中学数学　円周角・中心角

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中学3年生課程

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 図形の相似

(2) 円周角・中心角

(3) 三平方の定理

ア	円周角と中心角の関係の意味と証明
a	今までの円の性質の再確認
・	内心
・	外心
・	重心
①	円周角の定理
・	円周角の定理から派生する定理
・	例題問題　円周角の定理を利用して色々な角度を求めてみる
・	ここまでの各定理の証明
→	接点までの距離は等しいという証明
→	円周角の定理の証明
→	弧と円周角の定理の証明
②	円周角の定理の逆　とその証明
・	内接四角形の対角の和は180°
③	内接円、外接円の性質の利用
・	三角形の内接円の半径の利用
・	頂点の角度と円周の関係
・	内接円を持つ四角形の対辺の関係
イ	円周角と中心角の関係の活用
①	接弦定理
・	接弦定理の証明
・	接弦定理の逆
②	方べき
・	方べきの定理の証明
③	方べきの定理の逆
・	方べきの定理の逆の証明
④	その他余談
a	2つの円の位置関係
b	2つの円の共通接線の本数
c	トレミーの定理
d	チェバの定理・メネラウスの定理
・	メネラウスの定理

 

円周角・中心角

 

ア　円周角と中心角の関係の意味と証明

 

「円」には不思議な現象と言いますか、当たり前の現象と言いますか
たくさんの「定理(武器)」がありますね

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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それでは、新たな分野へ
中学数学の「円の性質」で最も大事なものと思われる3つのうちの
1つ目「円周角の定理」ですね！

 

①　円周角の定理

 

まずは各部名称です

 

 

 

 

 

これだけです！

 

 

「円周角の定理」に付随するものとして

 

 

 

念のため

 

不思議なような…当たり前なような…定理ばかりですね

 

 

クリック・タップで答え (反応が遅い場合があります)

 

 

 

 

《 例 》
円周を8等分した点です x, y, z の角度を求めましょう

 

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、AB：CD を求めましょう

 

 

 

 

 

それでは念のため余談程度で十分だと思われますが、
これまでの円に関する各定理の『証明』です

 

(円の定理に関する証明は全て、「余談」として見てくださいね！
定理(武器)を使って、「値」を求める問題がほとんどですので！
ですが…「原理」を納得することも大切ですので、できる限り証明していきますね！)

 

 

 

『 接点までの距離は等しい 』
円の外にある1点から引いた2本の接線の⾧さは等しい？

 

 

 

 

 

『 円周角 の定理 』の証明

 

 

点Pが(\(\small{\stackrel{ \Large \frown }{ AB }}\)を除いた部分を、AからBに動くとき
∠APBが常に∠AOBの半分であることを証明すれば、
①、②同時に証明したことになりますね

 

 

 

(証明)
→ 3つの場合分けとなります
(ⅰ) Oが∠APBの内部にある場合

 

同様に、
∠OPB = b とすると
∠BOC = 2b

 

∴ ∠APB = a+b
　∠AOB = 2a+2b = 2(a+b)
∴ ∠APB = \(\large{\frac{1}{2}}\)∠AOB　//

 

 

 

(ⅱ) Oが∠APBの辺上にある場合

 

 

 

 

(ⅲ) Oが∠APBの外部にある場合

 

 

∴　(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より
① 円周角 = \(\large{\frac{1}{2}}\)中心角　
② 同じ弧に対する円周角は全て等しい

 

 

 

 

 

『弧と円周角 の定理』の証明

 

　弧の長さが等しい　 ⇔ （ならば）　円周角が等しい

 

(証明)

 

∠APB = \(\large{\frac{1}{2}}\)∠AOB …①
∠CQD = \(\large{\frac{1}{2}}\)∠COD …②
弧の⾧さが等しいとき中心角は等しいので
∠AOB = ∠COD …③
①②③より ∠APB = ∠CQD

 

 

(逆の証明)

 

(省略しますね)
中心角が等しいとき弧の⾧さは等しいので
∴ \(\small{\stackrel{ \Large \frown }{ AB }}\) = \(\small{\stackrel{ \Large \frown }{ CD }}\)

