot80}{16}}\)  = 5・400  = 2000kw

 

∴ 2000kw÷500kw = 4   A. 4倍

 

半径で考えても同じ結果です ∵ 相似比の2乗 = 面積比
その代わり(1)ではローター半径20m、500kwで式を立ててくださいね
直径で式を立てたら直径を当てはめる、半径で式を立てたら半径を当てはめる!

 

ちなみに
風速をxm/s、発電量をykwとすると
「yはxの3乗に比例」しますね

 

→ y = ax3

 

同様に与えられた数値を代入するだけですが、中学の範囲ではないですね!

 

《 例 》
・ある風力発電機は、風速5m/s(x)のとき発電量は250kw(y)でした
yはx3に比例することが知られています。yをxの式で表しましょう

 

→ y = ax3  → 250 = (5)3・a  → a = \(\large{\frac{250}{5\cdot5\cdot5}}\)  = \(\large{\frac{10}{5}}\)  = 2
 ∴ y = 2x3

 

・風速10m/sのとき、発電量は?
→ y = 2x3 = 2・103 = 2000
 ∴ 2000kw

 

 

 

余談

 

空気抵抗

 

空気抵抗=風圧であることの説明

 

この図はどういう状況なのでしょうか?

 

  ① 静止している物体に、風が当たっている
  ② 静止してる空気中(無風状態)に、物体が動いている
  ③ 風もあるし、物体も動いている

 

どれも正解です!
(言葉は変になりますが) 「状況は違えど状況は同じですね」

 

物体は静止(0m/s)、空気は10m/s → 10m/s相当の圧を受けている
物体は10m/s、空気は静止(0m/s) → 10m/s相当の圧を受けている
物体は10m/s、空気は10m/sの向かい風 → 20m/s相当の圧を受けている
物体は10m/s、空気は10m/sの追い風 → 圧を受けていない

 

 

例えばスカイダイビングですと、
飛行機から飛び降りた瞬間から10秒位は、地球の引力によって
どんどんスピードが上がりますが、スピードが上がれば上がるほど
上の理由により、身体に受けるパスカル数も相乗的に大きくなりますね

 

 

そして、引力より風圧の方が大きくなれば、上に上がるということに
なるのですが、上に上がるということは→スピードが落ちる→風圧が小さくなる
→引力の方が大きくなる→また落ちる・・・ということで、
つり合った状態がやってきますね!

 

 

その点に到達したら、後は「等速落下」であるということですね
この速度を「終端速度」と言います。

 

終端速度は、物体の「重さ」や「形」で異なってきますが、地球の大気中で
ある限り、全ての物体がそれぞれ「終端速度」を持ちますね

 

 

スカイダイビングでは、「大の字」に飛び降りた場合 およそ8秒ほどで
終端速度200km/時に達しますね

 

200km/時に達した後は「等速」、それ以上は速くなりません!
等速ということは屋根・壁のない新幹線に乗っている事と
変わりはありませんので、

 

 

①高い所にいるという恐怖  ②地面が近づいてくるという恐怖
③体が1Gの加速感を感じる恐怖
(G:重力加速度:gravitationl acceleration)
のうち、

 

少なくとも③の「体が1Gの加速感を感じる恐怖」は無くなっているはずですね

 

 

垂直落下でさえ終端速度があるのですから、
斜面を転がる球にも当然終端速度がありますね

 

ですが、中学数学の「転がる球」「動く球」系の問題では、
「空気抵抗」などあらゆる摩擦、抵抗は無いものとして考えていきます

 

問題文に「但し書き(ex . 空気抵抗は無視する など)」がなくても、
「いつまでも加速」、「いつまでも運動し続ける」でOKです!

 

 

 

 

《 例 》
ふりこのひもの長さym、ふりこが左右の1往復にかかる時間をx秒とすると
yはxの2乗に比例することが知られています

 

例題問題紐の長さはふりこが1往復にかかる時間の二乗に比例することの利用1

 

(1) 今、ボンボン時計のふりこの長さが1mのとき、
1往復にかかる時間は2秒でした。
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはx2の2乗に比例する」 → y = ax2
∴ 1= 22・a → a = \(\large{\frac{1}{4}}\)
y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2

 

 

(2) ふりこの長さを90cmにすると1往復にかかる時間は?
\(\small{\sqrt{2}}\) = 1.4、\(\small{\sqrt{5}}\) = 2.2として求めましょう

 

→ 90cm = 0.9m (立てた式がm → 代入する値もmに!)
yに0.9を代入してxを求めると

0.9 = \(\large{\frac{1}{4}}\)・x2 → x2= 3.6
x>0より x = \(\small{\sqrt{3.6}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{36}{10}}}}\)  = \(\large{\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10}}}\)  = \(\large{\frac{6}{\sqrt{10}}}\)  = \(\large{\frac{6\sqrt{10}}{10}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{10}}{5}}\)  = \(\large{\frac{3\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}{5}}\)  = \(\large{\frac{3×1.4×2.2}{5}}\)  = 1.848
A.1.848秒

 

 

(3) 1往復にかかる時間が1秒のときふりこの長さは?

