中学数学 場合の数

 

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中学1年生課程へ 中学2年生 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D 資料の活用
(1)  場合の数 (2)  確 率
場合の数
   ・ 場合の数の数え方の基本
 a 和の法則・積の法則
   ・ 場合の数の数え方の種類
 b 順列
   ・ 普通順列
   ・ 全順列
   ・ 順列の樹形図の書き方のコツ
   ・ !(階乗) や P(パーミュテーション) の意味
   ・ ひねった純粋な順列
  ① 重複順列
  ② 同じものを含む全順列
   ・ (例題) ローマ字の並び
   ・ (例題) 最短経路
   ・ 「同じものを含み」、かつ、「何枚か」を取り出す順列
  ③ 円順列
   ・ 円順列の別解
  ④ じゅず順列
   ・ 同じものを含む円順列・じゅず順列
 c 組合せ
   ・ nCrnC(n-r)
   ・ 組合せの樹形図の書き方のコツ
   ・ 組合せ C(コンビネーション) の意味
  ① 重複組合せ
   ・ 選ばれないOKの重複組合せ
   ・ 組合せ(C)の3つのイメージ
   ・ 選ばれないNG( = 1つは選ぶ)の重複組合せ)
   ・ 重複組合せの公式
   ・ 重複組合せの記号
  ② 分けはめ
 d 組分け
   ・ 何が違うのか、比較しながら解いてみる
   ・ ただただ3つに分ける問題は?
 c’ 同じものを含む組合せ
   ・ 正しい順序は「PからC」? 「CからP」?
   ・ (場合の数まとめ表)

 

場合の数

 

もしかしたら、
数学は得意なほうだけど・・・

 

「どうしても『資料の活用』、
その中でも特に「場合の数」、「確率」は
苦手という人は多いのではないでしょうか?

 

では どうしてそうなってしまうのでしょうか

 

他の単元は
問題文を読んだらすぐに「〇〇〇の問題だな!」
例えば「二次関数の直線が囲む面積の問題だな!」とわかるのですが

 

「場合の数」「確率」の場合は 問題文を読むと・・・
「何の問題だったっけ・・・」
「似ているけれど、何かが微妙に違うんだよな~」
となりがちですね

 

確かに「似てます」が「ちゃんと違います!」 
逆を言えば「微妙に違うんだよな~」を
「完全に違う!」と理解できればOKということですね

 

練習を一通り終えたら
次は「問題文」を読んだら、
「区別がある!ない!」
「並びにこだわる!こだわらない!」
「普通の順列!全順列!重複順列!」
「同じものを含む全順列!」
「選ばれないNGの重複組合せ!」
のように、「題名だけ答える練習」をするのがよいのかなと思います
(大まかな区別)
それさえわかれば あとは「一本道」なのですから

 

他の単元同様、
確率も数学であるからには・・・
答えは「ただ一つ!」ですね

 

 

 

ア 場合の数

 

「場合の数」は2009年度より小学校6年で習っているようですね!
ですが、念のため、「場合の数」の復習をしますね

 

 

 

場合の数

 

「場合の数」とは、何パターン(何通り)あるか?というその数ですね
それだけです。

 

 

+-の乗法の練習問題

 

 

 

 

場合の数の数え方の基本

 

例えば、たくさんあるものを数えるとき、
途中で混乱しないように
必ずといっていいほど『基準を決めて』数えますね

 

ex. 1~10までが本当に10個か数えましょう
「1, 2, 3, 4…10で、10個!」ですね
「4, 7, 3, 5, 9,…まだ言ってないのは…2…6,あとは…」とは数えないですね
→ 『小さいものを基準にした』

 

ex. 番号の分からない ダイヤルロックイラスト ダイヤルロックを何回試してもよい(=試行しこう)ので外しましょう
「000, 001, 002…999」と試していきますね
「367, 851, 442…」とは試行しませんね
→ 『左端のダイヤルを基準にした』

 

ex. 2つのサイコロの目の出方は何通り?
「1つを左手に1、もう1つを右手に1, 2,…6で6通り(1につき6通り)
 左手を2の目にして、右は同様に1, 2…6で6通り(2につき6通り)
 ということは左の1通りにつき6通り…左は全部で6通り…
 6通り×6通り=36通り」
(1, 1) (1, 2) …(6, 5) (6, 6) と数えたことと同じですね
「(3, 5) (2, 1) (4, 4) と目の順を気にしなっかったり、『左手と右手を持ち換えたり』しないですよね」
→ 『左手を基準にした』

 

 


ポイント

 

場合の数の数え方のまとめ

 

樹形図、表うんぬんの前に、必ずマスを書く、ですね!
(そこから必要なら樹形図、表を書くですね)
   

 

→ サイコロ2つ、コイン2枚、カード2枚、玉2個、2回取り出す、なら、
     2マスですね

 

→ サイコロ3つ、コイン3枚、カード3枚、玉3個なら、
       3マスですね

 

そして、マスの順が基準』です。基準は1度決めたら固定』です!

 

 

次に、マスの順序が途中で入れかえられないように、
 マスの上に『基準名』を書いてしまいます

 

 

・ 大サイコロ
・ 1回目のサイコロ
・ コインA
・ 1枚目にひいたカード
・ 2個同時にひいて最初に見た玉

2マスにそれぞれ名をつける

・ 小サイコロ
・ 2回目のサイコロ
・ コインB
・ 2枚目にひいたカード・玉
・ 2個同時にひいて後で見たカード・玉

 

 

次に、マスの中はイメージBOXです、書き込まずに
頭の中で マスの中に1~6をイメージした図 や マスの中に表、裏をイメージした図 などが入るな。など想像BOXですね。

 

もちろん、問題によっては (ex. 2つのサイコロの出目の積が奇数となるのは何通り? などは、
奇数=奇数× 奇数しかないので マスに1,3,5 と書き込んでもよいですね)
→ 絞りこめて固定できそうなら書き込んでもよいですね

 

 

次に、マスの下には分かる範囲で「通り数」を書きます
マスの下には通り数や先ほどの奇数なら マスの下に3通りなどですね

 

 

あとは問題にしたがって何通りか、求めるだけですね。
マスだけで答が分かればラッキーで、中学の問題は
大体はマスをもとに「(頭の中で、順に、適合・不適合を考えて、適合するものを書きだしていく)」か「樹形図」か「」になっていきますね

 

 

ex. 2つのサイコロの目が和が10以上になるのは何通り?

 

 

マスから樹形図や表に     

 

 

(第1段階の思考)
→ (3 + 6小の最大= 9ではOUT) 大が4から可能性があるな
(第2段階の思考)
ということは → あとは小しだいだな
ら列」なら
 → (4のときは…, 6でOK)、(5のときは…, 5も6もOK)、
  (6のときは…, 4も5も6もOK)
すなわち、
(4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 4) (6, 5) (6, 6)の6通りですね
 → マスの中のイメージ力が大事

後のお話ですが、
サイコロは後半(4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 6) で
6通りと数えますね:(親中数え)

 

樹形図」なら
適合するものに〇をつけて ∴ 〇が6個で6通り
 → マスの下にそろえて書くと間違えにくい
 → マスがあると余分な部分を
  カットできる可能性がある


 

」なら

表
∴ 〇が6個で、6通り
→ マスがあると途中、混乱しがちになることを防げる


 

ちなみに、2つのサイコロの出目をまじめに書くと…
(大, 小)の順で
サイコロの全通り表
ですね

 

 


  数え方の基本のまとめ  

 

マスを書く
基準を動かさない

 

なんなら、       を 回るけどマスの場所は固定されているマスをダイヤルと見立てるイメージ ダイヤルのように、イメージしておくのもよいですね

 

→ cf. これなら「12」と「21」が別物であるというように、サイコロの目の(1, 2)と(2, 1)も別物とわかりますね

 

 

 

《 例 》
3つの整数1, 2, 3 を並べる方法は何通り?

 

→ サイコロ(複数特徴系)とは異なり、2マス目は1マス目で選んだものが選べませんね(1特徴系)
= 樹形図の枝が減っていく

 

マスに対応した樹形図     

 

→ 「樹形図」から 6通り


 

 

表     

 

→ 「表」なら、6通りですが、3マスのときの表は
 考えながら欄を埋めているので
 「ら列」と同じことですね


 

 

→ 「ら列」なら、  (頭の中で…先頭が1のとき…, 2があるな, 残りは3か)
 ということは、(1, 3, 2) (2のとき, 1, 3) (2, 3, 1) (3のとき, 1, 2) (3, 2, 1)で6通り

 

→ 実は、「全通り」は「計算」で…

3マス     

 

→ 3通りにつき2通りずつ
 3×2=6通り、その6通り
 につき1通り、6×1で6通り
 (3通り×2通り×1通りですね)


 

×の正体

 

 

→ どれでも解けますが、
・サイコロは、「表」と相性がよいですね
・コインは、「樹形図」と相性がよいですね
・じゃんけんは、「樹形図」と相性がよいですね
・カード・玉は、「ら列」と相性がよいですね
・全通り(確率でいう分母の部分)は、計算で十分ですね

 

すべて「ら列」でできるようになるのが目標ですね!

 

 

 

和の法則 ・ 積の法則

 

場合の数を求める最終段階に「和の法則」と「積の法則」が出てきますね
ですが、「法則」というわりには、この「法則」に従えば解けるというものではなく
解き終わってみれば「結果」、
「和の法則を使っていた、積の法則を使っていた」という
「後付け命名的」な、法則とは名ばかりの法則ですね

 

〔 和の法則 〕
事柄が関係して同時に起こるわけがない場合は、足す

 

〔 積の法則 〕
無関係の通り数は、掛け合わせる

 

簡単なイメージは、
〇通りにつき〇通り のように「につき」というワードが頭の中に出てきたら、
かけ合わせますね → 結果、積の法則とかいうものを使っていたらしい
→ 楽ができそうというイメージ

 

羅列や樹形図が完成して「あとは数えるだけだ~」というワードが頭の中に出てきたら、
足し合わせていきますね → 結果、和の法則とかいうものを使っていたらしい
→ あとは数えるだけというイメージ

 

 

《 例 》
赤白2個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が偶数になるのは何通り?

 

→ 足して偶数になるのは?
(覚えていられないので適当な整数で確認ですね、偶数は2、奇数は3 がおススメ)

 

偶+奇 = 2+3 = 5 = 奇数
偶+偶 = 2+2 = 4 = 偶数
奇+奇 = 3+3 = 6 = 偶数    ∴ 和が偶数=偶+偶 と (または)奇+奇

 

偶数3通り×偶数3通りと奇数3通り×奇数3通り

 

(3×3)+(3×3)=18通り

 

 (3×3では積の法則を使っていたらしい、
 9+9では和の法則を使っていたらしい)


 

(念のため樹形図です)
2つのサイコロの樹形図

 

まあ、確かに…(3, )のとき(4, ) は同時に起こらない(関係あり)  → 和の法則 1通り+1通り
大が(5, )だろうが関係なく小は( , 1~6)を出してくる(無関係)  → 積の法則 1通り×6通り

 

cf. 最初から樹形図で考え始めて、すべての〇を数えた場合は、和の法則しか使っていなかった となります

 

※「和の法則」「積の法則」という言葉はまったくこだわる必要はないですね!
「場合分け(樹形図)」をして末端を数えた結果は「足す」、
「〇通りにつき〇通り」なら「掛ける」 で十分ですね

 

 

 

 

 

場合の数の数え方の種類

 

場合の数の数え方の種類は、大きく分けて2つですね
「順列」的な数え方と「組み合わせ」的な数え方 ですね!

