中学数学の 図形の相似

 

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中学1年生課程へ 中学2年生課程へ 中学3年生課程
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 図形の相似 (2) 円周角・中心角 (3) 三平方の定理
図形の相似の意味,三角形の相似条件
  ・ 相似比とは
  ・ 『相似』!なら…「対応する辺」と「順番」さえ合っていればよい
  ・ 三角形の相似条件
  ・ 直角三角形の相似条件
  ・ 相似の位置・相似の中心とは
三角形の相似条件を用いた図形の性質の論証
  ・ 対応する辺の混乱防止方法
平行線と線分の比
  ・ 平行線と線分の比 (仮定理)
  ・ 平行線で区切られた線分の比の定理
 ① 線分の比と平行線 (平行線と線分の比の逆)
  ・ 平行線と線分の比の逆の証明
  ・ L型の逆は成立しない
  ・ 「平行線」と「線分の比」のまとめ
 ② 中点連結定理
  ・ 中点連結の定理の公式
  ・ 中点連結定理の証明
  ・ 中点連結定理の逆の証明
  ・ 中点連結定理は台形にも応用できる
  ・ 中点連結定理の台形への応用のまとめ公式
 ③ 角の二等分線と辺の比の公式
  ・ 内分する、外分するとは
  ・ 角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)
  ・ 角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)
相似な図形の面積比と体積比
  ・ 相似比と周長の関係
  ・ 相似比と面積比の関係
  ・ 相似比と表面積比の関係
  ・ 相似比と体積比の関係
  ・ 相似比と面積比や体積比のまとめ公式
相似な図形の性質の活用
  ・ 相似の問題を解く4ポイント
  1 「実数値」と「比」をきちんと区別する
  2 山型・蝶型を発見する
  3 補助線」を引いて、「山型」「蝶型」をつくる
  4 比を統一する
  ① 台形の問題
  ② 平行四辺形の問題
  ③ 三角形の問題
 ● 連比と面積比
  ・ 底辺、高さと面積の関係
  ・ 底辺の比・高さの比と面積比(あたるもの)
  ・ 相似の具体的な例題問題

 

図形の相似

 

ア 図形の相似の意味,三角形の相似条件

 

相似とは

 

・「合同」は一言でいうと、「同じ形」+「同じ大きさ」でしたね
・「相似」は一言でいうと、「同じ形
  なだけですね!「大きさ」は自由!ですね

 

 

「合同」は、「裏返し」「回転」「平行移動」すれば2つの図形がピッタリ一致!
「相似」は、それらプラス「拡大・縮小」してもよいですね
ということは、「合同」より「条件」がゆるいということですね

 

そして、「」は図形の「大きさ」を決定づけるもの
    「角度」は図形の「」を決定づけるものでしたね!

 

ということで、「大きさ」も同じでなければならない「合同」は
 「辺の長さ」も「同じ」でなければならならかったですが、
 「大きさ」は同じでなくてもよい「相似」は
 「辺の」が「同じ」であればよい ということですね!

 

当然、「角度」は「形」を決定づけるものですから、
 「合同」も「相似」も同じでなければなりませんね!

 

相似の簡単なイメージ

中学数学 図形の相似 |

 

 

このとき、図形Aと図形Bは「相似(そうじ)」であるといいますね
記号は「」を用いて、図形A∽図形B(「図形Aそうじ図形B」)と表現します

 

相似な図形は、三角形であろうと四角形であろうとn角形であろうと
対応する「辺」の「比」は、全て等しい
(対角線の長さ、半径の長さ、弧の長さなどの比も もちろん等しい)

 

当然、対応する「角」の「大きさ」は、それぞれ等しい ですね

 

そして、そのときの「線分」の「比」を、「相似比」と言いますね

 

 

《 例 》
△ABC ∽ △DEFであるとき、以下の問いに答えましょう

 

△ABC小△ABC大

 

(1) △ABCと △DEF の 相似比 を求めましょう
 → 対応する辺の比が、どちらも「数字」なのは、ABとDE
 ∴ 4:8  A. 1:2

 

(2) △DEF と △ABC の 相似比 を求めましょう
 → 8:4  A. 2:1

 

(3) xを求めましょう
 (相似比) 1:2 = x:6
     2x = 6
      x = 3

 

a:b = s:t
内側どうしの積 = 外側どうしの積
∴ at = bs でしたね

 

(4) yを求めましょう
 (相似比) 1:2 = 5:y
     y = 10

 

 

ポイント

『相似』!なら…「対応する辺」と「順番」さえ合っていればよい

 

① 2つの三角形が『相似』だった場合、ある辺の長さを求めるための表現は 実は自由です

 

このあと「平行線と線分の比」や「方べき」などで
「この辺」:「この辺」は「この辺」:「この辺」という公式のようなものがたくさん出てきますが

 

② 「対応する辺」と「順番」さえ合っていれば なんでもよい ということですね

 

例えば、次の三角形が『相似』だった場合

 

小三角形  大三角形

(標準)
x:X = y:Y
x:X = z:Z
y:Y = x:X
y:Y = z:Z
z:Z = x:X
z:Z = y:Y          

 

 

(確かめ)
x:8 = 3:6 → 6x=24 → x=4
x:8 = 5:10 → 10x=40 → x=4


 

(図形内の比でもよい)
x:y = X:Y
x:z = X:Z
y:x = Y:X
y:z = Y:Z
z:x = Z:X
z:y = Z:Y          

 

 

(確かめ)
x:5 = 8:10 → 10x=40 → x=4
x:3 = 8:6 → 6x=24 → x=4


 

 

(分数表記)にも慣れてくださいね
「これ」ぶんの「これ」は「これ」ぶんの「これ」と読むとイメージが難しいので
「図形」の場面では
「これ(分母)」につき「これ」は「これ」につき「これ」と読むとイメージがしやすくなりますね (割合とは)

 

 

小三角形  大三角形
(標準)
\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Y}}{y}}\) 「xにつきXは yにつきY」

\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{z}}\)
\(\large{\frac{x}{\color{red}{X}}}\) =\(\large{\frac{y}{\color{red}{Y}}}\)
\(\large{\frac{x}{\color{red}{X}}}\) =\(\large{\frac{z}{\color{red}{Z}}}\)
\(\large{\frac{\color{red}{X}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{z}}\)               

 

 

(確かめ)
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{10}}{5}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{\color{red}{8}}}\) =\(\large{\frac{5}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{8}}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{6}}{3}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{\color{red}{x}}{8}}\) =\(\large{\frac{3}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4  


 

(図形内の比でもよい)
\(\large{\frac{y}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Y}}{\color{red}{X}}}\)
\(\large{\frac{z}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{\color{red}{X}}}\)
\(\large{\frac{z}{y}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{Z}}{\color{red}{Y}}}\)          

 

 

(確かめ)
\(\large{\frac{5}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{10}}{\color{red}{8}}}\) → 40=10x → x=4
\(\large{\frac{x}{5}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{10}}}\) → 10x=40 → x=4
\(\large{\frac{3}{x}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{8}}}\) → 24=6x → x=4
\(\large{\frac{x}{3}}\) =\(\large{\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{6}}}\) → 6x=24 → x=4


 

 

 

よって、
①『相似』であれば
「対応する辺」と「順番」さえ合っていれば なんでもよい

 

 

cf.
相似である2つの三角形は
必ず重ねると「山型」になる

 

中学数学 図形の相似 | 中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 | 中学数学 図形の相似 | 中学数学 図形の相似 |

 

 

(後述)
・「平行線と線分の比」の 中学数学 図形の相似 |型、中学数学 図形の相似 |型、中学数学 図形の相似 | 型の比も実は「対応する辺」と「順番」さえ合っていればなんでもよいということですね

 

・「方べき」も「裏返し」て「重ねたら」、当然「山型」になりますね

 

 

 

このように、
「相似」であるという「前提」があれば、図形の「角度」が求められるし、
「相似比」が解れば、図形の「線分(辺や対角線)の長さ」が求められるし、
「相似」は、何やら図形のあらゆるデータを求めるのに役立ちそうですね!

 

よって、相似かどうか分からない場合、「相似である!」と
証明できれば、色々なデータが求められる!ということですね!

 

 

 

 

三角形の相似条件

 

「三角形の合同条件」は、「」も「大きさ」も同じというための条件。
「三角形の相似条件」は、「」さえ同じであればよいという条件ですので、
「合同」より条件がゆるいですね!
もう少し正確に言うならば、
「大きさ」を決める「辺の長さ」に対する条件がゆるいですね!

 

ポイント

 

三角形の相似条件 (フィルター集⑦)

 

三角形の相似条件

合同「3組の辺 がそれぞれ等しい」
相似3組の辺の比 がすべて等しい」
 a:a’= b:b’


 

 

中学数学 図形の相似 |

合同「2組の辺 その間の角がそれぞれ等しい」
相似2組の辺の比その間の角がそれぞれ等しい」
a:a’ = b:b’ = c:c’
∠B = ∠B


 

 

中学数学 図形の相似 |

合同「1組の辺その両端の角がそれぞれ等しい」
  ↑「大きさ」を一致させるために存在する辺
相似2組の角 がそれぞれ等しい」
 ∠B = ∠B’
 ∠C = ∠C’

↑三角形は、2つの角で「形」が決まるので
「形」さえ同じであればよいという「相似」
 に「辺」は不要ですね!


