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中学1年生課程へ 中学2年生課程へ 中学3年生課程
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 図形の相似 (2) 円周角・中心角 (3) 三平方の定理
 
図形の相似の意味,三角形の相似条件
  ・ 相似比とは
  ・ 『相似』!なら…「対応する辺」と「順番」さえ合っていればよい
  ・ 三角形の相似条件
  ・ 直角三角形の相似条件
  ・ 相似の位置・相似の中心とは
三角形の相似条件を用いた図形の性質の論証
  ・ 対応する辺の混乱防止方法
平行線と線分の比
  ・ 平行線と線分の比 (仮定理)
  ・ 平行線で区切られた線分の比の定理
 ① 線分の比と平行線 (平行線と線分の比の逆)
  ・ 平行線と線分の比の逆の証明
  ・ L型の逆は成立しない
  ・ 「平行線」と「線分の比」のまとめ
 ② 中点連結定理
  ・ 中点連結の定理の公式
  ・ 中点連結定理の証明
  ・ 中点連結定理の逆の証明
  ・ 中点連結定理は台形にも応用できる
  ・ 中点連結定理の台形への応用のまとめ
 ③ 角の二等分線と辺の比の定理
  ・ 内分する、外分するとは
  ・ 角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)
  ・ 角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)
相似な図形の面積比と体積比
  ・ 相似比と周長の関係
  ・ 相似比と面積比の関係
  ・ 相似比と表面積比の関係
  ・ 相似比と体積比の関係
  ・ 相似比と面積比や体積比のまとめ公式
 ● 相似ではない場合の面積比・体積比、『あたるもの』の考え方
  ・ 底辺、高さと面積の関係
  ・ 底辺にあたるもの、高さにあたるもので面積比(あたるもの)
相似な図形の性質の活用
  ・ 相似の問題を解く4ポイント
  1 「実数値」と「比」をきちんと区別する
  2 山型・蝶型を発見する
  3 補助線」を引いて、「山型」「蝶型」をつくる
  4 比を統一する
  ① 台形の例題問題
  ② 平行四辺形の例題問題
  ③ 三角形の例題問題
  ・ 面積系の例題問題

 

図形の相似

 

ア 図形の相似の意味,三角形の相似条件

 

相似とは

 

合同」は一言でいうと、同じ形」+「同じ大きさでしたね
「相似」は一言でいうと、「同じ形」なだけです!「大きさ」は自由!ですね

 

 

「合同」は、「裏返し」「回転」「平行移動」すれば2つの図形がピッタリ一致!
「相似」は、それらプラス「拡大・縮小」してもよいですね
ということは、「合同」より「条件」がゆるいということになります

 

そして、
」は図形の「大きさ」を決定づけるもの
角度」は図形の「」を決定づけるものでしたね!

 

ということで、「大きさ」も同じでなければならない「合同」は
「辺の長さ」も「同じ」でなければならならかったですが、
「大きさ」は同じでなくてもよい「相似」は
「辺の」が「同じ」であればよい ということになります!

 

当然、「角度」は「形」を決定づけるものですから、「合同」でも「相似」でも同じでなければなりませんね!

 

相似の簡単なイメージ

中学数学 図形の相似 |
 ピッタリ一致しましたね

 

このとき、図形Aと図形Bは「相似(そうじ)」であるといいます
記号は「」を用いて、図形A ∽ 図形B(「図形Aそうじ図形B」)と表現します

 

相似な図形は、三角形であろうと四角形であろうとn角形であろうと
対応する「辺」の「比」は、どの辺であろうと全て等しい
(対角線の長さ、半径の長さ、弧の長さなどの比も もちろん等しい)

 

当然、対応する「角」の「大きさ」は、それぞれ等しい ですね

 

そして、そのときの「対応する線分」の「比」を、「相似比」と言います

 

 

《 例 》
△ABC ∽ △DEFであるとき、以下の問いに答えましょう

 

△ABC小△ABC大

 

(1) △ABCと △DEF の 相似比 を求めましょう
 → 対応する辺の比が、どちらも「数字」なのは、ABとDE
 ∴ 4:8  A. 1:2

 

(2) △DEF と △ABC の 相似比 を求めましょう
 → 8:4  A. 2:1

 

(3) xを求めましょう

 x:6=1:2 (相似比)   
2x=6
x=3

a:b = s:t
内側どうしの積 = 外側どうしの積
∴ at = bs でしたね


 

(4) yを求めましょう

5:y=1:2 (相似比)
y=10

 

 


ポイント

 

『相似』!なら…「対応する辺」と「順番」さえ合っていればよい

 

① 2つの三角形が『相似』だった場合、ある辺の長さを求めるための表現は 実は自由です

 

このあと「平行線と線分の比」や「方べき」などで
「この辺」:「この辺」は「この辺」:「この辺」という公式のようなものがたくさん出てきますが

 

「対応する辺」と「順番」さえ合っていれば なんでもよい ということですね

 

例えば、次の三角形が『相似』だった場合

 

2つの相似な三角形

 

(標準)
x:X = y:Y
x:X = z:Z
y:Y = x:X
y:Y = z:Z
z:Z = x:X
z:Z = y:Y    

 

(確かめ)

→ x:8=3:6
6x=24
x=4
→ x:8=5:10
10x=40
x=4

 

 

2つの相似な三角形

 

(図形内の比でもよい)
x:y = X:Y
x:z = X:Z
y:x = Y:X
y:z = Y:Z
z:x = Z:X
z:y = Z:Y    

 

(確かめ)

→ x:5=8:10
10x=40
x=4
x:3=8:6
6x=24
x=4

 

 

『分数表記』にも慣れてくださいね
「これ」ぶんの「これ」は「これ」ぶんの「これ」と読むと難しいことをしているみたいなので
「図形」の場面では
「これ(分母)」につき「これ」は「これ」につき「これ」と読むとイメージがしやすくなりますね (割合とは)

 

 

2つの相似な三角形

 

(標準)
\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Y}}{y}}\) 「xにつきXは yにつきY」

\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{z}}\)
\(\large{\frac{x}{\color{red}{X}}}\) =\(\large{\frac{y}{\color{red}{Y}}}\)
\(\large{\frac{x}{\color{red}{X}}}\) =\(\large{\frac{z}{\color{red}{Z}}}\)
\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{z}}\)    

 

(確かめ)
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{10}}{5}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{\color{red}{8}}}\) =\(\large{\frac{5}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{6}}{3}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{x}}{8}}\) =\(\large{\frac{3}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4  

(確かめ)
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{10}}{5}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{\color{red}{8}}}\)=\(\large{\frac{5}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{6}}{3}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{x}}{8}}\)=\(\large{\frac{3}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4  


 

 

2つの相似な三角形

 

(図形内の比でもよい)
\(\large{\frac{y}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Y}}{\color{red}{X}}}\) 「xにつきyは XにつきY」

\(\large{\frac{z}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{\color{red}{X}}}\)
\(\large{\frac{z}{y}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{\color{red}{Y}}}\)    

 

(確かめ)
\(\large{\frac{5}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{10}}{\color{red}{8}}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{5}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{3}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{8}}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{x}{3}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4

(確かめ)
\(\large{\frac{5}{x}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{10}}{\color{red}{8}}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{5}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{3}{x}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{8}}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{x}{3}}\)=\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4


 

 

よって、
①『相似』であれば
「対応する辺」と「順番」さえ合っていれば なんでもよい

 

 

cf.
相似である2つの三角形は
必ず重ねると「山型」になる

 

小三角形 相似な大三角形

 

山型1 山型2 山型3

 

 

(後述)

「平行線と線分の比」の A型、L型、H> 型の比も実は「対応する辺」と「順番」さえ合っていればなんでもよいということですね
「方べき」も「裏返し」て「重ねたら」、当然「山型」になりますね

 

 

 

このように、
「相似」であるという「前提」があれば、図形の「角度」が求められるし、
「相似比」が解れば、図形の「線分(辺や対角線)の長さ」が求められるし、
「相似」は、何やら図形のあらゆるデータを求めるのに役立ちそうですね!

 

よって、相似かどうか分からない場合、「相似である!」と
証明できれば、色々なデータが求められる!ということですね!

 

 

 

 

三角形の相似条件

 

「三角形の合同条件」は、「」も「大きさ」も同じというための条件。
「三角形の相似条件」は、「」さえ同じであればよいという条件ですので、
「合同」より条件がゆるいですね!
もう少し正確に言うならば、
「大きさ」を決める「辺の長さ」に対する条件がゆるいですね!

 

 


公式

 

三角形の相似条件 (フィルター集⑦)

 

3辺相当図   

合同3組の辺 がそれぞれ等しい」
相似3組の辺の比 がすべて等しい」
a:a’= b:b’= c:c’

 

 

 

二辺夾角な図   

合同2組の辺 その間の角がそれぞれ等しい」
相似2組の辺の比その間の角がそれぞれ等しい」

a:a’ = b:b’
∠B = ∠B


 

 

 

2角が等しい図   

合同1組の辺その両端の角がそれぞれ等しい」

↑「大きさ」を一致させるために辺が1つは必要

相似2組の角 がそれぞれ等しい」

∠B = ∠B’
∠C = ∠C’

↑三角形は、2つの角で「形」が決まるので
「形」さえ同じであればよいという
「相似」に「辺」は不要ですね!


