中学数学　確率

トップページ ＞ 中学2年生 ＞ 確率

 

中学1年生課程へ

中学2年生

中学3年生課程へ

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 場合の数

(2) 確 率

ア	確率の意味と求め方
イ	確率を用いた不確定な事象
・	確率総論
・	区別があるもの ないもの
・	同様に確からしいとは
・	数え方の種類
・	全通り(分母にくるもの)は「計算」で求まる
・	ぞろ目ラインがあるとどうして順列数え？
・	余事象
・	確率総論まとめ
ウ	確率の個別的な問題の研究
a	複数特徴系 (サイコロ・コイン・じゃんけん)
①	サイコロ
・	サイコロ1個
・	サイコロ2個
・	ぞろ目は出にくい
・	親中数え
・	親中数えの適用判断
・	複数特徴系の列挙のイメージ
・	サイコロ3個
・	サイコロの複合問題
・	右回り＝時計回り＝外回り
②	コイン
・	コイン2枚
・	コイン3枚
・	表裏の値がそれぞれ違う
③	じゃんけん
・	あいこは余事象
b	1特徴系 (カード・玉・くじ・人)
①	玉・カード・くじ・人
・	2個とる
1	「戻して」系
2	「袋2つ」系
3	「続けて」系
・	「続けて」系の列挙のイメージ
4	「同時に」系
・	「同時に」の列挙のイメージ
・	C/C？P/P？
5	区別がない (同じものを含む)
・	確率の乗法定理 (確率どうしのかけ算)
・	日本語の意味をはっきりさせる
・	独立とは
6	「とにかく○番目に当たる」系
・	排反とは (どういうときに足す？)
・	3個とる
7	人
c	いろいろな問題
・	最短経路の確率　(同じものを含む全順列か反復試行か)
・	宝くじの確率
d	(確率の問題文の読み方まとめ)

 

確率

 

ア　確率の意味と求め方

 

『確率』とは、ある事柄の起こりやすさ、の程度ですね

 

例えば、
サイコロ1個を投げて6の目が出れば当たりです
他の1～5の目ははずれです
1回投げて、当たりの確率は？

 

→ このようなとき、直感的に当たりの確率は\(\large{\frac{1}{6}}\)ですね
これは正確には ということですね

 

分母は「全事象(起こり得るすべての場面)」、分子は「問題文の指定する当該事象」ですね

 

当然、実際一発で6が出た！
→ 6の目が出る確率は1(100％)！ではないですね！
⇒ 確率は投げる前の「予想」です (一発で6が出たのはただの結果論！)

 

また、はずれ1～5も区別して数えていますね
「はずれ」か「当たり」の2通りではないですね

 

今回は1の目～5の目は明らかに違うと自然に区別できましたが
赤玉1個と白玉5個であっても、赤球1、白玉2、白玉3、白玉4、白玉5、白玉6、(または 赤球1、白玉1、白玉2、白玉3、白玉4、白玉5、) と区別をつけます

 

⇒ 確率は区別がないものはこちらで区別をつける

 

⇒ そして、確率も結局は「割合」なので、

 

　ですね

 

 

《 例 》 1つのサイコロを1回振って、「2」か「4」が出る確率は？

 

確率  =
「2」が出るパターン+「4」が出るパターン → 2パターン
 = \(\large{\frac{1}{3}}\) ですね

 

⇒ 確率はの答は「既約分数(最も約分された形)」で表現します
　(約分しないほうがイメージしやすいのですが・・・約分です！)

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

イ　確率を用いた不確定な事象の説明

 

〔 確率総論 〕

 

「確率」とは、その事柄の起こりやすさを数値化したものでしたね！

 

全てに区別をつけて

 

 

● 区別があるかないかの判断

 

《 区別があるもの 》
⇒ 特徴が違うもの

・	数字やアルファベットがふられたもの (サイコロ、コイン、じゃんけん、数字のふられたカード・玉など)
・	人　(男子3人といっても男子1、男子2、男子3です)
・	りんごとみかん　(名詞が違う)

 

 

その中でも、1つなのに特徴を複数もつもの (複数特徴系)

・	サイコロ　(1つで1～6の6つの特徴)
・	コイン　(1つで表～裏の2つの特徴 (≒0, 1だけの目のサイコロ))
・	じゃんけん　(1つでグー・チョキ・パーの3つの特徴(1, 2, 3だけの目のサイコロ))

 

 

ということは、1つにつき 1特徴なもの (1特徴系)

・	数字やアルファベットがふられたもの (1と書かれたカード、2と書かれた玉、3と書かれたはずれくじ など)
・	人 (女子1、女子2)

 

 

 

《 区別がないもの 》
⇒ 特徴がないもの

・	白玉3個、白いカード4枚、はずれくじ5本、フルーツ3個、みかん4個、お菓子5個、など
→	これらは確率の場面では「同様に確からしい」を確保するためにこちらで必ず区別をつける

4枚の白カード → 白カード1、白カード2、白カード3、白カード4 ← 上の「1つにつき 1特徴なもの(1特徴系)」に昇格！

 

⇒ 結局、確率の場面では「すべて異なる」ものしか扱わないということにつながりましたね、難しかった同じものを含む順列や同じものを含む組合せは扱わないということですね (ただし、数えるためのテクニックとして「同じものを含む全順列」の知識があれば、少し楽に当該事象を数えられますね(親中数え) (後述)

 

 

ex. 白玉4つから1つを選ぶ、何通り？
「確率」の場面ではない場合(「場合の数」の問題の場合)・・・
(区別がないので) 〇〇〇〇 → → 1通り

 

「確率」の問題のときは、何通り？
(区別をつけて) ①②③④ → → 4通り

 

 

※ 存在している以上 神の目では別物ではありますが「人間の目では区別できない」というだけ → 確率のときはこちらで数字などを書いて区別をつける！

 

 

 

 

● 同様に確からしい

 

「同様に確からしい」とは

 

 

すなわち、「同様に確からしい」とは、「物理的」にも「データ(統計)的」にも、
それぞれが「平等(まんべんない)」ということですね！

→	全36通りなら、36回の試行ですべて1回ずつ起こる！
→	1つ1つの事象を見たとき分母、分子がすべて同じということ

　1の目\(\large{\frac{1}{6}}\)、2の目も\(\large{\frac{1}{6}}\)、3の目も4も5も6も\(\large{\frac{1}{6}}\)、\(\large{\frac{1}{6}}\)、\(\large{\frac{1}{6}}\)、\(\large{\frac{1}{6}}\)、合計 1

 

⇒ この「同様に確か」という前提がなければ、正しい確率が求められませんので、確率の問題の大前提になります

 

 

 

 

 

 

● 数え方の種類

 

 

 

ex.
12345の玉から、続けて2回とるとき、2つの玉が2と4となるのは何通り？
→ 「続けて」より → 1回目2回目という順番がある → 並びにこだわる → 順列数え
∴ (2（1回目）, 4（2回目）)、(4（1回目）, 2（2回目）) の2通り

 

 

ex.
12345の玉から、続けて2回とるとき、1回目の玉が2、2回目の玉が4となるのは何通り？
→ 「続けて」より → 1回目2回目という順番がある → 並びにこだわる → 順列数え
∴ (2（1回目）, 4（2回目）) の1通り

 

 

ex.
12345の玉から、同時に2つとるとき、2つの玉が2と4となるのは何通り？
→ 「同時に」より → (2, 4)も(4, 2)も組合せ的に同じだ！ → 並びにこだわらない → 組合せ数え
∴ 〈2, 4〉の1通り

 

 

 

 

 

 

● 全通り(＝全事象 → 分母にくるもの)は「計算」で求まる

 

⇒ 1つにつき複数特徴(サイコロ、コイン、じゃんけん)の全事象は
(・・・)
(・・・)
(・・・)

 

次のマスも前のマスと同じ通り数分選べる → 重複順列的ですね
・ サイコロ2個の全事象は？ 　→ 62通り＝36通り
・ サイコロ3個の全事象は？ 　→ 63通り＝216通り
・ コイン3枚の全事象は？ 　→ 23通り＝8通り
・ コイン4枚の全事象は？ 　→ 24通り＝16通り
・ 3人のじゃんけんの全事象は？ 　→ 33通り＝27通り
・ 4人のじゃんけんの全事象は？ 　→ 34通り＝81通り

 

 

 

⇒ 1つにつき1特徴(人、カード、玉、くじ、みかんなど)の全事象は
()
1つ目のマスに1つしかない自分が入ったら、次のマスに自分は入れない！
ということは
次のマスは前のマスより1通りずつ減少した通り数になる → 普通順列的ですね

 

 

・ 1～6の玉6個から3つを選び並べる(＝並びにこだわる)全事象は？
　→ ()＝\({}_6 \mathrm{ P }_3\)  ＝6!の前3つ  ＝6×5×4＝120通り　(Pの意味)

 

・ 1～6の玉6個から3つを選ぶ(＝並びにこだわらない)全事象は？
　→ ()÷3!＝ \({}_6 \mathrm{ C }_3\) ＝ 6!の前3つ÷かぶりをなくすための3! ＝ \(\large{\frac{6×5×4}{3×2×1}}\) ＝ 20通り　(Cの意味)

 

 

・ 1～4のカード4枚から2枚を「選び並べる」全事象は？
　→ ()＝\({}_4 \mathrm{ P }_2\) ＝4!の前2つ ＝4×3＝12通り

 

・ 1～4のカード4枚から2枚を「選ぶ」全事象は？
　→ ()÷2!＝\({}_4 \mathrm{ C }_2\) ＝4!の前2つ÷2! ＝4×3÷2＝6通り

 

 

・ 5人から2人を「選び並べる」全事象は？
　→ ()＝\({}_5 \mathrm{ P }_2\) ＝5!の前2つ ＝5×4＝20通り

 

・ 人5人から2人を「選ぶ」全事象は？
　→ ()÷2!＝\({}_5 \mathrm{ C }_2\) ＝5!の前2つ÷2! ＝5×4÷2＝10通り

 

 

 

 

 

 

 

● ぞろ目ラインがあるとどうして順列数え？

 

→ 複数特徴のサイコロ、コイン、じゃんけんは「同様に確からしい」という前提をくずさないために(ぞろ目は少ない)、必ず順列数えでとなります。(1, 2)と(2, 1)で2通り、(表, 裏)と(裏, 表)で2通り、(グー, チョキ)と(チョキ, グー)で2通りですね
 (〈1, 2〉で1通り、〈表, 裏〉で1通り、〈グー, チョキ〉で1通りという「組合せ数え」をしてはいけない！)

 

 

→ 大が1の目、小が2の目になるのは何通り？　(1（大）, 2（小）)の1通り！
対（つい）不成立 → \(\large{\frac{対象}{全体}}\) ＝  → \(\large{\frac{順列数え}{重複順列}}\)

 

→ とにかく（・・・・）1と2の目が出るのは何通り？　(1（大）, 2（小）)＋(2（大）, 1（小）)で2通り！
対自動成立 → \(\large{\frac{対象}{全体}}\) ＝  → \(\large{\frac{親中数え}{重複順列}}\)