 

 

 

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②　円周角の定理の逆

 

 

(証明) 余談として見てOKです

 

 

(証明)
円Oを △PABの外接円とすると、OP = OA = OBである
円O’を △QABの外接円とすると、O’Q = O’A = O’Bである

 

△OABと△AO’Bにおいて
　∠AOB = ∠AO’B (仮定より∠P=∠Q、ともにその中心角)
　△OABは二等辺三角形 (OA = OBより)
　△O’ABも二等辺三角形 (O’A = O’Bより)
二等辺三角形の底角は等しいので
∠OAB = ∠OBA

同様に
∠O’AB= ∠O’BA
△OABと△O’ABの頂角が等しいので
　∠OAB = ∠O’AB　∠OBA = ∠O’BA …①
　AB = AB　(仮定より共通) …②

 

①②より 「1組の辺とその両端の角が等しい」ので
△OAB ≡ △O’AB
∴ 中心の位置が等しく、半径も等しい(OA=OB=OP=O’A=O’B = O’Q)
　ので、2つの外接円が一致する

 

よって、2点P、Q が直線ABについて同じ側にあり、
かつ ∠APB = ∠AQB ならば 4点P,A,B,Q は1つの円周上にある //

 

 

 

《例》
xを求めましょう

 

 

 

 

 

 

内接四角形の対角の和は180°

 

では、2点P、Qが直線ABについて同じ側に「ない」場合の性質です

 

 

 

(原理)

 

(証明)

 

(イメージ)

 

 

 

 

〔 a = c の証明 〕

 

 

 

 

 

 

 

 

③　内接円、外接円の性質の利用

 

・ 三角形の内接円の半径の利用

 

 

 

《 例 》
　図のようなとき面積が 84cm2でした内接円の半径は？

 

 

 

 

《 例 》
　x を求めましょう

 

 

 

 

ちなみに、この次の過程「三平方の定理」で出てきます
「代表的な直角三角形」の1つ「5・4・3 の直角三角形」の内接円の半径ｒは…

 

上の問題は「5, 4, 3 の三角形」ではありますが、内接円ではないですね

 

 

 

《 例 》
　次の三角形の外接円の半径を求めましょう

 

 

 

 

 

 

頂点の角度と円周の関係

 

 

証明として、正三角形で底辺の⾧さが同じならば、頂上の角度が
「鈍くなれば、高さが低くなる」「鋭くなれば、高くなる」と
本能的にイメージできるのですが…

 

 

これでは、数学的証明にならないみたいですね…

 

 

(証明)
内部の点をP’とし、AP’の延⾧と円の交点をPとする
∠AP’Bは△P’PBの∠PP’Bの外角であるから

 

∠AP’B = ∠APB+∠PBP’
∴ ∠AP’B ＞∠APB …①

 

 

∠APB = α　(円周角の定理) …②
∴ ①②より ∠AP’B＞α

 

 

 

 

 

(証明)
点Pが円の内部にないと仮定すると、
点Pは、「円周上」、または「円の外側」にあるかのいずれかである
円周上であれば  ∠APB = α、円の外側であれば   ∠APB＜α となって、
仮定「∠APB＞α」　に矛盾する

 

∴ Pは「円の内部」になければならない (転換法という証明法ですね)

 

 

 

 

 

も同様の証明方法となりますので省略しますね

 

 

 

 

 

 

 

内接円を持つ四角形の対辺の関係

 

 

(証明)

 

 

s+t+u+v = s+t+u+v　→　(s+v)（上辺）+(t+u)（下辺） = (s+t)（左辺）+(v+u)（右辺）
∴ 対辺+対辺  = 対辺+対辺　//

 

 

 

 

《 例 》
　図のようなとき、線分CQの長さを求めましょう

 

 

→ CQを xとすると、CRもx
→ AR = AP、BQ = BP より (接点までの距離は等しい)
　AR+BQ (=AP+BP) = 14
　(13-x)+(15-x) = 14
　　-2x = -14
　　x = 7　　  A.　CQ = 7cm