 

 

 

 

《 例 》
△ABC∽△DCAであることを証明しましょう

 

例題問題相似である証明1

 

→ 角の情報がない、「3辺の比が…」だろうな
(証明)
△ABCと△DCAにおいて 合同の証明同様の決まり文句
仮定より、
 AB:DC = 20:15 = 4:3 …① 既成事実 (証拠)
 BC:CA = 16:12 = 4:3 …② 既成事実 (証拠)
 CA:AD = 12:9 = 4:3 …③ 既成事実 (証拠)
①②③より 3辺の比がすべて等しいので 相似条件
△ABC∽△DCA

 

 

 

 

《 例 》
△ABC∽△ADBであることを証明しましょう

 

△ABC

 

かぶった図形には「共通使用の角」があるはず

 

(証明)
△ABCと△ADBにおいて
 ∠A = ∠A (共通) …①
 AB:AD = 6:4 = 3:2 (仮定より) …②
 AC:AB = 9:6 = 3:2 (仮定より) …③
①②③より 2組の辺の比とその間の角が等しいので
△ABC∽△ADB

 

 

 

 

《 例 》
△ABC∽△ADEであることを証明しましょう

 

△ABC

 

(証明)
△ABCと△ADEにおいて
 ∠A = ∠A (共通)
 ∠C = ∠E = 55° (仮定)
よって、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△ADE

証拠が並んでいたら、わざわざ①②としなくてもよいですね
①②③などは、証拠が離れているときに有効ですね

 

 

 

→ 相似条件は、合同の「条件」より 「ゆるい」「少ない」ぶん、早い段階で証明が終了しますね!
早い段階で「相似!」と言える → 合同より証明が簡単

 

 


余談

 

直角三角形の相似条件

 

直角三角形のイラスト

合同「斜辺」と「他の1辺」 がそれぞれ等しい
相似2組の辺の比 がそれぞれ等しい」

 ↑どの組合せでもよい

どの組合せでもよい

・a:a’ = b:b’   \(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{b’}{a’}}\)
・a:a’ = c:c’   \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{c’}{a’}}\)
・b:b’ = c:c’   \(\large{\frac{c}{b}}\) = \(\large{\frac{c’}{b’}}\)
cf. (高校)
 cos=\(\large{\frac{底辺}{斜辺}}\)
 sin=\(\large{\frac{高さ}{斜辺}}\)
 tan=\(\large{\frac{高さ}{底辺}}\)
につながってますね
→ 直角三角形は2つの辺
 「決まる


 

 

 

直角三角形イラスト

合同 「斜辺」と「1つの鋭角」がそれぞれ等しい
相似1つの鋭角」が等しい

 ↑どちらの鋭角でもよい


(直角三角形は竿の角度だけで、が決まりましたね!)

普通相似条件の「2組の角 がそれぞれ等しい」の1つは90°と決まってるし!でもよいですね
(直角三角形は「斜辺中心主義」でしたね)

 

 

もちろん、普通の相似条件で証明してもOKです!

 

 

 

 

 

相似の位置・相似の中心

 

相似の中心のイラスト

相似の中心のイラスト2

 

相似の中心」とは

① 対応する点を通る直線が1点で交わるところ

O , O1, O2 のことですね

 かつ

② Oら対応する点までの⾧さの比がすべて等しい ような点

Oa:Oa’ = Ob:Ob’ =Oc:Oc’

 

 

相似の位置にある図形は、対応する辺が平行なので…

それぞれの三角形が、必ず『山型』か『ちょう型』になっていますね

 

ex)
Oc:Oc’ = 3:5 なら
Oa:Oa も3:5 
Ob:Ob も3:5
→ ac:a’c’ = ab:a’b’ = bc:b’c’ も 3:5 = 相似比

 

逆に、abc の2倍の図を書きたい場合は、
Oa:Oa’ = Ob:Ob’ =Oc:Oc’ = 1:2 の場所にa’b’c’ をとればよいということですね!

 

左上の図の関係は、ドラえもんの「スモールライト」「ビックライト」みたいですね!
左下の図は、理科の網膜に映った画像のようですね!
右下の図は、スモールライトの光を正面から浴びてしまった感じですね!

 

 

相似の位置」… 上のような関係にある図形を「相似の位置にある」といいます

 

→ 相似の位置にある図形ならば対応する辺が全て平行

 

ex) ac\(/\!/ \)a’c’  ab//a’b’  bc//b’c’

 

 

 

相似の位置の説明

 

・AとBは、「相似」ではありますが、「相似の位置」にはないですね
 当然「相似の中心O」もありませんね
→ 「相似の位置」にあるかないかは、点線を引かなくても、
 対応する辺がそれぞれ平行か平行でないか、パット見でわかりますね!

 

 ex) 辺abと辺a’b’を見比べて…平行でない!→相似の位置にない!

 

 

相似の位置にない2つの三角形①
・CとDは、パット見すでに「相似」でもありませんが、正確には
 → Oa:Oa’ ≠ Ob:Ob’ ≠Oc:Oc’ → 比が違う!いうことですね
よって、CとDは「相似の位置にない」
よって、Oも「相似の中心」ではなく「たまたま延⾧線が一致した点」
とでも言うべきでしょうか
ここでも、対応する辺が平行か平行でないか、パット見でわかりますね!

 

 

相似の位置にない2つの三角形②
・EとFは、裏返しの相似ですが、1組の対応する辺を平行にすると、 他の対応する辺は平行にならない

⇒ 裏返しの図形に相似の位置はない
ただし、裏返したのか返してないのか わからないような図形には、相似の位置があり得る (正三角形、正方形、長方形、ひし形、円など)

 

 


  まとめ  

「相似の位置」にあるかないか

→ 対応する辺が平行か平行でないか、パット見でわかる

相似の位置にあるならば

→「相似の中心」がどこかにある

「相似の中心」の場所は

→ 対応する点を結ぶ線を、大げさに⾧く書いたときの交点

 

 

「相似の位置」「相似の中心」は、問題的にはふくらましにくいので
定期テスト的、単発的な問題になると思われます

 

 

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イ 三角形の相似条件を用いた図形の性質の論証

 

《 例 》
地面に垂直に立つ木の高さを求めましょう

 

例題問題相似を利用した簡単な問題 鉛筆の影の長さ

 

→ ∠C = ∠F (太陽光の角度は同じ) …①

∠B = ∠E= ∠R (仮定より) …②  ∠Rとは 90°を意味します

 

①②より 2組の角がそれぞれ等しい ので
△ABC ∽ △DEF

∴ x:8=14:10
10x=112
x=11.2  A. 11.2 m

 

↑その他 \(\large{\frac{x}{14}}\) = \(\large{\frac{8}{10}}\)、  \(\large{\frac{x}{8}}\) = \(\large{\frac{14}{10}}\)
…何でもかまいませんね!

 

 

 

《 例 》
QR//BC な正方形PQRSを拡大して、△ABCに納まる最大の正方形を作図しましょう
ただし、最大の正方形と元の正方形は相似の位置にあるものとします

 

相似の位置を利用した簡単な問題

 

頂点を結んで延長した図

→Aを「相似の中心」とみなし、
BC上にQ’とR’をとると、
△AQR∽△AQ’R’


完成図

 

∴ 新P’Q’R’S’は正方形ですので  Q’R’を半径とする 円とAB、ACの交点がP’、S’

 

→ いきなり内接正方形を書くのは難しいので、まずはPQRSのような正方形を用意すれば、簡単に書けますよ~という問題ですね!

 

 

 


余談

 

対応する辺の混乱防止

 

相似の問題を解いていると、単純な図形なのに
「この辺に対応する辺は・・・え~と・・・さっき1度わかったのに・・・」と
こんがらがってしまうことがありますね
混乱防止の1つの方法として、

 

対応する辺を混乱せずに見極める方法1

 

△〇〇〇の書き出す順番として

 

書く順番

 

 

など、自分ルールABCの書く順を決めるのもよいですね
そして、この『△ABC∽△AED』の前提さえしっかりしていれば、
「辺」も対応しているのですから、混乱防止になりますね!

 

相似な三角形

 

ex)
ABC∽AED「辺ABに対応するのは(図形も見つつ)…AE!」

 

ABC∽AED「辺ACに対応するのは(図形も見つつ)…AD!」

 

ABC∽AED「辺BCに対応するのは(図形も見つつ)…ED!」

 

cf. 合同でも使えるルールですね

 

 

 

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ウ 平行線と線分の比

 

《 例 》
 x, y, a, b を求めましょう
平行線と線分の比の関係中学数学 図形の相似 |

 

まずは「相似の証明」ですね

中学数学 図形の相似 |

 

 

(①の証明)
 △APQと△ABCのおいて
・∠A = ∠A (共通)
 PQ//BC より
・∠APQ = ∠ABC (同位角)
(または)
・∠AQP = ∠ACB (同位角)
2角が等しい
∴ △APQ∽△ABC

 

中学数学 図形の相似 |

 

(②の証明)
 △APQと△ABCのおいて
 PQ//BC より
・∠A = ∠A (対頂角)
・∠APQ = ∠ABC (錯角)
(または)
・∠AQP = ∠ACB (錯角)
2角が等しい
∴ △APQ∽△ABC


 

再度図です。x, y, a, b の値は?
平行線と線分の比の関係
∴ 相似な三角形は「3組の辺の比が全て等しい」ので

4:3 = 10:x
 4x = 30
  x=\(\large{\frac{15}{2}}\)                   

 

4:5 = 10:y
4y = 50
y = \(\large{\frac{25}{2}}\)


 

a = 10-4
 =6
                   

 

b = x-3
 = \(\large{\frac{15}{2}}\)-3
 = \(\large{\frac{9}{2}}\)


 

 