 

 

 

 

《 例 》
 △ABC∽△DCAであることを証明しましょう

 

例題問題相似である証明1

 

→ 角の情報がない、「3辺の比が…」だろうな
(証明)
△ABCと△DCAにおいて …合同の証明同様の決まり文句
仮定より、
 AB:DC = 20:15 = 4:3 …① …既成事実 (証拠)
 BC:CA = 16:12 = 4:3 …② …既成事実 (証拠)
 CA:AD = 12:9 = 4:3…③ …既成事実 (証拠)
①②③より 3辺の比がすべて等しいので …相似条件
△ABC∽△DCA

 

 

 

 

《 例 》
 △ABC∽△ADBであることを証明しましょう

 

△ABC

 

かぶった図形には「共通使用の角」があるはず

 

(証明)
△ABCと△ADBにおいて
 ∠A = ∠A (共通) …①
 AB:AD = 6:4 = 3:2 (仮定より) …②
 AC:AB = 9:6 = 3:2 (仮定より) …③
①②③より 2組の辺の比とその間の角が等しいので
△ABC∽△ADB

 

 

 

 

《 例 》
 △ABC∽△ADEであることを証明しましょう

 

△ABC

 

(証明)
△ABCと△ADEにおいて
∠A = ∠A (共通)
∠C = ∠E = 55° (仮定)
よって、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△ADE

証拠が並んでいたら、わざわざ①②としなくてもよいですね
①②③などは、証拠が離れているときに有効ですね

 

 

 

→ 相似条件は、合同の「条件」より 「ゆるい」「少ない」ぶん、早い段階で証明が終了しますね! 
→ 早い段階で「相似!」と言える → 合同より簡単

 

 

余談

 

直角三角形の相似条件

 

直角三角形のイラスト

合同 「斜辺」と「他の1辺」 がそれぞれ等しい
相似 「2組の辺の比 がそれぞれ等しい」
    ↑どの組合せでもよい

 

どの組合せでもよい
・a:a’ = b:b’
・a:a’ = c:c’
・b:b’ = c:c’

 

 \(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{b’}{a’}}\)
 \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{c’}{a’}}\)
 \(\large{\frac{c}{b}}\) = \(\large{\frac{c’}{b’}}\)
につながっていきますね



 

 

直角三角形イラスト

合同 「斜辺」と「1つの鋭角」がそれぞれ等しい
相似1つの鋭角」が等しい
   ↑どちらの鋭角でもよい

 

(直角三角形は竿の角度だけで、
「形」が決まりましたね!)
 (直角三角形は「斜辺中心主義」で!)


 

 

ですが! 直角三角形の相似条件は学びませんので、
・「相似であることを証明しましょう」という問題では、普通の三角形の相似条件でお願いしますね!
→ほとんどの証明が「2角が等しいので…」のはずですね

 

 

 

 

 

相似の位置・相似の中心

 

相似の中心のイラスト

相似の中心のイラスト2

 

相似の中心」…① 対応する点を通る直線が1点で交わるところ
 → O , O1, O2 のことですね
 かつ ② Oら対応する点までの⾧さの比がすべて等しい ような点
 → Oa:Oa’ = Ob:Ob’ =Oc:Oc’

 

ex) Oc:Oc’ = 3.5 なら
 Oa:Oa も3.5 
 Ob:Ob も3.5
 ac:a’c’ = ab:a’b’ = bc:b’c’ も 3.5 = 相似比

 

逆に、abc の2倍の図を書きたい場合は、
Oa:Oa’ = Ob:Ob’ =Oc:Oc’ = 1:2の場所にa’b’c’ をとればよいということですね!

 

・左上の図の関係は、ドラえもんの「スモールライト」「ビックライト」みたいですね!
・左下の図は、理科の網膜に映った画像のようですね!
・右下の図は、スモールライトの光を正面から浴びてしまった感じですね!

 

 

 

 

相似の位置」…上のような関係にある図形を「相似の位置にある」といいます

 

→ 相似の位置にある図形 ならば)対応する辺が全て平行

 

ex) ac\(/\!/ \)a’c’  ab//a’b’  bc//b’c’

 

相似の位置の説明

 

・AとBは、「相似」ではありますが、「相似の位置」にはないですね
 当然「相似の中心O」もありませんね
→ 「相似の位置」にあるかないかは、点線を引かなくても、
 対応する辺が平行か平行でないか、パット見でわかりますね!

 

 ex) 辺abと辺a’b’を見比べて…平行でない!→相似の位置にない!

 

 

・CとDは、パット見すでに「相似」でもありませんが、正確には
 → Oa:Oa’ ≠ Ob:Ob’ ≠Oc:Oc’ → 比が違う!いうことですね
よって、CとDは「相似の位置にない」
よって、Oも「相似の中心」ではなく「たまたま延⾧線が一致した点」
とでも言うべきでしょうか
ここでも、対応する辺が平行か平行でないか、パット見でわかりますね!

 

 

・「相似の位置」にあるかないか
 → 対応する辺が平行か平行でないか、パット見でわかる
・相似の位置にあるならば
 → 「相似の中心」がどこかにある
・「相似の中心」の場所は
 → 対応する点を結ぶ線を、大げさに⾧く書いたときの交点

 

 

「相似の位置」「相似の中心」は、問題的にはふくらましにくいので
定期テスト的、単発的な問題と言えますね

 

 

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イ 三角形の相似条件を用いた図形の性質の論証

 

《 例 》
 地面に垂直に立つ木の高さを求めましょう

 

例題問題相似を利用した簡単な問題 鉛筆の影の長さ

 

→ ∠C = ∠F (太陽光の角度は同じ) …①
  ∠B = ∠E= ∠R (仮定より) …②  ∠R= 90° 

 

①②より 2組の角がそれぞれ等しい ので
△ABC∽△DEF
∴ x:8 = 14:10
 10x = 112
 x = 11.2  A. 11.2 m

 

↑その他 \(\large{\frac{x}{14}}\) = \(\large{\frac{8}{10}}\)、  \(\large{\frac{x}{8}}\) = \(\large{\frac{14}{10}}\)
…何でもかまいませんね!

 

 

 

《 例 》
QR//BC な正方形PQRSを拡大して、△ABCに納まる最大の正方形を作図しましょう
ただし、最大の正方形と元の正方形は相似の位置にあるものとします

 

相似の位置を利用した簡単な問題

 

頂点を結んで延長した図

→Aを「相似の中心」とみなし、
BC上にQ’とR’をとると、
△AQR∽△AQ’R’
∴ 新P’Q’R’S’は正方形ですので Q’R’を半径とする円とAB、ACの交点がP’、S’

 


完成図

 

 

余談

 

対応する辺の混乱防止

 

相似の問題を解いていると、単純な図形なのに
「この辺に対応する辺は・・・え~と・・・」と
こんがらがってしまうことがありますね
混乱防止の1つの方法として、

 

対応する辺を混乱せずに見極める方法1

 

まず、『△ABC∽△AEDという前提をしっかり書けるように!ですね
もちろん対応する「角」の順番を間違わないようにですね

 

 

書く順番

 

 

など、自分ルールABCの書く順を作るのもよいですね
そして、この『△ABC∽△AED』の前提さえしっかりしていれば、
「辺」も対応しているのですから、混乱防止になりますね!

 

ex)
中学数学 図形の相似 |「辺ABに対応するのは(図形も見つつ)…AE!」

 

中学数学 図形の相似 |「辺ACに対応するのは(図形も見つつ)…AD!」

 

中学数学 図形の相似 |「辺BCに対応するのは(図形も見つつ)…ED!」

 

中学数学 図形の相似 |
 cf. 合同も同様でしたね

 

 

 

 

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ウ 平行線と線分の比

 

《 例 》
 x, y, a, b を求めましょう
平行線と線分の比の関係中学数学 図形の相似 |

 

まずは「相似の証明」ですね

中学数学 図形の相似 |

 

 

(①の証明)
 △APQと△ABCのおいて
・∠A = ∠A (共通)
 PQ//BC より
・∠APQ = ∠ABC (同位角)
(または)
・∠AQP = ∠ACB (同位角)
2角が等しい
∴ △APQ∽△ABC

 

 

中学数学 図形の相似 |

 

(②の証明)
 △APQと△ABCのおいて
 PQ//BC より
・∠A = ∠A (対頂角)
・∠APQ = ∠ABC (錯角)
(または)
・∠AQP = ∠ACB (錯角)
2角が等しい
∴ △APQ∽△ABC


 

再度図です
平行線と線分の比の関係

 

∴ 相似な三角形は「3組の辺の比が全て等しい」ので

4:3 = 10:x
 4x = 30
  x=\(\large{\frac{15}{2}}\)                   

 

4:5 = 10:y
4y = 50
y = \(\large{\frac{25}{2}}\)


 

a = 10-4
 =6
                   

 

b = x-3
 = \(\large{\frac{15}{2}}\)-3
 = \(\large{\frac{9}{2}}\)