 

 

 

 

《 例 》
　図のような台形に円が内接している時、台形の面積を求めましょう

 

 

→ 「AD+BC = AB+DC」より
　(内接円を持つ四角形　 ⇔ （ならば） 対辺+対辺 = 他対辺+他対辺)
　AD+BC = 15+10 = 25

∴ 台形の面積	=	\(\large{\frac{1}{2}}\)(上+下)(高さ)
	=	\(\large{\frac{1}{2}}\)・25・10
	=	125 cm2　//

 

 

 

 

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イ　円周角と中心角の関係の活用

 

　① 接弦定理

 

中学数学の「円の性質」で最も大事なものと思われる3つのうちの
2つ目「接弦定理」ですね！
現在の公立中学では課程から外れているかもしれませんが
私立中学では必ず学んでいるはずです

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、xを求めましょう

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、xを求めましょう

 

 

 

 

 

接弦定理の証明

 

それでは、「接弦定理」自体を証明しましょう
…という問題は見たことがありませんが、「納得」するために「原理」として
証明していきますね

 

「円周角の定理の証明」同様、『場合分け証明』になります

 

 

〔 ∠ABCが90°の場合 〕

 

 

∠ABCが90°のとき、ACは直径 (円周角が90° ⇔ 直径より)
　∴ OCは半径
OC ⊥ l　(半径と接線は垂直に交わる より)
　∠ACl = 90°
　∠ABC = 90°(仮定より)
∴　∠ACl = ∠ABC

 

 

 

 

 

 

接弦定理の証明に戻りまして、

 

〔 ∠ABCが鋭角の場合〕

 

 

CAをそのままに、BCがOを通るように点Bを動かすと
→ ∠B = ∠B’　(円周角の定理)
→ ∠A = 90°　(BCが直径 ⇔（ならば）円周角は90°)

 

・三角形の「内角」から見て
　= 180°-90°- 　→　= 180°-90°- 

 

・「直線(直径を延長した直線)」B’m から見て
　= 180°-90°- 　→　= 180°-90°- 

 

→ どちらも 180°-90°- 
∴　　=　

 

 

 

 

〔 ∠ABCが鈍角の場合 〕

 

 

点Bのある\(\small{\stackrel{ \Large \frown }{ AC }}\)の反対側の\(\small{\stackrel{ \Large \frown }{ AC }}\)に、適当な点Dをとると…
∠D= 180°-∠ABC　(内接四角形の対角の和は180°)
∠ABCは鈍角(仮定)であるから
　∴ ∠D は鋭角
「鋭角の場合の証明」より、∠D= ∠ACm
∴ ①内接四角形から見て、  ∠ABC = 180°-∠D  = 180°-∠ACm (置き換えただけ)
　 ②直線mlから見て、　　  ∠ACl = 180°-∠ACm
∴ ∠B = ∠ACl　//

 

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、x を求めましょう

 

 

→ CBを結ぶと…

 

 

→ ∠DBC = 38°　(接弦定理)
→ ∠ECB = 38°　(接弦定理)
∴ ∠CFB = ∠DFE (対頂角) = 180°-38°-38° = 104°
　
は y = a+b+c　　 (   凹四角形でもOKでしたね)
∴ 104 = 46+38+x
∴ x = 20°　//

 

他にも色々道がありそうですね
∠DCF = 104-46 = 58°　(外角の定理)
∠DCFは△CAEの外角
∴ 38+x = 58  → ∴ x = 20°　//

 

どんな方法でも解ければOK！

 

 

 

接弦定理の逆

 

完全な余談ですね
結果だけで十分ですね！
「あの2つの∠が同じ　⇒（ならば）　この線は接線」で十分

 

 

 

 

 

接弦定理の逆の証明

 

念のため証明しますね

 

　　

 

(証明)
△ABCの外接円の接点Bの接線上に、BCに関してAと反対側に点Eをとると、
　∠a = ∠CBE　(接弦定理より)
　∠a = ∠CBD　(仮定より)
∴ ∠CBE = ∠CBD となり、

 