 

→ xに1を代入してyを求めると
y = \(\large{\frac{1}{4}}\) ・12 = \(\large{\frac{1}{4}}\) = 0.25   A. 0.25m (25cm)

 

 

中学数学では空気抵抗を無視(= 真空)しますので、ふりこのおもりが
鉄球であろうとピンポン玉であろうと y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 の関係ですね

 

真空中(= 空気がない)では当然空気抵抗がないので
パチンコ玉も羽毛も同じ速さで、「ストーン!」と落下しますね

 

【 実証 】

 

教科書と2cm四方の紙辺を 1m位の高さから同時に落とすと…
当然教科書が先に落ちますね、(紙辺はヒラヒラと落ちますね)

 

中学数学 関数 |

 

 

教科書の上に紙辺を置いて、落とすと…
中学数学 関数 |
同じ速さで落ちますね
紙辺に「空気抵抗」がないからですね

 

 

 

 

《 例 》
ダイヤモンドの重さをxct(カラット)、価格をy円とすると
yは(およそ)xの2乗に比例することが知られています

 

(1) 今、重さが1ctのとき、価格は70万円でした。
yをxの式で表しましょう

 

→ 「yはxの2乗に比例」  → y = ax2 の形
∴ 70万 = 12・a   → a = 70万
A. y = 70万x2

 

 

(2) 0.3ctのダイヤモンドの価格は?

 

→ y = 70万・0.32  = 700000・0.09  = 7000×9  = 63000
A. 63000円

 

 

カラットとは輝き具合とかではなく、「重さ」ですね

 

  1ct = 0.2

 

世界最大のダイヤ原石カリナン(すごいダイヤには名前が付けられる)は
3106ct(621.2g)でした

 

カリナン原石

 

その後 カリナンは9つに分割され、
きれいにカット仕上げされていますね

 

そのうちもっとも大きなものが「カリナン世」530ct(106g)
9つのいずれもイギリス王室、王族所有ですね

 

カリナン世を先の関数にあてはめてみると・・・

 

 y = 70万・5302  = 19663000万  ≒ 1966億円!?

 

人が決める「価値」というものは、何に対してもそうですが
理解が難しいですね

 

 

 

 

 

【 動く点 】

 

《 例 》

図のように、点P, 点Qは同時に頂点Bを
出発し ともに秒速2cmでAB, BC上を
動きます。
点P, Qが出発してからx秒後の
△PBQの面積をycm2として
yをxの式で表しましょう

例題問題動く2点がつくる三角形の面積を求める


 

→ x秒後のBQの距離は、 2xcm(= 底辺)
→ x秒後の正三角形の高さは、PからBQへの垂線
 垂線とBQの交点をhとすると x秒後の高さは・・・

 

中学数学 関数 |

 

 PH = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)・2x = \(\small{\sqrt{3}}\)x cm(= 高さ)
 (正三角形の高さ)
 (1斜辺あたりの「高さ」「底辺」)


 

∴ y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・底辺・高さ  = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2x・\(\small{\sqrt{3}}\)x   A. y = \(\small{\sqrt{3}}\)x2

 

 

PH = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)・2x の部分が??な場合は
2x:PH = 1:\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)  → PH = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)・2x  = \(\small{\sqrt{3}}\)x でも もちろんOKですね

 

 

 

 

《 例 》
1辺の長さが4cmの正方形ABCDの辺上を動く2点P, Qがあります
点Bを同時に出発して、点Pは毎秒2cmの速さで矢印の方向に、
点Qは毎秒1cmの速さで矢印の方向に進むとき、
x秒後の△BPQの面積をycm2とします

 

正方形上を動く2点がつくる三角形の面積を求める

 

(1) yをxの式で表しましょう

 

→ 確認として、2点PQの速さが違いますね
→ 簡単にシミレーションしましょう (早い方Pを自分としますね)
Pが2秒でCに到着したときQはまだABの真ん中
Pが4秒でDに到着したときQはやっと点A
P, QがそれぞれD, Aを出発して、Pが\(\large{\frac{1}{3}}\) 秒で\(\large{\frac{2}{3}}\)ADの地点でQと合流

 

→ ターニングポイントは3つしかなく、しかもPだけを基準に考えられますね
(問題によっては、Pが方向を変えていない間に
Qの方向が変わる(ターニングポイント)こともあります

 

→ 簡単な図を書き込んでイメージ化

①(0<x≦2秒のとき)
PがC上

②(2≦x≦4秒のとき)
PがD上

③(4≦x≦5\(\large{\frac{1}{3}}\) 秒のとき)
PがDA上


 

①と②の間がイメージしにくいなら、さらに途中イメージを描いてみる
PがCD上

 

 

(0<x≦2秒 のとき)
→ (点BPQが作る三角形において、どこを底辺、どこを高さとみなすかは自由です)
(BPを底辺、BQを高さとしてみますね)
BPの距離(長さ) = 2x cm ←距離 = 速さ×時間 = 2cm/秒×x秒)
(2秒で点Cに到着することがわかりますね)

 

BQの距離(高さ) = 1x cm ←距離 = 速さ×時間 = 1cm/秒×x秒)

 

∴ 三角形の面積 y  = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・2x・1x  = x2

 

 

(2≦x≦4秒 のとき)
→ 今度はBQを底辺としてみますね
→ すると点PがCD間を動いている間は高さはずっと「4」ですね
 ( 底辺が大きくなっていくので、完全な等積変形ではないですが、考え方は使えますね )

 

∴ 三角形の面積  y = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・1x・4  = 2x

 

 

(4≦x≦\(\large{\frac{1}{3}}\) 秒のとき)
正方形上を動く2点がつくる三角形の面積を求める場合分け

 

→ 今度はADの辺を底辺としてみると、
ⅰ) △BPQ = \(\large{\frac{1}{2}}\)・PQ・4   = \(\large{\frac{1}{2}}\)・(AD-PD-AQ)・高さ4  

 

  他にも
ⅱ) △BPQ = △BAD-Pの速さが3cm/秒の△BDP(QはAで停止)と考えても同じことですね  ←(3つの速さのうちの「相対速さ」)

