2年生問題集(excel利用) が完成しましたので、よろしければご利用くださいね(全1539問)(有料)。1年生問題集は引き続き(無料)です → ダウンロードページへ

 

中学1年生課程へ 中学2年生課程へ 中学3年生課程
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 標本調査
 
標本調査の必要性と意味
 ① 全数調査と標本調査
  ・ 2つの調査を分ける基準
  ・ 専門用語
 ② 無作為に抽出
標本調査による母集団の傾向の説明
 ① 標本平均と母集団の平均値
 ② 標本調査の利用

 

標本調査

 

ア 標本調査の必要性と意味

 

とうとう中学数学最後の章ですね! 

 

3年生の「資料の活用」の「標本調査」の章は
「関数」「図形」の章が分厚かった分、
配分的な問題なのか、かなり奥行きのない章となっていますね!

 

2年生の「資料の活用」の「確率」の章の方がよっぽど難しかったと思います

 

それではあと少しです 頑張っていきましょう!

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

① 全数調査と標本調査

 

「標本(ひょうほん)調査」の簡単なイメージは・・・
ある程度のデータを集めて、全体のデータもこんなものだろうと推測する調査ですね
 (「標本」 = サンプル )

 

良く言えば、全部を調べる労力を省く
悪く言えば、楽して調べたい  ですね!

 

 

・標本調査 … 集団の中から一部を取り出して調査し、集団全体の傾向を推測する調査方法
 ex )  選挙出口調査、選挙当落速報(全部開票しても逆転はないだろう という頃)、テレビ視聴率、世論調査(せろんちょうさ)(内閣支持率などを調べる) など

 

 

対して

・全数調査 … 集団の全てについて行う調査方法
 ex )  選挙結果、国勢調査(世帯構成などを調べる、世帯の身体測定のような感じ)、健康診断、入試テスト など

 

 

 


ポイント

 

2つの調査を分ける基準

 

上のex )を見ると
「標本調査」に向いている調査、「全数調査」でないといけない調査、
2つを分ける「基準」が少し予想できますね

 

絶対的基準

全数調査 標本調査

絶対的に正確でないといけない

 

(間違っていると 社会的に大問題になる)

ある程度正確ならよい

 

(間違っていても 社会的に許される)

 

現実的基準

全数調査 標本調査
母集団が少ないことだし…全数でいくか 母集団が多すぎるから…標本でいくか
全数調べてもコストが低そうだし…全数でいくか 全数調べるとコストが高いから…標本でいくか
全数調べることができそうだし…全数でいくか 全数調べることが現実的に不可能だから…標本でいくか

 

絶対的基準は、すなわち「譲れない基準」ですね
コストがかかろうが、母集団が多かろうが、
「正確でないと、問題になる、意味がない」ものは、全数調査ですね!
それ以外なら、標本調査でもOKな可能性がありますね

 

 

2次的基準は、現実的な価値観ですね
総合考慮してどちらの調査がよいか判断しますので
人により「全数!」「標本!」と別れることがあるはずですね

 

 

ですが、統計の問題では、「一般的に考えて」を念頭に
どちらがよいか選んでくださいね!

 

 

自分の価値観を大事にしつつ、一般の価値観も知る…
彼を知り己を知れば百戦殆うからず」ですね!

 

 

 

 

というわけで、「標本調査」の必要性を一言で言ってみると、

 

「(前提:母集団のデータ収集は社会の発展に必要であるので、)
全数調査が総合考慮の上できない場合、次に標本調査が有効であるため」
という感じでしょうか

 

 

 

 

専門用語

 

全体から一部を取り出すというイメージ図は

 

俗名の説明

俗名の説明2

 

このような感じでしょうか
この手順を、この章(標本調査)で専門的に言い換えると

 

専門用語の説明

専門用語の説明2

 

となりますね! それだけです

 

 

 

《 例 》
ある中学校の
1年生は男子60人・女子は74人、
2年生は男子65人・女子70人、
3年生は男子68人・女子は75人でした。
次の各調査における「母集団の大きさ」と「標本の大きさ」を求めましょう

 