中学数学 図形の相似 |
∴ 相似な三角形は「3組の辺の比が全て等しい」ので

\(\large{\frac{10}{4}}\)=\(\large{\frac{x}{3}}\)
4x=30
x=\(\large{\frac{15}{2}}\)      

 

\(\large{\frac{10}{4}}\)=\(\large{\frac{y}{5}}\)
4y=50
y=\(\large{\frac{25}{2}}\)

 

 

この手の問題を解くときに、毎回ワンパターンな「三角形の相似の証明」をするのは面倒ですね!
そして今、「数値」ではなく「文字」で証明しましたので
→ 証明したものでよく使うものは
→ 「定理」に昇格ということで・・・

 

 


  平行線と線分の比 (仮定理)  

 

平行線と線分の比の定理

 

① PQ//BCならばAP:AB = AQ:AC など ( A型型) ←造語です

 

② PQ//BCならばAP:AB = PQ:BC

AQ:AC = QP:CB
AP:PQ = AB:BC など ( L型型)

 

③ PQ//BCならばAP:PB = AQ:QC など ( H型型)

 

「対応している辺」の順番を間違わなければ
 AP:PQ = AB:BC
 \(\large{\frac{AP}{AQ}}\) = \(\large{\frac{AB}{AC}}\)
等々何でもOKでしたね!(「相似」なら何でもOK」)

 

〇: = △:「これ対これは、これ対これ」
〇:△ = 「これ対これは、これ対これ」

 

\(\large{\frac{\color{red}{〇}}{〇}}\) = \(\large{\frac{\color{red}{△}}{△}}\)「これにつきこれは、これにつきこれ」
\(\large{\frac{△}{〇}}\) = \(\large{\frac{\color{red}{△}}{\color{red}{〇}}}\)「これにつきこれは、これにつきこれ」

 

と鉛筆で何度もなぞってみてくださいね!

 

そして、この形(山型)と  この形(ちょう型)は今後相似の応用問題を解くためのカギ」となりますので

 

親子中学では
この形山型 を「山型」や「
この形ちょう型 を「ちょう」やちょうと言っていきますね

 

 

・「ならば)」が「 両矢印)」になるかもしれませんので、ここでは「仮定理」としています

 

 

③の h型型はまだ証明していませんね

 

PQ//BCならばAP:PB = AQ:QC ( h型 型)

 

h型の証明補助線を引いた図

 

(証明)
ACに平行な(補助線)PRをひく

△APQと△PBRにおいて
∠PAQ = ∠BPR (平行線の同位角)
∠APQ = ∠PBR (平行線の同位角)

    同位角の場所


 

∴ 2組の角 がそれぞれ等しいので △APQ∽△PBR
 → AP:PB = AQ:PR だ …①
また、四角形PRCQは平行四辺形(2組の対辺がそれぞれ平行)より
 → PR = QC …②
①②より、(①のPRをQCに置き換えて)

PQ//BCならばAP:PB = AQ:QC ( h型型) ですね!

 

 

これ対これは、これ対これ

山型=蝶型のイメージ図>
「山」「蝶」は兄弟!


 

 

《 例 》
x, y の値を求めましょう

 

例題問題平行線と線分の比を利用して長さを求める

 

→ PQ//AC より 
↑一言ですむ、(相似の証明が不要) 楽ですね!

 

12:4 = x:5
 4x = 60
x =15                   

 

12:9 = (12+4):y
 12y = 144
y = 12

 


( yを求めるときによくある間違いが)
12:9 = 4:y
ですね → H型型と L型型を混同してしまっていますね
あくまで根本は  「2つの三角形の相似ということを忘れないように!ですね

 

 

 

 

 

平行線で区切られた線分の比

 

《 例 》
AD//BCな台形ABCDに、BCに平行なPQを引いたとき
AP:PB = DQ:QC であることを証明しましょう

 

平行線で区切られた線分の比の証明

三角形と平行四辺形にした図


(証明)
AからDCと平行な直線をひき、PQ、BCとの交点をR、Sとすると
PR//BSより  AP:PB = AR:RS …①
四角形ARQDと四角形RSCQは
「2組の対辺がそれぞれ平行」なので平行四辺形
よって
AR = DQ、 RS = QC …②
①②より
AP:PB = DQ:QC //

 

 

 

平行線で区切られた線分の比の定理

 

「平行線と比の定理」のA型型とH型型は、台形のようなものにも応用できますね!

 

平行線で区切られた線分の比の定理

 

直線 t を平行移動させた t’ も、
当然 a’:b’ ですね! (t と t’ の間の空間は平行四辺形)
実は、3本の平行線(に交わる直線の「」は、全てa:b

 

a:b = a’:b’ = a’’:b’’  = a’’’:b’’’   = a’’’’:b’’’’

 

⇒ 複数平行線に交わる直線の間の比は 傾きに関わらずすべて同じ

 

 


定理

 

平行線で区切られた線分の比

 

3本の平行線に交わる直線では
A型型 a:(a+b) = a’:(a’+b’)    
H型型 a:b =a’:b’

 

中学数学 図形の相似 |

 

もちろん
\(\large{\frac{a}{b}}\) = \(\large{\frac{a’}{b’}}\) でも\(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{b’}{a’}}\) でも  \(\large{\frac{a}{a+b}}\)= \(\large{\frac{a’}{(a’+b’)}}\) でも  \(\large{\frac{a}{a’}}\) =\(\large{\frac{b}{b’}}\)
など 何でもOKですね

 

 

《 例 》
xの値を求めましょう

 

例題問題平行線で区切られた線分の比を利用して辺の長さを求める1

 

7:14 = x:12
 14x = 84
  x =6                   

 

 

\(\large{\frac{7}{14}}\) = \(\large{\frac{x}{12}}\)
\(\large{\frac{1}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{12}}\)
2x = 12
x = 6


 

 

 

《 例 》
x の値を求めましょう

 

3平行線に交わる2直線
4:x = 16:20 → 16x = 80  → x = 5ダメですね!
→ 「平行線で区切られた線分の比の定理」に L型型はなかったですね!A型型とH型型だけでしたね!

 

2つの三角形にした図  

 

L型型OKなのは「三角形」
のときだけですね!


 

ということは

4:12の本当の場所

〇や□や△で囲んだ数字は
実数値ではなく「比」
を表します
(→実数値との混同防止)
もちろん
④:⑫ → ①:③にしてもOKです


yを求めればよいということですね

⑫:y=(⑫+④):4
16y=48
y=3

x = 5+y = 5+3 =8

 

 

 

どうして、A型型と H型型は三角形でなくても使えるの?

 

→ A型型、H型型は「横線」を使いませんので

A型型君、H型型君は自分が
「三角形の1辺」なのか
「平行線を横切る直線」か 自分でわかっていない!
 

A型型、H型型は 「三角形」にも「平行線」にも使える

 

三角形でも台形でもOK

 

 

 

《 例 》
x の値を求めましょう

 

例題問題線分がクロスしている場合も同様である

クロスを移動して三角形にした図


x:10=5:(5+7)
12x=50
x=\(\large{\frac{25}{6}}\)

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

① 線分の比と平行線 (平行線と線分の比の逆)

 

上の「平行線と線分の比の定理」の逆も成り立てば、もっと鋭い武器になりますね!
すなわち、「ここと、ここの比が同じならば、2直線は平行である!」と言いたいですね!

 

「~ならば、~である」の逆、「~であるならば、~である」は当然には成立しませんでしたね(仮定と結論)
証明ができて初めて、矢印(⇒)が双方向矢印(⇔)になるのでしたね!

 

 

 

 

平行線と線分の比の逆の証明

 

 

① PQ//BCならばAP:AB = AQ:AC ( A型型 )

の逆

AP:AB = AQ:AC ( A型型)ならばPQ//BC

は成り立つのでしょうか?

 

平行線と線分の比の逆の証明1

 

(証明)
△APQと△ABCにおいて
・∠A = ∠A (共通) (右図は対頂角)
・AP:AB = AQ:AC (仮定より)
∴ 2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しいので
△APQ∽△ABC
  ここまで相似の証明

 

∴ ∠APQ = ∠ABC
∴ 同位角 (右図は錯角)が等しいので PQ//BC
  平行であるという証明

∴ AP:AB = AQ:AC ( A型型)ならばPQ//BC

 

証明ができましたので

① PQ//BCならばAP:AB = AQ:AC ( A型型)

  ↑両矢印になりましたね!

 

 

 

 

次は先に③ H型型に行きますね

 

③ PQ//BCならばAP:PB = AQ:QC ( H型型 )

の逆

AP:PB = AQ:QC ( H型型)ならばPQ//BC

は成り立つのでしょうか?

 

平行線と線分の比の逆の証明2蝶型の作成

 

(証明)
点Cを通りBAに平行な直線とPQの延⾧との交点をRとする
△APQと△CRQにおいて
・∠AQP = ∠CQR (対頂角)
・∠APQ = ∠CRQ (平行線の錯角)
∴ 2組の角がそれぞれ等しいので
△APQ∽△CRQ
よって、 AP:CR = AQ:CQ といえる

 

また、仮定より AP:PB = AQ:QC であるので
  AP:PB = AP:CR 
よって PB = CR
∴ 四角形PBCR「1組の辺が平行で等しい」ので平行四辺形
∴ PQ//BC

∴ AP:PB = AQ:QC ( H型型)ならばPQ//BC

 

証明ができましたので

③ PQ//BCならばAP:PB =AQ:QC ( H型型 )

  ↑両矢印になりましたね!

 

 

 

L型の逆は成立しない

 

最後に

② PQ//BCならばAP:AB = PQ:BCや

AQ:AC = PQ:BC ( L型型 )

の逆

AP:AB = PQ:BC ( L型型)

(AQ:AC = PQ:BC ( L型型))

ならばPQ//BC

は成り立つのでしょうか?