 

順列数え  …「並び方にこだわる数え方」 
組合せ数え …「並び方こだわらない数え方)

 

 

ex.
・ (1, 2, 3) を順列数えすると何通り?  ← 並びにこだわる
→ (123) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) → 計算は3! → 6通り

 

・ (1, 1, 2) を順列数えすると何通り?  ← 並びにこだわる
→ (1→1→ 2) (1, 2, 1) (2, 1, 1) → 計算は\(\large{\frac{3!}{同じものの2!}}\) → 3通り

 

・ (1, 2, 3) を順列数えすると何通り? ← 並びにこだわっている
→ こだわったうえで確定しているので → 1通り

 

 

・ (1, 2, 3) を組合せ数えすると何通り?  ← 並びにこだわらない
→ とにかく「123を選んだ」 → (1, 2, 3) の1通り

 

・ (1, 1, 2) を組合せ数えすると何通り?  ← 並びにこだわらない
→ とにかく「112を選んだ」 → (1, 1, 2) の1通り

 

 


  簡単なイメージ  

(順列主義の)順列母さん「鍋に 砂糖 醤油 酢 の順で調味料を入れて下さい」
子「砂糖 → 醤油 → 酢っと!」

 

(組合せ主義の)組合せ母ちゃん「鍋に 砂糖、醤油、酢 入れておいて」
子「何から入れるの?」
組合せ母ちゃん「なんでもいいわよ!とにかく砂糖醤油酢が入っていればいいの!」

 

→ 鍋に 砂糖、醤油、 酢 を入れる方法の 数え方の違いですね
順列母さんの数え方なら、6通り
組合せ母ちゃんの数え方、1通り

 

今後勉強が進むにつれて、順列と順列内部、組合せと組合せ内部が混乱しがちになるときがくるかもしれません

 

順列の分類

 

ですね

 

 

・ 順列数え …並びにこだわる数え方
→ (1, 2)は、(1A, 2B)と(2A, 1B)の2通りだ!
→ (1A, 2B)は、さすがに1通りだ

 

・ 組合せ数え …並びにこだわらない数え方
→ (1A, 2B)と(2A, 1B)は、(1, 2)の1通りで十分だ!
→ 1と2が(カッコ)の中で勝手に小さいもの順に整列してしまう!イメージ

 

 

 

 

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b ~ 順列 ~

 

順列のイメージ

 

・順列は、「並べる」と言いましたが、横でも縦でも円でも構いませんね

 

それでは、個別に見ていきますね

 

 

【 普通順列 】

前提:すべて異なり、異なるものを選び、並びにこだわる

 

 

番号0~5の赤白の図のようなカードがあったとします

 

012345

 

● 「3」を取り出して並べる、何通り?

 

3のカード←「3」と指定されてしまいましたね、当然に「1通り」ですね

 

・1つのサイコロの目も同じ考えですね
ex. 3の目が出るのは何通り?  →1通り

 

 

● 1枚を取り出して並べる・・・、何通り?

 

012345

 

6通りの内容←0でも1でも…6でもよい、あるのは6枚のカードだから、6通り

 

・1つのサイコロの全パターンも同じ考えですね
ex. サイコロを1回振って出る目のパターンは?  →1~6 6通り
・1枚のコインも同じ考えですね → 1か2 2通り

↑樹形図などで「表」「裏」と漢字で書くのは大変なので、
親子中学では、「表」を「0」,「裏」を「1」としますね

 

中学生と高校生における順列の表現方法の違い1

 

 

 

 

● 2枚を取り出して(選んで)、並べる、何通り?

 

012345

 

カード2枚先頭で、何か1枚使っているので、残りのカードは5枚  →5通り 

 

  ∴ 6×5 = 30通り

 

・サイコロ、コインは2個目(回目)も、
1~6、0~1を選べるので「普通の順列」ではないということですね
→ 重複順列

 

2枚のまとめ表

 

 

 

 

● 3枚を取り出して並べる、何通り?

 

012345

 

3枚のカードの内容先頭と2枚目で2枚使っているので、残りのカードは4枚 

 

 ∴ 6×5×4  =120通り

 

3枚のまとめ表

 

 

 

 

● 4枚を取り出して並べる、何通り?

 

012345

 

4枚のカードの内容3枚使用済みで、残りのカードは3枚(3通り) 

 

 ∴ 6×5×4×3  =360通り

 

4枚のまとめ表

 

 

 

 

● 5枚を取り出して並べる、何通り?

 

012345

 

5枚のカードの内容4枚使用済みで、残りのカードは2枚(2通り) 

 

 ∴ 6×5×4×3×2  = 720通り

 

5枚のまとめ表

 

 

 

【 全順列 】

 

● 6枚を「全て」取り出して並べる、何通り?

 

012345

 

 → 全てを使う順列ということで、親子中学では「全順列」と呼ばしてもらいますね!
6枚のカードの内容残り最後は自然に決まる → 1通り 

 

 ∴ 6×5×4×3×2×1  = 720通り

 

6枚のまとめ表

 

 


余談

 

順列の樹形図の書き方のコツ

 

「順列」の樹形図の書き方のコツは、

 

・「数字の小さいものから書く」「アルファベットの小さいものから書く」など
 『 規則性のある自分ルール 』を持つことですね!当然と言えば当然ですね

 

 

《 例 》 4人の男子から3人「選んで」「並べる」方法は何通り?

 

→ キーワード「並べる  → こだわる  → 順列
⇒ 「人」は区別があるので番号があります

 

1234

 

順列の樹形図の書き方のコツ1順列の樹形図の書き方のコツ2

 

 

 


余談

 

!(階乗) や P(パーミュテーション) の意味

 

私学中学では学ぶのかわかりませんが、公立中学では学びませんので、
読み流すだけでOKです

 

「!」の読み方は、PCキーボードの「エクスクラメーションマーク」ではなく、感嘆符の「ビックリ」でもなく、
数学では「階乗(かいじょう)」といいますね

 

6! なら「6の階乗」や「6階乗」と言いますね

 

使い方は
6!= 6×5×4×3×2×1 となります(段状の積ですね)

 

3!= 3×2×1 ですね、1×2×3でもOKですが、どちらでもOKなら小さくしていく方が使いやすいですね!

 

n!なら、n  (n-1)  (n-2)  ・・・×1 ですね

 

nに0を代入する、0!は、1 となります、これはいわゆる「数学ルール」ですね

 

 

 

 

では次に

 

\({}_6 \mathrm{ P }_2\) や \({}_6 \mathrm{ P }_3\) や \({}_n \mathrm{ P }_r\) ですが
読み方は、「6P2 (ろくピーに)」「6P3 (ろくピーさん)」となりますね

 

意味は、「異なる・・・n個のものから、異なるr個のものを、選んで並べる・・・(=普通順列)」
となりますね
心の中では「nコ(6コ)から、rコ(3コ)選んで並べる・・・」で十分ですね

 

計算方法は、\(\small{{}_6 \mathrm{ P }_2}\) であれば、
6!の前2つ」→ 6×5  = 30 通り ですね

中学の升2をかっこよく
表現しただけ
ですね!

 

公式風なら

\(\large{\frac{6!}{(6-2)!}}\) = \(\large{\frac{6!}{4!}}\)  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}{4\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)
= 6!/4!の約分←計算の前に約分!  = 30通り

 

 

\({}_6 \mathrm{ P }_3\) → 6×5×4 = 120 通りですね

中学の升3をかっこよく
表現しただけ
ですね!

 

公式風なら、
\(\large{\frac{6!}{(6-3)!}}\) = \(\large{\frac{6!}{3!}}\)  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 6!/3!の約分  = 120 通り

 

 

 

\({}_6 \mathrm{ P }_r\) = \(\large{\frac{6!}{(6-r)!}}\)

 

\({}_n \mathrm{ P }_r\) = \(\large{\frac{n!}{(n-r)!}}\)

↑すべて、意味ありげな分母ですが、
「ただ分子の階乗の尻尾を切りたい
という意味だけの分母ですね!
→ 公式は不要!「n\(!\) の前r個」という意味で十分!

 

結局、

 

\({}_6 \mathrm{ P }_2\)  = 「6! の前2つ」  = 6×5
\({}_n \mathrm{ P }_r\)  = 「n! の、前 r個」

 

\({}_6\mathrm{ P }_6\)  = 「6! の前6個」  =6! の全部  = 6! (全順列)
\({}_n \mathrm{ P }_n\)  = 「n! の前n個」=n! の全部  = n! (全順列)

 

で十分ですね
(文字より、適当な数字の方が憶えやすいですね!)
(\(\large{\frac{n!}{(n-r)!}}\)は不要)

 

 

 

P自体は 「公式」ではなく「意味」になりますね
ですから、
授業などで 先生が
「ここは〇P△、ここは  〇P△、よって、・・・」
などと 当たり前のように進めていくことがありますが

 

「ここは〇個から△個選んで並べるということ、
ここは〇個から△個選んで並べるということ、よって、・・・」

 

というように Pは「短縮語」のようなものと思って下さいね

 

決して、
「ここは24通り、ここは12通り、よって・・・」

 

というように、計算結果まで望んでいる訳ではありませんので!

 

先生が計算結果まで望んでいると思ってしまうと
「高校の授業・・・ムズッ!(=難)」
というふうになってしまいますね

 

 

 

 

 

【 ひねった普通順列 】

 

カードは同様なものを使いますね

 

012345

 

● 3の数字を作る、何通り? ←〇の数字 → こだわる → 順列

 

<ということは>
升3   

 

①先頭が「0」はダメ
 (∵2桁になってしまう)
 ∴先頭は6通りではなく5通り

 

∴ 5・5・4 = 100 通り


 

 

 

● 4の偶数を作る、何通り?

 

012345

 

<ということは>
升4   

 

①一の位が「0」「2」「4」、パターン3つ  (∵場合分け)
②万の位が「0」はダメ  (∵3桁になってしまう)

 

∴ (5・4・3)+(4・4・3)  +(4・4・3)  = 156 通り
 ↑場合分けの結果→和の法則


 

 

 

● 3枚を選んで並べた・・・とき、3つの積が5の倍数の自然数、何通り?

 

012345

 

<ということは>
升3   

因数5の場所はどこでも
よいですね

 

自然数(0を除く正の整数)より、因数に「0」はダメ
 → 元のカード枚数は0を除く5枚と同じこと
②5の倍数より、因数に必ず「5」がある

 

 ∴ 4・3 = 12 通り


 

 

 

● 両端が赤で、5枚を並べる・・・、何通り?

 

012345

 

<ということは>
升5   

 

→ 赤から考えて  → 2・1×4・3・2  = 48 通り


 

または

升5場合分け   

1・1×4・3・2 + 1・1×4・3・2
↑場合分けの結果 → 和の法則
  = 24+24 = 48 通り ←同じですね!
cf. 男女の並べ方も同じ考え方ですね


 

 

 

● 黒が隣合わせの並べ方・・・、何通り?

 

012345

 

<ということは>
4升を1つと見る   

 

①第1段階として、黒4つを1つと見れば
②カードは3枚扱いになる
③カード3枚の順列は、3・2・1  = 6通り

 

④実は まとめたマスのカードは内に24通り(4!)を持っていますね

 

∴ 3・2・1×(4・3・2・1)
 = 6×24 = 144 通り

 

cf. 男女の並べ方も同じ考え方ですね


 

 

または

升3フレーム3   

24・2・1+24・2・1+24・2・1
↑場合分けの結果 → 和の法則
 = 48+48+48 = 144 通り


 

 

 

● 赤が隣合わせにならない並べ方、何通り?

 

012345

 

<ということは>
升4∧5   

 

→① の5か所から2か所を選んで、並べる
 その2つを赤に置き換えることと同じ通り数
(=abcdeの5文字から
2文字「選んで」「並べる」ことと同じ)


 


  ポイント  

今後の説明でも
<ということは> 「~と同じこと」
とでてきますが、「同じこと」と言うのですから
カードのことは『切り離して』、
abcdeだけに専念してくださいね
カードなどのことは忘れる!切り離す!
ですね!

 

 

abcdeの5文字から2個選んで並べる …①
2升 5×4 = 20通り

 

②元の黒の並び  → 0 1 2 3 から4個(全部)選んで並べる…②
升4 4・3・2・1 = 24 通り

 

∴ ①×② = 20×24  = 480 通り

 

 

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① 重複順列

読み方は、「ちょうふくじゅんれつ」「じゅうふくじゅんれつ」どちらでもOKのようです。

 

普通の順列は、取り出した(選んだ)カードは、次に使えませんが、
重複順列は、1度選んだカードを『何回でも』使えます
それだけの違いですね

 

前提は、「全て異なるもの」を「全て異なるもの」に配ります
(どちらも「同じものを含まない」ということですね)

 

 

同じカードを使いますね

 

012345

 

重複を許して、3枚のカードを選んで並べる方法は何通り?

 

3枚のカード

→ 先頭で使った何かのカードが、何度でも使える
 ので、2つ目も 3つ目も 6通りとなります
 ∴ 6・6・6 = 63  = 216 通り


 

普通の順列なら、階段階段状でしたが、 (→ \({}_6 \mathrm{ P }_3\) → 6×5×4 → \({}_n \mathrm{ P }_r\))

 

重複順列は、 下がらない 下がりませんね! ( 63 → 6×6×6 → nr )

 

(キーワード)

「重複を許して」、「(袋に)戻して」、
「さいころ」、「2進法」、配る、
などがあれば、『重複OKかな?』 となりますね


 

 

今までの \({}_6 \mathrm{ P }_3\) が 63となるから、単純な感じがしますが、
何気に、日本語にすると「???」 となりがちですね

 

例えば、
3人に異なる・・・6個のお菓子を配る方法は何通り? ただし1個ももらえない人がいてもよい
(↑本当に重複順列の問題?と感じますね)

 

3人 → 人は区別します、
Aさん、Bさん、…となっていなくても、AさんBさんとします

 

おかし6種と3人  → 63  = 216 通り?