(1) 1年生の女子全員から20人を選んで好きな雑誌について調査する。

 

  A.  母集団の大きさ 74 ( ←1年生女子)、 標本の大きさ 20

 

 

(2) 2年生全員から30人を選んで1年間に図書室を利用した回数を調査する。

 

 A.  母集団の大きさ 135 ( ←2年生男子65+女子70)、 標本の大きさ 30 

 

 

(3) 全校生徒から50人を選んで、通学時間を調査する。

 

 A.  母集団の大きさ 412 (←全生徒60+74+65+70+68+75)、標本の大きさ 50

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

② 無作為に抽出する

 

「抽出」のしかたのお話ですね
抽出のしかたによって「推定」結果が違ってくるのですから、大切な場面ですね

 

いくら「理論(法)」が正しくても「方法(手続き)」が間違っていたら「間違った答え」が出る
ということですね!

 

 


  一般的な意味  

 

作為さくい
… 
わざと、意図的に、人為じんい(人が手を加えた)的に
無作為 … 作為がないこと = わざとでない、意図的でない、人為的でない

 

 

例えば、記者A、記者B、記者C、記者Dは それぞれ もくろみを持って
そして、記者Eは何も考えずに、
下図のように「抽出」したとします

 

無作為とは

中学数学 標本調査 |

 

 

それぞれの目論見(意図)は…

 

A記者 →母集団も「赤」が多いと世間に発表したい ・・・作為あり
B記者 →母集団も「白」が多いと世間に発表したい ・・・作為あり
C記者  →  母集団も「黒」が多いと世間に発表したい ・・・作為あり
D記者 →母集団もできる限り「このようである」と世間に発表したい
E記者 →母集団も「こんな感じ?」と世間に発表したい

 

 

A、B、C はさておき ←(A、B、C、はマスコミ操作というものですね)
「作為がある」を通り越して「悪意すらあり」ますね

 

 Dは「母集団を正確に表現したい」という「作為」がありますね
 Eは「何も考えていない」のですから、まさしく「無作為」ですね

 

ですが、「標本調査」の世界では、EではなくDの「母集団を正確に表現したい」
と考えながら「抽出」することを… 「無作為に抽出する」といいます

 

標本を 「無作為に抽出する」 とは

 

かたよりがないように(考えながら)、
標本を取り出すこと

 

 

よって、今後は「無作為に抽出した」というフレーズがあれば
母集団と標本は「相似である」と『保証』されたということになります

 


  まとめ  

 

母集団と標本

 

   下矢印  「無作為に抽出」というフレーズがあれば

 

母集団相似標本
相似というお墨付き』を与えられた ということ!
そして相似ということは、図形内の割合が同じなので
母集団対象/母集団全体=標本対象/標本全体

→\(\large{\frac{母集団の対象物数}{母集団の大きさ}}\)=\(\large{\frac{標本の対象物数}{標本の全体}}\)
略して、\(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\)

(分数の横棒は、「ぶんの」と読まずに「につき」と読めばイメージがしやすい)

 

標本調査の問題を解くときは、
常に母集団対象/母集団全体=標本対象/標本全体 をマル図のように用意して、どこが x になるかを考えればよいですね

 

もちろん相似なので、H型型で 対象/残り=対象/残り でもOKですが、台形部分 を求めるのも手間ですし、問われることもないと思いますので。 (H型)

 

母集団対象/母集団全体=標本対象/標本全体  で十分ですね

 

 

 


  付随するフレーズ  

 

「無作為に抽出」と明言されていなくても
お墨付きを与えられるフレーズがたくさんありますね

 

・「よく混ぜて」 どこを抽出しても割合が同じだ
・「しばらくして」→ まんべんなく混ざった頃 → どこを抽出しても割合が同じだ
・「乱数」人為が及ばない  → 同様に確かだ
・「ランダム」人為が及ばない  → 同様に確かだ

 

などなど、色々ありますが
結局は「抽出したものも、相似だろうな~」と感じられれば
= 「無作為に抽出」でOKですね

 

そもそも相似でないと解けませんので
確率同様「同様に確か」、「無作為に」が省略されている問題もありますね

 