 

 

ⅰ) y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・{4-(2x-8)-(1x-4)}・4  = (12-2x-x+4)・2  = (-3x+16)・2  = -6x+32    (動点Pの位置表現)

 

ⅱ) y = △BAD-△BDP  = 8-△BDP
  = 8-\(\large{\frac{1}{2}}\) ・4・3(x-4)  = 8-6x+24  = -6x+32

 

 

A. y = x2 (0<x≦2のとき)
  y = 2x (2≦x≦4のとき)
  y = -6x+32 (4≦x≦\(\large{\frac{16}{5}}\) のとき)

 

●高さが変わる、変わらなくなる、底辺が変わる、変わらなくなる
 ( = ターニングポイント)で、面積yの式が変わりますね
●高さも底辺も『両方変化するとき』は両方xを含むので → x2 が発生 → 放物線
 高さか底辺か『いずれかしか変化しないとき』は、
 片方しかxを含まないので → ただのx が発生  → 直線
●イメージ内で早い方を基準に2点を動かしてみて、ターニングポイントを
 把握することがポイントですね!

 

 

(2) (1)で求めた関数をグラフに書き込みましょう
 正方形上を動く2点がつくる三角形の面積のグラフを描く中学数学 関数 |

 

ここで、(1)の4≦x≦\(\large{\frac{16}{5}}\)のときの関数を求める場合の  (x-4)をxで求めていたら
→ y = △BAD-△BAQ-△BDP  = 8-△BAQ-△BDP
  = 8-\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・x -\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・2x  = 8-2x-4x  = -6x+8 となりますね

 

この式でグラフを描くと
中学数学 関数 |

 

そうです
中学数学 関数 |

Bが出発点ではなく、
AやDが出発点(基準)ということ
になってしまいますね


 

面積的には正しいのですが、時間の流れ的におかしいということですね!

 

よって、

最上辺を動くときの注意点

 

(0, 0)と思っていた基準は、
実はB(0, 0)から見れば(4, 0)である
ので、(0, 0)にそろえるべく(4-4, 0)
xを(x-4)で計算していく
ということですね


 

( 直線の平行移動)

 

 正方形上を動く2点がつくる三角形のイメージ画像

 

 

(3) y = 3 となるxの値を求めましょう

グラフより同面積になるタイミングがわかる

 

せっかくグラフがあるのですから
グラフを少し利用できますね

 

赤横線が3cm2ですね

 

→ y = x2上 と y = -6x+32上に
ありますね


 

・y = x2  → 3 = x2  → x = ±\(\small{\sqrt{3}}\)  → x>0より   x = \(\small{\sqrt{3}}\)
・y = -6x+32  → 3 = -6x+32  → 6x = 29  → x = \(\large{\frac{29}{6}}\)
・確認のため、y=2x でも試すと、 → 3 = 2x → x = \(\large{\frac{3}{2}}\)ですが、
 y=2x のときの変域は(2≦x≦4)ですので、x=\(\large{\frac{3}{2}}\)は「不適」ですね!

 

∴ x = \(\small{\sqrt{3}}\) 、x = \(\large{\frac{29}{6}}\) のとき

 

 

 

【 重なる図形 】

 

《 例 》
図のような台形ABCDと長方形EFGHが点CFで接して並んでいます

 

例題問題重なりゆく図形の重なった部分の面積を求める1

 

長方形を固定し、台形を矢印の方向に点Cと点Gが重なるまでスライドします
FCの距離をxcm、重なった部分の面積をycm2としたとき
yをxの式で表しましょう

 

→ まずは、台形がどのような台形か分析ですね

 

中学数学 関数 |

 

→ 正方形+直角二等辺三角形ですね


 

→ ①ターニングポイントは、DがEに重なるまで → 直角二等辺三角形の拡大

 

中学数学 関数 |

 

→ ②その後は、台形の幅が広くなっていく ですね

 

中学数学 関数 |

 

(0≦x≦4のとき)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・x・x = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2

 

(4≦x≦8のとき)

 

例題問題重なりゆく図形の重なった部分の面積を求める2中学数学 関数 |

 

y = 台形の面積

  = \(\large{\frac{1}{2}}\)(上+下)(高さ)
  = \(\large{\frac{1}{2}}\){(x-4)+x}(4)
  = \(\large{\frac{1}{2}}\)・(2x-4)・4 = 4x-8


 

  y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2 (0≦x≦4のとき)
A. y = 4x-8 (4≦x≦8のとき)

 

 

 

 

《 例 》
先ほどとほぼ同じ問題になりますが・・・
図のような台形ABCDと長方形EFGHが点CFで接して並んでいます

 

中学数学 関数 |

 

長方形を固定し、台形が矢印の方向に2cm/秒の速さ
点Cと点Gが重なるまでスライドします
x秒後の重なった部分の面積をy cm2としたとき
yをxの式で表しましょう

 

→ xが「距離」から「時間」になりましたが
 時間を、2cm秒×時間にすれば結局「距離」ですね

 

→ ターニングポイント、2秒(2cm/秒×2秒 = 4cm)までは直角二等辺三角形
 その後、台形の幅が広くなっていく ですね

 

例題問題重なりゆく図形の重なった部分の面積を求める類似問題1中学数学 関数 |

 

(0≦x≦2 のとき)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\) ・2x・2x = 2x2

 

(2≦x≦4 のとき)

y = 台形の面積

  = \(\large{\frac{1}{2}}\)(上+下)(高さ)
  = \(\large{\frac{1}{2}}\){(2x-4)+2x}(4)
  = \(\large{\frac{1}{2}}\)・(4x-4)・4
  = 8x-8


 

  y = 2x2 (0≦x≦2のとき)
A. y= 8x-8 (2≦x≦4のとき)

 

 

(2) 面積が16cm2となるのは、動き始めから何秒後でしょう

 

→ 適当にyに16を代入してみると…
・y = 2x2  → 16 = 2x2  → x2 = 8  → x = 2\(\small{\sqrt{2}}\)
∴ xの値が、0≦x≦2 に収まっていないので OUT!