 

 

中学数学 図形の相似 |
∴ 相似な三角形は「3組の辺の比が全て等しい」ので

4:10 = 3:x
  4x = 30
  x =\(\large{\frac{15}{2}}\)                   

 

4:10 = 5:y
 4y = 50
  y = \(\large{\frac{25}{2}}\)


 

 

この手の問題を解くときに、毎回ワンパターンな「三角形の相似の証明」をするのは面倒ですね!
そして今、「数値」ではなく「文字」で証明しましたので
→ 証明したものでよく使うものは
→ 「定理」に昇格ということで・・・

 

 

平行線と線分の比 (仮定理)

 

平行線と線分の比の定理

 

① PQ//BC  ならば)AP:AB = AQ:AC など ( A型型) ←造語です

 

② PQ//BC

 ならば)AP:AB = PQ:BC
    AQ:AC = QP:CB
    AP:PQ = AB:BC など ( L型型)


 

③ PQ//BC  ならば)AP:PB = AQ:QC など ( H型型)

 

「対応している辺」の順番を間違わなければ
 AP:PQ = AB:BC
 \(\large{\frac{AP}{AQ}}\) = \(\large{\frac{AB}{AC}}\)
等々何でもOKでしたね!(「相似」なら何でもOK」)

 

〇: = △:「これ対これは、これ対これ」
〇:△ = 「これ対これは、これ対これ」

 

\(\large{\frac{\color{red}{〇}}{〇}}\) = \(\large{\frac{\color{red}{△}}{△}}\)「これにつきこれは、これにつきこれ」
\(\large{\frac{△}{〇}}\) = \(\large{\frac{\color{red}{△}}{\color{red}{〇}}}\)「これにつきこれは、これにつきこれ」

 

と鉛筆で何度もなぞってみてくださいね!

 

そして、この形(山型)と  この形(ちょう型)は今後相似の応用問題を解くためのカギ」となりますので

 

親子中学では

この形
山型
を、「山型」や「

この形
ちょう型
を、「ちょう」や「ちょう」と言っていきますね

 

 

・「ならば)」が「 両矢印)」になるかもしれませんので、ここでは「仮定理」としています

 

 

③の h型型はまだ証明していませんね

 

PQ//BC
ならば)
AP:PB = AQ:QC (
h型
型)

 

h型の証明補助線を引いた図

 

(証明)
ACに平行な(補助線)PRをひく

△APQと△PBRにおいて
∠PAQ = ∠BPR (平行線の同位角)
∠APQ = ∠PBR (平行線の同位角)

    中学数学 図形の相似 |


 

∴ 2組の角 がそれぞれ等しいので △APQ∽△PBR …①
また、四角形PRCQは平行四辺形より PR = QC …②
①②より
PQ//BCならば)  AP:PB = AQ:QC ( h型型) ですね!

 

 

 

これ対これは、これ対これ 山型=蝶型のイメージ図>

 

 

《 例 》
 x, y の値を求めましょう

 

例題問題平行線と線分の比を利用して長さを求める

 

→ PQ//AC より 

↑一言ですむ、(相似の証明が不要) 楽ですね!


 

12:4 = x:5
 4x = 60
x =15                   

 

12:9 = (12+4):y
 12y = 144
y = 12

 


( yを求めるときによくある間違いが)
12:9 = 4:y
ですね → H型型と L型型を混同してしまっていますね
あくまで根本は  「2つの三角形の相似ということを忘れないように!ですね

 

 

 

 

 

平行線で区切られた線分の比

 

《 例 》
 AD//BCな台形ABCDに、BCに平行なPQを引いたとき
AP:PB = DQ:QC であることを証明しましょう

 

平行線で区切られた線分の比の証明

中学数学 図形の相似 |


(証明)
AからDCと平行な直線をひき、PQ、BCとの交点をR、Sとすると
PR//BSより  AP:PB = AR:RS …①
四角形ARQDと四角形RSCQは
「2組の対辺がそれぞれ平行」なので
平行四辺形
よって
AR = DQ、 RS = QC …②
①②より
AP:PB = DQ:QC //

 

 

 

平行線で区切られた線分の比の定理

 

「平行線と比の定理」のA型型とH型型は、台形のようなものにも応用できますね!

 

平行線で区切られた線分の比の定理

 

直線 t を平行移動させた t’ も、
当然 a’:b’ ですね! (t と t’ の間の空間は平行四辺形)
実は、3本の平行線(に交わる直線の「」は、全てa:b

 

a:b = a’:b’ = a’’:b’’  = a’’’:b’’’   = a’’’’:b’’’’

 

→ 3平行線に交わる直線の間の比は傾きに関わらず すべて同じ

 

 

定理

〔平行線で区切られた線分の比〕

 

3本の平行線に交わる直線では
A型型 a:(a+b) = a’:(a’+b’)    
H型型 a:b =a’:b’

 

中学数学 図形の相似 |

 

もちろん
\(\large{\frac{a}{b}}\) = \(\large{\frac{a’}{b’}}\) でも\(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{b’}{a’}}\) でも  \(\large{\frac{a}{a+b}}\)= \(\large{\frac{a’}{(a’+b’)}}\) でも  \(\large{\frac{a}{a’}}\) =\(\large{\frac{b}{b’}}\)
など 何でもOKですね

 

 

《 例 》
 xの値を求めましょう

 

例題問題平行線で区切られた線分の比を利用して辺の長さを求める1

 

7:14 = x:12
 14x = 84
  x =6                   

 

 

\(\large{\frac{7}{14}}\) = \(\large{\frac{x}{12}}\)
\(\large{\frac{1}{2}}\) = \(\large{\frac{x}{12}}\)
2x = 12
x = 6


 

 

 

《 例 》

 

中学数学 図形の相似 |

 

4:x = 16:20 → 16x = 80  → x = 5ダメですね!
→ 「平行線の定理」に L型型はなかったですね!A型型とH型型だけでしたね!

 

中学数学 図形の相似 |

 

L型型OKなのは「三角形」
のときだけですね!


 

ということは

中学数学 図形の相似 |

〇や□や△で囲んだ数字は
実数値ではなく「比」
を表します
(=実数値との混同防止)
もちろん
④:⑫ → ①:③にしてもOKです


yを求めればよいということですね
⑫:y = (⑫+④):4
 16y = 48
  y = 3
x = 5+y = 5+3 =8

 

 

 

どうして、A型型とH型型は三角形でなくても使えるの?

 

→ A型型、H型型は「横線」を使いませんので
A型型君、H型型君は自分が
「三角形の1辺」なのか
「平行線を横切る直線」か 自分でわかっていない!

 

A型型、H型型は 「三角形」にも「平行線」にも使える

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

 

《 例 》

 

例題問題線分がクロスしている場合も同様である     

 

x:10 = 5:(5+7)
 12x = 50
  x = \(\large{\frac{25}{6}}\)


 

 

 

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① 線分の比と平行線 (平行線と線分の比の逆)

 

上の「平行線と線分の比の定理」の逆も成り立てば、もっと鋭い武器になりますね!
すなわち、「ここと、ここの比が同じならば、2直線は平行である!」と言いたいですね!

 

「~ならば、~である」の逆、「~であるならば、~である」は当然には成立しませんでしたね(仮定と結論)
証明ができて初めて、矢印(⇒)が双方向矢印(⇔)になるのでしたね!

 

 

 

 

平行線と線分の比の逆の証明

 

 

① PQ//BC ならば)  AP:AB = AQ:AC ( A型型 ) の逆

 

 

AP:AB = AQ:AC ( A型型) ならば)  PQ//BC は成り立つのでしょうか?

 

平行線と線分の比の逆の証明1

 

(証明)
△APQと△ABCにおいて
・∠A = ∠A (共通) (右図は対頂角)
・AP:AB = AQ:AC (仮定より)
∴ 2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しいので
△APQ∽△ABC
  ここまで相似の証明

 

∴ ∠APQ = ∠ABC
∴ 同位角 (右図は錯角)が等しいので PQ//BC
∴ AP:AB = AQ:AC ( A型型) ならば)PQ//BC

 

証明ができましたので
① PQ//BC  ⇔ AP:AB = AQ:AC ( A型型)
  ↑両矢印になりましたね!

 

 

 

 

次は先に③ H型型に行きますね

 

③ PQ//BC ならば)  AP:PB = AQ:QC ( H型型 ) の逆
AP:PB = AQ:QC ( H型型) ならば)  PQ//BC は成り立つのでしょうか?

 

 

平行線と線分の比の逆の証明2中学数学 図形の相似 |

 

(証明)
点Cを通りBAに平行な直線とPQの延⾧との交点をRとする
△APQと△CRQにおいて
・∠AQP = ∠CQR (対頂角)
・∠APQ = ∠CRQ (平行線の錯角)
∴ 2組の角がそれぞれ等しいので
△APQ∽△CRQ

 

よって、 AP:CR = AQ:CQ といえる
仮定より AP:PB = AQ:QC であるので
  AP:PB = AP:CR 
よって PB = CR

 

∴ 四角形PBCR「1組の辺が平行で等しい」ので平行四辺形
∴ PQ//BC
∴ AP:PB = AQ:QC ( H型型) ならば)  PQ//BC

 

証明ができましたので
③ PQ//BC ならば) AP:PB =AQ:QC ( H型型 )
  ↑両矢印になりましたね!