 

組合せ数えのようなことをすると →  や で割合がおかしくなってしまう ← ぞろ目ラインを入れて計算しても、入れずに計算しても、正確ではないということですね

 

∴ ぞろ目ラインがある → 必ず順列数え

 

 

 

 

→ この点、1特徴の人、数字を書いたカード・玉・物は、問題により並びにこだわらない「組合せ数え」でもよいときがありますね

 

・ 6個の(①②③④⑤⑥)から2個「選び」「並べる」全通りは？ →30通り！(\({}_6 \mathrm{P }_2\))

　↑ぞろ目ラインがないですね

 

→ 1回目が1番、2回目が2番は何通り？
  (1（1回目）, 2（2回目）)の1通り
対不成立 → \(\large{\frac{対象}{全体}}\) ＝  → \(\large{\frac{順列数え}{順列}}\)
そのとき、確率は？　\(\large{\frac{1}{30}}\)

 

 

→ とにかく（・・・・）1番と（・）2番は何通り？
  (1, 2)＋(2, 1) で2通り！
対自動成立 → \(\large{\frac{対象}{全体}}\) ＝  → \(\large{\frac{順列数え}{順列}}\)
そのとき確率は？　\(\large{\frac{2}{30}}\)＝\(\large{\frac{1}{15}}\)

 

 

もう少し踏み込んで…ぞろ目ラインがない → 対が自動成立するものは斜め線で折りたたんでも「同様に確か」が崩れない

 

・ 6個から2個「選ぶ」全通りは？ → 15通り！(\({}_6 \mathrm{C }_2\))

→ 「続けて」2回とって、とにかく（・・・・）1番と（・）2番は何通り？
　「並びにこだわる」→「順列数え」
→ ですが「並びにこだわらなくても結果同じ」
対自動成立 →  (\(\large{\frac{順列数え}{順列}}\))
 ＝  (\(\large{\frac{組合せ数え}{組合せ}}\)) ←割合がくずれない(約分のイメージ)
→ 組合せ数え(で楽をしてもよい) → 〈1, 2〉で1通り！
そのとき確率は？　\(\large{\frac{1}{15}}\)　(上と同じですね！)

 

 

→ 「同時に」2個とって、1番と（・）2番は何通り？
　「並びにこだわらない」 → 組合せ数え(でなければいけない) → 〈1, 2〉の1通り！
 (ルール)

 

 

 

・ ただし、分母と分子の数え方は同じ数え方ということを忘れないでくださいね！
\(\large{\frac{順列数え}{n^r}}\)〇、\(\large{\frac{順列数え}{P}}\)〇、\(\large{\frac{組合せ数え}{C}}\)〇、\(\large{\frac{順列数え}{C}}\)×、\(\large{\frac{組合せ数え}{P}}\)×

 

 

⇒ 複数特徴系のように、ぞろ目ラインがあるものは、表を折り返すと
　ぞろ目ラインは残る側？消える側？

→	どちらにしても「同様に確か」が崩れる
∴	複数特徴系 → ぞろ目ラインがある → 組合せ数えダメ → 絶対順列数え ということですね

 

 

 

⇒ 複数特徴系と1特徴系での「とにかく〈1, と2〉」の意味は全然違いますね
・ 複数特徴系の「とにかく」 → 「対」になるものも「自動成立」
　(1通りが、2通りになるイメージ)

 

・ 1特徴系の「とにかく」 → 「数え方」を「組合せ数え」にしてもいいよ
　(2通りが、1通りになるイメージ)

 

 

 

 

 

●　余事象

 

事象Aに対して、「事象Aが起こらない」という事象を、事象Aの余事象と言いますね

 

 

 

 

そして、当該事象を求めるより、余事象を求める方が楽な場合は
「1 － 余事象の確率」または「全通り－余事象」を利用しない手はないですね！

 

 

《 例 》
3枚のコインを投げて、少なくとも（・・・・・）１枚が表である確率を求めましょう

 

この「少なくとも」というフレーズが出てきたら、「余事象」を求める方が楽なことが多いですね
なぜなら、「少なくとも1枚が表」とは、 (表を0、裏を1としますね)

 

全部表の(0, 0, 0) 2枚表の(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) 1枚表の(1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) の 7通りもありますね (全事象は23＝8通りなのに)

 

 

→ 全8通り中、7通りも挙げるならそうでないパターンを挙げて、「全部－そうでない」をするほうが楽ということですね
(もちろん、パット見 当該事象とそうでない方のどっちが多いかわからないときは当該事象を挙げていけばよいだけですね)

 

 

では、「少なくとも1枚が表」の余事象は？

 

「少なくとも1枚が表」 ＝「1枚以上（・・）表」  → 余事象は「1枚未満（・・）表」(以上と超 以下と未満) → 「(枚数は整数より)0枚以下表」 → 「(枚数にマイナスはない→枚数はマイナスではない整数より)0枚表」 ＝「全部裏」ですね！

 

では「全部裏」の確率は？
サイコロのぞろ目と同じですね！  「6面体」→「2面体」になっただけですので、
→ (1, 1, 1)の1通り  → 全部裏の確率は \(\large{\frac{1}{2^3}}\)= \(\large{\frac{1}{8}}\)
∴ 本事象「少なくとも1枚が表」の確率は、 1－\(\large{\frac{1}{8}}\) = \(\large{\frac{7}{8}}\) ですね！

 

 

 

 

ですが、「簡単になる」とよく言いますが
「余事象」がなんなのかは何気に難しいですね！
練習あるのみです

 

↑3本中、2つのうち、などは前提条件です → 変化しません

 

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

確率の個別的な問題の研究

 

それでは個別的に問題を見ていきますね

 

 

 

a 複数特徴系 (サイコロ、コイン、じゃんけん)

 

①　サイコロ

 

● サイコロ1個

 

《 例 》
1つのサイコロを投げるとき、

 

 

◎全事象は何通り？
→  で6通り
→ または、マスで (  ) で6通り
→ または、計算で 61で6通り

 

 

 

◎ 3の目が出る確率は？
→ 3の目を列挙すると、(3, )の1通り
∴ 確率＝\(\large{\frac{当該事象}{全事象}}\)＝\(\large{\frac{1通り}{6通り}}\)＝\(\large{\frac{1}{6}}\)

 

 

 

◎ 4か6の目が出る確率は？
→ 4か6の目を列挙すると、(4, )(6, )の2通り
∴ \(\large{\frac{1通り+1通り}{6通り}}\)＝\(\large{\frac{2}{6}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

 

◎ 偶数の目が出る確率は？
→ 偶数を列挙すると、(2, )(4, )(6, )の3通り
∴ \(\large{\frac{1+1+1}{6}}\)＝\(\large{\frac{3}{6}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

◎ 1以上3未満の目が出る確率は？
→ 1以上3未満を列挙すると、(1, )(2, )の2通り (未満なので「3」は入らない)
∴ \(\large{\frac{1+1}{6}}\)＝\(\large{\frac{2}{6}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

◎ 2以上の目が出る確率は？
→ 2以上を列挙すると、(2, )(3, )(4, )(5, )(6, )の5通り
 ∴ \(\large{\frac{5}{6}}\)  でもよいですし
→ 余事象＝2未満＝(整数なので)　 1以下＝(1, )の1通り

 

　本事象＝全通り－余事象＝6－1＝5通り　∴ \(\large{\frac{5}{6}}\)でもよいですし
　本確率＝1－余事象の確率＝1－\(\large{\frac{1}{6}}\)＝\(\large{\frac{5}{6}}\)でもよいですね

 

 

 

 

 

● サイコロ2個　(中学確率のメイン)

 

《 例 》
2つのサイコロを同時に投げるとき、

 

 

◎ 全事象は何通り？
→ () で
6通り＋6通り＝12通り？
6通り×6通り＝36通り？どっちでしょう？

 

もうわかりますね！「×（かける）」ですね！

 

念のため確認してみると、

 

 

 

 

◎ 全事象の表を作りましょう
→ (大, 小)の順で。(赤, 白)でも(1回目, 2回目)でも何でもよいですね
　

 

 

 

 

◎ 上の表で〈2, 5〉の目になるものを黒枠、〈3, 3〉の目になるものを赤枠で囲みましょう

 

→

 

→ 〈2, 5〉は(2（大）, 5（小）)と(5（大）, 2（小）) の2通りがありますね
〈3, 3〉は(3（大）, 3（小）) の1通りしかないですね

 

 

 

 

◎ 2つ同時に投げて、和が9になる確率は？
・ 「サイコロ」より → 絶対順列数え
→ 和が9を列挙すると、(3, 6)(4, 5)(5, 4)(6, 3)の4通り
・ 全事象 ＝ 62 ＝ 36通り
∴ \(\large{\frac{4}{36}}\) ＝\(\large{\frac{1}{9}}\)

 

 

 

 

 

◎ 同じ問題です、2つ同時に投げて、和が9になる確率は？
・ 「サイコロ」より → 絶対順列数え
→ (3, +6)も(6, +3)も意味が変わらない → 親中数えOK
→ 和が9を列挙すると、〈3, 6〉〈4, 5〉＝2通り＋2通り＝4通り
・ 全事象 ＝ 62＝36通り
∴ \(\large{\frac{4}{36}}\)＝\(\large{\frac{1}{9}}\)

 

 

 

◎ 和が「5以上」になる確率は？
・ 「サイコロ」より → 絶対順列数え
・ (1, 4)(1, 5)… 結構ありそうだな
 → 余事象はどうかな？
・ 「5以上（・・）」の余事象は・・・「5未満（・・） (＝整数なら4以下)」
・ (1,＋3)も(3,＋1) も意味が変わらない → 親中数えOK和、積は親中数えOK
・ 和の範囲2～12で、「4以下」の(見本)… 2, 3, 4
→ 〈1, 1〉〈1, 2〉〈1, 3〉〈2, 2〉＝ 1+2+2+1　←親中数えですね
  = 6通り
∴ 本事象の「5以上」＝36－6 = 30通り
∴ 確率は \(\large{\frac{30}{36}}\) = \(\large{\frac{5}{6}}\)

 

 

 

 

◎ 少なくとも1つは「3より（・・）大きい」確率は？
・ 「サイコロ」より → 絶対順列数え
・ 「少なくとも」 → 余事象は？→「全部3以下（・・）」
・ (1, 2)も(2, 1) も意味が変わらない → 親中数えOK
→ どちらも3以下を列挙すると、〈1, 1〉〈1, 2〉〈1, 3〉〈2, 2〉〈2, 3〉〈3, 3〉 → 1+2+2+1+2+1= 9通り
∴ 本事象＝ 36－9 ＝ 27通り
∴ 確率は \(\large{\frac{27}{36}}\) = \(\large{\frac{3}{4}}\)

 

 

 