 

・y = 8x-8  → 16 = 8x-8  → 8x = 24  → x = 3
∴ xの値が、2≦x≦4 に収まっているのでSAFE!
A. 3秒後

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

② グラフ操作問題

 

二次関数のメインどころとなりますね!

 

【 相似 】

 

《 例 》
関数y = ax2のグラフ上に、2点A(-3, 9)、B(b, b2) がある
2点A、Bを通る直線がx軸と交わる点をCとする
AB:BC = 2:1であるとき bの値を求めましょう

 

例題問題二次関数と直線の交点の応用問題①

 

→ データを書き込んでみると
y = ax2 は1点が判れば 式がわかるので
→ 9 = (-3)2a  → 9a = 9  → a = 1   ∴ y = x2

 

中学数学 関数 |

 

→ 「山型」の「L型」の利用ですね
b2:9 = 1:3 → 3b2 = 9
b = ±\(\small{\sqrt{3}}\)
b>0より ∴ b = \(\small{\sqrt{3}}\)


( 相似「A型、L型、H型」)

 

 

 

 

《 例 》
図の①はy = x2、②はy = ax2 (a>1)のグラフである
今、直線③が①、②、y軸と図のようにA、B、C、D、Eで交わっている
Aのx座標は-1、AB:BC:CD = 1:2:3 である

 

例題問題二次関数と直線の交点の応用問題②中学数学 関数 |

 

(1) aの値を求めましょう

 

→ B, C, D のそれぞれの「x座標」は比から求められますね

 

中学数学 関数 |

AB:BC = 1:2ということは
BはACを3つに分けた内の2つ
∴ Bのx座標は -\(\large{\frac{2}{3}}\)
∴ Bの座標は、B(-\(\large{\frac{2}{3}}\), \(\large{\frac{4}{9}}\)a)

↑y = ax2に-\(\large{\frac{2}{3}}\)を代入したものが
 y座標ですね

AB:BC:CD = 1:2:3ということは
AC:CD = 1:1 ←Cは中点
∴ Dのx座標 1
∴ Dの座標は、D(1, a)


 

文字が残りながらも(x座標、y座標)が解りましたので、あとは「相似」の
「山型、L型」を利用してy座標ですね

 

例題問題二次関数と直線の交点の応用問題③相似の利用

 

→ \(\large{\frac{4}{9}}\)a-1:a-1 = ①:⑥

\(\large{\frac{4}{9}}\)aはx軸からの距離ですが、三角形の内部の実線部分には不要
なので「-1」
(L型は台形に使えない)

 

①・(a-1) = ⑥・(\(\large{\frac{4}{9}}\)a-1)  → 3a-3 = 8a-18  → -5a = -15
A. a = 3

 

 

(2) Eの座標を求めましょう

 

→ A、B、C、Dの座標が全て数字で判明したのであとは自由自在ですね
2点から直線③の式を求め、y = x2 との交点を求めますね

 

きれいな数字の  A(-1, 1)  D(1, 3)でいきますね
直線y = \(\large{\frac{3-1}{1+1}}\)(x+1)+1  = \(\large{\frac{2}{2}}\)(x+1)+1 = x+1+1  = x+2
∴ 直線③は y = x+2

 

交点は
 \(\small{\begin{cases}
y = x^2 \scriptsize{…①}\\
y = x+2 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

→ x2 = x+2 → x2-x-2 = 0 → (x-2)(x+1) = 0
∴ x = -1, 2 ←この-1は交点Aのx座標ですね
x>0より x座標は(2,  )

 

y座標 → y = (2)2 = 4
A. E(2, 4)

 

●直線の比が
斜めであっても、
中学数学 関数 |
x座標の比として

 そのまま使えますね(H型)
 → 1つでもx座標がわかっていいれば、他も判るということですね
●x座標がわかれば、文字が残ることもありますが、y座標が判る
 (元の y = 〇x2 にx座標を代入するだけですね)
●y座標の文字は、「山型」の「L型」を利用ですね

 

 

 

 

【 正方形 】

 

《 例 》
図のように正方形(各辺がx軸、y軸に平行)なとき、Aの座標を求めましょう

 

例題問題放物線と正方形①

 

→ Aのx座標を(t,  )とおくと・・・
y座標は、y = \(\large{\frac{1}{3}}\)x2  x = tを代入して\(\large{\frac{1}{3}}\)t2  → A(t, \(\large{\frac{1}{3}}\)t2)
ということはDの座標は、D(t, 0)

 

→ 正方形より、AD = CD = 2OD
AD = 2OD → \(\large{\frac{1}{3}}\)t2 = 2t  → t2-6t = 0  → t(t-6) = 0
∴ t = 0, 6 t>0より   t = 6

 

↑0のときも確かに AD = 2ODですが、
「距離」がないので正方形とはいえないということですね
中学数学 関数 |

 

中学数学 関数 |

こんなものはありませんね!
これは(0, 0)
という「」ですね


 

t = 6と判明しましたので、y座標も数字でわかりますね
y座標 = \(\large{\frac{1}{3}}\)t2 = \(\large{\frac{1}{3}}\)(6)2  = 12
A. A(6, 12)