 

△ABCと△APQ

 


  研究  

(証明) △APQと△ABC
・∠A = ∠A (共通)

AQ側の比がない → 「2組の辺の比 と その間の角が」使えない

→ 相似の証明できない

 

2組の比が解っている「間の角」∠APQで同様に行うと…
∠APQ = ∠ABC が言えない
(↑PQ//BCという前提がないので同位角が等しいと言えない)
→ 相似と証明できない

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

(証明2)
△APQ∽△CRQは H型 型同様、OK
あとは、四角形PBCRが「平行四辺形」である につなげたい

→ PB//CR は〇マル しかし PB= CR がどうしても証明できない

→ 平行四辺形と証明できない

 

 

逆を言えば、 L型型の比が同じなのに「平行ではない場合」があるということですね!

 

 平行線と線分の比の逆の証明4

 

PQとBCをそれぞれ垂線で線対象(折り返す)と
△PQr も △BCsも二等辺三角形 (頂角の二等分線が底辺の垂直二等分線)
→ PQ = Pr
  BC = Bs
∴ AP:PQ も AP:Pr も  → 3:2
 AB:BC も AB:Bs も  → 6:4

 

ということは
Pr、Bsの組合せ → 平行
Pr、BCの組合せ → 平行ではない
PQ、Bsの組合せ → 平行ではない
PQ、BCの組合せ → 平行

 

⇒ L型型のときは、必ずしも平行ではない ということですね

 

② AP:AB = PQ:BC (L型型)ならばPQ//BC

 は成立しない「)」ですね!

 

 

但し、△ABCが「直角三角形の場合」は L型型もOKです!

 

L型の場合は必ずしも平行とは言えない

AP:AB = PQ:BC より
「2組の辺の比 がそれぞれ等しい」ので
 (↑直角三角形の相似条件)
△APQ∽△ABC → ∠Qも90°
同位角が等しいので PQ//BC


(1つ前の図の Pr や Bsのような直線がない! 折り返せる部分がない)

 

 


定理  (まとめ)

 

平行線と線分の比 の定理

 

△ABC

 

① PQ//BC   AP:AB =AQ:AC

(AP:AQ=AB:AC) (A型型 )

② PQ//BC  AP:AB = PQ:BC (AQ:AC = PQ:BC)

AP:PQ = AB:BC (AQ:QP = AC:CB) (L型型)

③ PQ//BC  AP:PB = AQ:QC

(AP:AQ = PB:QC) ( H型型)

 

 

指で辺を何回もなぞってくださいね! (文字より場所で理解)

 


  まとめのまとめ  

 

  // ⇒ A型L型H型   
 A型H型 ⇒ //

 

 

 

平行線で区切られた線分の比 の定理

 

3平行線に交わる2直線

 

① 3本が平行   a:(a+b) = a’:(a’+b’) (A型型 )
③ 3本が平行   a:b = a’:b’

a:a’ = b:b ’ ( H型型 )

 

 

● 三角形になっていない場合(平行線の場合)、  L型型は双方向成立しない
三角形なろうとする直線
a:b 系の比は一定ですが、〇:c 系の比は一定ではないですね

 


  まとめのまとめ  

三角形でない場合は      

 

    A型H型

 

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

 ② 中点連結定理

 

「中点連結定理」 カッコイイ名前の定理ですね!
結論から言いますと…

 

 


定理

 

中点連結定理

 

中点連結定理の公式

 

M, Nがそれぞれ中点ならばMN//BC かつ MN = \(\boldsymbol{\large{\frac{1}{2}}}\)BC

 

 

△ABC△ABC

 

ですね

 

 

 

「中点連結定理」を証明せよ という問題は、定期テスト以外では出ないと思いますが、
念のため (「道具・武器」の「原理(証明)」は知っていて損はないですね!) 証明しますね

 

 

 

 

【 中点連結定理の証明 】

 

M, Nがそれぞれ中点ならばMN//BC かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC

中点連結定理の証明

 

(証明)
△AMNと△ABCおいて
・∠A = ∠A (共通)
・AM:AB = AN:AC  = 1:2  (仮定より)
∴ 2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC

 

∴ ∠AMN = ∠ABCより、2直線の同位角が等しいので MN//BC
相似比が 1:2 より、
MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC、

BC = 2MN
 //

 

 

 

 

 

【 中点連結定理の逆の証明 】

 

MN//BC かつ MN=\(\large{\frac{1}{2}}\)BCならばM, Nはそれぞれ中点

中点連結定理の逆の証明

 

(証明)
△AMNと△ABCにおいて
・∠A = ∠A (共通)
・∠AMN = ∠ABC (平行線の同位角)
∴ 2組の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC

 

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BCより、
△AMNと△ABCの相似比は1:2
∴ AM:AB = AN:AC  = 1:2
∴ (AM:MB = AN:AC  = 1:1より) M、Nはそれぞれ中点である //

 

 

 

 

《 例 》
四角形ABCDのそれぞれの辺の中点を結んだ四角形PQRSはどのような四角形でしょう

 

例題問題中点連結定理を利用した典型基礎問題補助線を引いた図

 

(証明)
対角線BDを引く (ACでも同様にできますね)
△APSと△ABDにおいて
点P、Sは辺AB、辺ADの中点より
↑一言で済む(相似の証明不要)、「中点連結定理より」でも可
 PS//BD  PS = \(\large{\frac{1}{2}}\)BD …①

 

同様に △CQRと△CBDにおいて
↑同じ作業の場合は 「同様に」+「結論」でOK
QR//BD  QR = \(\large{\frac{1}{2}}\)BD …②

 

①②より PS//QR    PS = QR
∴ 四角形PQRSは「1組の辺が平行で等しい」ので平行四辺形 //

 

 

 

 

 

中点連結定理の台形への応用

 

「中点連結定理」は台形(2辺が平行)のような図形にも応用がききますね!

 

《 例 》
例題問題中点連結定理を台形で利用する

 

台形ABCDにおいて、中点を結んだMNはどのような性質があるでしょうか

 

補助線を引いた図

 

AD//BC、 AM:MB = DN:NC = 1:1より AD//BC//MN
対角線ACを引くと AM:MB = DN:NC = AP:PC = 1:1
中点連結定理より
MP = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC
NP = \(\large{\frac{1}{2}}\)AD
∴ MN = MP+NP = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC+\(\large{\frac{1}{2}}\)AD = \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)
よって

M, Nがそれぞれ中点ならばMN//BC かつ MN=\(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)

 

例題問題中点連結定理を台形で利用する2  → = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC+\(\large{\frac{1}{2}}\)AD =\(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)

 

 

同様に逆も真ですが、逆は利用場面が少く、同様の証明ですので省きますね
MN//BC かつ MN=\(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC) ならば) M, N はそれぞれ中点

 

 

 

《 例 》
台形ABCD

 

M、Nがそれぞれ中点ならば) AD//MN//BC かつ

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

であることを証明しましょう

 

台形ABCD

 

(証明)
図のような補助線や点をとる
中点連結定理より
・MP=\(\large{\frac{1}{2}}\)BC かつ BC//MP
・NP=\(\large{\frac{1}{2}}\)AD かつ AD//NP

∴ MN=MP-NP
=\(\large{\frac{1}{2}}\)BC-\(\large{\frac{1}{2}}\)AD
=\(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

よって
M, Nがそれぞれ中点ならば)  MN//BC かつ MN=\(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

 

 → 逆も同様に成り立ちます

 

 


  cf  

このように考えると、本来の「中点連結定理」でのMNは

 

 例題問題中点連結定理を台形で利用する3

 

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC±0) = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC
    ↑台形の「上底」がない
とも考えることができますね!

 

 

 


定理 (まとめ)

 

中点連結定理の台形への応用

 

中点連結定理を台形へ応用する公式△ABC

M, Nが各々中点ならばMN//BC かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC±0)

 

 

 

△ABC△ABC

M, Nが各々中点ならばMN//BC//AD かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC+AD)

 

 

 

△ABC△ABC

M, Nが各々中点ならばMN//BC//AD かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

 

 

 補助線をひけば当たり前と感じますね!!