◎ 一方の目が「他方の約数」になる確率は？
・ 「サイコロ」より → 絶対順列数え
・ (2, 4)も(4, 2) も意味が変わらない → 親中数えOK
→ よい考えが浮かばないので「列挙」
〈1, 1〉〈1, 2〉〈1, 3〉〈1, 4〉〈1, 5〉〈1, 6〉〈2, 2〉〈2, 4〉〈2, 6〉〈3, 3〉〈3, 6〉〈4, 4〉〈5, 5〉〈6, 6〉 = 1通り×6コ＋2通り×8個= 22通り
∴ \(\large{\frac{22}{36}}\) = \(\large{\frac{11}{18}}\)

 

 

 

◎ 2つ同時に投げて、和が「偶数」になる確率は？

 

①偶数+偶数 = 偶数
②偶数+奇数 = 奇数、奇数+偶数＝奇数
③奇数+奇数 = 偶数

 

②(余事象)を羅列する方が楽そうですね
・ → も意味が同じ(対になるものも当然に成り立つ) → 親中数えOK
・ 2つのサイコロの和の範囲 最小2～最大12
・ その中で奇数になるものは？(見本) 3, 5, 7, 9, 11
→ (見本)を見ながら列挙すると、
　〈1, 2〉〈1, 4〉〈2, 3〉 〈1, 6〉〈2, 5〉〈3, 4〉〈3, 6〉〈4, 5〉〈5, 6〉 ＝ 2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 18通り ←親中数えですね
∴ 本事象 ＝ 36－18 ＝ 18通り
∴ \(\large{\frac{18}{36}}\)＝\(\large{\frac{18}{36}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)
結果、半分なので偶数を数えてもよかったですね

 

 

 

◎ 2つの目の積が「偶数」になる確率は？

 

①偶数×偶数=(2×2=)偶数
②偶数×奇数=(2×3=)偶数
③奇数×奇数=(3×3=)奇数
③で数える方が数えやすいかな？

 

→ (奇, 奇)を列挙すると、() = 9通り(奇数になる目の出方)
　∴ 本事象の偶数＝ 36－9 = 27通り
　∴ 確率は \(\large{\frac{27}{36}}\) = \(\large{\frac{3}{4}}\)

 

 

 

 

◎ 大小2つのサイコロを同時に投げて、大きいサイコロの出た目の数をa、小さいサイコロの出た目の数をbとするとき、方程式 x2=ab の2つの解がともに整数となる確率は？　(整数とは)

 

・ x2=ab → x=±\(\small{\sqrt{ab}}\) → √が残らないa,bは？ → abの積が平方数になるのは？　(3年：平方根の求め方)
・ (1,×4)も(4,×1) も意味が変わらない → 親中数えOK
・ a×bの範囲は1～36　(見本)は、12＝1、22＝4、32＝9、42＝16、52＝25、62＝36
→ 〈1, 1〉〈1, 4〉〈2, 2〉〈3, 3〉〈4, 4〉〈5, 5〉〈6, 6〉 =1+2+1+1+1+1+1 =8通り
　∴ \(\large{\frac{8}{36}}\)＝\(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

 

《 例 》
1個のサイコロを続けて2回投げるとき、

 

◎ 下の全事象の表から1回目の目が2、2回目の目が5になるものを囲みましょう

 

→ 「同時に投げる」とにかく系と違い いつもセットの(5（大）, 2（小）)が排除されていますね！

 

 

 

◎ 1回目に出る目から2回目に出る目をひいた値が負の数になる確率は？

 

・ 1回目＜2回目ということですね
・ (1,＜2)も(2,＜1) で意味が違う(対になるものは当然には成り立たない) → 親中数えダメ
→ 上の表を利用すれば、ぞろ目斜め線より右側にあるもの達ですね＝15通り

 

→ 列挙するなら、(1のとき, 2 3 4 5 6)の5通り +(2のとき, 3 4 5 6)の4通り +(3, 4 5 6)の3通り +(4, 5 6)の2通り +(5, 6)の1通り ＝15通り
　∴ \(\large{\frac{15}{36}}\)＝\(\large{\frac{5}{12}}\)

 

 

 

◎ 出る目の積が3の倍数になる確率は？

 

・  も意味が変わらない → 親中数えOK
 → もう同時に投げるとにかく系となんら変わりませんね
・ 2つのサイコロの積の範囲 1～36
　(見本は) 3の倍数 → 因数に「3」を含むもの → 「3」と「6」が絡んでいるもの
→ 〈1, 3〉〈1, 6〉〈2, 3〉〈2, 6〉〈3, 3〉〈3, 4〉〈3, 5〉〈3, 6〉〈4, 6〉〈5, 6〉〈6, 6〉 ＝2+2+2+2+1+2+2+2+2+2+1 ＝20通り
　∴ \(\large{\frac{20}{36}}\)＝\(\large{\frac{5}{9}}\)

 

(別解)
余事象は「3の倍数でない」 ＝ 「因数に3を含まない」 ＝ 「3, 6 を使わない」
→ (3の目6の目を除いた×4×3の目6の目を除いた×4)＝ 16通り

 

→ 本事象 ＝ 36－16 ＝ 20通り
　∴ \(\large{\frac{20}{36}}\) ＝ \(\large{\frac{5}{9}}\)

 

 

 

 

 

◎ 1つのサイコロを2回投げるとき、1回目に出た目の数が、2回目に出た目の数の倍数となる確率は？

 

・	1回目≧2回目であること、(4,≧2)と(2,≧4) で意味が違う → 親中数えダメ

・ 1倍も倍数
→ (1, 1) (2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 3) (4, 1) (4, 2) (4, 4) (5, 1) (5, 5) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 6) → 14通り
　∴ \(\large{\frac{14}{36}}\)＝\(\large{\frac{7}{18}}\)

 

 

 

◎ 大小2つのサイコロを同時に1回投げる。大きいサイコロの出た目の数をa、小さいサイコロの出た目の数をbとする。
　このとき、\(\large{\frac{2a+b}{3}}\)の値が整数である確率を求めなさい

 

・ \(\large{\frac{2a+b}{3}}\)＝整数 → 2a+b=3・整数 → 2a+bが3の倍数
・ (2×1,＋4)＝6と(2×4,＋1)＝9 → 意味が異なる → 親中数えダメ

 

2a+b が3の倍数ならよいということ、 3, 6, 9, 12, 15 18, 21…当てはめて順次確認するしかないですね
(aに1入れて…2、2+bが3になるのは1、6になるのは4、9になるのは7(7は6以上でout、次はaに2入れて・・・)
(1, 1) (1, 4) (2, 2) (2, 5) (3, 3) (3, 6) (4, 1) (4, 4) (5, 2) (5, 5) (6, 3) (6, 6) ＝12通り
　∴ \(\large{\frac{12}{36}}\)=\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

● 複数特徴系の「樹形図」「表」「列挙」について

 

中学の確率の問題の解き方は、
・ 「樹形図」の完成 → あてはまるものをpick outという手順が原則となりますが、
実際1日3個も樹形図を書くと嫌になってきますね → 練習量の不足 → 確率の苦手意識につながる可能性大

 

 

親子中学では
・ 「数え方の判別(順列数えか組合せ数えか)」 → 「列挙」 → 「全事象は計算」という手順で解いていきますね

 

→	列挙はわかってくると(慣れてくると)、楽しくなってくる
→	楽しければ多くの問題をこなせる
→	列挙ができるということは、樹形図をなぞっていることと同じ プラス同時にpick out作業もしているということ
→	列挙ができる ＝ 樹形図は書こうと思えばいつでも書ける ということになります
→	「答えを求めるまでの過程も書け」という問題のときだけ樹形図を書けばよいですね

 

 

その列挙がよく分からないないのですけど・・・

 

 

〔複数特徴系の列挙〕

 

《 例 》　
サイコロA, Bを投げるときの全事象は何通り？

 

まずは、サイコロの数字
「1　2　3　4　5　6」を書いて
分かりにくければ
「1　2　3　4　5　6－1　2　3　4　5　6」　と2つ書いて・・・

 

 

⇒ 複数特徴系の列挙は
・ 見本の数字と
・   なフサフサが右に動いていくイメージでOKですね

 

→ 複数特徴系でもコインは「表(0)」と「裏(1)」しかないので、もっと楽なイメージがありますので、後ほど説明しますね
　じゃんけんは、数字の「値」より「勝ち負け」に注目しますので、独特な数え方が主流になります、こちらも後ほど。

 

 

 

 

 

● サイコロ3個

 

公立高校入試では2個までと思われますが念のため
3個までくると樹形図はおろか表も書いていられないですね

 

《 例 》
3つのサイコロを同時に投げるとき、

 

◎ 全事象は何通り？

 

→ ()＝6×6×6＝216通り　

 

63＝216 憶えてしまいたいですね！

 

 

 

 

◎ 和が「5」になる確率は？

 

・ 「和」 → 親中数えOK
・ 〈1, 1, 3〉 〈1, 2, 2〉  → \(\large{\frac{3!}{2!}}\)通り+\(\large{\frac{3!}{2!}}\)通り  = 3+3 ←親中数えですね  = 6通り
　∴ \(\large{\frac{6}{216}}\)＝\(\large{\frac{1}{36}}\)

 

 

 

◎ 積が「6」になる確率は？

 

・ 「積」 → 親中数えOK
・ 〈1, 1, 6〉 〈1, 2, 3〉  = 3+6  = 9通り
∴ \(\large{\frac{9}{216}}\) = \(\large{\frac{1}{24}}\)

 

 

 

◎ 少なくとも「2個同じ」になる確率は？

 

→ 「少なくとも」とくれば「余事象を考える」でしたね
「少なくとも2個同じ」 ＝「少なくとも2個以上同じ」  ⇒ 余事象は…「2個未満同じ」 ＝ 目は整数より「1個以下同じ」 ＝「全て異なる」

 

→ なつかしい「普通の順列」を流用して  → ()←1マス目には6～1、2マス目には1マス目で使ったもの以外、3マス目には、それまでに使ったもの以外＝結果出来上がった3つの数字はすべて異なっていますね  → \({}_6 \mathrm{P }_3\)  = 6×5×4  = 120通り
∴ 当該事象は  216－120 = 96通り　(96通りは完全ぞろ目や2個ぞろ目)
∴ 確率は \(\large{\frac{96}{216}}\) = \(\large{\frac{4}{9}}\)

 

 

◎ 積が「5の倍数」になる確率は？

 

→ 因数に「5」が1つでもあると5の倍数になってしまいますので
余事象「5が1つも出ない」を考える方が楽ですね
→ 1～6の目から「5」を除くと
1, 2, 3, 4, 6 の5通り  → ()= 125通り
∴ 当該事象は  216－125 = 91通り
∴ 確率は \(\large{\frac{91}{216}}\)

 

 

◎ 積が「4の倍数」になる確率は？

 

→ 倍数系は余事象が楽ですね  → 余事象は「4の倍数でない」
4(=22)の倍数でないは、因数に4すなわち「2を2個」含んではダメということですね

 

 

　∴ 当該事象は  216－81 = 135通り
　∴ 確率は \(\large{\frac{135}{216}}\)＝\(\large{\frac{5}{8}}\)

 

 