 

 

 

L型の逆は成立しない

 

最後に
② PQ//BC ならば)  AP:AB = PQ:BC、   AQ:AC = PQ:BC ( L型型 ) の逆

 

AP:AB = PQ:BC ( L型型) ならば)  PQ//BC
(AQ:AC = PQ:BC ( L型型) ならば)  PQ//BC)
は成り立つのでしょうか?

 

平行線と線分の比の逆の証明3

 

(証明) △APQと△ABC
・∠A = ∠A (共通)
・AQ側の比がない → 「2組の辺の比 と その間の角が」使えない
→ 相似の証明できない

 

2組の比が解っている「間の角」∠APQで同様に行うと…
∠APQ = ∠ABC が言えない
(↑PQ//BCという前提がないので同位角が等しいと言えない)
→ 相似と証明できない

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

(証明2)
△APQ∽△CRQは H型 型同様、OK
あとは、四角形PBCRが「平行四辺形」である につなげたい
→ PB//CR 〇マル しかし PB= CR がどうしても証明できない
→ 平行四辺形と証明できない

 

 

逆を言えば、 L型型の比が同じなのに「平行ではない場合」があるということですね!

 

 平行線と線分の比の逆の証明4

 

PQとBCをそれぞれ垂線で線対象(折り返す)と
△PQr も △BCsも二等辺三角形 (頂角の二等分線が底辺の垂直二等分線)
→ PQ = Pr
  BC = Bs
∴ AP:PQ も AP:Pr も  → 3:2
 AB:BC も AB:Bs も  → 6:4

 

ということは
Pr、Bsの組合せ → 平行
Pr、BCの組合せ → 平行ではない
PQ、Bsの組合せ → 平行ではない
PQ、BCの組合せ → 平行

 

L型型のときは、必ずしも平行ではない ということですね

 

② AP:AB = PQ:BC (L型型)ならば) PQ//BC は成立しない())ですね!

 

但し、△ABCが「直角三角形の場合」は L型型もOKですね!

 

L型の場合は必ずしも平行とは言えない

AP:AB = PQ:BC より
「2組の辺の比 がそれぞれ等しい」ので
 (↑直角三角形の相似条件)
△APQ∽△ABC → ∠Qも90°
同位角が等しいので PQ//BC


(1つ前の図の Pr や Bsのような直線がない! 折り返せる部分がない)

 

 

定理(まとめ)

平行線と線分の比 の定理

 

△ABC

 

① PQ//BC   AP:AB =AQ:AC (A型型 )

 

② PQ//BC  

 

AP:AB = PQ:BC (AQ:AC = PQ:BC)
AP:PQ = AB:BC (AQ:QP = AC:CB)

 (L型型)


 

③ PQ//BC  

 

AP:PB = AQ:QC
AP:AQ = PB:QC

( H型型)


 

 

 

指で辺を何回もなぞってくださいね! (文字より場所で理解)

 

慣れましたら

 

 //  A型H型
 //  L型

 

 

〔 平行線で区切られた線分の比 の定理 〕

 

中学数学 図形の相似 |

 

① 3本が平行 ⇔ 

a:(a+b)  = a’:(a’+b’) (A型型 )


③ 3本が平行 ⇔ 

a:b = a’:b’
a:a’ = b:b ’( H型型 )


 

 

 

● 三角形になっていない場合(平行線の場合)は、 L型型は双方向成立しない

 

慣れましたら

 

 三角形でない場合は A型H型

 

 

 

 

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 ② 中点連結定理

 

「中点連結定理」 カッコイイ名前の定理ですね!
結論から言いますと…

 

 

定理

 

中点連結定理

 

中点連結定理の公式

 

M、N がそれぞれ「中点 ならば)   MN//BC かつ   MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC

 

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

ですね

 

 

 

「中点連結定理」を証明せよ という問題は、定期テスト以外では出ないと思いますが、
念のため  (「道具・武器」の「原理(証明)」は知っていて損はないですね!)
証明しますね

 

 

 

 

【 中点連結定理の証明 】

 

M、N がそれぞれ「中点」
ならば)
MN//BCかつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC

 

中点連結定理の証明

 

(証明)
△AMNと△ABCおいて
・∠A = ∠A (共通)
・AM:AB = AN:AC  = 1:2  (仮定より)
∴ 2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC

 

∴ ∠AMN = ∠ABCより、2直線の同位角が等しいので MN//BC
相似比が 1:2 より、
MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC、

BC = 2MN
 //

 

 

 

 

 

【 中点連結定理の逆の証明 】

 

MN//BCかつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC ⇒

M、N がそれぞれ「中点」


 

中点連結定理の逆の証明

 

(証明)
△AMNと△ABCにおいて
・∠A = ∠A (共通)
・∠AMN = ∠ABC (平行線の同位角)
∴ 2組の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC

 

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)BCより、
△AMNと△ABCの相似比は1:2
∴ AM:AB = AN:AC  = 1:2
∴ (AM:MB = AN:AC  = 1:1より) M、Nはそれぞれ中点である //

 

 

 

 

《 例 》
四角形ABCDのそれぞれの辺の中点を結んだ四角形PQRSはどのような四角形でしょう

 

例題問題中点連結定理を利用した典型基礎問題補助線を引いた図

 

(証明)
対角線BDを引く (ACでも同様にできますね)
△APSと△ABDにおいて
点P、Sは辺AB、辺ADの中点より
↑一言で済む(相似の証明不要)、「中点連結定理より」でも可
 PS//BD  PS = \(\large{\frac{1}{2}}\)BD …①

 

同様に △CQRと△CBDにおいて
↑同じ作業の場合は 「同様に」+「結論」でOK
QR//BD  QR = \(\large{\frac{1}{2}}\)BD …②

 

①②より PS//QR    PS = QR
∴ 四角形PQRSは「1組の辺が平行で等しい」ので平行四辺形 //

 

 

 

 

 

中点連結定理の台形への応用

 

「中点連結定理」は台形(2辺が平行)のような図形にも応用がききますね!

 

《 例 》
例題問題中点連結定理を台形で利用する

 

台形ABCDにおいて、中点を結んだMNはどのような性質があるでしょうか

 

補助線を引いた図

 

AD//BC、   AM:MB = DN:NC  = 1:1より  AD//BC//MN
対角線ACを引くと AM:MB  = DN:NC  = AP:PC  = 1:1
中点連結定理より
MP = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC  NP = \(\large{\frac{1}{2}}\)AD
∴ MN = MP+NP  = \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)
よって
M、N がそれぞれ「中点」 ならば) MN//BC かつ  MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)

 

 

同様に逆も真ですが、逆は利用場面が少く、同様の証明ですので省きますね

 

例題問題中点連結定理を台形で利用する2

 

よって、
MN//BC  かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC) ならば) M、N がそれぞれ「中点」

 

 

 

《 例 》
中学数学 図形の相似 |

 

M、N がそれぞれ「中点」 ならば) AD//MN//BC かつ

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

であることを証明しましょう

 

中学数学 図形の相似 |

 

(証明)
図のような補助線や点をとる
・PQは先の証明より AD//BC//PQ かつ  \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)
・PMも同様に AD//BC//PM かつ  \(\large{\frac{1}{2}}\)AD
・QNも同様に AD//BC//QN かつ  \(\large{\frac{1}{2}}\)AD
∴ MN = PQ-PM-QN
   = \(\large{\frac{1}{2}}\)(AD+BC)-\(\large{\frac{1}{2}}\)AD-\(\large{\frac{1}{2}}\)AD
   = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)
よって
M、Nがそれぞれ「中点」 ならば)   MN//BC かつ  MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

 

 → 逆も同様に成り立ちます

 

 

cf. このように考えると、本来の「中点連結定理」でのMNは

 

 例題問題中点連結定理を台形で利用する3

 

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC±0) = \(\large{\frac{1}{2}}\)BC
↑台形の「上底」がない
とも考えることができますね!