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

 ③ 角の二等分線と辺の比の定理 

 

こちらも結論から

 


定理

 

角の二等分線と辺の比の定理

 

内角の二等分線と辺の比

 

角の二等分線と辺の比の公式

 

a:b = ab

 

(AB:AC = BD:CD)
(∠Aの「内角」の二等分線は、対辺をAB:ACに内分する)

 

 

 

外角の二等分線と辺の比

 

の二等分線と辺の比の公式(外角)

 

a:b = ab

 

(AB:AC = BD:CD)
(∠Aの「外角」の二等分線は、対辺をAB:ACに外分する)

 

 

 

 


  cf. 内分・外分のイメージ  

 

内分する」は、イメージが普通にできますね
ex)
● ABを 5:1 に内分する点p
5:1に内分イラスト

→ ABを6等分←5+1して、A ←始点から5でp、pから1でB

 

 

● BA・・) を 5:1 に内分する点p
1:5に内分イラスト

→ ABを6等分←5+1して、B ←始点から5でp、pから1でA

 

 

 

外分する」は、少しイメージしにくいですね
ex)
● ABを 5:1 に外分する点p
5:1に外分イラスト

→ ABを4等分←5-1して、A ←始点から5でp、pから1でB

 

 

● ABを 1:5 に外分するp
1:5に外分イラスト

→ ABを4等分←5-1して、A ←始点から1でp、pから5でB

(Aから右に①、左に⑤ではBにたどり着けない
→ 必然的に最初は

 

 

 

右外か左外か

 

  m:n → m>n なら Bの外
  m:n → m<n なら Aの外   

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようにOが△ABCの内心であるとき、AO:ODを求めましょう

 

例題問題角の二等分線と辺の比を利用する問題

 

内心ということは → ADは∠Aの二等分線

 

△ABC

BOを引くと、BOも(∠Bの)二等分線
→「角の二等分線と辺の比」より、
AO:OD = BA:BD
(→ BAは7、あとBDを求めればよいのだな)


 

△ABC

「角の二等分線と辺の比」より
BD:DC = 7:6
∴ BD = 5×\(\large{\frac{7}{13}}\)
    ↑「5」を13に分けたうちの7
   = \(\large{\frac{35}{13}}\) ←実数値


AO:OD = BA:BD = 7:\(\large{\frac{35}{13}}\) = 91:35 = 13:5 //

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、PQを求めましょう

 

角の二等分線と辺の比と外分を利用する問題イラスト

 

→ PQ = PC+CQ
→ PCは「角の二等分線と辺の比」の「内分」の方だな
→ CQは「角の二等分線と辺の比」の「外分」の方だな

 

比を書き込んだイラスト

 

PC = 7cm×\(\large{\frac{③}{④+③}}\) = 3 cm
CQは?
→ BC:CQは 4-3313
→ 7cm:CQ = 13
     CQ = 21 cm
PQ = PC+CQ = 3+21   = 24 cm //

 

 

 

 

角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)

 

余談ですが、念のため、「角の二等分線と辺の比」の証明をしておきますね!

 

〔 内角の場合 〕

角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)

 

 

(内角の) 二等分線ならばa:b = ab


 

(証明)

AD//ECな三角形イラスト

 

① CからADと平行な線と
 BAの延長との交点をEとする
② △BADと△BECにおいて
 ∠B = ∠B (共通)
 ∠BAD = ∠BEC (同位角)
 「2組の角 がそれぞれ等しい」ので
 △BAD∽△BEC
 ∴ a:AE = ab…(1)


 

中学数学 図形の相似 |

 

③ ∠DAC = ∠ACE (錯角)
∴ ∠BAD = ∠DAC  = ∠AEC  = ∠ACE
∴ △ACEは2角が等しいので二等辺三角形
∴ AC = AE = b …(2) 
(1)(2)より
a:b = ab //


 

 

 

 

角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)

 

〔外角の場合〕
角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)

 

(外角の) 二等分線ならばa:b = ab

 

(証明)
補助線を引いた図

 

CからDAに平行な線と、ABとの交点をEとする
(後は内角の場合と同じですね)

 

∠B (共通)  
∠BCE = ∠BDA (同位角)
∴ 2角が等しいので △BCE∽△BDA  
∴ a:EA = ab

 

∠DAC = ∠ACE (錯角)  
∠FAD = ∠AEC (同位角)
∠Aの外角
∴ △AECは二等辺三角形
∴ AE = AC = b
∴ a:b = ab //

 

 

逆の証明は、ただ逆にするだけですので省略しますね!
 (比が同じ → 相似 → 角度が等しい → 二等辺三角形 → 二等分線である )

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

エ 相似な図形の面積比と体積比

 

相似比と周長の関係

 

相似比が分かると、当然周長の比(図形の1周の長さの比)がわかりますね!

 

相似比と図形の周囲の長さの関係

 

(当然であるという確認)
→ 2+1.5+2.5 = \(\large{\frac{4}{2}}\)+\(\large{\frac{3}{2}}\)+\(\large{\frac{5}{2}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)(4+3+5) = \(\large{\frac{1}{2}}\)・12 = 6
→ 8+6+10 = 2・4+2・3+2・5 = 2(4+3+5) = 2(12) = 24

 

「相似比」とは「対応する辺の長さ ・・・・) の比」ですから、
1周の⾧さは、そのまま「相似比」になりますね!

 

相似な図形の「周長比」は、相似比「そのもの」に等しい
 相似比 = 周長比

 

・中:小 = \(\underbrace{ 2:1 }_{相似比} = \underbrace{ 12:x }_{1周比}\) → x = 6
 または 12×\(\large{\frac{1}{2}}\) = 6

 

・中:大 = 1:2 = 12:x  → x = 24
 または 12×\(\large{\frac{2}{1}}\) = 24

 

 

これは、四角形であれ n角形であれ 円であれ当然同様ですね!

 

n角形でも円でも同様である四角形

 

相似比 = (適当な1辺から) 1:2
大の1周 → \(\underbrace{ 1:2 }_{相似比} = \underbrace{ 13:x }_{1周比}\) → x = 26

 

 

 

小円大円

 

相似比 = (半径から) 2:3
大の1周 → \(\underbrace{ 2:3 }_{相似比} = \underbrace{ 4π:x }_{1周比}\) → x = 6π

 

 

 

 

 

相似比と面積比の関係

 

「相似比」が判明すると、  「面積比も判明しますね!

 

相似な図形の「面積比」は、相似比の「2乗」に等しい

 

原理は簡単ですね

相似比の2乗は面積比である理由

相似比の2乗は面積比である理由

 

→  面積は、基本「底辺×高さ」、座標でいえば「×

同じ相似比を「2回使う(縦×横)」→「辺×辺」→「2乗」ですね!

 

(確認)
Aの底辺:Bの底辺:Cの底辺
 = 4:6:8
 = 2:3:4
Aの面積:Bの面積:Cの面積
 = (\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・3):(\(\large{\frac{1}{2}}\)・6・4.5):(\(\large{\frac{1}{2}}\)・8・6)
 = (4・3):(6・4.5):(8・6)
 = 12:27:48
 = 4:9:16 ← 22:32:42
 (1辺の比の2乗 = 相似比の2乗ですね!)

 

問)
AとBの面積比は?
→ 相似比は 2:3
∴ 面積比は 22:32 = 4:9

 

 

問)
A,B,Cが「相似」であるが「もしBの高さがわからない」場合 Bの面積は?
→ 22:32 = (\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・3):x
  4:9 = 6:x
  4x = 54
  x = 13.5   ∴ Bの面積は 13.5

 

 

円でも何でも同様ですね (三角形に限らず四角形であろうが台形であろうが)
大小2つの円イラスト

 

相似比は 3:6 → 1:2
ということは、面積比は  12:22 = 1:4
 小の面積は 9π
 大の面積は 1:4 = 9π:x  → x = 36π
 (Bの面積 = πr2 = 36π 確かに同じ!)

 

 

 

《 例 》
図形Aと図形Bの相似比が 2:5で、図形Aの面積が4のとき
図形Bの面積を求めましょう

 

→ 何角形か円か図形の形が全く分かりませんが、相似比がありますね!

→ 面積比は 22:52 = 4:25

 ∴ 4:25=4:x
4x =100
x=25

∴ Bの面積は 25 //

 

もちろん 分数で計算もOKですね
相似比 2:5 ⇒ \(\large{\frac{5}{2}}\)倍になる
        ↑

左が分母、右が分子」でもよいですが、

忘れますので、

→ 元より大きくなるなら大が分子 (分数>1)
→ 元より小さくなるなら大が分母 (分数<1)

で十分ですね

 

面積比 \(\large{\frac{5^2}{2^2}}\) = \(\large{\frac{25}{4}}\)
x = 4×\(\large{\frac{25}{4}}\) = 25 //

 

 

 

 

《 例 》
図形Aの面積が4、図形Bの面積が144のとき、相似比は?

 

→ 面積比 A:B = 4:144
→ 相似比 A:B = \(\small{\sqrt{4}}\):\(\small{\sqrt{144}}\)  = 2:12  = 1:6

 

 

 

 

《 例 》
一辺が8cmの正三角形ABCの面積を2等分するBCに平行なPQがあるときAPの長さを求めましょう

 

→ まずは図ですね

 

例題問題相似比の2乗は面積比であることの利用2

 

考え方は

 

三角形と台形に分ける 小三角形と大三角形に分ける

 

のどちらかですね

→ 考え方は、イ)の方が楽ですね
→ まず、△APQ∽△ABC (2組の角がそれぞれ等しいので)
→ 相似比がわかれば面積比が分かるので、△APQと△ABCの相似比は?

 APをxとすると、相似比は 『x:8』
 ∴ x2:82 = 1:2 ←相似比の2乗は面積比。それが 1:2

   2x2=64
x2=32
x=±\(\small{\sqrt{32}}\) = ±4\(\small{\sqrt{2}}\)

x>0より    A. AP = 4\(\small{\sqrt{2}}\) cm

 

 

 

 

 

 

相似比と表面積比の関係

 

「表面積比」も「面積比」同様「相似比」を2回使い、それらの足し合わせですので
結局、ただの面積比同様に考えてOKですね

 

相似な図形の「表面積比」は、相似比の「2乗」に等しい

 

 ですね!


 

>相似比と表面積比の公式とその証明

 

上図の1つの面に注目すれば
相似比は 1:2:3
面積比は 12:22:32 = 1:4:9

 

ただ、それが6面あるだけですね
1×6面:4×6面:9×6面 = 1:4:9
(↑比ですので「6面」は打ち消してよい ≒ 約分)
結局「表面積比」も「面積比」同様「2乗」ですね

 

 

《 例 》
次の2つの球の表面積比は?
半径5の球と半径4の球
→ 相似比は、5:4
∴ 表面積比は、52:4225:16

 

(確認)
球の表面積は、4πr2
→ 大球 = 4・π・(5)2
→ 小球 = 4・π・(4)2
∴ 4・π・(5)2:4・π・(4)2 各々4πで割って25:16

 

 

 

 

相似比と体積比の関係

「体積比」は「相似比」を 3回 使いますね!