 

 

2年生の確率の
同様に確からしい」というのも「お墨付き」ですね
ex. サイコロの各目が出る確率(割合)は、\(\large{\frac{1}{6}}\)というお墨付き
1か2の目が出る確率(割合)は、(\(\large{\frac{1}{6}}\)と信じて) ×(それが2パターン) = \(\large{\frac{2}{6}}\)

 

1年生の1次方程式の
割合」というのも「お墨付き」ですね
ex. この食塩水の濃度は20%、20%というお墨付き
(まんべんなく混ざっているので、どこを取っても20%と保証しますよ~)
100gの食塩水中の塩の重さは、100×(\(\large{\frac{20}{100}}\)と信じて) = 20g

 

 

 

 

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

イ 標本調査による母集団の傾向の説明

 

①「標本平均」と「母集団の平均値」

 

母集団の平均値」は今まで学んできたもののことですね
→「全数平均」とでもいう感じでしょうか

 

母集団の平均値の例

 

母集団の整列

 

イメージ図にしろ、表にまとめたにしても
3年2組の男子という母集団の平均身長(母集団の平均値)は・・・

 

平均

= \(\large{\frac{個体のデータの合計}{個体数}}\)
母集団の平均の計算
中学数学 標本調査 |
中学数学 標本調査 |


もちろん、
0を基準に地道に164+160+ … ÷12でもOKです
上の計算は160を基準にしていますね  → 「みんな160はあるとして」

 

 

では「標本平均」とは・・・
抽出した標本の方の平均値です
ただそれだけです!

 

例えば上の例で、
標本を無作為に5人抽出したら、B君、D君、H君、J君、K君だったとします

 

 

標本平均

  標本平均の計算


 

 

上で「母集団の平均値」を求めてしまっていますが、もし不明であった場合は
『母集団の平均値は(も)、165.2と「推定」される』となりますね

 

 

 

 

 

 

《 例 》
 あるリンゴ園で収穫した12個のリンゴの重さを量ったところ、次の表でした

 

12個のリンゴの重さ

 

 

(1) 大きさが 5 である標本( = 標本の大きさが 5 = 標本の個数が5個 → 大きさと言いますが個数ですね ) を無作為に抽出したところ
標本は次の5つでした。このとき「標本平均」を求めましょう
 B D E H K

 

 

標本平均

   = \(\large{\frac{290+315+300+316+285}{5}}\)

   = \(\large{\frac{300×5+(-10+15+0+16-15)}{5}}\)
   = \(\large{\frac{300×5+(6)}{5}}\)

   = 300+1.2
   = 301.2
  A. 301.2 g


 

 

 

(2) 収穫した12個のリンゴの1個あたりの重さを「推定」しましょう

 

→ (1)より (母集団の平均値も)
 A. 301.2(と推定される)

 

 

 

(3) 実は「母集団の平均値」は 304.25であった
「母集団の平均値」と「標本平均」の「差」を求めましょう

 

→ 「母集団の平均値」-「標本平均」  = 304.25-301.2  = 3.05
  A. 3.05 

 

↑もし「誤差を求めよ」 だったら
誤差 = 近藤さん-真彦さん = 近似値-真の値 = 301.2-304.25 = -3.05g
(真の値よりどれだけ大きいか小さいか) (誤差)

 

 


  まとめ  

平均値は同じとみなす

 個々の「平均値」の大きさは 
 『同じ』とみなしてよい

  ↓
標本平均 ≒ 母集団の平均
(対象の割合の話ではなく、平均の話)

 

 

 

「図形」「関数」を乗り越えてきた私たちにとっては、「この程度?」
という「拍子抜け」感がありますね!