 

 

まとめ

公式

 

中点連結定理の台形への応用

 

中点連結定理を台形へ応用する公式中学数学 図形の相似 |

 

M、N が「中点」
ならば)
MN//BC かつ

MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC±0)

 

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

M、N が「中点」
ならば)
MN//BC//AD

かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC+AD)

 

 

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

M、N が「中点」
ならば)
MN//BC//AD

かつ MN = \(\large{\frac{1}{2}}\)(BC-AD)

 

 

 

 

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 ③ 角の二等分線と辺の比 

 

公式

 

角の二等分線と辺の比

 

① 内角の二等分線と辺の比

 

角の二等分線と辺の比の公式

 

a:b = ab

 

(AB:AC = BD:CD)
(∠Aの「内角」の二等分線は、辺BCをAB:ACに内分する)

 

 

 

② 外角の二等分線と辺の比

 

の二等分線と辺の比の公式(外角)

 

a:b = ab
(AB:AC = BD:CD)
(∠Aの「外角」の二等分線は、辺BCをAB:ACに外分する)

 

 

 

 

 

内分する」は、イメージが普通にできますね
 ex) ABを 5:1 に内分する点p

 

5:1に内分イラスト

 

 → ABを6等分←5+1して、A←始点から5でp、pから1でB

 


 

 

BA・・) を 5:1 に内分する点p

 

1:5に内分イラスト

 

 → ABを6等分←5+1して、B←始点から5でp、pから1でA

 


 

 

 

外分する」は、少しイメージしにくいですね
 ex) ABを 5:1 に外分する点p

 

5:1に外分イラスト

 

 → ABを4等分←5-1して、A←始点から5でp、pから1でB

 


 

ex) ABを 1:5 に外分するp

 

1:5に外分イラスト

 

 → ABを4等分←5-1して、A←始点から1でp、pから5でB

 

(Aから右に①、左に⑤ではBにたどり着けない
→必然的に最初は


 

 

 

 

右外か左外か   

 

 

 

m:n → m>n なら Bの外
m:n → m<n なら Aの外


 

 

 

 

《 例 》
図のようにOが△ABCの内心であるとき、AO : ODを求めましょう

 

例題問題角の二等分線と辺の比を利用する問題

 

内心ということは → ADは∠Aの二等分線

 

中学数学 図形の相似 |

BOを引くと、BOも(∠Bの)二等分線
→「角の二等分線と辺の比」より、
AO:OD = BA:BD
(→ BAは7、あとBDを求めればいいのだな)


 

「角の二等分線と辺の比」より
BD:DC = 7:6
∴ BD = 5×\(\large{\frac{7}{13}}\)
    ↑「5」を13に分けたうちの7
 = \(\large{\frac{35}{13}}\)
AO:OD = BA:BD = 7:\(\large{\frac{35}{13}}\) = 91:35 = 13:5 //

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、PQを求めましょう

 

角の二等分線と辺の比と外分を利用する問題イラスト

 

→ PCは「角の二等分線と辺の比」の「内分」の方だな
→ CQは「角の二等分線と辺の比」の「外分」の方だな

 

比を書き込んだイラスト

 

PC = 7×\(\large{\frac{③}{④+③}}\) = 3 cm
CQは?
→ 7:CQ = (4 -3 ):3
   CQ = 21 cm
PQ = PC+CQ = 3+21   = 24 cm //

 

 

 

 

角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)

 

余談ですが、念のため、「角の二等分線と辺の比」の証明をしておきますね!

 

〔 内角の場合 〕

角の二等分線と辺の比の証明(内角の場合)

 

 

(内角の) 二等分線 ⇔   a:b = ab


 

(証明)

AD//ECな三角形イラスト

 

① CからADと平行な線と
 BAの延長との交点をEとする
② △BADと△BECにおいて
 ∠B = ∠B (共通)
 ∠BAD = ∠BEC (同位角)
 「2組の角 がそれぞれ等しい」ので
 △BAD∽△BEC (L型型)
 ∴ a:AE = ab…(1)


 

中学数学 図形の相似 |

 

③ ∠DAC = ∠ACE (錯角)
 ∴ ∠BAD = ∠DAC  = ∠AEC  = ∠ACE
 ∴ △ACEは底角が等しいので二等辺三角形
 ∴ AC = AE = b …(2) 
 (1)(2)より
  a:b = ab //


 

 

 

 

角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)

 

〔外角の場合〕
角の二等分線と辺の比の証明(外角の場合)

 

(外角の) 二等分線 ⇔  a:b = ab

 

(証明)
補助線を引いた図

 

CからDAに平行な線と、ABとの交点をEとする
(後は内角の場合と同じですね)

 

∠B (共通)  
∠BCE = ∠BDA (同位角)
∴ △BCE∽△BDA  
∴ a:EA = ab

 

∠DAC = ∠ACE (錯角)  
∠FAD = ∠AEC (同位角)
∴ △AECは二等辺三角形
∴ AE = AC = b
∴ a:b = ab //

 

 

逆の証明は、ただ逆にするだけですので省略しますね!
 (比が同じ → 相似 → 角度が等しい → 二等辺三角形 → 二等分線である )

 

 

 

 

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エ 相似な図形の面積比と体積比

 

相似比と周長の関係

 

相似比が分かると、当然周長の比(図形の1周の長さの比)がわかりますね!

 

相似比と図形の周囲の長さの関係中学数学 図形の相似 |

 

「相似比」とは「対応する辺の長さ ・・・・) の比」ですから、
1周の⾧さは、そのまま「相似比」になりますね!

 

相似な図形の「周長比」は、相似比「そのもの」に等しい
 相似比 = 周長比

 

・中:小 = \(\underbrace{ 2:1 }_{相似比} = \underbrace{ 12:x }_{1周比}\) → x = 6
 または 12×\(\large{\frac{1}{2}}\) = 6

 

・中:大 = 1:2 = 12:x  → x = 24
または 12×\(\large{\frac{2}{1}}\) = 24

 

 

これは、四角形であれ n角形であれ 円であれ当然同様ですね!

 

 

n角形でも円でも同様である中学数学 図形の相似 |

 

相似比 = 1:2
大の1周 → \(\underbrace{ 1:2 }_{相似比} = \underbrace{ 13:x }_{1周比}\) → x = 26

 

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

相似比 = 2:3
大の1周 → \(\underbrace{ 2:3 }_{相似比} = \underbrace{ 4π:x }_{1周比}\) → x = 6π

 

 

 

 

 

相似比と面積比の関係

 

「相似比」が判明すると、  「面積比も判明しますね!

 

相似な図形の「面積比」は、相似比の「2乗」に等しい

 

原理は簡単ですね

相似比の2乗は面積比である理由

中学数学 図形の相似 |

 

→ 面積は、基本「底辺×高さ」、座標でいえば「×
同じ相似比を「2回使う(縦×横)」→「2乗」ですね!

 

(確認)
Aの底辺:Bの底辺:Cの底辺
 = 4:6:8
 = 2:3:4
Aの面積:Bの面積:Cの面積
 = (\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・3):(\(\large{\frac{1}{2}}\)・6・4.5):(\(\large{\frac{1}{2}}\)・8・6)
 = (4・3):(6・4.5):(8・6)
 = 12:27:48
 = 4:9:16 ← 22:32:42(底辺の比の2乗 = 相似比の2乗ですね!)

 

問) AとBの面積比は?
→ 相似比は 2:3 ∴面積比は 22:32 = 4:9 !

 

問) A,B,Cが「相似」であるが「もしBの高さがわからない」場合 Bの面積は?
→ 22:32 = (\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・3):x
  4:9 = 6:x
  4x = 54
  x = 13.5   ∴ Bの面積は13.5

 

 

円でも何でも同様ですね (三角形に限らず四角形であろうが台形であろうが)
大小2つの円イラスト

 

相似比は 3:6 → 1:2
ということは、面積比は  12:22 = 1:4
 小の面積は 9π
 大の面積は 1:4 = 9π:x  → x = 36π
 (Bの面積 = πr2 = 36π確かに同じ!)

 

 

 

《 例 》
図形Aと図形Bの相似比が  2:5、図形Aの面積が4のとき
図形Bの面積を求めましょう

 

→ 何角形か円か図形の形が全く分かりませんが、相似比がありますね!
→ 面積比は 22:52 = 4:25
 ∴ 4:25 = 4:x
  4x = 100
  x = 25    ∴ Bの面積は25 //

 

もちろん 分数で計算もOKですね

相似比 2:5 = \(\large{\frac{5}{2}}\)

    

←「左が分母、右が分子」でもよいですが、
忘れますので、
・「元より大きくなるなら大が分子(分数>1)」
・「元より小さくなるなら大が分母(分数<1)」
で十分ですね


 

面積比 \(\large{\frac{5^2}{2^2}}\) = \(\large{\frac{25}{4}}\)
x = 4×\(\large{\frac{25}{4}}\) = 25 //

 

 

 

 

《 例 》
図形Aの面積が4、図形Bの面積が144のとき、相似比は?

 

→ 面積比 A:B = 4:144
→ 相似比 A:B = \(\small{\sqrt{4}}\):\(\small{\sqrt{144}}\)  = 2:12  = 1:6

 

 

 

 

《 例 》
一辺が8cmの正三角形ABCの面積を2等分するBCに平行なPQがあるときAPの長さを求めましょう

 

→ まずは図ですね

 

例題問題相似比の2乗は面積比であることの利用2

 

考え方は

 

中学数学 図形の相似 | 中学数学 図形の相似 |
のどちらかでしょうね

 

→ 考え方は、イ)の方が楽そうですね
→ まず、△APQ∽△ABC (2組の角がそれぞれ等しいので)
→ 相似比がわかれば面積比が分かるので、△APQと△ABCの相似比は?
 APをxとしますね
x:8 ←相似比
∴ x2:82 = 1:2  ←相似比の2乗は面積比。それが1:2
2x2 = 64
x2 = 32
x = ±\(\small{\sqrt{32}}\) = ±4\(\small{\sqrt{2}}\)
x>0より    A. AP = 4\(\small{\sqrt{2}}\) cm

 

 

 

 

 

 

相似比と表面積比の関係

 

「表面積比」も「相似比」を2回使い、それらの足し合わせですので
結局、ただの面積比同様

 

相似な図形の「表面積比」は、相似比の「2乗」に等しい

 

ですね!