 

 

 

《 例 》
図のように正方形があるとき、Aの座標を求めましょう

 

例題問題放物線と正方形②

 

→ Aのx座標をtとおくと・・・

A(t, t2)
B(t, 2t2)
D(-t, t2)


↑Aをtとおく決まりはありません、BでもDでもCでもOKです

 

→ 正方形より、DA = AB
2t = 2t2-t2  → t2-2t = 0  → t(t-2) = 0
∴ t = 0, 2 t>0より t = 2
∴ A(t, t2) に t = 2を代入して
A. A(2, 4)

 

 

 

《 例 》
図のグラフは、y = ax2  y = a
図形ABCDは正方形、
点A、Cはy = ax2 上の点である
正方形の面積が100のとき、aの値を求めましょう

 

例題問題放物線と正方形③

 

→ 正方形の面積が100ということは、1辺は 10 ですね

 

→ y = ax2とy =aの交点が求められるかチャレンジですね
ア) 先のようにAのx座標を(t,  )としてもよいですし
イ) 今までのように、「交点は連立方程式」でもよいですね

 

イ)の方が単純ですが、ア)でいってみますね

 

x座標を(t,  )とすると、y座標は・・・
 y = ax2から (t, at2) とも表せられるし
 y = aから (t, a) とも表せますね

 

y座標は共通(交点)であるから   at2 = a  → t2 = 1  → t = ±1
t>0 より t = 1 ∴ A(1, a)

 

→ A(1, a)より・・・

B(11, a)
C(11, a+10)
と表すことができますね


 

→ C(11, a+10)は y = ax2 上の点より、代入するとaだけの式になって
aが求められそうですね
a+10 = a(11)2  → a+10 = 121a  → 120a = 10
A. a = \(\large{\frac{1}{12}}\)

 

●正方形の問題は、正方形は「縦 = 横」
●各座標を文字が混ざりながらでも決めてあげれば、「縦 = 横」を
 利用して、文字をつぶしていけますね

 

 

 

 

【 正三角形 】

 

《 例 》
関数y = ax2 のグラフとy = 4が2点A, Bで交わり、
三角形OABは正三角形になっています

 

例題問題放物線と正三角形1

 

(1) 点Aの座標を求めましょう

 

→ 正三角形ということは、その半分は「サブローキュー」ですね

 

中学数学 関数 |

 

t:4 = 1:\(\small{\sqrt{3}}\)
\(\small{\sqrt{3}}\)t = 4
t = \(\large{\frac{4}{\sqrt{3}}}\)
A(\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\), 4)


 

 

(2) aの値を求めましょう

 

→ 判明した座標を代入するだけですね
y = ax2  → 4 = a(\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\))2  → 4 = a・\(\large{\frac{16・3}{9}}\)  → 12 = 16a
A. a = \(\large{\frac{3}{4}}\)

 

 

(3) 点Bを通り、△OABを2等分する直線の式を求めましょう

 

 

例題問題放物線と正三角形 2面積を2等分する1
 こんな感じでしょうか

 

→ ということは、
ア) BとAOの中点を通ればよい または
イ) Bを通り傾きがAOと垂直であればよい または
ウ) 図形の性質から単独で傾きを求める どれでもOKですね

 

考え方ア)

中点m = (\(\large{\frac{x_1+x_2}{2}}\), \(\large{\frac{y_1+y_2}{2}}\))  = (\(\large{\frac{\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}+3}{2}}\), \(\large{\frac{4+0}{2}}\))  = (\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{6}}\), 2)  = (\(\large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\), 2)

 

2点 B(-\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\), 4)、m(\(\large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\), 2) を通る直線の式は

 

\(\small{\begin{cases}
4 = -\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\small{a+b} \\
2 = \large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\small{a+b}
\end{cases}}\)

 

  12 = -4\(\small{\sqrt{3}}\)a+3b
-) 6 = 2\(\small{\sqrt{3}}\)a  +3b  
  6 = -6\(\small{\sqrt{3}}\)a

 

∴ a = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) , b = \(\large{\frac{8}{3}}\)
y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+\(\large{\frac{8}{3}}\)

 

 

考え方イ) Bを通り傾きがAOと垂直であればよい

 

例題問題放物線と正三角形 3面積を2等分する別解1

 

→ AOの傾き = \(\large{\frac{4-0}{\large{\frac{4\small{\sqrt{3}}}{3}}-0}}\)  = \(\large{\frac{12}{4\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{3}{\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{3}}{3}}\)  = \(\small{\sqrt{3}}\)

 

→ 傾き\(\small{\sqrt{3}}\)に垂直な傾き  = -\(\large{\frac{1}{\small{\sqrt{3}}}}\)  = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
(垂直な傾き:2年一次関数)

 

→ y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+b が点B(-\(\large{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\), 4) を通るので
4 = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)・(\(\large{\frac{-4\sqrt{3}}{3}}\))+b  → 4 = \(\large{\frac{12}{9}}\)+b  → b = 4-\(\large{\frac{4}{3}}\)  = \(\large{\frac{8}{3}}\)
y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+\(\large{\frac{8}{3}}\)

 

 

 

考え方ウ) 図形の性質から単独で傾きを求める

 

例題問題放物線と正三角形 4面積を2等分する別解2

 

正三角形の1辺AOの中点と頂点Bを通るということは
直線は∠ABOの二等分線
∴ ∠ABC = ∠OCB = 30° (錯角)

 

中学数学 関数 |

 

青線の傾き = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)   = \(\large{\frac{-1-0}{\sqrt{3}-0}}\)  = \(\large{\frac{-1}{\sqrt{3}}}\)  = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

 

後は イ)と同様に進めて・・・
y = -\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)x+\(\large{\frac{8}{3}}\) ですね

 

問題集の解答例と違っていても答が同じであれば、
「考え方」は間違っていないということですね
その上で、問題集の「違う解き方」を理解しようとすれば
さらに「力」がつくということですね!