さらにDEはBCの関して同じ側にあるので、B, D, E, は「一直線上」である
　∴ BDは三角形ABCの外接円の接線である //

 

 

「接線である」ということに価値があるのであって、
「3点は同一円周上にある」ということには全く価値がありませんね
なぜなら、三角形の各頂点は必ず同一円周上にあるからですね
(＝どんな三角形でも必ず外接円が描ける)
「同一円周上にある」で価値があるのは「4点(四角形)」の場合ですね！

 

 

 

 

 

 

 

 

cf. バランスイメージ

 

　

 

 

　　　

 

 

 

 

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　②　方べき

 

中学数学の「円の性質」で最も大事なものと思われる3つのうちの最後「方べき」ですね！

 

「ほうべき」…何か変な名前ですね

 

名前の由来は分かりませんが

 

よって、イメージとして「平面図形」が「累乗」みたいな形になる…感じでしょうか
・・・こだわる部分ではないですね！

 

3パターンありますが、言っていることは皆同じと言えますね！

 

 

 

「基本形」さえ見つけ出せれば、「中間形」「最終形」はおのずと導けますね！
よって、中学数学では「基本形」を見つけ出して「対応する辺」が
どれとどれか(折りたたんだら対応が一致(山型になる)) というイメージさえあれば十分です！

 

な3イメージで「方べき」は安心ですね
高校数学では「最終形」までを公式のように憶えていれば、幾分か早く問題を
解けると思いますが…それでも「基本形」までで、または
「折りたたんだら山形 (そして、型や型を当てはめる)」というイメージがあれば「中間形」までで十分かなと思います。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方べきの定理の証明

 

証明は…したも同然ではありますが 念のため
(2つの三角形が相似であるといえればよいだけ)

 

2本の弦AB、CDが、円周上にない点Pで交わる ⇔（ならば） PA・PB = PC・PD

 

(証明)
△PADと△PCBにおいて
　∠PAD = ∠PCB　( 円周角の定理 )
　∠PDA = ∠PBC　( 円周角の定理 )
　(∠APD = ∠CPB　対頂角 でもOK)

 

「2組の角がそれぞれ等しい」ので
　△PAD∽△PCB (基本形)
∴ PA：PC = PD：PB (中間形)

∴	PA・PB = PC・PD (最終形)　(比の計算)

∴ 2本の弦AB、CDが、円周上にない点Pで交わる ⇔（ならば） PA・PB = PC・PD

 

 

 

 

2本の弦AB、CDそれぞれの延長が、円周上にない点Pで交わる ⇔（ならば） PA・PB = PC・PD

 

(証明)
△PDAと△PBCにおいて
　∠PDA = ∠PBC　( 円周角の定理 )
　∠DPA = ∠BPC　( 共通 )

 

「2組の角がそれぞれ等しい」ので
　△PDA∽△PBC (基本形)
∴ PA：PC = PD：PB (中間形)
∴ PA：PB = PC：PD (最終形)　
∴ 2本の弦AB、CDそれぞれの延長が、円周上にない点Pで交わる ⇔（ならば） PA・PB = PC・PD

 

 

 

 

 

円の外部の点Pから引いた接線の接点をT、
Pを通り円と2点で交わる直線との交点をA, Bとする ⇔（ならば） PT2= PB・PA

 

(証明)
△PTAと△PBTにおいて
　∠PTA = ∠PBT　( 接弦定理 )
　∠APT = ∠TPB　( 共通 )

 

「2組の角がそれぞれ等しい」ので
　△PTA∽△PBT (基本形)
∴ PA：PT = PT：PB (中間形)
∴ PA：PB = PT2 (最終形)　
∴ 円の外部の点Pから引いた接線の接点をT、Pを通り円と2点で交わる直線との交点をA, Bとする ⇔（ならば）  PT2= PB・PA　//

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、x, y を求めましょう

 

→ 相似な2つを見つけるだけですね

 

 

 

 

 

《 例 》
四角形DBCEが円に内接するとき、xを求めましょう

 

 

 

 

 

 

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③　方べきの定理の逆

 