 

>相似比と表面積比の公式とその証明

 

上図の1つの面に注目すれば
相似比は 1:2:3
面積比は 12:22:32 = 1:4:9

 

ただ、それが6面あるだけですね
1×6面:4×6面:9×6面 = 1:4:9
(↑比ですので「6面」は打ち消してよい ≒ 約分)
結局「表面積比」も「面積比」同様「2乗」ですね

 

 

 

 

 

相似比と体積比の関係

「体積比」は「相似比」を 3回 使いますね!

 

>相似比と体積比の公式とその証明

 

→ 面積は、基本「縦×横×高さ」ですね
  同じ相似比を「3回 ↖↑↗) 使う」→「3乗」ですね!

 

 

相似な図形の「体積比」は、相似比の「3乗」に等しい

 

 

 

 

《 例 》
2つの三角錐が相似であるとき、相似比、表面積比、体積比を言いましょう

 

大小2つの三角錐

 

相似比 → 2:3
表面積比 → 22:32 4:9
体積比 → 23:338:27

 

 

 

公式

 

相似比と面積比や体積比 のまとめ

 

相似な図形の「周長比」は、相似比の「そのもの」に等しい
相似な図形の「面積比」は、相似比の「2乗」に等しい
相似な図形の「表面積比」は、相似比の「2乗」に等しい
相似な図形の「体積比」は、相似比の「3乗」に等しい

 

 

まとめのまとめ

 

「線関係」 → 「そのまま相似比」
「面積関係」 → 「2乗」
「体積関係」 → 「3乗」

 

ですね

 

 

 

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オ 相似な図形の性質の活用

 

それでは具体的に、「辺の長さ」や「辺の比」「面積」や「面積比」を求めていきましょう!

 


 ポイントとして

1. 「実数値」と「比」の区別 (比は○ △ □で囲む など)

2. 「 山型
中学数学 図形の相似 |
」「
蝶型
中学数学 図形の相似 |
」を浮き彫りに見れる

3. 有効な「補助線」を引ける
4. 「比の統一 (比の合成)」

 

 

 

1. 「実数値」と「比」をきちんと区別する

 

 x:y は? → 実数値と区別するため「比」は〇や△や□で囲む

 

実数値と比を区別中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

 

 

 

2. 山型・蝶型を発見する、浮き彫りに見れる

 

 「山型」「蝶型」をなぞりましょう

 

相似の性質を利用した問題を解くコツ(山型・蝶型の発見)

 

中学数学 図形の相似 |


 

 

中学数学 図形の相似 |

 

  中学数学 図形の相似 |
蝶型ではありません!(∵平行でない)


 

 

 

3. 「補助線」を引いて、「山型」「蝶型」をつくる

 

 補助線を引いて「山型」「蝶型」を作りましょう (以下:山ちょう)

 

中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 |

 

山1


 

中学数学 図形の相似 |

 

山3 ちょう1


 

中学数学 図形の相似 |

 

山2
 など



 

 

平行四辺形
中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

山1ちょう1


 

中学数学 図形の相似 |

 

山1ちょう1


 

中学数学 図形の相似 |

 

山1 など
(2本引くことも
あると思います)



 

● 基本的に、
補助線は「何かに平行」で「何かの点を通る」で「山ちょう」を作る ですね!

 

 

 

4. 比を統一する

 

比を統一しましょう

 

 

平行四辺形

比を統一する

 

x:y = 1:1 ではないですね!
→ 「比の統一」が必要ですね


 

 

方法①【 1辺を「1」と見る 】
中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

 

方法②【 1辺を「6」と見る (2目盛り(上辺)と3目盛り(下辺)をカバーできるのは 6目盛り(2と3の公倍数)】
中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

 → 後で通分するか、先に通分するかの違い といえますね
  どちらでもOKです

 

 

 

 

かぶる部分がある

 

 

比を統一する(かぶる部分がある)

   

かぶる部分で一致させる
(最小公倍数などで)

中学数学 図形の相似 |


中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

 

 

かぶる部分がない

 

比を統一表示する方法、連比の場合

 

●平行四辺形同様、全体を「1」とする方法

 

中学数学 図形の相似 |

中学数学 図形の相似 |


中学数学 図形の相似 |= \(\large{\frac{32}{40}}\)-\(\large{\frac{15}{40}}\) = \(\large{\frac{17}{40}}\)
または \(\large{\frac{25}{40}}\)-\(\large{\frac{8}{40}}\) = \(\large{\frac{17}{40}}\)

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

 

 

●平行四辺形同様、全体を「40」とする方法

 

中学数学 図形の相似 |

中学数学 図形の相似 |


 

以上 ポイントを意識しながら解いていきましょうね!

 

 

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① 台形

 

《 例 》
図のようなとき、x, y を求めましょう
例題問題相似を利用した問題(台形)1

 

→ 山ちょうがたくさんありますね → ヒントがたくさんあるということですね

 

中学数学 図形の相似 |

 

「ちょう」より CP:PA (= DC:AB) = 9:6 = 3:2

 

中学数学 図形の相似 |

 

・「山」の(H型型)より
 CQ:QB = 3:2
∴ x = 15cm×\(\large{\frac{2}{5}}\) (← 15cmを5等分したうちの2つ)
  = 6 cm
 (3:2 = (15-x):x でももちろん可)

 

・「山」のL型型より
CP: y = CA:AB
3:y = 5:6
 y = \(\large{\frac{18}{5}}\) cm

 

 

 

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平行四辺形

 

《 例 》
図のような▱ABCD (= 平行四辺形ABCD)のとき、BR:RQ を求めましょう

 

例相似を利用して平行四辺形の各部の長さを求める>

 

→ 「山ちょう」がありませんね → 「山ちょう」をつくる「補助線」ですね
 補助線は色々引いてみてくださいね
 そうすれば「これかな!」というものが段々見えるようになってきます

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

どちらも 1本で「山・ちょう」ができますね
(イ)で行ってみますね
BR:RQということは(ちょう)BP:SQを求めることと同じですね

 

△ABPの「山」の「L型型」より
13= TS:⑤
3TS = 5
TS = \(\large{\frac{5}{3}}\)
∴ SQ = ⑦-\(\large{\frac{5}{3}}\)
   = \(\large{\frac{16}{3}}\)
∴ BR:RQ (= ちょうBP:SQ) = 5:\(\large{\frac{16}{3}}\) = 15:16

 

 

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三角形

 

《 例 》
図のようなとき、BF:FE を求めましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める1

 

→ 「山ちょう」がありませんね → 「補助線」

 

中学数学 図形の相似 |

 

 「山3ちょう1」同時発生ですね
 ↑△CAD山、△CBD山、△CAB山
  BF:FE = BD:EQ 
  (ちょう)でOKそうですね


 

△CADの「山」の「L型型」より
1:EQ = 3:1
3EQ = 1
EQ = \(\large{\frac{1}{3}}\)
∴ BF:FE (= BD:EQ(ちょう)) = 1:\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:1

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、問いに答えましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める2

 

(1) AP:PD を求めましょう

 

中学数学 図形の相似 |
FDを結ぶと
CD:CB も CF:CA も
2:1 → H型型の逆より
FD//AB

 

中学数学 図形の相似 |

 

 「山」の「L型型」より
  FD:AB = 2:3

 

 

 

中学数学 図形の相似 |
  「ちょう」より
   AP:PD = 3:2


 

 

 

(2) AP:PQ:QD を求めましょう

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める3
→ PQ:QDを求めたい
→ DからBEに平行な直線
 を引くと
 役立ちそうな 
 AE:EG = AQ:QD
 がうっすらと見える

 

中学数学 図形の相似 |
 「山」の「H型型」より
 CD:DB = CG:GE
 2:1 = CG:GE
 ∴CEは1より
 CG:GE = \(\large{\frac{2}{3}}\)\(\large{\frac{1}{3}}\)

 


 

中学数学 図形の相似 |

 

違う「山」を浮き上がらせると
AE:EG = AQ:QD (H型型)
  = 2:\(\large{\frac{1}{3}}\) = 6:1

 

最後に「比の統一」 → 見やすいように AD を取り出しますね

 

相似を利用して三角形の各部の長さを求める4

 

ADを「1」とする方でいきますね

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |

 

中学数学 図形の相似 |     

 

∴ AP:PQ:QD = 21:9:5
  (難しい部類の問題です!)


 

 

 

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連比と面積比

 

相似分野の最後となりますが、相似のメインどころですね!
前提となるポイントを2つほどお話させていただきますね

 

ポイント

 

ポイント① 底辺、高さと面積の関係

 

「比」というからには、三角形が2つ以上あるはずですね
1つでは「比」較しようがないからですね!