 

◎ 積が「奇数」になる確率は？

 

→ 「奇数」×「奇数」×「奇数」のように全て奇数の場合のみ「奇数」ですね
よって、  3通り×3通り×3通り  = 27通り
∴ 確率は \(\large{\frac{27}{216}}\) = \(\large{\frac{1}{8}}\)

 

 

 

◎ 順に3回投げる、1回目の目＞2回目の目＞3回目の目となるのは？

 

→ 実は654321の異なる6つから異なる3つをその場で選ぶことと同じ意味ですね

 

ex. と選んでもと選んでも、同じものが含まれていないので自然に大中小になっていますね (普通組合せ：型のイメージ)
なるほど～ですね！
よって、\({}_6 \mathrm{C }_3\)  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 20通り
∴ 確率は \(\large{\frac{20}{216}}\) = \(\large{\frac{5}{54}}\)

 

 

 

 

 

● サイコロとの複合問題

 

〈 1回目の状態を図に書き込める問題 〉

 

《 例 》
図1のような正五角形ABCDEがあり、点Pは、頂点Aの位置にある。1個のサイコロを2回投げて、次の規則に従ってPを移動させる

 

例えば、1回目に3の目が出て、2回目に2の目が出たとすると、Pは図2のように動き、頂点Bに移動する。
この規則に従ってPを移動させるとき、Pの最後の位置がAである確率を求めましょう。

 

→ 「1回目左、2回目右」より → (2, 3)→E と(3, 2)→B で意味が変る → 親中数えダメ

 

∴ Bの(2×（につき）2)の4通り＋Cの1通り+D1+E1+A1＝8通り
 ・ 全事象＝サイコロ2個 ＝62 ＝36通り
∴ \(\large{\frac{8}{36}}\) ＝ \(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

 

《 例 》
下の段から順に1から8の番号をつけた階段があります。1から6までの目が出るサイコロを投げ、
奇数の目が出たときは、その目の数だけ階段を上がり、
偶数の目が出たときは、その目の数に関係なく1段だけ階段を下ります。
ただし、8番の段に達したときに、階段を上がる数が残っていれば、8番の段から残っている数だけ1ずつ階段を下ります。例えば、6段の段にいるときに5の目が出た場合、2段上がると8番の段に達します。階段を上がる数が3残るので、3段下りて5番の段につきます

 

 

奇数は出た目の分上、偶数は1段下ということを再確認してシミレーション

 

 

 

 

 

《 例 》
点PがAを出発点として、サイコロの出た目により右回りに進みます

 

 

(1) 1回ふって、元のAで止まる確率は？

 

(「1回ふる」も「1個のサイコロ」も同じことですね)
八角形 → サイコロの最大の目、6 → 最大でも点Gまでしか行けない
∴ 確率は 0

 

 

(2) 2回ふって、その和だけ進むとき、元のAで止まる確率は？

 

＜ということは＞
→ これくらいなら1回目を書き込まなくてもできそうですね
2個の出目の「和」が、8の倍数 ← 最大6+6 = 12なので
→ 和が8の倍数を列挙すると、  〈2, 6〉〈3, 5〉〈4, 4〉
　→ 2+2+1 = 5 通り ←親中数えですね
・2個のサイコロの全事象は  → 6×6 = 36通り
∴ 確率は \(\large{\frac{5}{36}}\)

 

 

(3) 2回ふって、その積だけ進むとき、元のAで止まる確率は？

 

＜ということは＞
2個の出目の「積」が、8の倍数
→ 積が8の倍数を列挙すると、 〈2, 4〉〈4, 4〉〈4, 6〉 ＝ 2+1+2 = 5 通り
・2個のサイコロの全事象は36通り
∴ \(\large{\frac{5}{36}}\)

 

 

(4) 3回ふって、その和だけ進むとき、元のAで止まる確率は？

 

＜ということは＞
3個の出目の「和」が、8の倍数
 ←最 大6+6+6=18なので
→ 3個の和が8の倍数を列挙すると、
〈1, 1, 6〉〈1, 2, 5〉〈1, 3, 4〉〈2, 2, 4〉〈2, 3, 3〉和が8はここまで
和が16は  〈4, 6, 6〉〈5, 5, 6〉
よって、3+6+6+3+3+3+3 = 27通り ←親中数えですね
・3個のサイコロの全事象は 216通り
∴ \(\large{\frac{27}{216}}\) = \(\large{\frac{1}{8}}\)

 

 

(5) 3回ふって、その積だけ進むとき、元のAで止まる確率は？

 

8の倍数は、8, 16, 24…216まで挙げていられないですね！
＜ということで＞
8 = 23 = 2×2×2 → 因数に「2」を3つ以上持てばよいですね(3つ以上あるものは8の倍数)
前提として
2 = 2　…1個
4 = 2×2　…2個
6 = 2×3　…1個
〈1, 2, 4〉〈1, 4, 4〉〈1, 4, 6〉〈2, 2, 2〉〈2, 2, 4〉〈2, 2, 6〉〈2, 3, 4〉〈2, 4, 4〉〈2, 4, 6〉〈3, 4, 4〉〈3, 4, 6〉〈4, 4, 4〉〈4, 4, 5〉〈4, 4, 6〉〈6, 6, 6〉=6+3+6+1+3+3+6+3+6+6+3+6+1+3+3+1=60通り
・ 全事象 ＝ サイコロ3つ＝216通り
∴ \(\large{\frac{60}{216}}\)= \(\large{\frac{5}{18}}\)

 

(樹形図なら)

 

 

∴ 確率は \(\large{\frac{60}{216}}\) = \(\large{\frac{5}{18}}\)

 

 

 

 

 

〈 1回目の状態を図に書き込めないような問題 〉

 

《 例 》

 

 

①	大きいサイコロの出た目の数が4、小さいサイコロの出た目が3であるとき、6マスのマス目に置いてある白い碁石は何個でしょう

 

→ 　(4, 3)のとき → アで(〇〇●〇●●) → イで(〇〇〇〇●●) 　　∴ 白は4個

 

 

②	6マスのマス目に置いてある白い碁石が3個となる確率を求めましょう

 

 

→ アだけの状態を面倒でも書き出すと

 

(約数は1を含む、因数は1を含まない)

→	イの操作(出た目の石の色を取り替える)で　「白が3個」になるのは → 書き出しを利用してシミレーション 　(大1のとき, 小が…なし)、(大2のとき, 小が…3 4 5 6の時白3個)、(3, 2 4 5 6)、(4, なし)、(5, 2 3 4 6)、(6, 1 2 3 6)
∴	4通り＋4通り＋4通り＋4通り＝16通り
・	全事象 ＝ サイコロ2個＝62＝36通り

∴ \(\large{\frac{16}{36}}\)＝\(\large{\frac{4}{9}}\)

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

②　コイン

 

 

 

 

● コイン2枚

 

《 例 》
2枚の硬貨を同時に投げるとき、

 

◎ 全事象を樹形図と表で求めましょう

 

→ 　　
　1つにつき枝が2本と少ないので樹形図もありですね
 ⇒ マスより2通り×2通り＝4通り
　　樹形図より末端を数えて4通り
　　表より4セルで4通り
　　計算なら 22＝4通り

 

 

 

 

◎ 1枚が表、1枚が裏になる確率は？

 

・ 「硬貨」より → 絶対順列数え
 → サイコロでいう〈1, 2〉の目の出方ですね
(表（A）, 裏（B）) (裏（A）, 表（B）) の2通り
　∴ \(\large{\frac{2}{4}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

◎ どちらも表になる確率は？

 

→ サイコロでいう〈1, 1〉のぞろ目の出方ですね
　〈0, 0〉 の1通り
　∴ \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

 

 

《 例 》
1枚の硬貨を2回投げる

 

◎ 1回目（・）は表、2回目（・）は裏の確率は？

 

・ 「硬貨」より → 絶対順列数え
→
 指定に「意味がある」ので → 親中数えダメ(表（1回目）, 裏（2回目）)で1通り
　∴ \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

 

 

◎ 1回は表、もう1回は裏の確率は？

 

→ 1回目（・）の「目」がないので「ならび」にこだわっていないということになります。「1回は～、もう1回は～」を「一方は～、他方は～」と読み換えれば「こだわっていない」と分かりやすいかもしれませんね
　∴ サイコロのとにかく系と同じなので、〈0, 1〉の2通り
　∴ \(\large{\frac{2}{4}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

● コイン3枚以上

 

《 例 》
3枚の硬貨を同時に投げるとき、

 

◎ 全事象は何通り？

 

→ 計算で、23＝8通り
→ 全列挙で、
・ 全部表(0（A）, 0（B）, 0（C）)
・ 1枚裏(0, 0, 1)(0, 1, 0)(1, 0, 0)　←1が左に移動していくイメージ
・ 2枚裏(0, 1, 1)(1, 0, 1)(1, 1, 0)　←1が順次左に移動していくイメージ  (または0が右に移動していくイメージ)
・ 全部裏(1, 1, 1) の合計8通り
↑3枚の全列挙は10秒くらいで書けるようになりたいですね！

 

 

 

◎ 2枚が表、1枚が裏の確率

 

→ 〈0, 0, 1〉=\(\large{\frac{3!}{2!}}\)=3通り　(親中数え)
　↑サイコロの目と思って列挙する
　(ちゃんと列挙すると (0（A）, 0（B）, 1（C）) (0, 1, 0) (1, 0, 0)ですね)
→ 樹形図なら　→ 3通り
　∴ \(\large{\frac{3}{8}}\)

 

 

 

◎ 2枚以上表が出る確率は？

 

→ 〈0, 0, 0〉 〈0, 0, 1〉=1+3=4通り
　∴ \(\large{\frac{4}{8}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

◎ 少なくとも1枚は表が出る確率は？

 

→ 「少なくとも」といえば余事象を考えるでしたね
　余事象は「全部裏」ですね
　余事象＝〈1, 1, 1〉=1通り
∴ 当該事象＝全8通り－余事象1通り＝7通り
　∴ \(\large{\frac{7}{8}}\)

 

 

《 例 》
1枚の硬貨を5回投げるとき、少なくとも1回は裏が出る確率は？

 

→ 余事象は「全回表」 → (0, 0, 0, 0, 0) の1通り
・ 全事象は25＝4×4×2＝32通り
∴ 当該事象＝32－1＝31通り
　∴ \(\large{\frac{31}{32}}\)

 

 

《 例 》
1枚の硬貨を4回投げるとき、表が2回、裏が2回出る確率は？

 

→ とにかく 表2 裏2
→ 〈0, 0, 1, 1〉=\(\large{\frac{4!}{2!\ \cdot \ 2!}}\) (または\(\small{{}_4 \mathrm{ C }_2}\)) ＝6通り ←親中数え
↑コインは表裏の「2種類しかない」ので、〈0, 0, 1, 1〉を『1例』と見て、これの並び替え分とするのが楽ですね　\({}_4 \mathrm{C }_2\)＝6通り
・ 全事象 ＝ 硬貨4回 ＝ 24 ＝ 16通り
　∴ \(\large{\frac{6}{16}}\) ＝ \(\large{\frac{3}{8}}\)