「接弦定理の逆」同様、完全な余談ですね
結果だけで十分ですね！

 

「2つの三角が 裏返し で相似 　 ⇒ （ならば）　4点は同一円周上」

 

ですが、念のため

 

 

方べきの定理の逆の証明

 

 

 

(①の証明)

 

仮定　PA・PB = PC・PD　→　(変形しておく) PA：PC = PD：PB

 

 

△PADと△PCBにおいて
　∠APD = ∠CPB　(対頂角)
　PA：PC = PD：PB　(仮定の変形)
∴ 「2組の辺の比と その間の角がそれぞれ等しい」ので
　△PAD∽△PCB

 

∴ ∠PAD = ∠PCB かつ A , C はBDに関して同じ側にあるので
「円周角の逆の定理　」より
4点 A , B , C , D は同一円周上にある　//

 

 

 

 

 

(②の証明)

 

仮定　PA・PB = PC・PD　→　(変形しておく) PA：PC = PD：PB

 

 

△PADと△PCBにおいて
　∠DPA = ∠BPC　(共通)
　PA：PC = PD：PB　(仮定より)
∴ 「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」ので
　△PAD∽△PCB

 

∴ ∠PDA = ∠PBC かつ B , D はACに関して同じ側にあるので
「円周角の逆の定理」より4点 A , B , C , D は同一円周上にある　//

 

 

 

 

 

(③の証明)

 

仮定　PA・PB = PT2　→　(変形しておく) PA：PT = PT：PB

 

 

△PTAと△PBTにおいて
　∠TPA = ∠BPT　(共通)　
　PA：PT = PT：PB　(仮定より)
∴ 「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」ので
　△PTA∽△PBT

 

∴ ∠PTA = ∠PBT より「接弦定理の逆」より

 

PTは3点 A , B , T を通る円の 点Tでの接線　//

 

 

 

 

以上、円に関する性質でした！
これらの「武器」と次の過程で学ぶ「三平方の定理」があれば
中学数学の円に関する問題で解けないものはないですね！

 

 

 

お疲れ様でした！
その他の問題は、「問題集」で !!

 

 

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④　その他余談

 

これ以降のお話は完全な余談です
将来出会った時に「何これ！」より「なんか見たことある」の方が少しはいいのかなという意味合いだけのお話です
サラッと見でOKです！

 

 

 

a.　2つの円の位置関係

 

2つの円の位置関係は、
それぞれの「半径」と、「中心間の距離」の関係で5つに分類できますね

 

 

当たり前と言えば当たり前ですが、
(3) (4) (5) あたりになると…「ンッ！」となりますね！

 

 

 

 

b.　2つの円の共通接線の本数

 

 

 

 

 

c.　トレミーの定理

 

 

 

《 例 》
　図のようなとき、xを求めましょう

 

 

→ AC = BE = CE = 2　(正五角形より)
　 AB = BC = CD = DE = EA = x　(正五角形より)
→ 四角形ABCEで
　AB・CE+BC・AE = AC・BE　（トレミーの定理）
　x・2+x・x = 2・2
　x2+2x = 4
　(x+1)2 = 5
　x = ±\(\small{\sqrt{5}}\)-1
x＞0より
　x = \(\small{\sqrt{5}}\)-1　//

 

 

 

 

d.　チェバの定理・メネラウスの定理

 

 

 

 

【 イメージ 】
予備前提イメージとして…何も乗っていない「天秤」はつり合っていますね

 

 

イメージ

①	つり合う = 左右が同じ、または両者どうしで割ると「1」
②	つり合う = 支点(▲)が1点に決まる

↑もう、「現象」「摂理」ですね、「意味」など考えるだけ無駄ですね

 

 

 

【 チェバのイメージ 】

 

チェバの図は3つの「天秤」からできているとイメージできますね

 

そして、それぞれを下図のよう

 

にすると

 

現象として、黒丸の動きをボーっと見てくださいね

 

よって
→ 左×左×左 = 右×右×右　⇔（ならば）　対辺への線が「1点」で交わる「現象」

 

かっこよく言えば

などになっていきますね

 