 

「配る」という言葉から、人がマスのようにイメージしてしまいがちですが、ダメですね!
→ Aさんに、お菓子1が行ったら、お菓子1はもう使えないですね
→ 重複が許されていない
→ しかも最終的にお菓子が3つ余りますね

 

 

正しいイメージは…お菓子達がマスです
お菓子が選ぶ  → 36 = 729通りですね!

 

ex. お菓子達がすべてAさんをえらんだ図
各お菓子達が、全部Aさんを選んだなら、Aさん6個、BさんCさんは0個

 

 

・「お菓子が配られる」というより「お菓子が人を選ぶ」イメージですね!
・「普通の順列」では、カード(A, B, Cさん)が減っていくので、
 4フレーム目以降には何も入れることができないですね!

 

・実際、「どっちがマス?」となってしまった時は・・・
1マス書いてシミレーションしてくださいね
人1マス …Aさんマスにお菓子1を入れると  …お菓子1はもう使えない!  = 重複が許されていない

 

お菓子1マス …品物1マスにAさんを入れると…次のマスにAさんを入れても矛盾はない!  = 重複に矛盾がない

 

よって、お菓子がマス!

 

cf. 3人に異なる6個のお菓子を配る方法は何通り? ただし1個ももらえない人がいてもよい を
(日本語訳ならぬ数訳すると)
「異なる」お菓子たちが、「異なる」ABC達を「選んで」、「並べる」方法は何通り?(自然に重複OK)ただし1個ももらえない人がいてもよい

すでに「並んでいる」お菓子たちが、「異なる」ABC達を「選ぶ」、方法は何通り(自然に重複OK)?ただし1個ももらえない人がいてもよい

 

 

(定義) 重複順列 nr

 

「異なるn個のものを、重複を許してr個選んで、並べる」 (基本)
↓ ↑
異なるn個のものを、並んでいるr個達がそれぞれ選ぶ
↓ ↑
並んでいるr個達がそれぞれ、異なるn個のものを、選ぶ
↓ ↑
(並んでいるr個達(お菓子達)がそれぞれ、異なるn個のもの(3人)を、選ぶ)

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

② 同じものが含まれるときの全順列

 

(前提)カード全てを使います(= 同じものを含む順列)

cf. 後で学びますが、「同じものが含まれて」そこから「何枚か」を取り出す場合は、「場合分け」をになります

 

 

同じカードを使いますが、黒のカードに番号がありません( = 同じものを含む)

 

        56

 

● 6枚の全順列は、何通り?

 

①いきなり式を立てることはできません。全パターン/かぶりパターンしかありませんね
②全パターンを求めるために、結局は黒のカードを区別して考えます

 

        56
 ↓
123456としますね

 

まず、全パターンを求めてみますね

 

(中学全順列)
6×5×4×3×2×1=720通り

 

(高校全順列)
\({}_6 \mathrm{ P }_6\) = 6!  = 6×5×4×3×2×1  = 720 通り

 

 

では、次に、かぶり ですね
123546
124536
132546
134526

 ・
 ・
 ・

も、黒を区別しなければ(黒から番号を消せば)、「同じ並び」にすぎないですね!
      5  6
すなわち、「内部的に」1234
全順列分、かぶりが存在するということですね

 

1, 2, 3, 4 の全順列は、 4×3×2×1= 4\(!\)  = 24 通りのかぶりがあるということですので、それを「1通り」とするためには…4\(!\)で割ればよいですね!

 


  かぶりをなくす方法  

同じものを使用しているマス数の階乗で割る

 

全パターン/かぶりパターン  = 6マス/4マス  =\(\large{\frac{全順列}{同じものの全順列}}\)  = \(\large{\frac{6!}{4!}}\)  = 6・5・4/4!の約分  = 30通り ですね

 

(6\(!\)は720通りなので、690通りもかぶりがあったのですね)

 

 

 

では
黒のカードだけでなく、赤のカードにも番号がありません
            

 

● 6枚の全順列は、何通り?

 

もうわかりますね!
どこかにある
123546
123645 なども 「かぶり」ということになりますね

 

全/かぶり

= 全順列/同じものの全順列・同じものの全順列
= 6マス/4マス・2マス
= \(\large{\frac{6!}{4!\ \cdot \ 2!}}\)  =6・5・4!/4!・2!の約分  = 6・5/2の約分  = 15 通り ですね


 

ちなみに、15通りを書き出してみますと

 

15通りの図

 

後で学ぶ \({}_6 \mathrm{ C }_2\)と全く同じことですね

 

 


公式

 

同じものを含む全順列 = 中学数学 場合の数 | = 全順列/同じものの全順列・同じものの全順列

 

 

《 例 》
(1) YOKOHAMA の8字を並び替えると何通りのつづりがありますか?
(綴り  →当然並びにこだわる  →順列)

 

・全部…8文字
・かぶり…Oの2文字、Aの2文字

 

 

同じものを含む全順列  

= 8マス/2マス・2マス
= 8・7・6・5・4・3・2/2・2の約分
= 56・30・6
= 10080 通り


 

 

 

(2) 子音(Y, K, H)が隣り合わない並び方は、何通り?

(母音) A, I, U, E, O
(子音) それ以外

<ということは>
OOAAのすき間は5個

 

→ 母音の並び数(かぶりあり) × 子音5か所からから3か所を「選ぶ」「並び数」(\({}_5 \mathrm{ P }_3\))ですね
4!/2!・2!  ×5・4・3  = 4・3・2/2・2の約分  = 6×60  = 360 通り

 

 

 

(3) 母音が偶数番目に入る並び方は、何通り?

 

<ということは>
8マス

 

必ず偶数番目  → 奇数番目無視  → 4マスの「同じものを含む全順列」
→ \(\large{\frac{4!}{2!\ \cdot \ 2!}}\) = 6通り

 

② 残りの4マスに、子音YKHMを並べる「普通全順列
→ 4\(!\) = 24通り

 

∴ ①×② = 6×24  = 144 通り

 

 

(4) YKHM が、この順番・・・・に並ぶのは、何通り? (いわゆる順序指定ですね)
(「この順番」とは、YKHM がくっついている必要はありませんね!
ex. □Y□KH□□Mなどでもよい)

 

<ということは>
8マスYKHMのために場所が4つ必要ですね

 

これは「4つを選んで並べる順列」ですね
(8マスから4つ「選んで」「並べる」、だけど「その4つ選ばれたマスに区別がない」
= 4つはとにかくYとKとHとMという1通り
= YKHMの並び1通りとみなすことができる)

 

4マス÷かぶり  = 4マス÷4マス>  = \(\large{\frac{{}_8 \mathrm{ P }_4}{{}_4 \mathrm{ P }_4}}\)  = \(\large{\frac{8×7×6×5}{4×3×2}}\)  = 7×2×5(約分した)  = 70通り

 

これは、後で学ぶ「組合せ」の \({}_8 \mathrm{ C }_4\) と全く同じことですね
8マスから4つ「選んで」「並べる」、だけど「4つに区別がない」(\(\large{\frac{{}_8 \mathrm{ P }_4}{かぶり}}\))
= 8マスから4つ「選ぶだけ」(\({}_8 \mathrm{ C }_4\))

 

 

② 次に、残りの4マスには、OOAAを入れるだけの「同じものを含む全順列」

 

→ \(\large{\frac{4!}{2!\ \cdot \ 2!}}\) = 6 通り
∴ 70×6  = 420 通り

 

 

〔 別解 〕
YKHMを同じ文字Xとおく   YKHM → XXXX
XXXXとOOとAAの「同じものを含む全順列」を求めて、

 

\(\large{\frac{8!}{4!\ \cdot \ 2!\ \cdot \ 2!}}\)  = 中学数学 場合の数 |  = 14・30  = 420 通り

 

XXXXをYKHMに戻します
XXXXにYKHMを戻す順番が、YKHMの順の1種類と指定されているので
∴ 420×1 = 420 通り

 

 

 

《 例 》
縦5横6のマス

 

(1) AからBに行くための最短経路は、何通り?
(いわゆる「最短経路」の問題ですね!
あみだくじでたどって数えるのは、厳しいですね!)

 

<ということは>
縦5横6のマス

 

Aから(→)6個と(↑)5個の計11回でBに行けますね
「同じものを含む全順列」ということですね
かぶり6!・5! で割ればよいですね!

 

→ \(\large{\frac{11!}{6!\ \cdot \ 5!}}\)  = 11・10・9・8・7・6!/6!・5・4・3・2の約分  = 11・42  = 462 通り

 

この場合の「かぶり」とは、たとえば
縦5横6のマス

 

(→)をそれぞれ E1E2E3E4E5E6
(中学数学 場合の数 |)をそれぞれ N1N2N3N4N5
とします

東:east → E
北:north → N

 

(\(\large{\frac{→}{E_1}}\) \(\large{\frac{↑}{N_1}}\) \(\large{\frac{→}{E_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_3}}\) \(\large{\frac{↑}{N_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_4}}\) \(\large{\frac{↑}{N_3}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{↑}{N_4}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{↑}{N_5}}\))も
(\(\large{\frac{→}{E_2}}\) \(\large{\frac{↑}{N_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{→}{E_5}}\) \(\large{\frac{↑}{N_5}}\) \(\large{\frac{→}{E_1}}\) \(\large{\frac{↑}{N_3}}\) \(\large{\frac{→}{E_3}}\) \(\large{\frac{↑}{N_4}}\) \(\large{\frac{→}{E_4}}\) \(\large{\frac{↑}{N_1}}\))も

↑矢印だけ見れば「同じ経路」ですね

 

順列は並びを区別しますから、同じ経路でもカウントしてしまいます

 

よって、

(\(\large{\frac{→}{E_1}}\) \(\large{\frac{↑}{N_1}}\) \(\large{\frac{→}{E_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_3}}\) \(\large{\frac{↑}{N_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_4}}\) \(\large{\frac{↑}{N_3}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{↑}{N_4}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{↑}{N_5}}\))も
(\(\large{\frac{→}{E_2}}\) \(\large{\frac{↑}{N_2}}\) \(\large{\frac{→}{E_6}}\) \(\large{\frac{→}{E_5}}\) \(\large{\frac{↑}{N_5}}\) \(\large{\frac{→}{E_1}}\) \(\large{\frac{↑}{N_3}}\) \(\large{\frac{→}{E_3}}\) \(\large{\frac{↑}{N_4}}\) \(\large{\frac{→}{E_4}}\) \(\large{\frac{↑}{N_1}}\))も
(\(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{↑}{N}}\) \(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{↑}{N}}\) \(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{↑}{N}}\) \(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{↑}{N}}\) \(\large{\frac{→}{E}}\) \(\large{\frac{↑}{N}}\))にすべく

 

\(\large{\frac{11\ \ !}{Eのかぶり階乗\ \cdot \ Nのかぶり階乗}}\)ですね

 

 

【 イメージ 】
●左右を両方上げている 左右挙げこの『』は何通り?

 

・組合せ君:「 左右挙げの1通り (\({}_2 \mathrm{ C }_2\))」!
→ 正解!!

 

 

・順列君:「まず①を上げて左挙げ、次に②を上げた左右挙げ
まず②を上げて右挙げ、次に①を上げた左右挙げの2通り (\({}_2\mathrm{ P }_2\))」!
→ 『』って言ったでしょ! それはこの「」になるための『方法数』でしょ!
順列君:「あっそうだ!『形』ということは、①②の順番は関係ない、
すなわち同じものあつかい、すなわち「かぶり」かぁ~、
「かぶり」で割って(\(\large{\frac{{}_2 \mathrm{ P }_2}{2!}}\))で…「1通り!」
→正解!!

 

 

●ではこの形 上右上は何通り?

 

・組合せ君:上右上の1通り
→ 正解!!

 

・順列君:右→まず 右上①の縦書いて、次に 上右上②の縦書いた「1通り」と・・・

 

上右②の縦書いて…

 

「順列君っ!」
・順列君:「ハイハイ、『形』ですね、1通りでしょ!」
→ 正解…(わざとか…)

 

 

(2) 点Pを通る最短経路は、何通り?

 

<ということは>

縦5横6のマス

最短経路範囲を、
目立つように(図は赤線使用)
すれば分かりやすいですね
A→C 合計矢印3、右2上1
C→D 1通り
D→B 合計矢印7、右4上3

 

cf. 赤線枠の外を通ると、Pを通らなかったり、
最短経路ではなかったりするということですね


 

→ AからCまでの最短経路×CからDの1通り×DからBまでの最短経路ですね

 

→ \(\large{\frac{3!}{2!\ \cdot \ 1!}}\)×1×\(\large{\frac{7!}{4!\ \cdot \ 3!}}\)  = 3!・7・6・5・4!/2・4!・3!の約分  = 21・5  = 105 通り

 

 

(3) 点Pを通らない最短経路は、何通り?