 

2つの三角形の面積比は
\(\large{\frac{1}{2}}\)(正確な底辺の長さ)×(正確な高さの長さ):\(\large{\frac{1}{2}}\)(正確な底辺の長さ)×(正確な高さの長さ)
のはずですね
そして、それぞれ「2倍」して
(正確な底辺の長さ)(正確な高さの長さ):(正確な底辺の長さ)(正確な高さの長さ)
のはずですね
cf) それぞれ2倍して  0.5:1.5 → 1:3 でもよかったですね

 

面積は底辺×高さ

面積は底辺×高さsp

 

よって、「正確な面積の数値」が無くても「高さの比」や「底辺の比」だけで
2つの三角形の「面積比」がわかるということにつながりますね!

 

元の面積を「S」とすれば、

 

・高さが2倍( = 1:2)なら  → 2S
 高さが\(\large{\frac{1}{2}}\)倍( = 2:1)なら  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S

 

・底辺が2倍( = 1:2)なら  → 2S
 底辺が\(\large{\frac{1}{2}}\)倍( = 2:1)なら  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S

 

ex)
・高さが 2:3 → 新三角形の面積は\(\large{\frac{3}{2}}\)倍(1.5倍) → \(\large{\frac{3}{2}}\)S
・底辺が4:1 → 新三角形の面積は\(\large{\frac{1}{4}}\)倍(0.25倍)  → \(\large{\frac{1}{4}}\)S

 

 

そして、これは「高さ」と「底辺」同時に変化しても成立します

 

注:正確な面積(2や6)は確認がてら見てくださいね!

面積は高さ比例、底辺に比例

面積は高さ比例、底辺に比例sp

 

 

 

そして、実は、底辺と高さの倍率が同じとき(相似のとき)…

底辺・高さどちらも同数倍とういことは、相似比の2乗 =体積比につながる

底辺・高さどちらも同数倍とういことは、相似比の2乗 =体積比につながるsp

 

そうです、相似は
「底辺が3倍になると」「高さ3倍になると」は
「底辺が3倍になると」「高さ3倍になる」だったのですね
そして、底辺×同倍率高さ = (相似比)2 = 面積比 ということになりますね!

 

以上を要約すると、三角形では(実は平行四辺形系正方形・長方形・ひし形もですね)

高さが半分になれば、面積も半分になる
底辺が半分になれば、面積も半分になる

 

 

言葉より、図の方が直感的に分かりやすいと思いますので、
下の問題を解いてみましょう

 

 

 

練習問題簡単な一次方程式

 

 

 

それでは、2つ目の前提ポイントです

 

ポイント

ポイント② 底辺の比、高さの比と三角形の面積比

 

ポイント①で、「2つの三角形だけの関係においては『正確な面積の値』は不要」
 ということと、
「底辺と面積の関係」  「高さと面積の関係」がわかりましたね

 

そして、ポイント②として、「高さ」「底辺」について思い出してみると…
 …まずは、イメージしやすい「高さ」からいきますね

 

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい

中学数学 図形の相似 |

 

図の場合、「斜辺に見えるもの(赤線)」の長さが、
 1.5倍になれば →「本高さ」も1.5倍になっていますね!
 2倍になれば →「本高さ」も2倍になっていますね!

 

ということは、

 

① 斜辺が一直線状(上)にある場合 (共有状態)や
② 斜辺が平行である場合 (右の図形)や
③ 斜辺と底辺の角度が同じ場合
①②③は実は同じような意味(=基準が同じ=底辺に対する斜辺の角度が同じ)
の三角形や平行四辺形系の「斜辺のような線」は
高さ」とみなすことができますね!
親子中学ではこのような辺を…「高さにあたるもの」と言いますね!

 

 

ということで、上図の

2つの図形の関係においては「高さ」は「高さにあたるもの」でよい事の証明

中学数学 図形の相似 |

 

の面積比は
\(\large{\frac{1 }{2}}\)・(底辺)・(高さにあたるもの):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺)・(高さにあたるもの):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺)・(高さにあたるもの)
= (底辺)・(高さにあたるもの):(底辺)・(高さにあたるもの):(底辺)・(高さにあたるもの)
= (高さにあたるもの):(高さにあたるもの):(高さにあたるもの)
= 1:1.5:2 ですね!

 

 (最小三角形をSとするならば   → S:\(\large{\frac{3}{2}}\)S:2 S )
 (最大三角形をSとするならば  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S:\(\large{\frac{3}{4}}\)S:S )

 

 

 

では次に、「底辺」について

 

中学数学 図形の相似 |

中学数学 図形の相似 |

 

「高さにあたるもの」と全く同じ考え方ができますね!

 

① 底辺が一直線状(上)にある場合 (共有状態)
② 底辺が平行である場合 (右の図形)
③ 「高さにあたるもの」と底辺の角度が同じ場合
①②③は実は同じような意味(=基準が同じ)
の三角形や平行四辺形系の「底辺のような線」は
「底辺」とみなすことができますね!
親子中学ではこのような辺を…「底辺にあたるもの」と言いますね!

 

 

ということで、上図の

2つの図形の関係においては「底辺」は「底辺にあたるもの」でよい

中学数学 図形の相似 |

 

の面積比は
\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さ):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さ):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さ)
= (底辺にあたるもの)・(高さ):(底辺にあたるもの)・(高さ):(底辺にあたるもの)・(高さ)
= (底辺にあたるもの):(底辺にあたるもの):(底辺にあたるもの)
= 1:1.5:2 ですね!

 

 (最小三角形をSとするならば  → S:\(\large{\frac{3}{2}}\)S:2 S )
 (最大三角形をSとするならば  → \(\large{\frac{1}{2}}\)S:\(\large{\frac{3}{4}}\)S:S )

 

 

 

そして、最後に「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」が同時に変化しても
同様に考えることができるというこということですね!

 

 

すなわち、基準が同じ(それぞれ平行や一直線上や間の角が同じ) 場合

 

 三角形や平行四辺形系の「面積比」は

 

\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるも):\(\large{\frac{1}{2}}\) ・(底辺にあたるもの)・(高さにあたるもの)
= (底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの)

 

ですね!
正確な面積の値は解りませんが、2つや3つの図形の関係においては
「正確な高さの値」や「正確な底辺の値」は不要!ということですね!

 

ex) 兄のお小遣い:お弟の小遣い = 2:1
→ 一方の金額が解れば直ちに他方も解る → ですが金額はどうでもよい
→ よって、この金額の手前の「比2:1」まででよいのです (=関係性の問題)

 

以上を要約すると、三角形 (平行四辺形系もですね!)の『面積比』は

基準が同じ(平行や一直線上や間の角が同じ)場合
(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの):(底辺にあたるもの)(高さにあたるもの)

 

 

《 例 》

「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」の見極め方法

中学数学 図形の相似 |
中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
5×6:3×2 = 30:6
= 5:1

 

中学数学 図形の相似 |がSなら中学数学 図形の相似 |は\(\large{\frac{1}{5}}\)S


 

 

 

回転させなくても…

 

中学数学 図形の相似 | 

 

と見れたら鬼金棒ですね!
もちろん「底辺にあたるもの」と「高さにあたるもの」を逆にとらえてもOKです!

 

 

 

 

《 例 》

中学数学 図形の相似 |
中学数学 図形の相似 |
の面積比を求めましょう。
さらに、
中学数学 図形の相似 |
が S のとき
中学数学 図形の相似 |
を S で表しましょう

 

(1)

例題問題

→ 平行なので、「高さ」は同じということですね
 (ポイント①の問題ですね)
∴ 面積比 = 底辺の比 = 4:1
 赤 = \(\large{\frac{1}{4}}\)S


 

 

(2)

中学数学 図形の相似 |

→ 「底辺にあたるもの」、「高さにあたるもの」
 の共有タイプですね
→ 単位があっても同様ですね
→ 8×6:3×4 = 48:12  = 4:1
 赤 = \(\large{\frac{1}{4}}\)S


 

 

(3)

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める1

 

→ 1つは共有、1つは平行タイプですね
→ 12×9:5×7 = 108:35
 赤 = \(\large{\frac{35}{108}}\)


 

 

(4)

中学数学 図形の相似 |

→ 両方とも平行タイプですね
→ 30:3 = 10:1
  赤 = \(\large{\frac{1}{10}}\)S


 

 

(5)

中学数学 図形の相似 |

→ 間の角が同じと言うことは、
 ⑧と④を平行にすれば76
 平行ですね


ということは
中学数学 図形の相似 |
を傾けると
中学数学 図形の相似 |
ですね

→ 7×8:6×4 = 56:24 = 7:3
 赤 = \(\large{\frac{3}{7}}\)S

 

 

(6)

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める2

 

→ 6×4.5:4×3 = 27:12  = 9:4
 赤 = \(\large{\frac{4}{9}}\)S


 

→ 実は3辺が平行なので「相似」ですね!( ついでに「相似の位置」ですね)
ということは、「1辺の比」さえ解れば「面積比」がでましたね!
(底辺が\(\large{\frac{2}{3}}\)倍なら、自動的に高さにあたるもの\(\large{\frac{2}{3}}\)倍になる)
∴ 相似比 = 6:4 = 3:2
  面積比 = 32:22 = 9:4 (上と同じですね!)