 

 

 

表裏の値がそれぞれ違う

 

ここまでは、表(0)、裏(1)だけでしたが
表A(0)に値、表B(0)にそれぞれ値があるというだけですね

 

《 例 》
100円玉，50円玉，5円玉がそれぞれ1枚ずつあります。この3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る硬貨の合計金額について、

 

◎ 20円以上150円以下になる確率

 

→ 表のときは額面、裏のときは0円という数え方ですね

 

(100円, 50円, 5円)の順に、全事象とついでに合計金額をシミレーションすると

 

(0, 0, 0) → 155円 (全部表群) ← 簡易表の をなぞった

 

(0, 0, 1) → 150円 (1枚裏群)
(0, 1, 0) → 105円 ←
(1, 0, 0) → 55円

 

(0, 1, 1) → 100円 (2枚裏群)
(1, 0, 1) → 50円
(1, 1, 0) → 5円

 

(1, 1, 1) → 0円 (全部裏群)

 

左が「列挙」 → 右が「当てはめ」⇒ 分離するのがコツですね
列挙がまだ厳しいという場合は…「樹形図」になります

 

 

∴ 20円以上150円以下は、数えて5通り
・ 3枚の全事象は23＝8通り
　∴ \(\large{\frac{5}{8}}\)

 

 

 

◎ 金額の合計が10でわり切れない確率

 

→ 上の列挙を利用して、155, 105, 55, 5 の4通り
　∴ \(\large{\frac{4}{8}}\)＝\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

《 例 》
50円，10円，5円の硬貨が1枚ずつある。この3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る硬貨の金額の合計について、

 

◎ 60円 になる確率は？

 

→ 60円になるのは(0, 0, 1)の1通り
　∴ \(\large{\frac{1}{8}}\)

 

 

◎ 55円以上になる確率は？

 

→ 余事象「55円未満(50円以下)」でいくか…予想がつかないので本事象でいきますね
　55円以上になるのは(50, 10, 5) の順で
　(0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (0, 1, 1はOUT) (1, …OUT)　そして、それぞれに金額設定があるので親中数えはしてはいけない
　∴ 3通り
　∴ \(\large{\frac{3}{8}}\)　↑コイン3枚くらいなら全事象を列挙してしまう方が間違いがないかもしれませんね

 

 

 

《 例 》
いろいろな種類の硬貨を同時に投げて、表が出た硬貨の合計金額を計算する。
次のような場合において、合計金額が100円より少なくなる確率は？

 

◎ 100円硬貨1枚，50円硬貨1枚，10円硬貨1枚

 

→ 余事象「100円以上」でいきますね。(100, 50, 10) の順で
　(0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (0, 1, 1) (1…OUT
　∴ 4通り、本事象は8-4＝4通り
　∴ \(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

◎ 100円硬貨1枚，50円硬貨2枚

 

→ 本事象100円未満は (100, 50, 50) の順で
　(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, OUT　(1, 0, 0 OUT
　∴ 3通り
　∴ \(\large{\frac{3}{8}}\)

 

 

 

〔コインの列挙イメージ〕

 

《 例 》
コイン5枚を投げるときの全事象は？

 

→ サイコロをよりシンプルにした「0(表)」と「1(裏)」の2種類しかないので
「フサフサ(  )」が動くイメージよりも、「0」と「1」で、適当に1例を挙げて 並び方は何通りかをCで調べる のが楽ですね (Cの3つのイメージの1つ「型」)

 

再度、5枚の全事象は？

 

動き方を無理に覚えなくても、自分でかぶりがないように数えようとすると、このような動きになるかと思います

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

③　じゃんけん

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》

・	2人でじゃんけんをして、「Aさんがグーで」(1人)勝つ確率は？
→	A(名指し)がグー(1山)で勝つ \(\large{\frac{(グーの)\color{red}{1}(手)}{3^2}}\)×(Aさんの)1(人) ＝ \(\large{\frac{1}{3\ \cdot \ 3}}\)×1 ＝ \(\large{\frac{1}{9}}\)

 

 

・	2人でじゃんけんをして、「Aさんがグーかチョキで(2山)」(1人)勝つ確率は？
→	A(名指し)がグーかチョキで勝つ \(\large{\frac{(グーチョキの)\color{red}{2}}{3^2}}\)×1 ＝ \(\large{\frac{2}{3\ \cdot \ 3}}\)×1 ＝ \(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

・	2人でじゃんけんをして、「Aさんが」(1人)勝つ確率は？
→	A(名指し)が全手で勝つ \(\large{\frac{(グーチョキパーの)\color{red}{3}}{3^2}}\)×1 = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3}}\)×1 = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

・	2人でじゃんけんをして、「どちらかが」勝つ確率は？
→	誰か1人が全手で勝つ(〇（A）, ●（B）)(●（A）, 〇（B）) ←1例(〇, ●)の並び数でしたね \(\large{\frac{3}{3^2}}\)×\({}_2 \mathrm{C }_1\)= \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3}}\)×2 = \(\large{\frac{2}{3}}\)

 

 

・	2人でじゃんけんをして、「Aさんが」負ける確率は？
→	2人なのでAが全手で1人負け＝1人勝ちと同じ確率 \(\large{\frac{(グーチョキパーの)3}{3^2}}\)×1 = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3}}\)×1 = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「Aさんが」「グー」で1人勝ちする確率は？
	\(\large{\frac{1}{3^\color{red}{3}}}\)×(名指しの)1 = \(\large{\frac{1}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)×1 = \(\large{\frac{1}{27}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「Aさんが」1人勝ちする確率は？
	\(\large{\frac{\color{red}{3}}{3^3}}\)×(名指しの)1 = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)×1 = \(\large{\frac{1}{9}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「Aさんが」勝つ確率は？
→	Aの1人勝ちではなく、とにかくAが勝っているですね
	Aの1人勝ち(〇（A）●（B）●（C）)＋Aを含む誰か2人勝ち｛〇（A）┃(〇（B）●（C）)｝｛〇┃(●〇)｝

\(\large{\frac{3}{3^3}}\)×(A1人勝ちの1 ＋(A決定の)1×(残りの2人の1人)\({}_2 \mathrm{C }_1\)) ＝ \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×(1通り+2通り) ＝\(\large{\frac{9}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)  ＝ \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「AさんとBさんが」勝つ確率は？
	＝「Cさんが1人負け」→ (〇（A）〇（B）●（C）)1通り \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×1 = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)×1 = \(\large{\frac{1}{9}}\) または、名指しのABの2人勝ち → (〇〇●)1通り \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×1 ＝ \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{9}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「(誰か)2人が」勝つ確率は？
→	(〇〇●)の\({}_3 \mathrm{C }_2\) (\({}_3 \mathrm{C }_1\)でも同じことでしたね)　(\({}_n \mathrm{C }_r\)＝\({}_n \mathrm{C }_{n-r}\)) \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×\({}_3 \mathrm{C }_2\)= \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×\({}_3 \mathrm{C }_1\) = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)×3 = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

・	3人でじゃんけんをして、「(誰か)2人が」負ける確率は？
→	「負ける確率」は「勝つ確率」と全く同様でしたね \(\large{\frac{3}{3^3}}\)×\({}_3 \mathrm{C }_2\) = \(\large{\frac{3}{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 3}}\)×3 = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
A, B の2人がじゃんけんをして、Aさんが勝つ確率は？
ただし、答を求めるまでの過程も書け

 

→	このような問題は、じゃんけんに関わらず、複数特徴系、1特徴系でも、中学では
①	簡単な条件設定(自分のやりやすいように)
②	樹形図
③	条件に合ったものを数えて、結論　というのが書き方の定番ですね

 

たとえば、

①	・	3つの白玉をそれぞれ1, 2, 3 と区別する
	・	大きいサイコロの目が2、小さいサイコロの目が3のとき、(2, 3)と表すとする　(等々、自由に設定)

 

→ Aがグー、Bがパーのとき、(グー, パー)と表すとする
② 2人の手の出し方を樹形図で表すと
　
全ての場合は、(末端を数えて)9 通りあり
このうち、Aが勝つのは〇をつけた (グ、チ)(チ、パ)(パ、グ)の3通りである
③ したがって、求める確率は　\(\large{\frac{3}{9}}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\)
(もちろん①②③のような番号は不要です)

 

 

解答欄が答のみなら、中学生でも公式OKですね
名指し組の勝つ確率  = \(\large{\frac{「何手」 }{全事象}}\)×1  → \(\large{\frac{「全手で」}{全事象}}\)×1  = \(\large{\frac{3}{3^\color{red}{2}}}\)×1  = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
ABCDの4人がじゃんけんをして、誰か1人が勝つ確率は？

 

→ \(\large{\frac{全手の3}{3^4}}\)×\({}_4 \mathrm{C }_1\) ＝ \(\large{\frac{1}{27}}\)×4 ＝\(\large{\frac{4}{27}}\)

→	\({}_4 \mathrm{C }_1\)の内訳(〇●●●)(●〇●●)(●●〇●)(●●●〇)計4通り

 

 

《 例 》
ABCDの4人がじゃんけんをして、Aが勝つ確率は？

 

→ とにかくAが勝っていればよい

→	Aの1人勝ち(〇●●●) ＋Aを含む2人勝ち{〇┃(〇●●),　〇┃(●〇●),　〇┃(●●〇)}＋Aを含む3人勝ち{〇┃(〇〇●),　〇┃(〇●〇),　〇┃(●〇〇)}

→	\(\large{\frac{全手の3}{3^4}}\)×(1人勝ちの1通り+(1×\({}_3 \mathrm{C }_1\))+(1×\({}_3 \mathrm{C }_2\) )) ＝\(\large{\frac{1}{27}}\)×(1+(3)+(3)) ＝\(\large{\frac{7}{27}}\)

 

 

 

《 例 》
ABCDの4人がじゃんけんをして、ABの2人だけが勝つ確率は？

 

→ AB(名指し)の2人勝ち
→ 名指し ＝ \(\large{\frac{全3手}{3^4}}\)×1 ＝ \(\large{\frac{1}{27}}\)

 

(ABの2人が勝つなら)

→	AB2人勝ち(〇〇●●)+ABを含む誰か3人勝ち(〇〇┃〇●)(〇〇┃●〇)

 

 

 

あいこ

 

「あいこ」は、余事象というのは、
参加人数が増えてくると、「あいこ」の場合の数が数えきれないほど
たくさんの種類があるからですね

 

例えば5人のあいこは、  (〇〇〇〇〇)  (△△△△△)  (□□□□□)  (〇〇〇△□)  (〇〇〇□△)・・・重複順列の「空室2つはOK(全員グーの部屋など)、空室1つはNG(全員グーかチョキの部屋など)」分→(全部屋選ぶ－2部屋選ぶ) ←これを計算すると153通りもありますね

 

そこで余事象！

 

 

 

《 例 》
5人でじゃんけんをして、「あいこ」になる確率は？

 