 

<ということは>
全体-通る = 通らない
ですね!いわゆる「余事象」ですね
全体462通り-通る105通り  = 通らない357 通り

 

 

(4) 点Qを通る最短経路は、何通り?
縦5横6のマス

 

\(\large{\frac{6!}{3!\ \cdot \ 3!}}\)×\(\large{\frac{5!}{3!\ \cdot \ 2!}}\)  = 6・5・4・3!・5・4・3!/3!・3!・3・2・2  = 10・20  = 200 通り

 

 

 

 

〔 書き込み方式 〕  (樹形図の和の法則利用)でも解けますね

 

例題問題同じものを含む順列経路別解   

 

① A→Cに行くには何通り?  →1通り
② といことは、途中のT字路も  →1通り
③ 同様にA→Dは?  →1通り
④ 同様に、途中のT字路も  →1通り


 

⑤ AからEに行くには?合流点は手前の和  →2通り

 

ということは、Eは手前・・11を足したものといえますね

 

⑥あとは、これをBまで続けると

 

場合の数の記入

 

かなりの手間にはなりますが
経路が長方形でない場合に使えますね!


 

例題問題同じものを含む順列経路別解のイメージ

 

 

 

 

「同じものを含み」、かつ、「何枚か」を取り出す順列

 

それでは、次に「同じものを含み、さらに、全部ではなく、何枚かを取り出す」パターンです

 

        45

 

● 上の6枚のカードから、4枚を並べる、何通り?

 

→ 難しいパターンですね! その都度「場合分け」をするしかありませんね

 

考えられる4枚のパターンは…
①(全部黒) 黒4フレーム  → \(\large{\frac{4!}{4!}}\)  = 1通り

 

②(1枚赤) 黒3フレーム赤1フレーム  → \(\large{\frac{4!}{3!}}\)×2通り  = 4通り×2通り  = 8通り

 

③(2枚赤) 黒2フレーム赤2フレーム  → \(\large{\frac{4!}{2!}}\)×2通り  = 6通り×2通り  = 12通り

 

 ∴ 1+8+12 = 21 通り

 

 

 

● この6枚のカードから、1枚を並べる、何通り?

 

        45

 

考えられる1枚のパターンは…
①(全部黒) 黒1フレーム  → 1通り (黒には区別がないから)

 

②(全部赤) 赤1フレーム  → 2通り

 

 ∴ 1+2 = 3 通り

 

 

 

● この6枚のカードから、2枚を並べる、何通り?

 

        45

 

考えられる2枚のパターンは
①(全部黒) 黒2フレーム  → 1通り

 

②(黒・赤) 黒1フレーム赤1フレーム  → 2通り×2通り  = 4通り

 

③(全部赤) 赤2フレーム  → 2通り

 

 ∴ 1+4+2 = 7 通り

 

 

 

● この6枚のカードから、3枚を並べる、何通り?

 

        45

 

考えられる3枚のパターンは
①(全部黒) 黒3フレーム  → 1通り

 

②(赤1枚) 黒2赤1フレーム  → \(\large{\frac{3!}{2!}}\)×2通り  = 6通り

 

③(赤2枚) 黒1赤2フレーム  → 全部バラバラ → 3!  = 6通り

 

 ∴ 1+6+6 = 13通り

 

 

 

● 上の6枚のカードから、5枚を並べる、何通り?

 

        45

 

考えられる5枚のパターンは
①(赤1枚) 黒4赤1フレーム  → \(\large{\frac{5!}{4!}}\)×2通り  = 10通り

 

②(赤2枚) 黒3赤2フレーム  → \(\large{\frac{5!}{3!}}\)×2\(!\)  = 20通り×2通り  = 40通り

 

∴ 10+40 = 50 通り

 

 

 

● 上の6枚のカードから、6枚を並べる、何通り?

 

    45

 

6枚のパターンは・・・全部を使うということ  → 「同じものを含む順列」ですね!

 

(念のため)
6枚のパターンは
①(黒4赤2) 同じものを含み かつ全部を使わない順列は場合分け  → \(\large{\frac{6!}{4!}}\)  = 30 通り

 

 


公式

同じものを含み、かつ、何枚かを取り出す順列   = 場合分け

 

 

 

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③ 円順列

 

順列は、「1列に並べること」 とありましたが、
「円形に1列」に並べると、「直線に1列」に並べる時とは変わった現象が起こりますね!

 

円順列は前提として、
・与えられたカードは全て異なる 
・与えられたカードを「全て使って」並べます

 

cf. 「10枚から6枚を選んで、円形に並べる」  →少し難しいですね
「6枚があります、それを円形に並べます」→今回はこれですね!

 

 

同じカードを「人」に置き換えますね
円順列とは1

 

● この6人を、円卓に座らせる方法は、何通り?

 

その前に、「円形は変わった現象が起こる」とありましたね、
ある「6通り」を円形に並べてみると…

 

自分姉妹父母祖母の円形    妹父母祖母自分姉の円形    妹父母祖母自分姉の円形    
父母祖母自分姉妹の円形    祖母自分姉妹父母の円形    自分姉妹父母祖母の円形    

 

父「せっかくの外食だから、家とは違う並び方にするぞ!」
自分「・・・変わってないんですけど・・・」

 

そうです
(自分, 姉, 妹, 父, 母, 祖母)も  (姉, 妹, 父, 母, 祖母, 自分)も、
(0, 1, 2, 3, 4, 5)も  (1, 2, 3, 4, 5, 0)も、
(1, 2, 3)も  (2, 3, 1)も、

 

違う並べ方ではありますが、円形に並べると、「位置関係」は同じですね!

 

円順列では このような「かぶり」を『同じ』とみなし・・・←数学ルールですて「〇通り」として数えません
 → まとめて「1通り」です

 

というわけで、円形に並べると、
 6人いれば「6通りづつ かぶりが存在」します
 5人なら「5通りづつ かぶりが存在」します
 4人なら「4通りづつ かぶりが存在」します

 

 

 

「6通り」を「1通り」とみなす方法は、その数である「6」で割ればよいですね
→「6通り」÷6  = \(\large{\frac{「6通り」}{6}}\)  = 1通り

 

cf. 実際は、全ての並び方に「6通り」づつ「かぶり」があるので

→ \(\large{\frac{ある「6通り」}{6}}\)+\(\large{\frac{ある「6通り」}{6}}\)+\(\large{\frac{ある「6通り」}{6}}\)+・・・\(\large{\frac{ある「6通り」}{6}}\)  = \(\large{\frac{「全通り」}{6}}\)
 = 円順列ですね!

 

 


公式

 

(前提:全て使い、全て異なる)
〔 かぶり排除 方式 〕

 

円順列

 

= 6マス/6  = \(\large{\frac{全順列}{6}}\)  = \(\large{\frac{6!}{6}}\)  = \(\large{\frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n}}\)  = \(\large{\frac{n!}{n}}\)

 

 

問題に戻って、再度
この6人を、円卓に座らせる方法は、何通り?

 

→ \(\large{\frac{6!}{6}}\)  = 6・5・4・3・2/6の約分  = 120 通り

 

 

円順列には、もう一つの導き方があります!
先頭を固定してしまい、その後続を「普通の順列」とする考え方です

 

先頭を自分に固定した図    

1、先頭を(誰でもよい)個定してしまいます
2、残りの「祖父 父 母 姉 妹」5人の並び方
が何通りあるか? ですね!
(もう円順列ではなく、普通全順列の問題に
なっていますね!)


 

 


公式

 

(前提:全て使い、全て異なる)
〔 先頭固定 方式 〕

 

円順列

 

(全員-1)の順列  = (n-1)\(!\)  = \({}_{(n-1)} \mathrm{ P }_{(n-1)}\)

 

 

こちらで解くと、
円順列  = (全員-1)の順列  = 6-1の順列  = 5人の全順列  = 5!  = 5・4・3・2  = 120 通り (上の公式と同じ答ですね)

 

「かぶり排除方式」
円順列の公式(先頭固定方式)

 「先頭固定方式」

 

 = 5・4・3・2


 

途中式が結局同じですね!

 

 

円順列は、「先頭固定方式」の方が使いやすいと思いますが、
「かぶり排除方式」も大切な考え方ですね!

 

 

それでは問題に戻りますね

 

自分父母祖母姉妹

 

● この6人を、円卓に座らせる方法は、何通り?

 

 (かぶり排除) \(\large{\frac{6!}{6}}\)  = 6・5・4・3・2/6の約分  = 5・4・3・2  = 120 通り
 (先頭固定) (6-1)!  = 5!  = 5・4・3・2  = 120 通り

 

 

● 「父」と「母」が隣り合う座り方は、何通り?

 

<ということは>
父と母を1人とみなして
先頭固定方式での解法15人扱いの円順列
5人の円順列 = (5-1)!  = 4!  = 4・3・2  = 24 通り

 

内に父母の並びもあるので、  24通り×2   ∴ 48 通り

 

 

● 「父」と「母」が隣り合わない座り方は、何通り?

 

<ということは>
「父」「母」以外を先頭に固定すると
円のすき間直線に延ばした図

 

a b c d の4か所から 2か所に父母を座らせること、
すなわち、(父母のために) 4か所から2か所を選ぶ順列と同じですね!

 

よって、

 

「4人の円順列」(父母以外の並べ方)×「4つ(abcd)から(父母の並べ方)2つ選んで並べる普通順列」
= (4-1)!×2マス   (=(4-1)!×\({}_4 \mathrm{ P }_2\))
  = 3!×12= 6×12  = 72 通り

 

 

● 父と母が向かいあう座り方は、何通り?

 

<ということは>
父を「固定」、母を「向かいに決めて」、残り4席の 「普通の順列」

 

先頭固定方式での解法3

 

1番目父4番目母の6フレーム   = 24 通り

 

cf.
→母が「向かい」=母を「どこかに決める」順列と同じことですね
ex. 3桁の数字が5の倍数→因数に5を含む→5の場所は先頭でも、真ん中でも、1の位でも、どこでもよいのと同じ考えですね

 

6フレーム母2番目 = 24 通り

 

6フレーム母5番目> = 24 通り

 

 

「父と母が向かいあう 座り方は何通り?」
=「父を固定、母を右ななめ決める 座り方は何通り?」
=「父を固定、母をどこでもいいから1か所決める 座り方は何通り?」
→真向かいという言葉にがんじがらめにならなくてもよいということですね

 

よって全て、 4×3×2 = 24   ∴ 24 通り

 

 

 

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④ じゅず順列 ( 数珠順列 )

法事などで使うじゅずイラストじゅず、ですね
「円卓の座席」は円順列でしたが、
「座席」の代わりに「石」や「玉」であった場合、円順列とはまた違った現象が起こりますね!

 

 

同じカードを「石」に置き換えますね
6つの宝石

 

● この6石を、糸でつないで首輪を作る方法は、何通り?

 

その前に、「円順列とは変わった現象が起こる」とありましたね、
ある「2通り」を円形に並べて、首輪のようにしますね

 

ある2通りの並び

 

確かに違う並び方ですが・・・
座席と違って、持ち上げて「裏から見ることができる」ですね!
では、自分の右手の甲を見て、(爪を宝石と思って)
それを向こう側から見てください

 

裏返した手のひら

 

実線で「折り返し」た感じになりますね!

 

同じ感じで、「12通り目」を裏から見ると(折り返すと)…

 

じゅず順列

 

というわけで、75通り目は12通り目と同じとみなして数えません
これが、円順列の「全通り」に存在しますので

 

 


公式

 

(前提:全て使い、全て異なる)

 

数珠順列 = \(\large{\frac{円順列}{2}}\)

 

もちろん、円順列は偶数通りですのでちゃんと割り切れます
〇〇.5通りなどにはなりませんので安心して下さい
ex. (5-1)!= 4!= 4・3・2
  (4-1)!= 3!= 3・2
 ↑必ず因数に「2」を含むので、「偶数」

 

さらに、元が奇数個でもちゃんと「2通りづつ」同じものが存在しますので、
安心して「2」で割って下さいね!

 

ex.
奇数個のじゅず

 

 


ポイント

 

ポイントは、問題文の日本語ですね
「つなぐ」「じゅず状にする」「ネックレス」など
「並べる」「円にする」だけでなく「つなぐ」という意味が見て取れたら、
「じゅず順列」ですね

 

 

 

 

 

 

【 同じものを含む円順列・じゅず順列 】

 

同じものを含む円順列に変えますね

 

● 黒カード3枚、「4」、赤カード2枚 を円形に並べる方法は、何通り?

 

<ということは>
1枚しかないカードを固定して、
後は「普通の順列」→「同じものを含む順列」に変えて考えるだけですね!

 

「4」のカードを固定 → あとは黒3枚、赤2枚の「同じものを含む順列」

 

→ (6-1)!= 5! が \(\large{\frac{5!}{3!\ \cdot \ 2!}}\) になるだけですね
5・4・3!/3!・2の約分  = 10 通り

 

 

● じゅず状に並べる方法は、何通り?