 

>相似比と体積比の公式とその証明

 

→ 面積は、基本「縦×横×高さ」ですね
  同じ相似比を「3回 ↖↑↗) 使う」→「辺×辺×辺」→「3乗」ですね!

 

 

相似な図形の「体積比」は、相似比の「3乗」に等しい

 

 

 

 

《 例 》
2つの三角錐が相似であるとき、相似比、表面積比、体積比を求めましょう

 

大小2つの三角錐

 

相似比 → 2:3
表面積比 → 22:32 4:9
体積比 → 23:338:27

 

 

 


公式 まとめ

 

相似比 と 面積比 や 体積比 の関係

 

相似な図形の「周長比」は、相似比の「そのもの」に等しい
相似な図形の「面積比」は、相似比の「2乗」に等しい
相似な図形の「表面積比」は、相似比の「2乗」に等しい
相似な図形の「体積比」は、相似比の「3乗」に等しい

 

 


  まとめのまとめ  

図形が相似なら

 

「線関係」 → 「そのまま相似比」
「面積関係」 → 「2乗 (平方)」
「体積関係」 → 「3乗 (立方)」

 

ですね

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

相似ではない場合の面積比・体積比、『あたるもの』の考え方

 

相似のメインどころといえますね!
前提となるポイントを2つほどお話させていただきますね

 


ポイント

 

ポイント① 底辺、高さと面積の関係

 

「比」というからには、三角形が2つ以上あるはずですね
1つでは「比」較しようがないからですね!

 

2つの三角形の面積比は
\(\large{\frac{1}{2}}\)(正確な底辺の長さ)×(正確な高さの長さ)\(\large{\frac{1}{2}}\)(正確な底辺の長さ)×(正確な高さの長さ)
のはずですね
そして、それぞれ「2倍」して
(正確な底辺の長さ)(正確な高さの長さ)(正確な底辺の長さ)(正確な高さの長さ)
のはずですね

 


  cf.  

比はそれぞれ○倍して  0.5:1.5 → 1:3 とできましたね

→ 比は分数と同じことなので、分母分子に同じ数をかけてもよいように、それぞれに同じ数字をかけても成り立つ でしたね

 

では、「正確な面積」と「面積比」の関係について
面積は底辺×高さ

 

よって、「正確な面積の数値」が無くても「高さの比」や「底辺の比」だけで
2つの三角形の「面積比」がわかるということにつながりますね!

 

元の面積を「S」とすれば、

 

高さが2倍( = 1:2)なら  → (右図形は)2S

高さが\(\large{\frac{1}{2}}\)倍( = 2:1)なら  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S
 

底辺が2倍( = 1:2)なら  → (右図形は)2S
底辺が\(\large{\frac{1}{2}}\)倍( = 2:1)なら  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S

 

 

ex)

・高さが 2:3 → 右三角形の面積は\(\large{\frac{3}{2}}\)倍(1.5倍) → \(\large{\frac{3}{2}}\)S
・底辺が 4:1 → 右三角形の面積は\(\large{\frac{1}{4}}\)倍(0.25倍)  → \(\large{\frac{1}{4}}\)S

 

 

そして、これは「高さ」と「底辺」同時に変化しても成立します

 

注:正確な面積(2や6)は確認がてら見てくださいね!
面積は高さ比例、底辺に比例

 

 

 

そして、実は、底辺と高さの倍率が同じとき(相似のとき)…
底辺・高さどちらも同数倍とういことは、相似比の2乗 =体積比につながる

 

 

そうです、相似は
「底辺が3倍になると」「高さ3倍になると」は
「底辺が3倍になると」「高さ3倍になる」だったのですね
そして、底辺倍率×同倍率高さ = (相似比)2 = 面積比 ということになりますね!

 

以上を要約すると、三角形では(実は平行四辺形系(正方形・長方形・ひし形)もですね)、

 

高さが半分になれば、面積も半分になる
底辺が半分になれば、面積も半分になる
高さも底辺も半分になれば、\(\large{\frac{1}{2}}\)倍×\(\large{\frac{1}{2}}\)倍=\(\boldsymbol{\large{\frac{1}{4}}}\)倍になる

 

 

言葉より、図の方が直感的に分かりやすいと思いますので、
下の問題を解いてみましょう

 

 

 

 

 

 

それでは、2つ目の前提ポイントです

 


ポイント

 

ポイント② 底辺にあたるもの、高さにあたるもので面積比

 

ポイント①で、「2つの三角形だけの関係においては『正確な面積の値』は不要」ということと、
「底辺と面積の関係」「高さと面積の関係」がわかりましたね

 

そして、ポイント②として、「高さ」「底辺」について思い出してみると…
 …まずは、イメージしやすい「高さ」からいきますね

 

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい

 

図の場合、「斜辺に見えるもの(赤線)」の長さが、

1.5倍になれば →「本高さ(赤点線)」も1.5倍になっていますね!
2倍になれば →「本高さ」も2倍になっていますね!

 

 

 

ということは、

 

① 斜辺が一直線状(上)にある場合 (共有状態)や
② 斜辺が平行である場合 (右の図形)や
③ 斜辺と底辺の間の角度が同じ場合

①②③は実は同じような意味(=基準が同じ=底辺に対する斜辺の角度が同じ)
の三角形や平行四辺形系の「斜辺のような線」は
「高さ」とみなすことができますね!
親子中学ではこのような辺を…「高さにあたるもの」と言いますね!

 

 

というわけで、上図の

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい事の証明

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい事の証明

 

の面積比は
\(\large{\frac{1 }{2}}\)・(底辺)・(高さにあたるもの)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺)・(高さにあたるもの)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺)・(高さにあたるもの)
= (底辺)・(高さにあたるもの)(底辺)・(高さにあたるもの)(底辺)・(高さにあたるもの)
= (高さにあたるもの):(高さにあたるもの):(高さにあたるもの)
= 1:1.5:2 ですね!

 

 (最小三角形をSとするならば   → S:\(\large{\frac{3}{2}}\)S:2 S )
 (最大三角形をSとするならば  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S:\(\large{\frac{3}{4}}\)S:S )

 

 

 

では次に、「底辺」について

 

高さ一定、底辺変化の図

高さ一定、底辺変化の図

 

「高さにあたるもの」と全く同じ考え方ができますね!

 

① 底辺が一直線状(上)にある場合 (共有状態)
② 底辺が平行である場合 (右の図形)
③ 「高さにあたるもの」と底辺の角度が同じ場合

①②③は実は同じような意味(=基準が同じ)
の三角形や平行四辺形系の「底辺のような線」は
「底辺」とみなすことができますね!
親子中学ではこのような辺を…「底辺にあたるもの」と言いますね!

 

 

というわけで、上図の

2つの図形の関係においては「底辺」は「底辺にあたるもの」でよい

2つの図形の関係においては「底辺」は「底辺にあたるもの」でよい

 

の面積比は
\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さ)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さ)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さ)
= (底辺にあたるもの)・(高さ)(底辺にあたるもの)・(高さ)(底辺にあたるもの)・(高さ)
= (底辺にあたるもの):(底辺にあたるもの):(底辺にあたるもの)
= 1:1.5:2 ですね!

 

 (最小三角形をSとするならば  → S:\(\large{\frac{3}{2}}\)S:2 S )
 (最大三角形をSとするならば  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S:\(\large{\frac{3}{4}}\)S:S )

 

 

 

そして、最後に「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」が同時に変化しても
同様に考えることができるというこということですね!

 

 

すなわち、基準が同じ(それぞれ平行や一直線上や間の角が同じ) 場合
すなわち、相似条件②「2組の辺の比とその間の角が等しい」の「2組の辺の比だけが一定でない」ような図形の場合、
相似条件、2組の辺の比と間の角が等しい

 

⇒ 三角形や平行四辺形系の「面積比」は

 

\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるも)\(\large{\frac{1}{2}}\)・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)
= (底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの)

 

ですね!
→ 上の3つの図の面積比は、ab2abab ですね
正確な面積の値は解りませんが、2つや3つの図形の関係においては
「正確な高さの値」や「正確な底辺の値」は不要!ということですね!

 


  ex.   

兄のお小遣い:お弟の小遣い = 2:1

→ 一方の金額が解れば直ちに他方も解る → ですが金額はどうでもよい
よって、この金額の手前の「比2:1」まででよいのです (=関係性の問題)

 

 

以上を要約すると、三角形 (平行四辺形系もですね!)の『面積比』は

 


  結論  

基準が同じ(平行や一直線上や間の角が同じ)場合、面積比は

 

(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの)

 

ということですね

 

 

《 例 》

「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」の見極め方法

底辺を平行に合わせた三角形
黒三角形赤三角形
5×6:3×2 = 30:6
= 5:1

 

黒三角形がSなら赤三角形は\(\large{\frac{1}{5}}\)S


 

 

 

回転させなくても…

 

回転させずに見極める 

 

と見れたら鬼金棒ですね!
もちろん「底辺にあたるもの」と「高さにあたるもの」を逆にとらえてもOKです!