あいこの確率= 1－誰かが〇人勝ちの確率  ＝ 1－(誰かが1人勝ち +誰かが2人勝ち +誰かが3人勝ち +誰かが4人勝ち)

 

 

 

《 例 》
4人でじゃんけんをしてあいこになる確率は？

 

・ あいこの余事象は→「誰かが勝つ」

→	誰かが勝つ＝誰か1人勝ち＋誰か2人勝ち＋誰か3人勝ち

　＝3手×\({}_4 \mathrm{C }_1\)＋3×\({}_4 \mathrm{C }_2\)＋3×\({}_4 \mathrm{C }_3\)
　＝3×4＋3×6＋3×4
　＝12＋18＋12
　＝42通り
・ 全事象＝34＝81通り
∴ 本事象の「あいこ」＝81-42＝39
∴ \(\large{\frac{39}{81}}\)＝\(\large{\frac{13}{27}}\)

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

b 1特徴系 (カード、玉、くじ、人など)

 

 

 

 

1特徴系はすべて同じ問題

 

1特徴系には、カード、玉、くじ、人などがありますが
すべて同じ問題といってもよいですね

 

〈区別がある問題では〉
ex. 1～6までの数字が1つずつ書かれたカードがある
123456　などは

 

〇で囲めば、①②③④⑤　玉の問題
カードにひもをつければ、くじの問題
ゼッケンと見れば、人の問題　ですね

 

 

〈区別がない(同じものを含む)問題では〉
1が書かれたカードが4枚、2が書かれたカードが2枚ある
111122　などは

 

〇〇〇〇●●　白玉4個、赤玉2個な、玉の問題
外れ4本、当たり2本な、くじの問題
両親、子4人な、人の問題と同じことですね

 

⇒ これらは、新たに区別をつけるだけですね！
　

 

 

 

 

 

①　カード・玉・くじ・人

 

● 1個とる

 

《 例 》
1から9までの整数を1つずつ書いた9枚のカードから1枚を引くとき、それが3の倍数のカードである確率を求めましょう

 

→ 3の倍数を列挙すると、(3, )(6, )(9, ) の3通り
・全事象＝ ＝ 9通り
∴ \(\large{\frac{3}{9}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
赤玉2個、白玉4個が入った袋から1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率を求めましょう
また、1回で赤玉を取り出したときの残りの玉の状態を図で示しましょう
　●●○○○○

 

・ ●●○○○○を●（1）●（2）○（3）○（4）○（5）○（6）と区別して
→ 赤玉を列挙すると、(1, )(2, ) の2通り
・ 全事象＝6通り
∴ \(\large{\frac{2}{6}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)
残りの状態図は、●○○○○
「1個をとる」くらいなら区別をつけなくても、6個中2個が赤 → \(\large{\frac{2}{6}}\)とわかりますね

 

 

 

《 例 》
総数6本のくじがある。そのうち1等は1本、2等は2本あり、それ以外はからくじである。この6本のくじから1本ひくとき、2等に当たる確率を求めましょう
122　　　

 

・ 1つ取るときは、もう区別をつけなくても見ただけで数えられるので
→ 全6本中、2等は2本 → ∴ \(\large{\frac{2等は2本}{6本につき}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
男子3人、女子2人からクラス委員を1人選ぶとき、男子が選ばれる確率を求めましょう

 

・ 「人」は絶対的に区別がある → 男（1） 男（2） 男（3） 女（4） 女（5） である
→ 男を列挙すると、(1, )(2, )(3, ) の3通り
・ 全事象 ＝ 5通り
∴ \(\large{\frac{3}{5}}\)

 

 

 

 

 

 

● 2個とる　(中学確率のメイン)

 

【 区別がある 】

〈1〉 「戻して」系

 

 

 

《 例 》

袋の中に3, 4, 5, 6, 7 の数字が1つずつ書かれた5枚のカードが入っています。袋の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数をaとします。取り出したカードを袋の中にもどして、もう1回袋の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数をbとするとき、10a+b の値が3の倍数となる確率を求めましょう

 

・	「戻して」というフレーズより → ＝サイコロ → 順列数え
・	片方だけ10倍 → 親中数えダメ
→	34567　→ 10a+bが3の倍数(各位の和が3の倍数：倍数判定)になるものを列挙すると、

(3, 3 6)(4, 5)(5, 4 7)(6, 3 6)(7, 5) ＝8通り

・	全事象＝5面体のサイコロ2つ＝(5面)2 ＝52 ＝25通り

∴ \(\large{\frac{8}{25}}\)
　ではなく○で囲めば玉の問題にできますね

 

 

 

 

〈2〉 「袋2つ」系

 

 

 

《 例 》
箱Aには12, 13, 14, 15, 16 の数字が1つずつ書かれた5個の玉が入っており、箱Bには2, 3, 4 の数字が1つずつ書かれた3個の玉が入っています。箱Aと箱Bのそれぞれから玉を1個ずつ取り出すとき、箱Bから取り出した玉に書かれた数が、袋Aから取り出した玉に書かれた数の約数である確率を求めましょう

 

 

・	「箱2つ」より → ≒サイコロ → 順列数え →目が違う → 親中数えダメ

→ Bが約数を列挙すると、 (12, 2 3 4)(13, …ない)(14, 2)(15, 3)(16, 2 4) ＝3＋0＋1＋1＋2 ＝7通り

・	全事象＝サイコロもどき2つ＝5通り×3通り＝15通り

∴ \(\large{\frac{7}{15}}\)

 

 

 

 

〈3〉 「続けて」系

 

 

 

《 例 》
1から6までの数字が書かれた6枚のカードをよくきり、続けて2枚を取り出す。これらを並べて、2けたの整数をつくるとき、素数となる確率を求めましょう
123456

 

・	「続けて」というフレーズより → 順列数え
・	「並べて」というフレーズより → 絶対順列数え
・	(2, 3)と(3, 2) で意味が異なる(対は当然に成立しない) → 親中数えダメ

→ 並べて2桁が素数を列挙すると、
　(1, 3)(2, 3)(3, 1)(4, 1 3)(5, 3)(6, 1) ＝1+1+1+2+1+1 ＝7通り
・ 全事象 ＝  ＝\({}_6\mathrm{P }_2\) ＝ 6!の前2つ ＝ 30通り
∴ \(\large{\frac{7}{30}}\)

 

 

 

《 例 》
1, 2, 3, 4, 5 の数が1つずつ書かれた5枚のカード(玉)から、
もとに戻さずに続けて2枚のカードを取り出す。
取り出したカードに書かれた数の和が奇数となる確率は？

 

・「続けて」より → 順列数え
・「和」より → 親中数えOK
→ 和が奇数を列挙すると、
(親中数え) 〈1, 2 4〉〈2, 3 5〉〈3, 4〉〈4, 5〉 ＝4+4+2+2 ＝12通り
(順列数え) (1, 2 4)(2, 1 3 5)(3, 2 4)(4, 1 3 5)(5, 2 4) ＝2+3+2+3+2 ＝12通り
もう少し規則性を考えて列挙すると、
(親中数え)  ＝12通り
(順列数え)  ＝6+6 ＝12通り

・	全事象＝\({}_5 \mathrm{P }_2\) ＝5!の前2つ ＝5×4 ＝20通り

∴ \(\large{\frac{12}{20}}\)＝\(\large{\frac{3}{5}}\)

 

(組合せ数えでずる) 〈1, 2 4〉〈2, 3 5〉〈3, 4〉〈4, 5〉 ＝2+2+1+1 ＝6通り
・ 全事象 ＝ ＝\({}_5 \mathrm{C }_2\)＝5!の前2つ÷2!＝20÷2＝10通り　 ←かぶりをなくすための÷2!
∴ \(\large{\frac{6}{10}}\)＝\(\large{\frac{3}{5}}\)　(答えは同じですね)

 

 

 

 

 

 

 

〈4〉 「同時に」系

 

 

 

《 例 》
袋の中に数字2, 3, 4, 5, 6 を書いた玉がそれぞれ1個ずつある。この5個の玉から同時に2個を取り出すとき、
書かれている数の積が、4の倍数である確率を求めましょう

 

・ 図がないときは自分で図を書きますが、袋や箱は不要ですし、分かりやすいように並べて書きます
 23456

・	「同時に」より → 組合せ数え(数学ルール)
→	積が4の倍数(因数に2が最低2個あればよい)を列挙すると、()

 

　〈2（1個）, 4（2個）6（1個）〉〈3（0個）, 4（2個）〉〈4（2個）, 5（0個）6（1個）〉＝2+1+2 ＝5通り
・ 全事象＝組合せ数えで数えたので組合せ数え＝÷2!＝ \({}_5 \mathrm{C }_2\) ＝ 10通り
∴ \(\large{\frac{5}{10}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

〈5〉【 区別がない(同じものを含む) 】

 

⇒ 区別がないものは、こちらで区別をつけて1特徴系に昇格させれば、 → 今まで学んできた「戻す」「袋2つ」「続けて」「同時に」系と全く同じように解けますね
ついでですので、「乗法定理」や「PやC」での考え方も載せておきますが、まずは「列挙で」ですね！

 

 

《 例 》

1と書いたカードが2枚、2と書いたカードが4枚ある
	→
赤玉が2個、白玉4個ある
	→
6本のくじがあり、その中に当たりくじが2本ある
	→
女子が2人、男子が4人いる
	→

 

 

 

 

 

〔1-1, 戻して系 (親中数えOK)〕

 

112222

 

このカードから1枚カードを取り出し、数字を記録してから、取り出したカードをもどし、再び1枚カードを取り出し、数字を記録する。このとき、1回目の数字と2回目の数字の和が3以上になる確率を求めましょう
＝赤と白が出る確率、当たりと外れが出る確率、女子と男子である確率

 

 

(樹形図なら)  → 「戻し」より → ＝サイコロ2つ → 樹形図は62
2枚の1と書かれたカードを1, 2、4枚の2と書かれたカードを3, 4, 5, 6として
2枚のカードの取り出し方を樹形図で表すと

 

 

全ての場合は36通りあり、このうち和が3以上になるものは32通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{32}{36}}\)＝\(\large{\frac{8}{9}}\)

 

 

(列挙なら)   ありありフサフサ
・ 「戻し」より → ＝サイコロ → 順列数え
・ 余事象は → 「和が3未満」 → 整数より「和が2以下」でよい
→ 和が2以下を列挙すると、(1, 1)(1, 2)(2, 1)(2, 2)の4通り　「和」より親中数えでもOK 左なしフサフサ
・ 全事象＝サイコロ2つ＝62＝36通り
・ 本事象＝36－4＝32通り
∴ \(\large{\frac{32}{36}}\)＝\(\large{\frac{8}{9}}\)

 

 

(Pなら)
・ 和が3以上は、1+2、2+1、2+2
・ \(\large{\frac{(1, → 2)(2, → 1)(2, → 2)}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{({}_2 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{P }_1)+({}_4 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_2 \mathrm{P }_1)+(4^2)}{6^2}}\) =\(\large{\frac{2通り×4通り+4通り×2通り+16通り}{36通り}}\) ＝\(\large{\frac{8+8+16}{36}}\) ＝\(\large{\frac{32}{36}}\) =\(\large{\frac{8}{9}}\)