 

同じものを含む場合、単純に2で割ることができません
なぜなら、2で割る理由は
「違う並びであるのに、裏から見ると同じである」並びを排除するためでしたね
逆をいうと、「ある並びを裏返すと、違うものになる」という必要がありますね

 

ということは
「左右対称」の並びは、裏返しても 違う並びになりませんね

 

同じものを含むじゅず順列1

 

ということは、右の並びは、全10通りの中で元々「かぶり」として排除されていますね!
それなのに「2」で割るということは、(3通り目)の「1通り」を「2」で割る
→「0.5通り」となってしまいますので、
こういう左右対称なものは、「2」で割る前に「よけておきます」

 

では次に、
あとは、「左右対称なもの」が何個あるか?ですね
1つ目は自力で見つけ出すにしても、それに付随する「左右対称なもの」は
右半分の順列」ということになりますね
例えば

 

同じものを含むじゅず順列2

 

よって、
「同じものを含む全順列」(今回は2つですので同じものを含んでいません)
= 2! = 2通り ですね!

 

ex.

片側に2つ同じもの    

 

この場合は
\(\large{\frac{3!}{2!}}\) = 3通り
ですね


 

 


公式

 

同じものを含むじゅず順列  = (円順列-元々かぶりが排除されているもの)/2+左右対称なもの ←取り除いておいたものを戻す意味
(円順列-左右対称なもの)/2  +左右対称なもの

 

 

問題に戻りまして、再度
● じゅず状に並べる方法は、何通り?

 

→ 同じものを含むじゅず順列  =\(\large{\frac{円順列-左右対称なもの}{2}}\)+左右対称なもの  = \(\large{\frac{10-2}{2}}\)+2  = 4+2  = 6 通り

 

 

上のex.
左右対称で同じものが2つ なら

 

・円順列= \(\large{\frac{7!}{5!\ \cdot \ 2!}}\)  = 21通り
・左右対称なもの= \(\large{\frac{3!}{2!}}\)  = 3通り
∴ 同じものを含むじゅず順  = \(\large{\frac{円順列-左右対称なもの}{2}}\)+左右対称なもの  = \(\large{\frac{21-3}{2}}\)+3  = 12通り

 

 

 

【 1枚しかないカードがない場合 】

 

・・・いい考え方がありませんね!
よって、全てのパターン図を書き出すしかないと思われます!

 

円順列
パターン1    パターン2    パターン3    
パターン4    パターン5    

 

(1)と(5)、(2)と(4)は「位置関係」が同じですね   ∴ 3 通り

 

 

じゅず順列
裏返すと違うものが もう排除されてしまってますね(してくれてますね)
言い換えれば、「裏から見たら同じだ というかぶり」がないですね   ∴ 3 通り

 

 

 

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c ~ 組合せ ~

 

順列は選んだ後の「並び方」にまでこだわりましたが、
組合せは選んだ後の「並び」はこだわりませんね!選ぶだけです
(前提) 異なる(n個)ものから、異なる(r個)ものを、選ぶ

 

 

組合せ:選ぶだけ
順列:選んで、選んだものの順も気にする

 

 \({}_{10}\mathrm{ P }_4\)÷4! = \({}_{10}\mathrm{ C }_4\)    
 \({}_{10}\mathrm{ C }_4\)×4! = \({}_{10}\mathrm{ P }_4\)    

 

「組合せ」は「同じものを含む順列」と同じように、「だぶり」で割るということですね
「だぶり」のイメージは「内部」「2層目」という感じでしょか(選ばれた後の処理)

 

「だぶり数」は選んだ数の個数の階乗分ありますね(=選んだ個数の全順列分)

 

ex.
・選ばれた4つの「だぶり数」は?4マス  = 4!  = 24 通りですね
・選ばれた3つの「だぶり数」は?  →3!  = 6通り

 

1層目と区別して 三角形のマスにしますね

 

〔リアルなイメージ〕

 

泥棒さんが、自転車を盗もうとしています
さらに、盗んだキャッシュカードで現金を引き出そうとしています
1回の試行でロックを解除する確率は?
ただし、数字は4つであることは知っているようです

 

自転車のカギ ATMの10キー

 

二者の10キーから4つを「選ぶ」場合の数は?
→ \({}_{10}\mathrm{ C}_4\)  = \(\large{\frac{10\ \cdot \ 9\ \cdot \ 8\ \cdot \ 7}{4!}}\)  = 210 通り
(4つへこますパターン数は210通り)

 

自転車のカギ 

 

自転車のカギは「\(\large{\frac{1}{210}}\)の確率で1回で開きますね!
→ 1458 さえ「選ばれ」ていればよい(組合せ)
(何から押してもよい)
→ 1と4と5と8 さえ「へこんで」いればよい
→ 1と4と5と8 さえ「へこんで」いる『』であればよい
(↑この『』ということを意識すると「組合せ」の勉強がstep upしますね!)

 

ATMの10キー

 

対してATMは  「1→4→5→8」では解除しませんね
\({}_{10}\mathrm{ C}_4\)×4!  = すなわち \({}_{10}\mathrm{ P}_4\)  = 10・9・8・7  = 5040通り
ATMは「\(\large{\frac{1}{5040}}\)の確率で1回で解除しますね!
→ 選んだ後の順番に「こだわる」(順列)
→ 8145

 

●順列  ≒ ATM  ≒ 〇  ≒ \({}_{10}\mathrm{ P}_4\)
●組合せ  ≒ 自転車のカギ  ≒ 〇  ≒ \({}_{10}\mathrm{ C}_4\)

 

 

 

 

 

 

前提:すべて異なり、異なるものを選び、並びにこだわらない

 

012345

 

● 「3」を選ぶ方法は、何通り?
マスに3を選択←「3」と指定されてしまいましたね、当然に「1通り」ですね

 

 

 

● 1枚を選ぶ・・方法は、何通り?
1マスに6通りあり得る←0でも1でも…6でもよい、あるのは6枚のカードだから、6通り

 

中学生と高校生の組合せの表現方法の違い1
ここまでは、「順列」と同じ結果ですね (だぶりがないから)

 

 

 

● 2枚を選ぶ・・方法は、何通り?

 

012345

 

6枚から2枚選んだまとめ

 

 

 

● 3枚を選ぶ・・方法は、何通り?

 

012345

 

中学生と高校生の組合せの表現方法の違い2

 

 

 

● 4枚を選ぶ方法は、何通り?

 

012345

 

6枚から4枚選んだまとめ

 

ここで、6枚から4枚選ぶ通り数は、
先に出てきた6枚から2枚選ぶ通り数と
(\({}_6 \mathrm{ C }_2\)=\(\large{\frac{6\ \cdot \ 5}{2!}}\)=15通り)
同じであると気づいたかもしれませんね!

 

残り側を選ぶことと同じになる理由>

 

となりますものね!
よって、4枚を選ぶ通り数 = 残りの通り数(6-4 = 2枚を選ぶ通り数)
すなわち、4枚を選ぶ場合、残り(2枚)の方を選んでも同じ
\({}_n \mathrm{C }_r\) = \({}_n \mathrm{C }_{(n-r)}\)

 

ex.
自転車のカギで例えるならば
「1458」をへこますことは「023679」を浮かび上げることと同じですね

 

自転車のカギ 

 

完成形から見た人は
「023679を選んだのかな?」
と思うかもしれませんね!

 

 

少しだけ計算が楽になりますね

2つの組に分ける方法と同じ

 

6・5・4・3/4・3・2の約分と6・5/2・1の約分

 

6C4の計算と値6C2の計算と値

 

 

さらに、4枚の組と2枚の組の、2つの組に分ける方法は何通り
と同じということにもなりますね!

 

ex. 上の(図1)を見ながら
\({}_6 \mathrm{ C }_4\) は「異なる6個から4個を選ぶ方法は何通り?」ではありますが、
=「異なる6個を、4つの組と2つの組、2つに分ける方法は何通り?」
ということにもなりますね

 

\({}_6 \mathrm{ C }_4\) は「4に注目」しているようで、実は「2にも注目」している

 

 

というわけで、次の「5枚を選ぶ方法は、何通り?」は
「1枚を選ぶ方法は、何通り?」と同じになるのですが、念のため。

 

 

 

● 5枚を選ぶ方法は、何通り?

 

012345

 

中学生と高校生の組合せの表現方法の違い3

 

 

 

● 6枚を選ぶ方法は、何通り?  → 全部選ぶ → 1通り ですね

 

012345

 

 


余談

 

組合せの樹形図の書き方のコツ

 

「組合せ」の樹形図の書き方のコツは、

 

・「数字の小さいものから書く」  「アルファベットの小さいものから書く」
ここまでは、「順列」と同じですね! さらに

 

左より小さいものを書かない! ですね!

 

→ 左より小さい数字を書いてしまいますと、
同じ意味の並びをすでに書いているはずですので、
ダブルカウントになってしまいますね!

 

ex. 1→3→2 は先に書いた 1→2→3と同じ→ ダブルカウント!

 

 

《 例 》 1, 2, 3, 4 から3つを選ぶ・・方法は何通り?

 

→ キーワード「選ぶ」  → 区別しない  → 組合せ

 

樹形図の1列目樹形図の2列目以降

 

 

 

 


余談

 

組合せ  C(コンビネーション) の意味

 

\({}_6 \mathrm{ C }_2\) や \({}_6 \mathrm{ C }_3\) や \({}_n \mathrm{ C }_r\) ですが、

・読み方は、

 

「6C2(ろくシーに)」「6C3(ろくシーさん)」となります

 


 

・意味は、

 

異なる・・・n個のものから、異なるr個のものを、取り出す・・・・(=組合せ)」
となりますね
心の中では「nコ(6コ)から、rコ(3コ)ただ選ぶ・・・・」で十分ですね

 


 

・計算方法は、

 

\({}_6 \mathrm{ C }_2\) であれば、
「6! の前2つをだぶり(2マスの順列)で割る」
  → コンビネーションの意味  = 15 ですね

 


・公式風なら、6!/(6-2)!・2!

6!の尻尾を
切る
ためのもの

だぶりを
無くす
ためのもの

 

 

→ \(\large{\frac{6!}{4!\ \cdot \ 2!}}\)  → \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4!}{4!\ \cdot \ 2}}\)  →6・5・4!/4!・2の約分  → 15

中学の6通り・5通り/2通り・1通り>をかっこよく
表現しただけですね!


 

 

\({}_6 \mathrm{C }_3\)→ 「6!の 前3つを 3!で割る」→\(\large{\frac{6×5×4}{3!}}\) = 20 ですね

 

公式風なら、\(\large{\frac{6!}{(6-3)!\ \cdot \ 3!}}\)  → \(\large{\frac{6!}{3!\ \cdot \ 3!}}\)  → 6・5・4・3!/3!・6  → 20

 

\({}_6 \mathrm{C }_3\) → \(\large{\frac{6!}{(6-r)!\ \cdot \ r!}}\)

 

 

\({}_n \mathrm{C }_r\)

 

 → nPr/r!

\(\large{\frac{順列}{だぶり}}\)

 → n!/(n-r)!・r!

意味ありげな分母ですが、
「ただ分子の階乗の尻尾を切りたい
という意味だけの分母」×「だぶりを
無くすと言う意味の分母」ですね!


 

 

Cの計算方法を一言で言えば、  「n ! の前 r 個 を、 r ! で割るで十分ですね

 

(例) \({}_7 \mathrm{C }_4\)

 = \(\large{\frac{7\ \cdot \ 6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{4!}}\)
 = \(\large{\frac{7\ \cdot \ 6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{4\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)


 

 

\({}_6 \mathrm{C }_6\) = 1 (全部を選ぶという選択)
\({}_n \mathrm{C }_n\) = 1 (全部を選ぶという選択)
\({}_n \mathrm{C }_0\) = 1 (何も選ばないという選択)
\({}_n \mathrm{C }_r\) = \({}_n \mathrm{C }_{(n-r)}\) (反対を選んでもよい)

 

 

 

「C」も「P」もそれ自体は「公式」ではなく、「短縮語」ですね!
→ \({}_6 \mathrm{C }_3\)「6個から3個選ぶ」、\({}_6 \mathrm{P }_3\)「6個から3個選んで並べる」という「意味」

 

 

練習問題事象を文字式で表す

 

 

《 例 》
男子3人、女子3人がいます

 


ポイント

 

● 人は、「区別があります」 → 実は 1,2,3,4,5,6、a,b,c,d,e,f である

 

 人 → 区別をつけて選ぶ

 

  → ①並びにこだわる(順列)   ex. 男子・女子を並べる、  委員長、  副委員長
  → ②並びにこだわらない(組合せ)   ex.  男子・女子を選ぶ、  役員

 


 

● 「人」、数字・アルファベットが書かれた「もの」以外は、「区別できません」  (みかん3個、赤玉2個、などですね)

 

 白玉  → 仮に区別をつけて選ぶ  → 戻す(区別をなくす)(=組合せ)

 

 

 

再度、男子3人、女子3人がいます

 

(1) 委員長、副委員長、書記長の3人を選ぶ方法は、何通り?