 

 

 

 

《 例 》

黒三角形
赤三角形
の面積比を求めましょう。
さらに、
黒三角形
が S のとき
赤三角形
を S で表しましょう

 

(1)

底辺4:1

→ 平行なので、「高さ」は同じということですね

 (ポイント①の問題ですね)
∴ 面積比 = 底辺の比 = 4:1
 赤 = \(\large{\frac{1}{4}}\)S


 

 

(2)

底辺高さともに共有する三角形

→ 「底辺にあたるもの」、「高さにあたるもの」の共有タイプですね

→ 単位があっても同様ですね
→ 8×6:3×4 = 48:12  = 4:1
 赤 = \(\large{\frac{1}{4}}\)S


 

 

(3)

高さあたるものが平行な三角形

 

→ 1つは共有、1つは平行タイプですね
→ 12×9:5×7 = 108:35
 赤 = \(\large{\frac{35}{108}}\)


 

 

(4)

共有はしていないが、それぞれ平行な三角形

→ 両方とも平行タイプですね
→ 30:3 = 10:1
  赤 = \(\large{\frac{1}{10}}\)S


 

 

(5)

離れているが回転させればそれぞれ平行な三角形

→ 間の角が同じと言うことは、
 ⑧と④を平行にすれば
 76も平行ですね


ということは
赤三角形
を傾けると
4.6の三角形
ですね

→ 7×8:6×4 = 56:24 = 7:3
 赤 = \(\large{\frac{3}{7}}\)S

 

 

(6)

すべての辺が平行な2三角形

 

→ 6×4.5:4×3 = 27:12  = 9:4
 赤 = \(\large{\frac{4}{9}}\)S


 

→ 実は3辺が平行なので「相似」ですね!( ついでに「相似の位置」ですね)
ということは、「1辺の比(相似比)」さえ解れば「面積比」が出ましたね!
(底辺が\(\large{\frac{2}{3}}\)倍なら、自動的に高さにあたるもの\(\large{\frac{2}{3}}\)倍になる)
∴ 相似比 = 6:4 = 3:2
  面積比 = 32:22 = 9:4 (上と同じですね!)

 

 

(7)

高さ底辺共に共有する2三角形

 

→ 直角マークは引っ掛けですね (関係ない)
→ 10×4:6×7 = 40:42  = 20:21
 赤 = \(\large{\frac{21}{20}}\)S


 

 

(8)

高さ底辺共に共有する2三角形

比を調整した2三角形


→ (2+4)×1:2×(1+1)  = 6×1:2×2  = 6:4  = 3:2
 赤 = \(\large{\frac{2}{3}}\)S
→ 回転させなくても、「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」が見えましたか?

 

 

(9)
間の角が異なるが高さにあたるものが同じ2三角形
もう「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」が浮いて見えるようになってきましたね

「底辺にあたるもの」×「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」

= 7×12:6×8 = 84:48  = 21:12  = 7:4
 赤 = \(\large{\frac{4}{7}}\)S


 

イメージしにくければ…
ひっくり返して…
高さの方をずらせばよいですね

 

高さをずらした2三角形

 

間の角度こそ違いますが、底辺あたるものに対する高さにあたるものが同じ直線上
→ 高さにあたるものの比にくるいは出ない

 

⑦を⑥側に持っていくと よりはっきりしますね
2つの三角形の面積比

 

 

 

 

 

(10) 黒も平行四辺形、赤も平行四辺形です

 

相似な平行四辺形

→ 平行四辺形系も同様に考えられますね
→ 3×6:2×5= 18:10 = 9:5
赤平行四辺形=\(\large{\frac{5}{9}}\)S


 

 

 

 

 

 


  「あたるもの」の確認  

面積比を考える時、「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」の考え方は大切ですね
3,2と6, 7の三角形
「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」で考えると
面積比 3×2:6×7  = 6:42  = 1:7

 

3, 2と6, 4の三角形
面積比 3×2:6×4 = 6:24 = 1:4
または、 実は相似なので
「面積比は相似比の2乗」より
面積比 32:62  = 9:36  = 1:4

 

 

(問)
下図は相似である。面積比を求めましょう

 

底辺2の三角形底辺3の三角形
相似比 2:3 → 面積比  22:32  = 4:9 ですが
適当に「高さにあたるもの」を設定して

 

底辺2高さにあたるもの2の三角形底辺3高さにあたるもの3の三角形
:3×  = 4:9

 

底辺2高さにあたるもの3の三角形底辺3高さにあたるもの4.5の三角形
3:3×4.5  = 6:13.5  = 12:27  = 4:9 でも求めることができますね

 

 

以上より、
「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」の考え方は
相似でなくても、相似でも使える
「あたるもの」は「相似比の2乗は面積比」の考え方をカバーする

 

 「高さにあたるもの」
  ×「底辺にあたるもの」     

 

「相似比の2乗は面積比」

 

 

 

● 体積比でも同様に考えることができますね

 

3方向のベクトル

 

体積比は
⇒ (底面積にあたるもの)(高さにあたるもの):(底面積にあたるもの)(高さにあたるもの)
ということですね

 

 

ex.
対応する矢印はそれぞれ平行である。体積比は?
w2d1h2の三角錐w3d3h4の三角錐
体積比  = 2×1×23×3×4  = 4:36  = 1:9

 

同様に、相似の場合のみ
「体積比 = 相似比3」が使えるということですね

 

(三平方の定理の応用問題での体積比の利用)

 

 

 

 

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オ 相似な図形の性質の活用

 

それでは具体的に、「辺の長さ」や「辺の比」「面積」や「面積比」を求めていきましょう!

 


 ポイントとして

1.「実数値」と「比」の区別 (比は○ △ □で囲む など)
2. 山型山型」「蝶型 蝶型」を浮き彫りに見れる
3.  有効な「補助線」を引ける
4.「比の統一 (比の合成)」

 ですね!

 

 

 

1.「実数値」と「比」をきちんと区別する

 

 x:y は? → 実数値と区別するため「比」は〇や△や□で囲む

 

実数値と比を区別蝶型から比

 

山型山型から比

 

 

 

 

2. 山型・蝶型を発見する、浮き彫りに見れる

 

 「山型」「蝶型」をなぞりましょう

 

相似の性質を利用した問題を解くコツ(山型・蝶型の発見)

 

山型の発見


 

 

相似の性質を利用した問題を解くコツ(山型・蝶型の発見)

 

  山型・蝶型の発見
蝶型ではありません!(∵ 平行でない)


 

 

 

3.「補助線」を引いて、「山型」「蝶型」をつくる

 

 補助線を引いて「山型」「蝶型」を作りましょう (以下:山ちょう)

 

三角形

 

補助線で山型を作成

 

山1


 

補助線で山型3つ・蝶型を作成

 

山3 ちょう1


 

補助線で山型2つを作成

 

山2
 など



 

 

平行四辺形
平行四辺形

 

補助線で山型1つ・蝶型1つを作成

 

 

山1ちょう1


 

補助線で山型1つ・蝶型1つを作成

 

山1ちょう1


 

補助線で山型1つを作成

 

山1 など
(2本引くことも
あると思います)



 

⇒ 基本的に、
補助線は「何かに平行」で「何かの点を通る」で「山ちょう」を作る ですね!

 

 

 

4. 比を統一する (比の合成)

 

比を統一しましょう

 

平行四辺形

平行四辺形

 

x:y = 1:1 ではないですね!
→ 同じ1でも1と①では価値が違う
→ 「比の統一(合成)」が必要ですね


 

 

方法①【 1辺を「1」と見る 】
1辺を1とする分母をそろえる簡素化

 

 

方法②【 1辺を「6」と見る (2目盛り(上辺)と3目盛り(下辺)をカバーできるのは 6目盛り(2と3の公倍数)】

1辺を最小公倍数とする簡素化

 

→ 後で通分するか、先に通分するかの違い といえますね
 どちらでもOKです

 

 

 

 

かぶる部分がある

 

 

比を統一する(かぶる部分がある)

   

かぶる部分で一致させる
(最小公倍数などで)

一致する部分で統一


各々調整完成

 

 

 

かぶる部分がない

 

比を統一表示する方法、連比の場合

 

● 平行四辺形同様、全体を「1」とする方法

 

全体を1にした図

通分した図


最初の目盛りの大きさ= \(\large{\frac{32}{40}}\)-\(\large{\frac{15}{40}}\) = \(\large{\frac{17}{40}}\)

または \(\large{\frac{25}{40}}\)-\(\large{\frac{8}{40}}\) = \(\large{\frac{17}{40}}\)

 

15:17:8と判明


 

 

 

●平行四辺形同様、全体を「40」とする方法

 

比を統一表示する方法、連比の場合

 

全体を40とした図
上の目盛りは40÷(4+1) = 8
下の目盛りは40÷(3+5) = 5

15:17:8と判明


 

以上 ポイントを意識しながら解いていきましょうね!