 

 

(親中数えOKなのでCで)
・ 和が3以上は、1+2、2+2
・ \(\large{\frac{〈1, と2〉〈2, と2〉}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{〈{}_2 \mathrm{C }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{C }_1〉×並びにこだわる2!+〈4通り×4通り〉}{6^2}}\) =\(\large{\frac{8×2+16}{36}}\) ＝\(\large{\frac{32}{36}}\) ＝\(\large{\frac{8}{9}}\)

 

 

(乗法定理なら)
・ 和が3以上は、(1, →2) (2, →1) (2, →2)
∴ (\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{4}{6}}\))(\(\large{\frac{4}{6}}\), \(\large{\frac{2}{6}}\))(\(\large{\frac{4}{6}}\), \(\large{\frac{4}{6}}\)) ←(1回目1を引く確率, 2回目2を引く確率)(1回目2を引く確率, 2回目1を引く確率)(1回目2を引く確率, 2回目2を引く確率) ＝\(\large{\frac{8}{36}}\)+\(\large{\frac{8}{36}}\)+\(\large{\frac{16}{36}}\) ＝\(\large{\frac{32}{36}}\) ＝\(\large{\frac{8}{9}}\)　 ←まとめて分子を数えて全事象で割るのか(今まで)、その都度確率を求めて足すのか(乗法定理)の違いですね

 

 

 

 

〔1-2, 戻して系 (親中数えダメ)〕

 

　　　　　　

 

この玉から1個の玉を取り出し、玉の色を記録してから、取り出した玉をもどし、再び1個の玉を取り出し、玉の色を記録する。このとき、1回目が赤、2回目が白になる確率を求めましょう
＝1回目のカード＜2回目のカード、すなわち(1, → 2)となる確率、1回目が当たり2回目が外れ(当, →外れ)の確率、1回目が女子、2回目が男子(女, →男)の確率

 

 

(樹形図なら)  →「戻し」より → サイコロ2つ → 樹形図は 62
2つの赤玉を1, 2、4つの白玉を3, 4, 5, 6 として
2個の玉の取り出し方を樹形図で表すと

 

 

全ての場合は36通りあり、このうち1回目が赤、2回目が白になるものは8通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{8}{36}}\)＝\(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

(列挙なら)   ありありフサフサ
・ 「戻し」より → ＝サイコロ → 順列数え
→ (赤, → 白)を列挙すると、(1, 3 4 5 6)(2, 3 4 5 6)＝4+4＝8通り　対は当然に成り立たないので親中数えダメ
・ 全事象＝サイコロ2つ＝62＝36通り
∴ \(\large{\frac{8}{36}}\)＝\(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

(Pで) 
・ 赤 → 白の確率＝\(\large{\frac{(赤 \ , \ → 白)}{6^2}}\)=\(\large{\frac{({}_2 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{P }_1)}{6^2}}\)=\(\large{\frac{8}{36}}\) =\(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

(親中数えダメ(対は当然に成り立たない)よりCは不可)

 

 

(乗法定理で) 
・ 赤 → 白の確率＝(\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{4}{6}}\))=\(\large{\frac{8}{36}}\) =\(\large{\frac{2}{9}}\)

 

 

 

 

 

 

〔2-1、続けて系(親中数えOK)〕

 

　　　　　　

 

このくじから先にAが1回引き、続けてBが1回引く。このときAとBの結果が異なる確率を求めましょう
＝1回目のカードの数+2回目のカードの和が奇数(1, と2)となる確率、1回目と2回目で異なる色玉になる確率、委員長副委員長で異性が選ばれる確率

 

 

(樹形図なら)  → 「続けて」より → 順列数え → 樹形図は \({}_6 \mathrm{P }_2\)
2本の当たりを1, 2、4本の外れを3, 4, 5, 6 として
2本のくじの取り出し方を樹形図で表すと

全ての場合は30通りあり、このうち結果が異なるものは16通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{16}{30}}\)＝\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(列挙なら)  自分なしフサフサ
・ 「続けて」より → 順列数え
→ 結果が異なるを列挙すると、(1, 3 4 5 6)(2, 3 4 5 6)(3, 1 2 )(4, 1 2)(5, 1 2)(6, 1 2) =4+4+2+2+2+2 =16通り　結局、対も当然に成り立つ〈当, と外〉より親中数もOK 右のみフサフサ
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{P }_2\)＝30通り
∴ \(\large{\frac{16}{30}}\)＝\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(Pなら) 
・ 結果が異なる → (当, → 外)(外, → 当)

 

 

(親中数えOKなのでCで) 
・ 結果が異なる → 〈当, と外〉

 

 

(親中数えOK+ぞろ目ラインがないので組合せ数えでズル) 
・ 結果が異なる → 〈当, と外〉

 

 

(乗法定理で) 
結果が異なる → (当, → 外)(外, → 当)
∴ （\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{4}{5}}\))(\(\large{\frac{4}{6}}\), \(\large{\frac{2}{5}}\)) ←(1回目当を引く確率, 2回目当が1本減った5本から外を引く確率)(1回目外を引く確率, 2回目外が1本減った5本から当を引く確率)
＝\(\large{\frac{8}{30}}\)+\(\large{\frac{8}{30}}\) ＝\(\large{\frac{16}{30}}\) ＝\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

 

 

〔2-2,続けて (親中数えダメ)〕

 

　　　　　　

 

このくじから先にAが1回引き、続けてBが1回引く。このときAが当たりBが外れる確率を求めましょう
＝Aのカード＜Bのカード、すなわち(1, → 2)となる確率、Aが赤玉Bが白玉(赤, → 白)となる確率、委員長が女子副委員長が男子(女子, → 男子)の確率

 

 

(樹形図なら)  → 「続けて」より → 順列数え → 樹形図は \({}_6 \mathrm{P }_2\)
2本の当たりを1, 2、4本の外れを3, 4, 5, 6 として
2本のくじの取り出し方を樹形図で表すと

 

 

全ての場合は30通りあり、このうち1回目が赤、2回目が白になるものは8通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{8}{30}}\)＝\(\large{\frac{4}{15}}\)

 

 

(列挙なら)  自分なしフサフサ
・ 「続けて」より → 順列数え
→ (赤, → 白)を列挙すると、(1, 3 4 5 6)(2, 3 4 5 6)＝4+4＝8通り　対は当然に成り立たないので親中数えダメ
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{P }_2\)＝30通り
∴ \(\large{\frac{8}{30}}\)＝\(\large{\frac{4}{15}}\)

 

 

(Pなら) 
・ (当, → 外)の確率＝\(\large{\frac{(赤, → 白)}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{({}_2 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{P }_1)}{{}_6 \mathrm{P }_2}}\) ＝\(\large{\frac{8}{30}}\) ＝\(\large{\frac{4}{15}}\)

 

 

(親中数えダメ(対は当然に成り立たない)よりCは不可)

 

 

(乗法定理で) 
・ (当, → 外)の確率＝(\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{4}{5}}\)) =\(\large{\frac{8}{30}}\) =\(\large{\frac{4}{15}}\)

 

 

【 日本語の解明 】
① ② ③ ④ ⑤

 

 

〔3, 同時に系〕

 

　　　　　　

 

この6人から代表を2人選ぶとき、男女となる確率を求めましょう
＝同時に2枚取って数字が異なる〈1, と2〉の確率、同時に2個取って色が異なる〈赤, と白〉の確率、同時に2本引いて当たりと外れ〈当, 外〉になる確率

 

 

(樹形図なら)  → 「代表」≒「同時に」より → 組合せ数え(数学ルール) → 樹形図は \({}_6 \mathrm{C }_2\)
2人の女子を1, 2、4人の男子を3, 4, 5, 6 として
2人の代表の選び方を樹形図で表すと

 

 

全ての場合は15通りあり、このうち男女となるものは8通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(列挙なら)  右のみフサフサ
・ 「代表」より → 並びにこだわらない → 組合せ数え　代表, 副代表などなら順列数え
→ 〈女子, と男子〉を列挙ですると、〈1,3 4 5 6〉〈2, 3 4 5 6〉=4+4=8通り
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{C }_2\)＝15通り
∴ \(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(Cなら) 
〈女, と男〉の確率＝\(\large{\frac{〈女, と男〉}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{〈{}_2 \mathrm{C }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{C }_1〉}{{}_6 \mathrm{C }_2}}\) =\(\large{\frac{2通り×4通り}{15通り}}\) ＝\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(Pなら)  
〈女, と男〉の確率 ＝(女, → 男)+(男, → 女)の確率 ＝\(\large{\frac{(女, → 男)(男, → 女)}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{({}_2 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_4 \mathrm{P }_1)({}_4 \mathrm{C }_1 \ , \ {}_2 \mathrm{P }_1)}{{}_6 \mathrm{P }_2}}\) =\(\large{\frac{8通り+8通り}{30通り}}\) ＝\(\large{\frac{16}{30}}\) ＝\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

(乗法定理で) 
・ 〈女, と男〉の確率 ＝(女, → 男)の確率+(男, → 女)の確率
∴ (\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{4}{5}}\))(\(\large{\frac{4}{6}}\), \(\large{\frac{2}{5}}\)) =\(\large{\frac{8}{30}}\)+\(\large{\frac{8}{30}}\) =\(\large{\frac{16}{30}}\) =\(\large{\frac{8}{15}}\)

 

 

【 日本語の解明 】
① ② ③ ④ ⑤

 

 

〔4, とにかく○番目〕

 

　　　　　　

 

この6本のくじからAさんが1本引き次にBさんが1本引くとき、Bさんが当たる確率を求めましょう
＝2回目にひくカードが1である確率、2回目に取る玉が赤の確率、委員長副委員長を選ぶとき副委員長が女子である確率

 

 

(樹形図なら)  → ≒「続けて」より → 順列数え → 樹形図は \({}_6 \mathrm{P }_2\)
2本の当たりを1, 2、4本の外れを3, 4, 5, 6 として
2本のくじの取り出し方を樹形図で表すと

 

 

全ての場合は30通りあり、このうちBが当たるのは10通りである
したがって、求める確率は、\(\large{\frac{10}{30}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

(列挙なら)  自分なしフサフサ
・ 「続けて」より → 順列数え
→ (？, 当)＝(当, 当)(外, 当)を列挙すると、(1, 2)(2, 1)(3, 1 2)(4, 1 2)(5, 1 2)(6, 1 2)=1+1+2+2+2+2=10通り
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{P }_2\)＝30通り
∴ \(\large{\frac{10}{30}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

(Pなら) 
・ (当, 当)(外, 当)の確率 ＝\(\large{\frac{(当, 当)(外, 当)}{全事象}}\) ＝\(\large{\frac{({}_2 \mathrm{P }_1 \ , \ 残りの1通り)({}_4 \mathrm{P }_1 \ , \ {}_2 \mathrm{P }_1)}{{}_6 \mathrm{P }_2}}\) ＝\(\large{\frac{2通り+8通り}{30通り}}\) ＝\(\large{\frac{10}{30}}\) ＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