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

 

② 標本調査の利用

 

《 例 》
 袋の中に赤玉と白玉が合計400個入っています。これをよくかき混ぜて
20個の玉を取り出したところ、赤玉が15個、白玉が5個でした。

 

(1) 袋の中にある白玉の個数を推定しましょう

 

⇒ 確率風、割合風に考えると

「標本」の白玉の確率 = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) = \(\large{\frac{5}{20}}\) = \(\large{\frac{1}{4}}\)

「母集団」の白玉の確率(割合)も\(\large{\frac{1}{4}}\) と考えられるので

 400×\(\large{\frac{1}{4}}\) = 100   A, 100個

 

 

⇒ 相似風に考えると
母集団対象/母集団全体=標本対象/標本全体 → \(\large{\frac{母白玉}{母全}}\) = \(\large{\frac{標白玉}{標全}}\)

→ \(\large{\frac{x}{400}}\)=\(\large{\frac{5}{20}}\)
x=\(\large{\frac{400\ \cdot \ 5}{20}}\) 両辺に400をかけた
x=100   A. 100個

 

 

 H型 型でも本当に大丈夫? → ここで試してみると

対象/残り=対象/残り  → \(\large{\frac{母白玉}{母赤玉}}\) = \(\large{\frac{標白玉}{標赤玉}}\)

→ \(\large{\frac{x}{400-x}}\)=\(\large{\frac{5}{15}}\)
15x=5(400-x) (分数比の計算)
3x=400-x
4x=400
x=100 A. 100個  OKですね

(相似なら対応する辺が合っていれば何でもOKH型)

 

 

⇒ 比で考えると
白玉x:母集団400 = 白玉5:標本20 (比の計算は内側の積 = 外側の積)

→ 20x=2000
x=100   A. 100個

 

どれでも同じことですので 理解しやすい方法で!

 

 

 

(2) (このような問題は出ませんが) 20個を取り出した後(戻さずに)残った袋にある白玉の個数を推定しましょう

 

⇒ 確率は同様に\(\large{\frac{1}{4}}\)
残りの玉(400-20)×\(\large{\frac{1}{4}}\) = 95  A. 95個

 

⇒ (相似で) \(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\)

→ \(\large{\frac{x }{400-20}}\)=\(\large{\frac{5}{20}}\)
\(\large{\frac{x}{380}}\)=\(\large{\frac{1}{4}}\)
x=\(\large{\frac{380}{4}}\)
x=95   A. 95個

 

 

⇒ (1)で求めた白玉=100個を利用して、
 → 白玉5個取り出されているので   → 100-5 = 95  A. 95個

 

 

※ (1)の「袋の中にある」とは
「標本を母集団に戻した」「標本を取り出す前は」の意味になりますね
もっと親切に「袋の中にあった白玉の個数を推定しましょう」などに
してほしいかなとも思いますね

 

→ よって、「残りの~」などのワードがない限り「完全体の母集団を問われていると考えてよいですね
「調査」に重きを置いているので、
「確率」のように戻す戻さないにこだわらず、
当然、「調査対象 = 母集団 = 完全体の母集団」ということですね

 

 

 

 

《 例 》
 養殖池にいる魚の数を調査するため、40匹の魚を捕まえて、
それらに印をつけて池に戻しました
しばらくして、再び40匹を捕まえたところ
印のついた魚が2匹混ざっていました
このとき、この池には およそ何匹の魚がいると推定されるでしょうか

 

→ 数値が、\(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) のどこにあてはまるかを考えればよいだけですね

 

(再度)
養殖池にいる魚の数を調査するため、40匹の魚を捕まえて、
それらに印をつけて池に戻しました

「捕まえた」が「戻した」のでこの部分は「標本」ではないですね → 池に散っていった
\(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) の \(\large{\frac{\color{red}{40}}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) の部分になりましたね

 

しばらくして

魚が「まんべんなく散った」 → 1部取り出しても「無作為に抽出」のお墨付き
\(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) の \(\large{\frac{40}{母全}}\) \(\large{\frac{標対}{標全}}\) が保証されたということですね

 

再び40匹を捕まえたところ

40匹の抽出 \(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) の  \(\large{\frac{40}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{\color{red}{40}}}\) の部分ですね

 

印のついた魚が2匹混ざっていました

言うまでもなく  \(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) の  \(\large{\frac{40}{母全}}\) = \(\large{\frac{\color{red}{2}}{40}}\) の部分ですね

 