 

 

 

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① 台形

 

《 例 》
図のようなとき、x, y を求めましょう
例題問題相似を利用した問題(台形)1

 

→ 山ちょうがたくさんありますね → ヒントがたくさんあるということですね

 

蝶に注目

 

「ちょうのL型」より CP:PA (= DC:AB) = 9:6 = 3:2

 

中学数学 図形の相似 |

 

・「山の H型」より CQ:QB (=CP:PA) = 3:2
x = 15cm×\(\large{\frac{2}{5}}\) ←15cmを5等分したうちの2つ
  =6 cm
 (3:2 = (15-x):x でももちろん可)

 

・「山のL型」より

CP: y=CA:AB
3:y=5:6
y=\(\large{\frac{18}{5}}\) cm

 

 

 

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平行四辺形

 

《 例 》
図のようなABCD (= 平行四辺形ABCD)のとき、BR:RQ を求めましょう

 

例相似を利用して平行四辺形の各部の長さを求める>

 

→ 「山ちょう」がありませんね → 「山ちょう」をつくる「補助線」ですね
補助線は色々引いてみてくださいね
そうすれば「これかな!」というものが段々見えるようになってきます

 

補助線case1山1蝶1
補助線case2山1蝶1

 

どちらも 1本で「山・ちょう」ができますね
(イ)で行ってみますね
BR:RQということは(ちょう)BP:SQを求めることと同じですね

 

△ABPの「山の L型」より
13= TS5
 3TS = 5

  TS = \(\large{\frac{5}{3}}\)
TS,SQの比が判明
∴ SQ = 7-\(\large{\frac{5}{3}}\)
   = \(\large{\frac{16}{3}}\)
∴ BR:RQ (= ちょうの L型BP:SQ) = 5:\(\large{\frac{16}{3}}\) = 15:16

 

 

 

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三角形

 

《 例 》
図のようなとき、BF:FE を求めましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める1

 

→ 「山ちょう」がありませんね → 「補助線」

 

補助線EP    

 

「山3ちょう1」同時発生ですね
↑△CAD山、△CBD山、△CAB山、蝶
BF:FE = BD:EQ (ちょう) 
でOKそうですね


 

△CADの「山のL型」より

1:EQ=3:1
3EQ=1
EQ=\(\large{\frac{1}{3}}\)

∴ BF:FE (= BD:EQ(ちょう)) = 1:\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:1

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、問いに答えましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める2

 

(1) AP:PD を求めましょう

 

補助線FD
FDを結ぶと
CD:CB も CF:CA も
2:1 → H型型の逆より
FD//AB

 

FD//AB

 

 「山のL型」より
  FD:AB (= CD:CB) = 2:3

 

 

 

蝶に注目
  「ちょう」より
   AP:PD = 3:2


 

 

 

(2) AP:PQ:QD を求めましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める3
→ PQ:QDを求めたい
→ DからBEに平行な直線
 を引くと
 役立ちそうな (△ADGの H型)
 AE:EG = AQ:QD
 がうっすらと見える

 

中学数学 図形の相似 |
 「△CBEの山の H型」より
 CD:DB = CG:GE
 ∴ CG:GE = 2:1
 → CEは1より
 CG:GE = \(\large{\frac{2}{3}}\)\(\large{\frac{1}{3}}\)

 


 

中学数学 図形の相似 |

 

「△ADGの山」を浮き上がらせると

AE:EG=2:\(\large{\frac{1}{3}}\)
=AQ:QD ( H型型)
=6:1 (整数比にした)

 

最後に「比の統一」 → 見やすいように AD を取り出しますね

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める4

 

ADを「1」とする方でいきますね

 

3:2と6:1全体を1とした図

 

通分整数化

 

簡素化     

 

∴ AP:PQ:QD = 21:9:5
  (難しい部類の問題です!)


 

 

 

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それでは、面積系の問題を解いていきましょう

 

 

《 例 》
図のようなとき、 △FECと台形ABCDの面積比を求めましょう

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める1

(流れ)

台形ABCD:△ABCと△ABC:△FEC



 

(考え方1-比で行く)
まず① 台形ABCD:△ABCは?
→ △CAD:△ABC で「高さにあたるもの(AC)」が共通なので
 △CAD:△ABCの面積比は、
 「底辺にあたるもの(AD)」「底辺にあたるもの(BC)」→ADが不明

 

蝶でADが判明

 

「ちょう」より
AD:EC = 2:3
AD:⑤ = 2:3
AD = \(\large{\frac{10}{3}}\)


 

∴ △CAD:△ABC (= AD・AC:BC・AC) = AD:BC  = \(\large{\frac{10}{3}}\):5+1  = \(\large{\frac{10}{3}}\):6 ←あたるもので面積比
∴ 台形:△ABC  = △CAD+△ABC:△ABC  = \(\large{\frac{10}{3}}\)+6:6  = \(\large{\frac{28}{3}}\):6  = 28:18  = 14:9

 

 

次に② △ABC:△FECは?
△ABCと△FEC

→ △ABCの(高さにあたるもの)(底辺にあたるもの):△FECの(高さにあたるもの)(底辺にあたるもの)

= (3+2)(5+1):(3)(5)  = 30:15  = 2:1

∴ 台形:△ABC:△FEC
→ 14 :9
2: 1

∴ 28:18:9
A. △FEC:台形ABCD = 9:28 

 

 

 

(考え方2-〇Sで行く) △FECを「削りだすイメージ

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める1

 

台形ABCDをS(=1S)とすると、△FECは何S?

 

まず① △ABCは何S (△CADの切り落とし)
「ちょう」より、AD:EC  = 2:3
AD:⑤ = 2:3   → AD = \(\large{\frac{10}{3}}\)
∴ △CAD:△ABC  = \(\large{\frac{10}{3}}\):6  = 5:9
∴ △ABC = \(\large{\frac{9}{14}}\)S

 

次に② △ABCが\(\large{\frac{9}{14}}\)Sのとき、△FECは何S(四角形ABEFの切り落とし)
△ABCと△FEC
→ △CFE:△CAB  = (3)(5):(3+2)(5+1)  = 15:30  = 1:2
∴ △FEC = \(\large{\frac{1}{2}}\)△ABC  = \(\large{\frac{1}{2}}\)\(\left(\large{\frac{9}{14}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{9}{28}}\)S

 

∴ (問題に合わせて)  △FEC:台形  = \(\large{\frac{9}{28}}\):1  = 9:28 //

 

 

※ やっていることは(考え方①)と同じですが「イメージ」がしやすいかと思います
→「これを一直線で切り落として、次にこれを一直線で切り落とせば、目的物が出てくるな!」みたいな
「一直線で切り落とし」→ 1度入れた包丁は途中で方向を変えられない → スパッと切り落とすイメージ

 

 

 

 

《 例 》
平行四辺形が図のようなとき、  △AERと 平行四辺形マークABCDの面積比を求めましょう

 

平行四辺形ABCD

(見通し)
平行四辺形マークABCDから△ACDを切り落として
次に△ABCから△ABEを切り落として
次に△AECから△ERCを切り落とせば
△AERが出てくるな


 

平行四辺形マークABCDをSとすると、ACは対角線より
△ABCは\(\large{\frac{1}{2}}\)S (平行四辺形を2分する線)

 

△ABCと△AECにおいて
BE:EC = 1:3より 
(高さが共通なので) △ABE:△AEC1:3
∴ △ABC:△AEC = 4:3
∴ △AEC = \(\large{\frac{3}{4}}\)△ABC = \(\large{\frac{3}{4}}\)\(\left(\large{\frac{1}{2}}\small{S} \right )\) = \(\large{\frac{3}{8}}\)S

 

あとは△EARと△ECRの比→AR:RCだな

 

蝶に注目

平行四辺形より AD = 4
「ちょう」より  BP:PD = 1:4
Qは中点より  BQ:QD = 1:1
比の統一
∴BP:PQ:QD = 2:3:5


 

△QBCに注目

 

△QBCの「山の H型」より
QR:RC = 3:2
Qは中点より  AQ:QR:RC = 5:3:2


 

AQ:QR:RC=5:3:2

 

∴ △EAR = \(\large{\frac{8}{10}}\)△EAC  = \(\large{\frac{8}{10}}\)\(\left(\large{\frac{3}{8}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{3}{10}}\)S

 

∴ (問題の問に合わせて)
△AER:平行四辺形マークABCD = \(\large{\frac{3}{10}}\)S:1S = 3:10 //

 

(2) つけ足し問題として、△AERをSとすれば
平行四辺形マークABCDは何Sでしょうか
  → \(\large{\frac{10}{3}}\)S ですね!

 

すなわち 最後の「調整」は簡単ですので、

● 1番大きな元図形をS、そこから「切り落とし」て目的の図形を削り出す
1番小さな図形をS、そこから「付け足して」て1番大きな元図形を導く

どちらでもOKです!やりやすい方で解いて下さいね

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、△ABCの面積は何cm2でしょうか

 

△ABC

△ABC

 

(見通し)

ア △BAEの切り落とし→△BECと△FECの関係でいくか
△CDBの切り落とし→△CADと△CEFの関係でいくか

 

→ アは△BAEを切り落とした後のデータが「ECの②」のみ
イは△CDEを切り落とした後のデータが「②③5」の3つ

 

イでいきますね

5:2に注目

△ABCをSとすると
△CAD = \(\large{\frac{5}{7}}\)S …①

 

あとは CF:FD がわかれば
△CFEと△CDAの「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」がそれぞれわかるな

 

DからACと平行な補助線をひくと

 

DG//AEの補助線

DG//AEの補助線

 

△BAEの「山の L型」より

→ 2:DG=(2+5):③
7DG=6
DG=\(\large{\frac{6}{7}}\)

 

「ちょう」を浮かび上がらして

蝶に注目

蝶に注目

 

「ちょう」より DF:FC = \(\large{\frac{6}{7}}\):2 = 6:14 = 3:7

 

∴ △CEF:△CAD = 2×7:(2+3)×(7+3) = 14:50 = 7:25
∴ △CEF = \(\large{\frac{7}{25}}\)△CAD = \(\large{\frac{7}{25}}\)\(\left(\large{\frac{5}{7}}\small{S} \right )\) = \(\large{\frac{1}{5}}\)S

 

∴ △CAB = 5△CEF  = 5(1cm2)  = 5cm2 //

 

 

 

求め方は1つではありませんので
解答例と手順が違っていても
答が合っていれば、マル! ですね!

 

 

 

お疲れ様でした!
その他の問題は、「問題集」で!!

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2017/12/5 23:12  
 
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