(親中数えダメ(対は当然に成り立たない)よりCは不可)

 

 

(乗法定理なら) 
・ (当, 当)(外, 当)の確率 ＝(\(\large{\frac{2}{6}}\), \(\large{\frac{1}{5}}\))(\(\large{\frac{4}{6}}\), \(\large{\frac{2}{5}}\)) =\(\large{\frac{2}{30}}\)+\(\large{\frac{8}{30}}\) =\(\large{\frac{10}{30}}\) =\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

ex)
このくじをA, B が引いたあとに、Cが3番目に引いたときの当たりの確率を求めましょう
・ (？, ○)の型
∴ 1回目のAが当たる確率と同じより、(○, ) =\(\large{\frac{2}{6}}\) =\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

(確認)
→ Cがとにかく当たりを列挙すると、
  ＝8通り＋24通り＋8通り ＝40通り
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{P }_3\)＝6×5×4 ＝120通り
∴ \(\large{\frac{40}{120}}\)＝\(\large{\frac{4}{12}}\)＝\(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
赤玉，青玉，白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、異なる色が出る確率は？

 

・区別をつけて、123456
・「同時に」より → 組合せ数え

・	2個で異なる組合せは〈赤, と青〉〈赤, と白〉〈青, と白〉の3パターン

→ これらを列挙すると、〈1 2, 3 4 5 6〉〈3 4 , 5 6〉=8通り+4通り＝12通り
→ 全事象＝\({}_6 \mathrm{C }_2\)＝15通り
∴ \(\large{\frac{12}{15}}\)＝\(\large{\frac{4}{5}}\)

 

 

 

 

 

 

● 3個とる

 

《 例 》
赤玉3個、青玉2個、白玉1個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも異なる色になる確率は？

 

・	区別をつけて、 123456

 

(列挙なら)

・	「同時に」より → 組合せ数え(数学ルール)
・	3個とも色が異なるのは、〈赤, と青, と白〉の1パターン
→	〈赤, 青, 白〉を列挙すると、〈1 2 3, 4 5, 6〉=3通り×2通り×1通り＝6通り
→	真面目に列挙すると、〈1, 4, 6〉〈1, 5, 6〉〈2, 4, 6〉〈2, 5, 6〉〈3, 4, 6〉〈3, 5, 6〉

・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{C }_3\)＝6×5×4÷3!＝20通り
∴ \(\large{\frac{6}{20}}\)＝\(\large{\frac{3}{10}}\)

 

 

(Cなら) \(\large{\frac{〈{}_3 \mathrm{C }_1 \ , \ {}_2 \mathrm{C }_1 \ , \ {}_1 \mathrm{C }_1〉}{{}_6 \mathrm{C }_3}}\) =\(\large{\frac{3×2×1}{20}}\) ＝\(\large{\frac{3}{10}}\)

 

 

 

 

《 例 》
赤玉4個、白玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が2個、白玉が1個になる確率は？

 

・ 区別をつけて、 123456

 

(列挙なら)

・	「同時に」より → 組合せ数え(数学ルール)

→ 〈赤, 赤, 白〉を列挙すると、＝12通り
・ 全事象＝\({}_6 \mathrm{C }_3 \) ＝ 20通り
∴ \(\large{\frac{12}{20}}\) ＝ \(\large{\frac{3}{5}}\)

 

 

(Cなら) \(\large{\frac{〈{}_4 \mathrm{C }_2 \ , \ {}_2 \mathrm{C }_1〉}{{}_6 \mathrm{C }_3}}\) ＝ \(\large{\frac{12}{20}}\)＝\(\large{\frac{3}{5}}\)

 

 

(乗法定理なら) 〈●, と●, と○〉＝(●→●→〇)＋(●→〇→●)＋(〇→●→●) ＝\(\large{\frac{4}{6}}\)×\(\large{\frac{3}{5}}\)×\(\large{\frac{2}{4}}\)＋\(\large{\frac{4}{6}}\)×\(\large{\frac{2}{5}}\)×\(\large{\frac{3}{4}}\)＋\(\large{\frac{2}{6}}\)×\(\large{\frac{4}{5}}\)×\(\large{\frac{3}{4}}\) ＝\(\large{\frac{24}{120}}\)＋\(\large{\frac{24}{120}}\)＋\(\large{\frac{24}{120}}\) ＝\(\large{\frac{72}{120}}\) ＝\(\large{\frac{3}{5}}\)

 

 

 

《 例 》
赤玉4個、白玉5個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、

 

(1) 色がそろう確率は？

 

・ 区別をつけて、123456789
・「同時に」より → 組合せ数え(数学ルール)
→ 列挙すると、 → 〈●と●と●〉〈〇と〇と〇〉＝\({}_4 \mathrm{C }_3\)＋\({}_5 \mathrm{C }_3\) ＝ \({}_4 \mathrm{C }_1\)＋\({}_5 \mathrm{C }_2\) ＝ 4＋10＝14通り　(nCr＝nC(n-r))
・ 全事象＝\({}_9 \mathrm{C }_3\)＝\(\large{\frac{9\ \cdot \ 8\ \cdot \ 7}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)＝84通り
∴ \(\large{\frac{14}{84}}\)＝\(\large{\frac{7}{42}}\)＝\(\large{\frac{1}{6}}\)

 

 

(2) 赤と白が混ざっている確率は？

 

→ 余事象は…「混ざっていない」＝「そろっている」＝(1)の答
∴ 1－\(\large{\frac{1}{6}}\)＝\(\large{\frac{5}{6}}\)

 

 

 

〈7〉　人

 

【 全員の並び方 】

 

《 例 》
両親と子供3人合わせて5人が、横1列に並ぶとき

 

(1) 5人の並ぶ方法は何通り？

 

・ 人は区別がある → 親（1）親（2）子（3）子（4）子（5） である　区別をつけなおすイメージ
・「並べる」より → 絶対順列数え
・ 全事象＝5人の全順列 ＝\({}_5 \mathrm{P }_5\) ＝5! ＝5×4×3×2×1 ＝20×6 ＝120通り

 

 

(2) 両親が両端にいる確率は？

 

→ 両親が両端を列挙すると、
  ＝6通り+6通り ＝12通り

 

 (ワンランク上の列挙だと)
  ＝2通り×6通り ＝12通り
∴ \(\large{\frac{12}{120}}\)＝\(\large{\frac{1}{10}}\)

 

 

(3) 両親と子が交互に並ぶ確率は？

 

→ 交互を列挙すると、
 (　, 　, 　, 　, 　)のパターンしかない

 

 

＝6通り×2通り＝12通り
∴ \(\large{\frac{12}{120}}\)＝\(\large{\frac{1}{10}}\)

 

 

(4) 両親が隣り合って並ぶ確率は？

 

→ 両親が隣り合うを列挙すると、
  ＝12+12+12+12 ＝48通り

 

 (ワンランク上の列挙だと)
両親を1つと見て、＝∧∧∧∧は4つから1つ(箇所)を選ぶこと＝\({}_4 \mathrm{C }_1\)＝4通りの場所
∴ 子の並び(3!)×∧の選び方(4通り)×ボックス内の並び(2!) ＝6×4×2 ＝48通り　原理は上と同じですね、見比べて、「確かに同じことだな」と思っていただければ、2歩前進ですね！
∴ \(\large{\frac{48}{120}}\)＝\(\large{\frac{12}{30}}\)＝\(\large{\frac{2}{5}}\)

 

 

(5) 両親の間に少なくとも1人の子供がいる確率は？

 

・「間に少なくとも1人いる」の余事象は、 → 「間にいない」＝(4)の「両親が隣り合わせ」
∴ 1-\(\large{\frac{2}{5}}\)＝\(\large{\frac{3}{5}}\)
もちろん正統に列挙もOK、
 
＝2!×3!×6パターン＝2×6×6＝72通り
∴ \(\large{\frac{72}{120}}\)＝\(\large{\frac{12}{20}}\)＝\(\large{\frac{3}{5}}\)

 

 

 

 

【 1部を選ぶ 】

 

《 例 》
男子A, B, C、女子D, E の5人グループがいる

 

(1) この5人から、委員長, 副委員長, 書記長 の選び方は何通り？

 

・ 並びに「こだわる」3人の選び方は → \({}_5 \mathrm{P }_3\)＝5×4×3＝60通り
 (A（委員）, B（副委）, C（書記）) と (A（委員）, C（副委）, B（書記）) は別物だ

 

 

(2) この5人から代表3人を選ぶ選び方は何通り？

 

・ 並びに「こだわらない」3人の選び方
→ \({}_5 \mathrm{C }_3\)＝\(\large{\frac{5×4×3}{3!}}\)＝10通り
 (A（代表）, B（代表）, C（代表）) と (A（代表）, C（代表）, B（代表）) 同じだ  → 〈A, とB, とC〉

 

 

(3) この5人の中から3人の当番を選ぶことにした。3人の中にAとDがともに選ばれる確率を求めよ

 

・	「当番」より → 並びにこだわらない → 組合せ数え
→	AとDが含まれる3人を列挙すると
・	〈A, D, B C E〉＝1×1×3＝3通り
・	全事象＝組合せ数えで数えたので組合せ数え＝\({}_5 \mathrm{C }_3\)＝5×4×3÷3÷2＝10通り

∴ \(\large{\frac{3}{10}}\)

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

c　いろいろな問題

 

《 例 》
図のようなマスを、赤，青，黄，白の4色のうち、3色を使って塗るとき、中央に青がくる確率を求めましょう
　　

 

・ 赤 青 黄 白 を 赤（1）青（2）黄（3）白（4） としますね

・	マスに場所がある → 並びにこだわる → 順列数え

・ と区別して
→ 中央が青を列挙すると、＝6通り
・ 全事象＝\({}_4 \mathrm{P }_3\)＝4×3×2＝24通り
∴ \(\large{\frac{6}{24}}\)＝\(\large{\frac{1}{4}}\)

 

 

 

《 例 》
図のような円周を6等分する点A, B, C, D, E, F がある。
これらの中から3点を選んで、それらを頂点とする三角形をつくるとき、

 

(1) 三角形は全部でいくつできますか

 

(2) それが直角三角形である確率を求めましょう

 

 

 

 

 

 

 

③ 確率の問題文の読み方まとめ

 

 

「場合の数」、「確率」は習得するのに時間のかかる単元だと思います

 

・	よく似た問題文であるのに、全く違う問題であったり
・	＜ということは＞～、は知っていないと、時間内では考えつかないでしょうし
・	答えが出ても、答の確かめ算がなかったり

 

他の単元より時間がかかると割り切って
じっくり頑張っていきましょうね！

 

当2年生問題集では、「確率を分かりきる！」「確率の鬼になる！」を目標に
本問題(312問)とは別に
ほぼ全国の公立高校入試2014～2019の確率過去問221問も解説しています
よろしければご利用くださいね