 

 

(7)

中学数学 図形の相似 |

 

→ 直角マークは引っ掛けですね (関係ない)
→ 10×4:6×7 = 40:42  = 20:21
 赤 = \(\large{\frac{21}{20}}\)S


 

 

(8)

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める3

中学数学 図形の相似 |


→ (2+4)×1:2×(1+1)  = 6×1:2×2  = 6:4  = 3:2
 赤 = \(\large{\frac{2}{3}}\)S
→ 回転させなくても、「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」が
見えましたか?

 

 

(9)
中学数学 図形の相似 |
もう「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」が浮いて見えるようになってきましたね
→「底辺にあたるもの」×「高さにあたるもの」:「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」
= 7×12:6×8 = 84:48  = 21:12  = 7:4
 赤 = \(\large{\frac{4}{7}}\)S


 

イメージしにくければ…
ひっくり返して…
高さの方をずらせばよいですね

 

2つの三角形の面積比

 

 

 

 

 

 

(10) 黒も平行四辺形、赤も平行四辺形です

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める4

→ 平行四辺形系も同様に考えられますね
→ 3×6:2×5= 18:10 = 9:5

中学数学 図形の相似 |
=
\(\large{\frac{5}{9}}\)S

 

 

 

練習問題簡単な一次方程式

練習問題簡単な一次方程式

 

【 「あたるもの」の確認 】
面積比を考える時、「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」の考え方は大切ですね

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」で考えると
面積比 3×2:6×7  = 6:42  = 1:7

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
面積比 3×2:6×4 = 6:24 = 1:4
または、 実は相似なので
「面積比は相似比の2乗」より
面積比 32:62  = 9:36  = 1:4

 

 

(問) 下図は相似である。面積比を求めましょう

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
相似比 2:3 → 面積比  22:32  = 4:9 ですが
適当に「高さにあたるもの」を設定して

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
:3×  = 4:9

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
3:3×4.5  = 6:13.5  = 12:27  = 4:9 でも求めることができますね

 

 

以上より、
「高さにあたるもの」「底辺にあたるもの」の考え方は
相似でなくても、相似でも使える
 = 「相似比の2乗は面積比」の考え方をカバーする

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

● 体積比でも同様に考えることができますね

 

中学数学 図形の相似 |

 

 

 

中学数学 図形の相似 |中学数学 図形の相似 |
体積比  = 2×1×2:3×3×4  = 4:36  = 1:9

 

同様に、相似の場合のみ
「体積比 = 相似比3」が使えるということですね

 

(三平方の定理の応用問題での体積比の利用)

 

 

 

 

それでは、具体的な問題を解いていきましょう

 

 

《 例 》
図のようなとき、 △FECと台形ABCDの面積比を求めましょう

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める1

(流れ)

中学数学 図形の相似 |



 

①台形ABCD:△ABCは?
→ △CAD:△ABC で「高さにあたるもの(AC)」が共通なので
 △CAD:△ABCの面積比は、
 「底辺にあたるもの(AD)」:「底辺にあたるもの(BC)」→ADが不明

 

中学数学 図形の相似 |

 

「ちょう」より
AD:EC = 2:3
AD:⑤ = 2:3
AD = \(\large{\frac{10}{3}}\)


 

∴ △CAD:△ABC  = \(\large{\frac{10}{3}}\):5+1  = \(\large{\frac{10}{3}}\):6
∴ 台形:△ABC  = △CAD+△ABC:△ABC  = \(\large{\frac{10}{3}}\)+6:6  = \(\large{\frac{28}{3}}\):6  = 28:18  = 14:9

 

 

②△ABC:△FECは?
→ △ABCの(高さにあたるもの)(底辺にあたるもの):△FECの(高さにあたるもの)(底辺にあたるもの)
= (3+2)(5+1):(3)(5)  = 30:15  = 2:1

 

∴ 台形:△ABC:△FEC
→ 14 :  9
       2 : 1
∴ 28:18:9
A. △FEC:台形ABCD = 9:28 

 

 

 

(考え方2) △FECを「削りだすイメージ

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める1

 

台形ABCDをS(=1S)とすると、△FECは何S?

 

△ABCは何S (△CADの切り落とし)
「ちょう」より、AD:EC  = 2:3
AD:⑤ = 2:3   → AD = \(\large{\frac{10}{3}}\)
∴ △CAD:△ABC  = \(\large{\frac{10}{3}}\):6  = 5:9
∴ △ABC = \(\large{\frac{9}{14}}\)S

 

△ABCが\(\large{\frac{9}{14}}\)Sのとき、△FECは何S(四角形ABEFの切り落とし)
→ △CFE:△CAB  = (3)(5):(3+2)(5+1)  = 15:30  = 1:2
∴ △FEC = \(\large{\frac{1}{2}}\)△ABC  = \(\large{\frac{1}{2}}\)\(\left(\large{\frac{9}{14}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{9}{28}}\)S

 

∴ (問題に合わせて)  △FEC:台形  = \(\large{\frac{9}{28}}\):1  = 9:28 //

 

※ やっていることはほとんど同じですが「イメージ」がしやすいと思います
→「これを一直線で切り落として、次にこれを一直線で切り落とせば、目的物が出てくるな!」みたいな

 

 

 

 

《 例 》
平行四辺形が図のようなとき、  △AERと 中学数学 図形の相似 |ABCDの面積比を求めましょう

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める2

(見通し)
中学数学 図形の相似 |ABCDから△ACDを切り落として
次に△ABCから△ABEを切り落として
次に△AECから△ERCを切り落とせば
△AERが出てくるな


 

中学数学 図形の相似 |ABCDをSとすると
△ABCは\(\large{\frac{1}{2}}\)S (平行四辺形を2分する線)

 

△ABCと△AECにおいて
BE:EC = 1:3より 
△ABE:△AEC = 1:3
∴ △AEC = \(\large{\frac{3}{4}}\)△ABC  = \(\large{\frac{3}{4}}\)\(\left(\large{\frac{1}{2}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{3}{8}}\)S

 

あとは△EACと△ECRの比→AR:RCだな

 

中学数学 図形の相似 |

平行四辺形より AD = 4
「ちょう」より  BP:PD = 1:4
Qは中点より  BQ:QD = 1:1
中学数学 図形の相似 |
∴BP:PQ:QD = 2:3:5


 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める3

 

△QBCの「山」の「H型型」より
QR:RC = 3:2
Qは中点より  AQ:QR:RC = 5:3:2


 

中学数学 図形の相似 |

 

∴ △EAR = \(\large{\frac{8}{10}}\)△EAC  = \(\large{\frac{8}{10}}\)\(\left(\large{\frac{3}{8}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{3}{10}}\)S

 

∴ (問題の問に合わせて)
△FEC:中学数学 図形の相似 |ABCD  = \(\large{\frac{3}{10}}\)S:1S  = 3:10 //

 

(2) つけ足し問題として、△AERをSとすれば
平行四辺形ABCDは何Sでしょうか
  → \(\large{\frac{10}{3}}\)S ですね!

 

すなわち 最後の「調整」は簡単ですので、

●1番大きな元図形をS、そこから「切り落とし」て目的の図形を削り出す
●1番小さな図形をS、そこから「付け足して」て1番大きな元図形を導く

どちらでもOKです!やりやすい方で解いて下さいね

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、△ABCの面積は何cm2でしょうか

 

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める5

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める5sp

 

(見通し)
ア.△BAEの切り落とし→△BECと△FECの関係か
イ.△CDBの切り落とし→△CADと△CEFの関係でいくか

 

→アは△BAEを切り落とした後のデータが「②」のみ
→イは△CDEを切り落とした後のデータが「②③5」の3つ

 

イでいきますね

 

△ABCをSとすると
△CAD = \(\large{\frac{5}{7}}\)S ・・・①

 

あとはCF:FDがわかれば
△CFEと△CDAの「底辺にあたるもの」「高さにあたるもの」がそれぞれわかるな

 

DからACと平行な補助線をひくと

 

中学数学 図形の相似 |

中学数学 図形の相似 |

 

△BAEの「山」の「L型型」より
→ 2:DG = (2+5):③
 7DG = 6
 DG = \(\large{\frac{6}{7}}\)

 

「ちょう」を浮かび上がらして

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める6

例題問題「高さに当たる辺」「底辺に当たる辺」を見極めて面積比を求める6sp

 

「ちょう」より DF:FC  = \(\large{\frac{6}{7}}\):2  = 6:14  = 3:7

 

∴ △CEF:△CAD  = 2×7:(2+3)×(7+3)  = 14:50  = 7:25
∴ △CEF = \(\large{\frac{7}{25}}\)△CAD  = \(\large{\frac{7}{25}}\)\(\left(\large{\frac{5}{7}}\small{S} \right )\)  = \(\large{\frac{1}{5}}\)S

 

∴ △CAB = 5△CEF  = 5(1cm2)  = 5cm2 //

 

 

 

求め方は1つではありませんので
解答例と手順が違っていても
答が合っていれば、マル! ですね!

 

 

 

お疲れ様でした!
その他の問題は、「問題集」で!!

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2017/12/5 23:12  
 
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