結局チェバって何が言いたいの？
→ 左×左×左 = 右×右×右 ⇔（ならば）対辺への線が「1点」で交わる「現象」

 

天秤の支点(▲)が1点で決まるように、交点(●)が1点で決まる「現象」
意味など考えると疲れますね！「現象」です！

 

 

 

《 例 》
AG：GB を求めましょう

 

 

 

(別解：チェバを使わない)

 

 

 

(研究)

 

それでは、三角形の中（・）の線分の比がわからない時、(外周の比しかわからない場合)
「チェバ」を知っていないと解けないのでしょうか？
「補助線」では解けないのでしょうか？

 

 

 

(補助線なら)

 

 

 

「補助線」でも解けますね！ ですが、なかなか大変ですね

 

 

【 チェバの定理の証明 】

 

余談中の余談です…

 

「チェバ」の原理は「面積比」の利用です

 

 

 

 

これを文字に置き換えると…

 

 

チェバの定理は  \(\large{\frac{RB}{AR}}\)・\(\large{\frac{PC}{BP}}\)・\(\large{\frac{AQ}{QC}}\) = 1

 

各辺が表す面積に置きかえると
\(\large{\frac{RB}{AR}}\)・\(\large{\frac{PC}{BP}}\)・\(\large{\frac{AQ}{QC}}\) = \(\large{\frac{△OBC}{△OAC}}\)・\(\large{\frac{△OAC}{△OAB}}\)・\(\large{\frac{△OAB}{△OBC}}\)

 

これらを約分すると
  = 1  　確かに「1」！

 

→ チェバの定理は成り立っている

 

 

【 外部でもOK 】

 

チェバは1点で交わる点が三角形の外部であっても成り立ちます
同じく、余談中の余談です

 

 

考え方は同じですが、対応する辺がややこしいですね
(順に鉛筆で「左、右、左、右、左、右」と何度もなぞって、慣れてくださいね)

 

 

  Aから交点　  交点からB　  Bから交点　  交点からC　  Cから交点　  交点からA

 

 

 

 

 

a･b･c = x・y・z

 

 

 

 

【 メネラウスのイメージ 】

 

再度

 

チェバとの違いは
APという三角形の「辺」ではなく
ACという三角形内部の直線ですね

 

・	CPのようなはみ出た部分を「はみ出た(はみ右, はみ左)」としますね
・	BPのような食い込まれた辺を「食い込まれた辺(全左, 全右)」としますね

 

メネラウス
→ はみ出た(右)×右×右 = 全(左)×左×左
→ はみ出た(左)×左×左 = 全(右)×右×右

 

図により左右を変えればOKですね
「はみ出た：全部」　の部分だけは「外分」ということですね

 

 

PB（はみ左）・CR（左）・AQ（左） = PC（全右）・AR（右）・QB（右）　ですね
途中 右, 左が？になった場合は、B, R, Q に天秤の支点▲を外側から配置してくださいね
　(天秤のイメージ)

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、AF：FCを求めましょう

 

 

 

(別解：メネラウスを使わない)

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき
(1) AF：FD を求めましょう

 

 

(2) △ABCと△FDC の面積比を求めましょう

まず、△ABC：△FBC

=	△ABCの(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)：△FBCの(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)　(「あたるもの」の考え方)
=	BC・AD：BC・FD
=	AD：FD　比は同じ数字, 文字で割っても掛けてもよい = 分数の約分, 逆約分
=	(1)より、5+4：4 = 9：4

 

次に、△FBC：△FDC

=	△FBCの(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)：△FDCの(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)
=	BC・FD：DC・FD
=	BC：DC
=	3+2：2
=	5：2

∴ △ABC	：△FBC	：△FDC
9	：　4
	5	：　 2
→　45	：  20	：　 8

∴ △ABC：△FDC = 45：8
もちろん「あたるもの」に慣れている場合は、一気に
△ABC：△FDC
= (3+2)(5+4)：(2)(4)
= 45：8　でもOK

 

 

 

 

お疲れ様でした！
その他の問題は、「問題集」で !!

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