 

 

 

《 例 》
図のように正三角形の頂点A, Bを y = x2 上におき、
辺BCをy軸と平行になるようすると 重心Gがy軸上にありました

 

中学,数学,二次関数,放物線

 

(1) 頂点Bのx座標をtとして 頂点Aの座標を求めましょう

 

→ B座標はB(t, t2)
→ BCとAGの延長の交点をDとすると

 

中学数学 関数 |

 

Dの座標は・・・D(t, ?)
Aの座標は・・・GがADの重心より  AG:GD = 2:1( 重心)
 ∴ A(-2t, ?)

 

AはDと違ってy = x2上の点であるから
x座標が解れば y座標もわかる
x座標-2tをy = x2 に代入して 
∴ A(-2t, 4t2)

 

 

(2) tの値を求めましょう

 

→ Dの座標は・・・Aと同じ高さなので、 D(t, 4t2)

 

例題問題放物線と正三角形の応用問題     

 

→ AD:DB = \(\small{\sqrt{3}}\):1 = 3t:3t2  → 3\(\small{\sqrt{3}}\)t2 = 3t  → \(\small{\sqrt{3}}\)t2-t = 0  → t(\(\small{\sqrt{3}}\)t-1) = 0
∴ t = 0, \(\large{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)   t>0より   A. t = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

 

 

(3) Cの座標を求めましょう

 

→ B(t, t2) 、D(t, 4t2)より   DB = 3t2
DB = DC より   BC間は6t2
∴ C(t, t2+6t2) = (t, 7t2)
これに t = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) を代入して
C(\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\), 7・\(\large{\frac{3}{9}}\))
∴ C(\(\large{\frac{\sqrt{3}}{3}}\), \(\large{\frac{7}{3}}\))

 

 

 

 

 

【 平行四辺形 】

 

《 例 》
図のようにy = 2x2 上に2点A、Bをとり
Bを通りx軸に平行な直線とy軸との交点をCとします
Aを通りx軸に平行な直線と放物線との交点をDとします
△ABCはBCを斜辺とする直角二等辺三角形であった

 

例題問題放物線と平行四辺形1

 

(1) 点Aのx座標を求めましょう

 

中学数学 関数 |

 

→ 点Aのx座標を(t,  )とすると、A(t, 2t2)
後は点Bの座標をtで表して、直角二等辺三角形の性質を用いたら解けそうですね

 

問題により図が正確でない場合がありますので、
イメージのため正確な直角二等辺三角形を書いてみると

 

正確な直角二等辺三角形

 

AHも = CH でしたね
∴ CH = BH = AH


 

中学数学 関数 |

 

→ Hのx座標は(t,  )、  CH = HBより  CB = 2CH
∴ B(2t,  )  → y = 2x2 に代入して  → B(2t, 8t2)
ということは H(t, 8t2)
∴ AH:BH = 1:1 = 6t2:t  → 6t2 = t  → 6t2-t = 0  → t(6t-1) = 0
∴ t = 0, \(\large{\frac{1}{6}}\)   t>0より   t = \(\large{\frac{1}{6}}\)
A(\(\large{\frac{1}{6}}\), \(\large{\frac{1}{18}}\))

 

 

(2) 原点Oを通る直線が、四角形ABCDの面積を2等分するように
直線の式を求めましょう

 

→ まずは四角形ABCDがどのような四角形か ですね

 

ADとy軸の交点をEとすると
AE = DE (線対称)
∴ DA = CB …①
AC = DC (線対称)
∴ CD = AB …②

 

①②より対辺がそれぞれ等しいので四角形ABCDは平行四辺形
( 平行四辺形の条件)
証明方法は他にもたくさんありそうですね

 

→ 平行四辺形系(平行四辺形・ひし形・長方形・正方形)を2分するには、
平行四辺形の2つの対角線の交点(1つの対角線の中点)を通ればよかったですね

 

例題問題放物線と平行四辺形4 面積を2等分する

 

よって、ACの中点を通ればよいということですね
A(\(\large{\frac{1}{6}}\), \(\large{\frac{1}{18}}\))、C(0, \(\large{\frac{2}{9}}\))

→ ACの中点の座標

中学数学 関数 |


 

→ 原点と(\(\large{\frac{1}{12}}\), \(\large{\frac{5}{36}}\))を通る式は・・・  y = axに代入して
(原点を通るのでy = axで十分ですね、原点以外なら  y = ax+b)
\(\large{\frac{5}{36}}\) = \(\large{\frac{1}{12}}\)a  → 5 = 3a  → a = \(\large{\frac{5}{3}}\)
y = \(\large{\frac{5}{3}}\)x

 

 

 

 

 

【 面積 】

 

《 例 》
図のように2点A、B、を通る直線①と、
2点A、Bをとおり原点を頂点とする放物線②があります
B(-2, 2)、Cは直線のy切片、AC:BC = 2:1であるとき
次の問いに答えましょう

 

放物線と直線

 

(1) △ABOの面積を求めましょう

 

→ 判っているデータを書き込むと

 

中学数学 関数 |

 

→ あとはの座標さえわかれば「底辺共有2三角形」より
面積がわかりますね ( 底辺共有2三角形)

 

→ AC:BC = 2:1より、Aのx座標がわかりますね

 