このとき、この池には およそ何匹の魚がいると推定されるでしょうか

母集団の全体数を聞いていますね  \(\large{\frac{母対}{母全}}\) = \(\large{\frac{標対}{標全}}\) \(\large{\frac{40}{\color{red}{x}}}\) = \(\large{\frac{2}{40}}\) の部分ですね

 

あとは解くだけ

 \(\large{\frac{40}{x}}\)=\(\large{\frac{2}{40}}\)
2x=1600
x =800 A. 800匹

 

 


  簡易計算  

例題問題 母集団の推定

 

 

もちろん
・逆数になっていてもOK \(\large{\frac{x}{40}}\) = \(\large{\frac{40}{2}}\)
( 相似なら何でもOK)

 

 

 

 

《 例 》
 瓶に豆がたくさん入っています。標本調査を利用して瓶の中の豆の総個数を
知るための方法を考えましょう

 

→ 「標本調査」を利用ですので、重さを量る「量り」は使えないですね
量りがあれば、10粒の重さから1粒の重さを求め(←1粒自体を量るより誤差が少ない)
次に、全体の重さ-瓶の重さ = 全豆の重さ
そして、  \(\large{\frac{全豆の重さ}{1粒の重さ}}\) = 総個数 ですね

 

→ 上の《 例 》と全く同じ問題ですね
∴ ① 何粒か取り出し
   ( 20粒取り出し)
印をつけて
   (その20粒を赤色に塗る)
③ 瓶に戻してよく振る

   (無作為抽出の準備)

 


  イメージ  

よく振った効果図


再び何粒か取り出し
   (標本20粒)
印のついた豆を数える
   (赤豆は2個だったとする)

 (標本全体に対する)標本の印のついた豆の割合と、(母集団全体に対する)母集団の印のついた豆の割合は同じと 考えられることを利用して総個数を求める(推測する)ことができる//
 \(\large{\frac{母対}{母全}}\)=\(\large{\frac{標対}{標全}}\)
\(\large{\frac{20}{x}}\)=\(\large{\frac{2}{20}}\)
2x=400
x=200   ∴ 200粒

 

 

 

 

《 例 》
赤、青、白の玉が、合わせて400個入った箱がある。
この箱の中から無作為に10個抽出し 赤玉、青玉、白玉の個数を調べる。
次に抽出した玉を箱に戻す。この作業を5回繰り返して下の表を得た。
このとき箱の中にある白玉の個数を推定しましょう

 

調査結果

 

→ 5回で取り出した玉の合計は
  10個×5回 = 50個

 

→ 5回で取出せた白玉の合計は
  3+3+4+4+3 = 17個

 

標本全体に対する標本内の白玉の割合は …\(\large{\frac{17}{50}}\)
∴ \(\large{\frac{x}{400}}\)=\(\large{\frac{17}{50}}\)
x=\(\large{\frac{17\ \cdot \ 400}{50}}\)
=17・8
=136   A. およそ 136個

 

もし、1回目の抽出だけで推測すると、
\(\large{\frac{白3個}{10個中}}\)   ∴ 母の白x = 400×\(\large{\frac{3}{10}}\) = 120個

 

もし、3回目の抽出だけで推測すると、
\(\large{\frac{白4個}{10個中}}\)   ∴ 母の白x = 400×\(\large{\frac{4}{10}}\) = 160個

 

5回行ったことで母の白は136個と推測

⇒ 正確性が上がったということですね

 

 

 母集団のデータをできる限り正確に推測する方法

 

「標本の大きさできる限り大きくする
 → 大きければ大きいほど「全数調査」に近づく
「標本」を抽出する回数をできる限り多くする
 → 標本を大きくすることと同じ効果が期待できる

 

この問題は②で正確性を上げようとしていますね!

 

 

 

 

 

お疲れ様でした!
その他の問題は、「問題集」で !!

ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

  
 
  
  
このエントリーをはてなブックマークに追加
  

 

 

 

 スポンサーリンク

 

2017/12/5 23:12  
 
スタディサプリ高校・大学受験講座  

スタディサプリ ENGLISH  
 
通常  

スタディサプリENGLISH