 

<ということは>
「人」→「区別します」、  「並び」→「こだわっている」  → 順列

 

123456

 

委員長副委員長書記長  = \({}_6 \mathrm{P }_3\)  = 6・5・4  = 120 通り

 

 

 

(2) 3人の代表を選ぶ方法は、何通り?

 

<ということは>

 

「ただ選ぶ」  → 特定のポスト(座席)なし  → こだわりなし  → 組み合わせ

 

例題問題組合せ2  = \({}_6 \mathrm{C }_3\)  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 20 通り

 

 

 

(3) 男子2人、女子2人を選ぶ方法は、何通り?

 

3・2/2・1  × 3・2/2・1  = \({}_3 \mathrm{C }_2\)×\({}_3 \mathrm{C }_2\)  = 9 通り

 

 

 

(4) 少なくとも 女子が1人 入るように3人を選ぶ方法は、何通り?

 

(「少なくとも」というキーワードがあれば、余事象ですね)

 

<ということは>
少なくとも女子が1人  = 全ての3人の選び方  - 女子が0の3人の選び方(=全て男子)
= 6・5・4/3・2・1 - 3・2・1/3・2・1
= \({}_6 \mathrm{C }_3\)-\({}_3 \mathrm{C }_3\)  = 20-1  = 19 通り

 

 

〔正当に「場合分け」でも大丈夫です〕
 考えられるパターンは・・・

 

① 女子1男子2  → \({}_3 \mathrm{C }_1\)×\({}_3 \mathrm{C }_2\)  = 3×3  = 9 通り
② 女子2男子1  → \({}_3 \mathrm{C }_2\)×\({}_3 \mathrm{C }_1\)  = 9通り
③ 女子3  → \({}_3 \mathrm{C }_3\)  = 1 通り
 ∴ (場合分けは「和の法則」でしたね)  9+9+1  = 19 通り

 

 

 

 

《 例 》
(1) 八角形の対角線は、何通り? (=何本?)

 

 八角形

 

1、2本ほど対角線を引けば、なんとなく分かりますね!
→ (1 3)→(3 1)は「だぶり」で 1通り
→ 隣は対角線ではなく辺 → 辺の数は8
→ 1 2 3 4 5 6 7 8 から 2点「選ぶ」こと-辺数 ですね
∴ \({}_8 \mathrm{C }_2\)-8  = \(\large{\frac{8\ \cdot \ 7}{2\ \cdot \ 1}}\)-8  = 20 通り

 

もちろん、先に学んだ平面図形の「多角形の対角線の本数」の公式で求めてもかまいませんね

 

 

 

(2) n角形の対角線は、何通り? (=何本?)

 

\({}_8 \mathrm{C }_2\)-8 の 8をnに換えるだけですね

∴ \({}_n \mathrm{C }_2\)-n  = \(\large{\frac{n\ \cdot \ (n-1)}{2\ \cdot \ 1}}\)-n  = \(\large{\frac{n\ \cdot \ (n-1)}{2}}\)-\(\large{\frac{2n}{2}}\)  = \(\large{\frac{n\{(n-1)-2\}}{2}}\)  = \(\large{\frac{n(n-3)}{2}}\)

 ←図形の公式と同じですね

 

 

 

(3) 八角形の頂点を結んでできる三角形の個数は、何個?

 

 八角形

 

8個の頂点のうち、3個を「選べば」三角形ができますね
∴ \({}_8 \mathrm{C }_3\)  = \(\large{\frac{8\ \cdot \ 7\ \cdot \ 6}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 56 個

 

 

 

(4) (3)の三角形で、八角形と「辺を共有する」三角形は、何個?

 

・(3)の左上の三角形などは、
八角形と「2辺を共有する」三角形ですね
このような三角形は、頂点の数だけありますね
∴ 8 個 …①
・(3)の中程の三角形などは、
八角形と「1辺を共有する」三角形ですね
このような三角形は、1辺につき4個ありますね

 

 1辺を共有する三角形

 

 ∴ 4個×8辺 = 32 個 …②
 ∴ ①+② = 40 個

 

 

 

《 例 》
6人家族

 

の8人から5人を選んで円形に座らせる方法は、何通り?

 

(第1段階) 8人から5人を選ぶ   \({}_8 \mathrm{C }_5\)  = 8・7・6・5・4/5・4・3・2・1の約分  = 56 通り

 

(第2段階)   あとは5人の円順列×56通り
 5人の円順列  = (5-1)!  = 4・3・2  = 24 通り

 

 ∴ 24通り×56通り  = 1344 通り

 

 

 

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① 重複組合せ

 

重複組合せとは(異なる)n種類のものから重複を許して r個(r回)選ぶ(選んだ後の順番にはこだわらない) ことですね
( = 区別のない r個達が、区別のあるn種類の器を、各々選ぶ!  で十分ですね!)

 

重複とは、例えば、全て異なる a b c d e f の6個から3個取るとき、
普通の「組合せ」では、( a b c ) ・・・ ( d e f )のように(カッコ)内は
全て異なっていましたが

 

「重複組合せ」では、( a a a )( a a b ) ・・・ ( c c c )も可能
「重複順列」ではさらに( a a b) なら( a b a ) ( b a a )も違うものとしていましたね

 

重複が許されるので「元」より大きいr(a a a a a a a a)個(回)選ぶことも可能ですね

 

ですが、結局は「C」を使いますので、「重複組合せ」の定義は意識せず

 

〇の間を┃(仕切り棒)が動く問題に出会えば、「ああ重複組合せか」と
思うくらいで十分ですね!

 

 

 

《 例 》
10個のみかんを、Aさん、Bさん、Cさん に分ける

 

(1) 1つももらえない人がいてもよい場合、何通り(の分け方)?

 

本当に「重複組合せ」の問題?と思ってしまいますね
→AさんBさんCさん(n種)を、10(r)回選ぶ、選んだ後の並びはこだわらない
 (選んだ後の並びにこだわらないことをいいことに、そこを「みかん」としている)
→(区別のない)みかん10個が、それぞれ1回づつ合計10回選ぶ

 

(みかんではなく、人等←区別がある(並びにこだわる)なら、重複順列でしたね)

 

<ということは>
重複組合せとは の10個のみかんが

 

(区別のある)ABCをそれぞれ選んでいくのですが・・・
みかんに区別がないので、Aを選んだみかんは「左に集めてしまう」、Bを選んだみかんは「真ん中に集めてしまう」、Cを選んだみかんは「右に集めてしまう」、という意味で

 

(┃) 仕切り棒2本を みかんと「合体」させて、動かすこと と考えられますね!
=みかんを2つ増やして、12個のみかんのうちの2つを「選ぶ=それを(┃)とみなす」ということですね

 

例えば、仕切り棒(┃)がそれぞれ自由に動いて、

 

(図)

 

例題問題重複組合せ なら、Aさん3個・Bさん2個・Cさん5個の形と見れますね
┃┃〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 なら、Aさん0個・Bさんも0個・Cさん10個と見れますね
〇〇〇〇〇┃┃〇〇〇〇〇 なら、Aさん5個・Bさん0個・Cさん5個と見れますね
┃〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇┃ なら、Aさん0個・Bさん10個・Cさん0個と見れますね

 ・
 ・
 ・

というわけで、10個のみかんと仕切り2本の合計12から、2個選ぶ形ということと同じ意味ですね!

 

12個から2個選ぶ → 12・11/2.1  = \({}_{12}\mathrm{C }_2\)  = \(\large{\frac{12\ \cdot \ 11}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 66 通り

 

ex. 66通りの中身は、

 

CCCCCCCCCC BCCCCCCCCC

 

ACCCCCCCCC ABCCCCCCCC

 

AAAAAAAAAB AAAAAAAAAA・・・全66通り

 

 


ポイント

 

組合せ(C)の3つのイメージ

 

C(コンビネーション)は 
「ただ選ぶ」というイメージは持てていたとは思いますが、
さらに2つ、全部で3つのイメージを持っていると今後の勉強の理解に
とても役立ちますね!

 

それでは

 

● 1つ目のイメージは 「選ぶ 通り数」でしたね
 すなわち、順列で並べたものを並びに「こだわらなくした」イメージ

 

選ぶというイメージ

 

cf. 「4→7」「7→4」は
違うから「2通り」とする
のは『順列』でしたね


 

→ 12個から2つ「選ぶ」  → \({}_{12} \mathrm{C }_2\)  → \(\large{\frac{12\ \cdot \ 11}{2}}\)  = 66 通り

 

2つを取り出すイメージ

 

 

 

● 2つ目のイメージは 「残りが 勝手に決まる」、
 すなわち、〇個組と△個組に「分ける」イメージですね

 

名をつけて別けるというイメージ

 

→ 12個から2つ「選ぶ」、残りの「選び方」→ \({}_{12} \mathrm{C }_{10}\)  = 66通り
(「残りの選び方」といっても、最初の「2つの選び方」しだい
ですので「残りの選ばれ方」ですね 「袋から出さなければ袋に残っている方の 通り数」とも言えますね)

 

→ 12個から2つ「選ぶ」 = 12個から自動的に10個「選ばれる」

 

→ \({}_{12} \mathrm{C }_{10}\) = \({}_{12} \mathrm{C }_2\) につながりますね \({}_n \mathrm{C }_r\) = \({}_n \mathrm{C }_{n-r}\)でしたね

 

残った方にもスポット

 

結果、「2個の組枠」と「10個の組枠」に「分ける通り数」と言えますね

 

さらに、残りの枠(控え枠)から「4個組(二軍)」を選ぶと・・・

 

残りをさらに分ける

 

このようなイメージですね!

 

 

 

● 最も重要な、3つ目のイメージは「の通り数」ですね

 

例えば、1~12の数字が書かれた12枚の札などがあるとします
形を表すというイメージ1

 

今回は、選んだものを手元に取出さずに「その場」で選びます
(選んだものを指で押さえる感じでしょうか、赤く同時に光るイメージでいきますね

 

・4と7 を選んだ場合
12の札の4と7を選択  …型No33
これは、選んだ2つのマスを、(┃)に置きかえれば、
〇〇〇┃〇〇┃〇〇〇〇〇 というを表していますね
他にも、選んだ2つのマスを、(/)赤色に置きかえれば、
/ / /// / / / / / / / というを表していますね!
他にも、  ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ を
他にも、  → → → → → → → → → → を表していますね!

 

 

・1と2 を選んだ場合
中学数学 場合の数 |  …型No1
これは、┃┃〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
他には、  // / / / / / / / / / /

 

 

・6と7 を選んだ場合
形を表すというイメージ1  …型No46
これは、〇〇〇〇〇┃┃〇〇〇〇〇
他には、  / / / / / / / / / / / /

 

 

・11と12 を選んだ場合
12の札から11と12を選択  …型No66
これは、〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇┃┃
他には、  / / / / / / / / / / //

 

 

・1と12 を選んだ場合
12の札から1と12を選択  …型No11
これは、┃〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇┃
他には、  / / / / / / / / / / / /
他にも、  ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ を
他にも、  → → → → → → → → → → を表していますね

 

 

どれ一つ同じ「型」はないですね
それが、全部で66パターンあるということですね

 

すなわち \({}_{12} \mathrm{C }_2\) は、
→「 のパターン数」ともなりますね!

 

 

パソコンも同じ原理ですね、
パソコンは「0」と「1」の並び方(形)で
「文字」を表現していますね!

 

1001 の並び(型)であれば  → 9 を表す
1010 の並び(型)であれば  → A を表す
1011 の並び(型)であれば  → B を表す
1100 の並び(型)であれば  → C を表す
1101 の並び(型)であれば  → D を表す
1110 の並び(型)であれば  → E を表す

 

【 まとめ 】

 

\({}_{12} \mathrm{C }_2\) の意味

 

●「2個を選ぶ通り数」(順列のこだわりをなくす)
●「2個組と10個組に分ける通り数」
●「12のうちの2つを選ぶ(位置関係)のパターン数」(その場から動かさず。選んだものは違うものとする感じ)

 

組合せの本質のイメージ
上段(3通り)、中段(15通り)、下段(20通り)ともに
同じ「光り方(形)」はないですね!
全体として  3×15×20 = 900通りの光り方がありますね

 

 

 

《 例 》
縦5横6のマス
(1) AからBに行くための最短経路は、何通り?