例題問題放物線と直線の関係 相似比の利用

 

相似の「山型」の「H型型」利用でしたね
→ 反対側 = 水平方向  = x軸の比も1:2


 

∴ BOの距離・・が2ということは、A’O’の距離・・は4ですね  (2:A’O’ = 1:2)
∴ A’O’ = 4   ∴ A(4,  )

 

→ その前に、②の放物線の1点(-2, 2)が判っているので、放物線の式が解る

 

y = ax2   → 2 = a(-2)2  → 2 = 4a  → a = \(\large{\frac{1}{2}}\)
∴ ②の放物線は y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2
∴ Aの座標は y = \(\large{\frac{1}{2}}\)x2  → y = \(\large{\frac{1}{2}}\)(4)2  → y = 8   ∴ A(4, 8)

 

→ あとはCですね、2点が判明したので「直線の式」がわかる、
「直線の式」がわかれば、そのy切片も求められる ですね

 

B(-2, 2) A(4, 8)より
\(\small{\begin{cases}
2 = -2a+b \\
8 = 4a+b
\end{cases}}\)   これを解いて a= 1、b = 4
∴ ①の直線は y = x+4
∴ y切片であるCは C(0, 4)

 

→ 4座標が判明しましたので、「底辺共有2三角形」より
△ABO = \(\large{\frac{底辺×(合計高さ)}{2}}\)  = \(\large{\frac{CO×(ABの水平距離)}{2}}\)  = \(\large{\frac{4\cdot(2+4)}{2}}\)  = 12    A. △ABO = 12

 

 

(2) △ABOをy軸を軸にして回転させた立体の体積を求めましょう

 

 

例題問題放物線と直線の関係2 相似比の利用2

中学数学 関数 |

中学数学 関数 |


 

中学数学 関数 |

こんな感じの立体でしょうか
大円錐A-不要円錐+中円錐B-不要円錐+ …ですね
円錐だけの式になりましたね
(途中でちょん切られた台形錐?
中学数学 関数 |
を一発で求める公式はありません)


 

 

→ 上から順に分析しますね
中学数学 関数 | 中学数学 関数 |

 

各座標の記入

 

2直線の交点も必要ですね、Dとします

\(\small{\begin{cases}
・AOの直線 y=2x \\
・CB’の直線 y=-x+4
\end{cases}}\)

 

 を解いて ∴ D(\(\large{\frac{4}{3}}\), \(\large{\frac{8}{3}}\))


 

それでは 分析図と座標を確認しながら…

中学数学 関数 |


 

体積 = Aパート+Bパート+Cパート
中学数学 関数 |

 

 

 

 

《 例 》
図のように、y = x2 のグラフ上に2点A、Bがあり、それぞれのx座標は
-2と3であった、放物線上をAからO、Bと動く点をPとする場合
△PABの面積が△OABの面積の\(\large{\frac{2}{3}}\) になるとき、点Pの座標を求めましょう

 

例題問題放物線と直線の関係2 相似比の利用2

 

中学数学 関数 |中学数学 関数 |中学数学 関数 |

 

ということは、「頂点の平行移動」 = 「等積変形」ですね
( ここで言う 「高さ」とは正確には「高さにあたるもの」ですね!)

 

例題問題放物線と直線の関係2 等積変形の利用

面積を\(\large{\frac{2}{3}}\)にする点Pは 2回ありますね
黒線ABの式を求めて

青線は、傾きは同じで
y切片が黒線の\(\large{\frac{1}{3}}\)の式原点基準

青線と放物線の交点が必要


 

→ Aの座標 (-2,  )が y = x2  → y = 4   ∴ A(-2, 4)
 Bの座標 (3, )が y = x2  → y = 9   ∴ B(3, 9)

 

→ 2点A, Bを通る黒線の式
y = \(\large{\frac{9-4}{3+2}}\)(x+2)+4  = 1(x+2)+4  = x+6   ∴ y = x+6

 

→ 青線の式
∴ y = x+2

 

→ 青線と放物線の交点
\(\small{\begin{cases}
・y = x^2 \\
・y = x+2
\end{cases}}\)
x2 = x+2  → x2-x-2 = 0  → (x-2)(x+1) = 0
∴ x = -1, 2 ∴ P(-1,  )と(2,  )

 

y = x2 に代入して
A. P(-1, 1)と(2, 4)

 

 

 

 

《 例 》
図のように、関数y = ax2 のグラフ上に4点A, B, C, Dがあります
A(-4, 4)、Bのx座標は2、Cのx座標は6、AB//CDのとき
△ABC:△ACD = 1:  である

 

例題問題放物線と2本の平行線1

 

→ AB//CDであるから ABとCDは「底辺にあたるもの」と見れますね
ということは、△CABも△ACDも高さは共通(同じ)ということですね!

 

中学数学 関数 |中学数学 関数 |

 

→ 高さが同じということは…底辺の長さの比が そのまま面積比ですね
すなわち AB:DC = △ABC:△ACD
(高さにあたるもの、底辺にあたるもの)

 

→ あとは AB、CD、長さを求めるために 各座標を求める ですね
順次求めるだけですね

 

例題問題放物線と2本の平行線2

 

・y = ax2 が通る点が1つでもいいから完全に判っている  → y = ax2 が判明
A(-4, 1)を代入してaを求めると  … 4 = 16a  → a = \(\large{\frac{1}{4}}\)
 ∴ y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2

 

・B、C、の座標は x座標が判っているので   y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 に代入するでけですね
B  → y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(2)2 ∴ B(2, 1)
C  → y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(6)2 = 9 ∴ C(6, 9)

 