 

同じものを含む全順列」で解いていますね

 

 

(別解)として、Cの方がシンプルに解けるというお話です。
上の「位置関係のパターン数」を利用します

 

図は右に「6」、上に「5」の合計「11」で最短経路ですね
これを「上」と「右」の「位置関係のパターン数」にすると

 

11個の右矢印

 

この11マスから5個を選んで、
それを「上↑」とみなせばよい ということですね

 

ex.
11個の右矢印のうち5個を上↑に変えた1例

 

ですね、「型のパターン数」の利用ですね

 

∴ \({}_{11} \mathrm{C }_5\)= 11・10・9・8・7/5・4・3・2・1の約分  = 11・42  = 462 通り

 

 

 

《 例 》
下図のような、横に6本の線と縦に4本の線によって作られる
平行四辺形は何個あるでしょうか?

 

6本の横線に4本の縦線   

 

平行四辺形を3つ作ってみた例
たくさんありそうですね


 

ですが、どの平行四辺形も結局は 「縦2本と横2本の線」
によってできていますね
これも、「型のパターン数」の利用ですね

 

横から2本、縦から2本選ぶことと同じ

 

というわけで、

 

横6本のうちの2本が赤の組み合わせ × 縦4本のうちの2本が赤の組み合わせ

 

ですね
= \({}_6 \mathrm{C }_2\)×\({}_4 \mathrm{C }_2\)  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5}{2\ \cdot \ 1}}\)×\(\large{\frac{4\ \cdot \ 3}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 15×6  = 90 個 通り

 

【 イメージ 】
●左右を両方上げている 左右挙げこの『』は何通り?

 

・組合せ君:「 左右挙げの1通り (\({}_2 \mathrm{ C }_2\))」!
→ 正解!!

 

 

・順列君:「まず①を上げて左挙げ、次に②を上げた左右挙げ
まず②を上げて右挙げ、次に①を上げた左右挙げの2通り (\({}_2\mathrm{ P }_2\))」!
→ 『』って言ったでしょ! それはこの「」になるための『方法数』でしょ!
順列君:「あっそうだ!『形』ということは、①②の順番は関係ない、
すなわち同じものあつかい、すなわち「かぶり」かぁ~、
「かぶり」で割って(\(\large{\frac{{}_2 \mathrm{ P }_2}{2!}}\))で…「1通り!」
→正解!!

 

余談が長くなってしまいましたので
再度、問題文です

 

《 例 》
10個のみかんを、Aさん、Bさん、Cさん に分ける

 

(1) 1つももらえない人がいてもよい場合、何通り? → 済

 

 → 10+仕切り棒2本 = 12
 <ということは>
 → 12個の〇から2つを選んで、その2つを┃に変えることと同じ
 ∴ \({}_{12} \mathrm{C }_2\)  = 66 通り

 

  (CCCCCCCCCC)  (BCCCCCCCCCC)  (BBCCCCCCCC)  (BBBCCCCCCC)  (BBBBCCCCCC)  (BBBBBCCCCC)  (BBBBBBCCCC)  (BBBBBBBCCC)  (BBBBBBBBCC)  (BBBBBBBBBC)  (BBBBBBBBBB)  (ACCCCCCCCC)  (ABCCCCCCCC)  (ABBCCCCCCC)  (ABBBCCCCCC)  (ABBBBCCCCC)  (ABBBBBCCCC)  (ABBBBBBCCC)  (ABBBBBBBBCC)  (ABBBBBBBBC)  (ABBBBBBBBB)  (AACCCCCCCC)  (AABCCCCCCC)  (AABBCCCCCC)  (AABBBCCCCC)  (AABBBBCCCC)  (AABBBBBCCC)  (AABBBBBBCC)  (AABBBBBBBC)  (AABBBBBBBB)  (AAACCCCCCC)  (AAABCCCCCC)  (AAABBCCCCC)  (AAABBBCCCC)  (AAABBBBCCC)  (AAABBBBBCC)  (AAABBBBBBC)  (AAABBBBBBB)  (AAAACCCCCC)  (AAAABCCCCC)  (AAAABBCCCC)  (AAAABBBCCC)  (AAAABBBBCC)  (AAAABBBBBC)  (AAAABBBBBB)  (AAAAACCCCC)  (AAAAABCCCC)  (AAAAABBCCC)  (AAAAABBBCC)  (AAAAABBBBC)  (AAAAABBBBB)  (AAAAAACCCC)  (AAAAAABCCC)  (AAAAAABBCC)  (AAAAAABBBC)  (AAAAAABBBB)  (AAAAAAACCC)  (AAAAAAABCC)  (AAAAAAABBC)  (AAAAAAABBB)  (AAAAAAAACC)  (AAAAAAAABC)  (AAAAAAAABB)  (AAAAAAAAAC)  (AAAAAAAAAB)  (AAAAAAAAAA)
の66通り

 

(2) 1つはもらえる場合は、何通り?

 

<ということは>
例題問題組合せ類似問題 のみかん10個のすき間
9個の∧のうち どれか2つを選んで、赤()に換えれば、

 

ex.
9個の∧から2つを赤にした図なら
必ず1つはもらえていることになりますね!

 

∴ \({}_9 \mathrm{C }_2\) = \(\large{\frac{9\ \cdot \ 8}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 36 通り

 

〔考え方2〕
3人に先に(もらえない防止のため)1つづつ分けておきます
残り  〇〇〇 〇〇〇 〇 7個+仕切り棒(┃)2本  =9
∴ \({}_9 \mathrm{C }_2\) = 36 ←全く同じですね

 

  (ABCCCCCCCC)  (ABBCCCCCCC)  (ABBBCCCCCC)  (ABBBBCCCCC)  (ABBBBBCCCC)  (ABBBBBBCCC)  (ABBBBBBBCC)  (ABBBBBBBBC)  (AABCCCCCCC)  (AABBCCCCCC)  (AABBBCCCCC)  (AABBBBCCCC)  (AABBBBBCCC)  (AABBBBBBCC)  (AABBBBBBBC)  (AAABCCCCCC)  (AAABBCCCCC)  (AAABBBCCCC)  (AAABBBBCCC)  (AAABBBBBCC)  (AAABBBBBBC)  (AAAABCCCCC)  (AAAABBCCCC)  (AAAABBBCCC)  (AAAABBBBCC)  (AAAABBBBBC)  (AAAAABCCCC)  (AAAAABBCCC)  (AAAAABBBCC)  (AAAAABBBBC)  (AAAAAABCCC)  (AAAAAABBCC)  (AAAAAABBBC)  (AAAAAAABCC)  (AAAAAAABBC)  (AAAAAAAABC)
の36通り

 

 

 

《 例 》
x+y+z = 10 を満たす「0以上の整数」x、y、zの組は、何通り?

 

(整数:0、1、2… 「0」OK!)
実は上の(1)(もらえないOK)と 同じ問題、全く同じ原理、と分かりますか?

 

<ということは>
10は、1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
(1と┃は似ているので1を〇にしますね)
ex. ┃┃〇〇〇 〇〇〇 〇〇〇 〇 → 0+0+10 を表す
∴ 10+仕切り棒2= 12
 \({}_{12} \mathrm{C }_2\) ∴ 66 通り みかんのときと同じですね

 

 

 

《 例 》
x+y+z = 10 を満たす「自然数」x、y、zの組は、何通り?
(自然数:1、2、3… 「0」OUT!)

 

<ということは>
もうわかりますね、実は上の(2)と  全く同じ原理、  同じ問題ですね!  (1つはもらう)ですね
∧(「すき間三角」と呼ばしてもらいますね)は、  ∧の数 = 10-1 = 9
ex) 中学数学 場合の数 |→ 1+1+8を表す

 

∴ \({}_9 \mathrm{C }_2\) = 36 通り

 

 

 

《 例 》
りんご、みかん、ぶどう を合わせて9個の詰め合わせを作る

 

(1) 1つも使わないフルーツがあってもよい場合、何通り?

 

→重複してよいものが、「人」から「りんご、みかん、ぶどう」になっただけですね

 

1つも使わないOKの「C(コンビネーション)」ですね

 

簡単にイメージするならば、
区別のないフルーツの素(〇)達が、
りんごの器 りんごの器を選んだら、フルーツがりんごに変身!
みかんの器 みかんの器を選んだら、みかんに変身!するイメージですね

9+2C2  = 11・5  = 55 通り

 

ex.
(RRRRRRRRR) ←フルーツ1:りんごの器に入ってりんごになりました!フルーツ2:僕もりんごを選びました!
(RRRRRRRRM) ←フルーツ9:みかんを選びました!

  ・
  ・
  ・

(BBBBBBBBB) の55通り

 

 

(2) 少なくとも1つは使うような分け方は、何通り?

 

<ということは>
9個のすき間は8∧
→ 8個の∧のどれか2つを選んでに換えれば、
必ず1つは使っていることになりますね!
∴ \({}_8 \mathrm{C }_2\) = \(\large{\frac{8\ \cdot \ 7}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 28 通り

 

(または)
先に各フルーツを先に1個づつ入れておきます。  残りの6個を+┃2本
〇〇〇〇〇〇+┃┃
∴ \({}_8 \mathrm{C }_2\) = 28 通り

 

 


公式

 

重複組合せのまとめ

 

① 選ばない/もらえない/入らないOK仕切り棒┃
② 選ばない/もらえない/入らないNGすき間三角

 

 

重複組合せの定義
「(異なる)n種類のものから重複を許して r個(r回)選ぶ(選んだ後の順番にはこだわらない)」

 

重複順列の定義
「異なるn個のものを、重複を許してr個選んで、並べる」

 

などは、問題を解く前にnとrを問題にあてはめるより、
問題を「解いて」、「理解」できれば
何がnで、何がrかが解りやすくなりますね

 

∴ まずは、定義について深く考えない!ですね!

 

個別に理解が進んだら・・・

 

〈順列〉
異なるものから、異なるものを、選んで、並びにこだわる
〈組合せ〉
異なるものから、異なるものを、選んで、並びにこだわらない
〈重複順列〉
異なるものから、同じものを、選んでもよく重複を許して、並びにこだわる
〈重複組合せ〉
異なるものから、同じものを、選んでもよく重複を許して、並びにこだわらない

 

 

異なるものを、選んで → 限界、n個=r回 (全順列など〉
同じものを、選んでもよく → n個<r回 が可能

 

 

 


余談

 

重複組合せ、一言で nHr (Homogeneous polynomial)

 

「重複組合せ」には、無理やり作ったような「公式」がありますね

 

《 例 》 10個のみかん を、4人に分ける方法は、何通り?
 ただし、もらえない人がいてもよい

 

 → これは「重複組合せ」「もらえない/入らないOK」パターンで、
 → 「仕切り棒タイプ」でしたね!

 

〇┃┃〇〇〇〇┃〇〇〇〇〇

 → みかん10個 → ○が10
 → 4人に入れる → 仕切り棒3本


 

で、\({}_{10+3} \mathrm{C }_3\) = \({}_{13} \mathrm{C }_3\) で解いていましたね
ですが、問題文には「10」と「4」という数字しかありませんね
この「10」と「4」から、\({}_{13} \mathrm{C }_3\) を導こうとしているのが「公式」です

 

実際的には

 ① もらえない/入らないOK → 仕切り棒┃
 ② もらえない/入らないNG → すき間三角∧


で十分なのですが・・・

 

「\({}_4 \mathrm{H }_{10}\) の値を求めましょう」という計算問題で、
せっかく「重複組合せ」を理解しているのに、解けないのではもったいないですからね

 

\({}_4 \mathrm{H }_{10}\) = \({}_{4器} \mathrm{H }_{〇10個}\)= 「(異なる)4つのうつわ(枠)Hいる(を選ぶ)、10個の(区別のない)○たち」

 

 

文字にすると
\({}_n \mathrm{H }_r\) = \({}_{n器} \mathrm{H }_{〇r個(回)}\) = 「(異なる)n個の器にHいる(を選ぶ)、r個の(区別のない)○たち」

 

\({}_4 \mathrm{H }_{10}\) はそのままでは計算できません! 結局「Cに変身させます」

 

Homogeneous polynomialの意味

 

= \({}_{13} \mathrm{C }_{10}\) 〇を選んでいますね
= \({}_{13} \mathrm{C }_{3}\) ┃を選んだほうが計算も楽  = \(\large{\frac{13\ \cdot \ 12\ \cdot \ 11}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 286 通り

 

「もらえないNG」の場合は、先に〇を配っておくので、 〇は10-3=7
→ \({}_4 \mathrm{H }_7\) ということですね

 

逆に、\({}_4 \mathrm{H }_{10}\)で「もらえないNG」なら
→ 〇は13あったということですね

 

「H」は公式と言うには・・・ちょっと・・・残念・・・ですね
やはり「公式」ではなく、「記号」「短縮語」ですね

 

「\({}_4 \mathrm{H }_{10}\) の値を求めましょう」のような計算問題のためだけに
知っていないといけない・・・益々残念な「記号」ですね・・・

 

 

 

 

 

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次は、言葉の順番的に
「同じものを含む組合せ」なのですが、
先に、「組分け」に行きますね

 

 

~ 分けはめ ~

 

「分けはめ」という言葉は当然正式な名称ではありません(親中造語)
本来は次に学ぶ「組分け」に属するものとなります
(組合せ(C)の3つのイメージのうちの1つ「分ける」ですね)

 

ここではあえて分類させていただきますね

 

・ 「分けはめ」…異なるもの(区別のあるもの)を、個数指定にしたがって分けて、区別のある枠にはめ込む
・ 「組分け」 …異なるもの(区別のあるもの)を、個数指定にしたがって分けて、区別のある枠や、区別のない枠にはめ込む

 

∴ 親子数学では…「区別のない枠」にはめ込む時に「組分け」とする方が分かりやすいと考えています

 


  cf.  