・直線DCの式は ABと同じ傾(a)き そして C(6, 9)を通る
ABの傾き = \(\large{\frac{yの増加量}{xの増加量}}\)  = \(\large{\frac{1-4}{2-(-4)}}\)  = \(\large{\frac{-3}{6}}\)  = -\(\large{\frac{1}{2}}\)
∴ 平行である直線DCは   y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+b これに判明しているCを入れて
9 = -\(\large{\frac{1}{2}}\)(6)+b  → b = 9+3 = 12
∴ 直線DCは y = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+12

 

・直線DCと放物線の交点が Dの座標
\(\small{\begin{cases}
y = \large{\frac{1}{4}}\small{x^2} \\
y = -\large{\frac{1}{2}}\small{x+12}
\end{cases}}\)

 

→ \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 = -\(\large{\frac{1}{2}}\)x+12  → x2+2x-48 = 0  → (x+8)(x-6) = 0
∴ x = -8, 6   (6,  )は点Cですね  → ∴ Dが(-8,  )
D(-8,  )を  y = \(\large{\frac{1}{4}}\)x2 に代入して y(座標)を求めると
y = \(\large{\frac{1}{4}}\)(-8)2  = \(\large{\frac{-8\cdot-8}{4}}\) = 16   ∴ D(-8, 16)

 

・AB = \(\small{\sqrt{(横方向)^2+(縦方向)^2}}\) ←ただの三平方の定理ですね

 

例題問題放物線と2本の平行線3

 

中学数学 関数 |中学数学 関数 |

 

←(x-x) でも構いませんが(同じことなので)、(右にある点)-(左にある点)、
(上にある点)-(下にある点) いうふうに自分ルールを決めた方が
間違いが少なくなるかと思います

 

 

中学数学 関数 |
= \(\small{\sqrt{(2+4)^2+(16-9)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{196+49}}\)  = \(\small{\sqrt{245}}\)  = 7\(\small{\sqrt{5}}\)
∴ △ABC:△ACD = AB:DC = 3\(\small{\sqrt{5}}\):7\(\small{\sqrt{5}}\) = 3:7  = 1:\(\large{\frac{7}{3}}\)
∴ (  は) \(\large{\frac{7}{3}}\)

 

後半はただの「作業」でしたね

 

 

公式

 

座標上の2点間の距離

 

座標上の2点間の距離の公式

 

2点間の距離 = 斜辺の長さ

中学数学 関数 |


 

意味さえわかれば「公式」というほどではないですね
よって、どれで理解してもOKですが、おすすめは

 

中学数学 関数 |
  だから
  中学数学 関数 |
  でしょうか

 

今後、教科書では(x1, y1)、(x2, y2)・・・という表現が増えていきますね

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

エ いろいろな事象と関数(これまでの関数以外)

 

円運動系

「時計」「観覧車」など

 

 

《 例 》
高さ60cmの時計の分針が30分を出発してから
x分後の分針の先端の高さをycmとする

 

(1) 0≦x≦120 の範囲で xとyの関係をグラフに表しましょう

 

例題問題円運動の関数 グラフ

 

 

(2) 5分後の高さを求めましょう

 

正三角形の分析

AE:AD30cm = \(\small{\sqrt{3}}\):2
→ 2AE = 30\(\small{\sqrt{3}}\) cm
∴ AE = 15\(\small{\sqrt{3}}\) cm
「山型」の「H型」より
AD:DB = AE:EC
30:DB = 15\(\small{\sqrt{3}}\):30-15\(\small{\sqrt{3}}\)
→ 15\(\small{\sqrt{3}}\)DB = 900-450\(\small{\sqrt{3}}\)


 

∴ DB = \(\large{\frac{900-450\sqrt{3}}{15\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{60-30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\)  = \(\large{\frac{60\sqrt{3}-90}{3}}\)  = 20\(\small{\sqrt{3}}\)-30

 

DB:DF = 2:\(\small{\sqrt{3}}\)  → (20\(\small{\sqrt{3}}\)-30):DF = 2:\(\small{\sqrt{3}}\)  → 2DF = 60-30\(\small{\sqrt{3}}\)  → DF = 30-15\(\small{\sqrt{3}}\)
A. 30-15\(\small{\sqrt{3}}\) cm (≒4.02cm)

 

 

(3) 10分後の高さを求めましょう

 

例題問題円運動の関数 高さを求める中学数学 関数 |

 

→ ECが高さということですね
AE:AD30cm = 1:2  → 2AE = 30cm
∴ AE = 15cm
∴ EC = 30-15  = 15cm   A. 15cm

 

 

 

料金系

 

「電車・バス・タクシー料金」「宅配料金」「駐車料金」「四捨五入」など区切段階的なもの

 

 

《 例 》
あるタクシー会社の料金設定は、下の表のようになっています。
このタクシーにxm乗車したときの運賃をy円とします
乗車距離3kmまでのxとyの関係をグラフに表しましょう

 

例題問題区間毎料金の関数

 

料金表のグラフ

 

このような「階段状」のグラフでも
「xの値が決まれば、yの値がただ一つ決まる」ので「関数」といえますね
→ 「yはxの関数」と言えますが
逆の「xはyの関数」とは言えなさそうですね

 

 

 

《 例 》
xを小数第一位で四捨五入した数値をyとします。

 

(1) 0≦x≦5の変域でグラフに表しましょう

 

例題問題四捨五入の関数

 

 

(2) x= 2.49 のとき yの値を求めましょう

 

→ グラフより y = 2
または 2.49を小数第一位で四捨五入すると 2.0
A. y = 2

 

 

 

 

お疲れ様でした!
その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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