 

 ・ 個数指定がなければ、(枠名はある) → 重複順列
 ・ 個数指定も物に区別もなければ、(枠名はある) → 重複組合せ

 

《 例 》
8人の部員を一軍に3人、二軍に3人、三軍に2人に分ける方法は何通り

 

→ 人は区別があるABCDEFGH

 

→ 枠にも区別がありますね 一軍枠二軍枠三軍枠

 

まずは\({}_8 \mathrm{C }_3\)で一軍に3人 → \(\large{\frac{8\ \cdot \ 7\ \cdot \ 6}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)=56通り
一軍枠3人決定> 控え5人 このような状態ですね(当然現時点控えも56通り)

 

次に控え5人から\({}_5 \mathrm{C }_3\)で二軍に3人 → \(\large{\frac{5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)=10通り
一軍枠3人決定> 二軍枠3人決定 中学数学 場合の数 |

 

最後の控え2人は自動的に三軍枠へ入るので1通り (「最後は1通り」でも「\({}_2 \mathrm{C }_2\)で1通りでもどちらでもOK)
一軍枠3人決定> 二軍枠3人決定 最後は自動で決まる

 

∴ 56通り×10通り(×1通り)=560通り

 

 

 

《 例 》
12冊の異なる本を、Aさんに5冊、Bさんに4冊、Cさんに3冊ずつ分ける方法は何通り?

 

→ 枠名あり(Aさん、Bさん、Cさん)
→ \({}_{12} \mathrm{C }_5\)×\({}_7 \mathrm{C }_4\)=\(\large{\frac{12\ \cdot \ 11\ \cdot \ 10\ \cdot \ 9\ \cdot \ 8}{5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)×\(\large{\frac{7\ \cdot \ 6\ \cdot \ 5}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)=792×35=396×70=27720通り

 

 

 

《 例 》
6人を2人ずつ部屋「A」、部屋「B}、部屋「C」に分ける方法は何通り?

 

→ 枠名あり(部屋A、部屋B、部屋C)
→ \({}_6 \mathrm{C }_2\)×\({}_4 \mathrm{C }_2\)=15×6=90通り

 

 

 

 

 

d~ 組分け ~

 

「組分け」のイメージは、「ただ分ける」ですね!

 

全体的なイメージなら

 

123456

 

 →当然、黒マスフレーム(枠)が発生しますね
 →しかも選ばなかった側にもフレーム(枠) 赤マスが自動生成!
 →そして実は、このフレームには名前が付いていたのです
選ばれた2つのフレーム

 

黒マスの名は
1番目に選んだ3個組」      

分けはめではこれを、
「Aの部屋」「Aの箱」
「A君(に3冊)」
という区別のある
「枠」に入れてましたね

 

赤マス の名は
2番目に選んだ3個組

分けはめではこれを、
「Bの部屋」「Bの箱」
「B君(に3冊)」
という区別のある
「枠」に入れてましたね


 

ex)

2つに分けられた数字    

 

2つに分けられたフレーム名の例


 

●「組分け」は、個数の指定はありましたが「枠に区別がない時があります」
 →よって、「フレーム(枠)名」を無くすと(=区別をなくすと)
 同じといえるものが発生する場合があります!

 

上のex)から枠名(部屋名)をとると(部屋の区別をなくすと)、
区別のない部屋になりますし、
部屋A → 部屋 
部屋B → 部屋

 

潜在的なフレーム名称の方も、
「1番目に選んだ3個組」「2番目に選んだ3個組」は
実は「3個組」「3個組」だったとなります

 

組分けの本質

部屋名をなくした図


「ダブってますね!」

 

というわけで、
同じ大きさのフレーム数の階乗で割れば、ダブりが解消されます!
(フレーム(枠)を、組合せのときのマスと思えばよいですね)
(上の場合なら、同じフレームになってしまうものが2つ → \(\large{\frac{2通り}{\color{red}{ 2!}}}\) = 1 通り ですね)

 

階乗で割るというのは、フレームが3つ4つの場合があるからですね
ex. 「組分け」ならば

3個組の内訳

 

 → 1,2,3のグループ名を1、
  4,5,6 を 2
  7,8,9 を 3 とすると →


 

3個組にそれぞれグループ名をつけた

 

部屋名がない(枠名がない) = 区別がない = 並びにこだわらない数え方

 

→ フレーム数の階乗(マス数の階乗) で割る ということですね
この場合なら、\(\large{\frac{6通り}{\color{red}{3!}}}\) = 1 通り ですね

 

 

「同じ大きさのフレーム数の階乗」ということは、同じ大きさのフレームが
なければ「フレーム数の階乗」で割る必要はないですね

 

ex.
フレームの大きさが違うケース

 

中身のグループたちに、名前をつけると

 

中身にグループ名をつけた

 

「1番目に選んだ4個組」「2番目にに選んだ2個組」が
→「4個組」「2個組」になります…が!別物ですね!
→ 他の4個組同士ももちろん異なっています
よって、階乗で割る必要がないですね → フレーム名がなくても「別物」

 

 

順列、組合せ、組分けの全体イメージ

 

 

 

「組分け」の前提は、「全て異なるものを」「全部使います」

 

《 例 》
123456の6人がいます

 

(1) 部屋Aに3人、部屋Bに3人に分ける方法は、何通り?

 

→ 部屋に名前がある=「区別がある」
→ 「分けはめ」ですね

 

\({}_6 \mathrm{C }_3\)×3C3

最後の残りは当然に「1通り」で省略されていましたが、
残りをさらに分けていきますのであえて記しました
(今後は「最後の残り」は省略することがあります)

 = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)・1  = 20 通り

 

 

(2) 3人、3人に分ける方法は、何通り?

 

→ 「枠名なし」  →「フレームの大きさが2つ同じ」  →「要注意組分け」

 

∴ \(\large{\frac{{}_6 \mathrm{C }_3}{\color{red}{ 2!}}}\) = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1\ \cdot \ 2}}\)  = 10 通り

 

 

(3) Aに3人、Bに2人、Cに1人 に分ける方法は、何通り?

 

→ 「枠名がある」  →「分けはめ」

 

∴ \({}_6 \mathrm{C }_3\) × 3C2 × 1C1
残りの3人から2人を選ぶ 最後の残り
 = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)・3・2/2・1の約分・1  = 60 通り

 

 

(4) 3人、2人、1人 に分ける方法は、何通り?

 

→ 「枠名なし」→「フレームの大きさがすべて違う」→「安心組分け≒分けはめ」

 

∴ (3)と同じ 60 通り
(枠名がなくても、別物ということですね)

 

 

(5) 2人、2人、2人 に分ける方法は、何通り?

 

→ 「枠名なし」  →「フレームの大きさが3つとも同じ」  →「要注意組分け」

 

∴ \(\large{\frac{{}_6 \mathrm{C }_2×{}_4 \mathrm{C }_2×1}{\color{red}{3!}}}\)  = (6・5/2・1×4・3/2・1×1)1/3・2の約分  = 15 通り

 

 

(6) 2人、2人、1人、1人 に分ける方法は、何通り?

 

→ 「枠名なし」  →「フレームの大きさが2つ2つで同じ」  →「要注意組分け」

 

∴ \(\large{\frac{{}_6 \mathrm{C }_2×{}_4 \mathrm{C }_2×{}_2 \mathrm{C }_1×1}{\color{red}{2!}×\color{red}{2!}}}\)  = (6・5/2・1×4・3/2・1×2/1×1)1/2・2の約分  = 45 通り

 

 

 

 

 

 

何が違うのか、比較しながら解いてみる

 

《 例 》 同じ意味の問題を2種類並べて見ていきますね

 

ア 8個の異なる品物を、3人(=異なる3人)に分ける方法
イ 8人(=異なる8人)を、3つの異なる部屋に分ける方法

 

(全く同じ問題です。「品」が「人」、「人」が「部屋」になっただけですね)

 

r回の並びにこだわる

 

(1)

  ア: 1個ももらえない人がいてもよい 分け方は、何通り?
  イ: 空室があってもよい 分け方は、何通り?


 

→ 全てを「分ける」  = 「r回」  「重複を許して」  「選ぶ」という意味
→ 「異なる」8個、8人  = 選んだ後の「並びにこだわる」という意味  = 「重複順列

 

1つの異なる品物が3人を選ぶイメージ      1人が異なる3部屋を選ぶイメージ

 

∴ 3×3×3×3×3×3×3×3  = 38  = 6561 通り

 

 

 

(1-②)

  ア: 少なくとも1個はもらえる 分け方は、何通り?
  イ: 少なくとも1人は入る 分け方は、何通り?


 

→ 「重複順列」+もらえない人/空室はNG→ 場合分け

 

重複順列のもらえない/空室NGは「場合分け」になります!

 

(考え方) 「少なくとも」とくれば、「余事象」ですね!
〈1個はもらえる/1人は入る〉  = 全通り  -〈もらえない人がいる/入らない部屋がある〉

 

1つは入る=全通り-2つ空-1つ空

 

= 全通り-みんなが同じものを選んだ場合 (結果:もらえない人2人/空室2部屋)-みんなが2種類のどちらかを選んだ場合(結果:もらえない人1人/空室1部屋)

 

ⅰ) もらえない2人/空室2部屋
みんなaを選んだ 全員aを選んだケース  → 1通り
みんなbを選んだ 全員がbを選んだケース  → 1通り
みんなcを選んだ 全員がcを選んだケース  → 1通り

 

ⅱ) もらえない1人/空室1部屋
・みんなが ab を選んだ   (結果 cのみ空 の場合)
中学数学 場合の数 |  - みんながaを選ぶ1通り  - みんながbを選ぶ1通りみんながa、またはみんながbを選ぶとⅰと同じく空が2つになってしまいますので= 28-1-1  = 256-2  = 254 通り

 

・同様に、みんなが acを選んだ(結果bのみ空)  → 254 通り
・同様に、みんなが bcを選んだ(結果aのみ空)  → 254 通り
∴ 空が〈1人/1部屋〉の場合  254+254+254  = 762 通り

 

∴ 何かしらの空がある場合  = ⅰ+ⅱ = 3+762  = 765 通り

 

∴ 少なくとも1個はもらえる/少なくとも1人は入る 分け方は
 6561-765  = 5796 通り

 

 

 

(2)

  ア:8個の異なる品物を区別しない(8個のみかん等)で、3人(=異なる3人)に分ける方法は、何通り?
  イ:8人を区別しない(人を区別しないとは変な話ですが)で、3つの異なる部屋に分ける方法は、何通り?
ただし、ア イともに もらえない人/入らない部屋 があってもよい


 

r回の並びにこだわらない

 

→ 全てを「分ける」  = 「r回」  「重複を許して」  「選ぶ」という意味
→ 「区別のない」8個、8人  = 選んだ後の「並びにこだわらない」という意味  = 「重複組合せ

 

例えば、「重複順列」の
重複順列の並び例1
重複順列の並び例2
重複順列の並び例3は、
どれも a3つ、b3つ、c2つ ですが、
「並びにこだわる」ので別物ですね!3通りですね!

 

ですが、「重複組合せ」では、r個(回)に名前がない(区別しない)のですから
重複順列の並び例1
重複順列の並び例2
重複順列の並び例3
結局は
aaabbbccと自動整列されて1通りに集約されてしまいますね!

 

というわけで、
重複順列÷かぶり= 重複組合せ
のはずですが、かぶりを求めるために膨大な場合分けが必要になりますね

 

そこで、「重複組合せ」には、よい考え方がありましたね !!
① 空がOKな場合  → 「仕切り棒(┃)」
② 空がNGな場合  → 「すき間三角()」 でしたね

 

∴ 今回は 「空がOK」ですので、「仕切り棒タイプ」!
 3つに分けるので、仕切り棒は2本

 

〇〇┃〇〇〇〇┃〇〇
\({}_{8+2} \mathrm{C }_2\)  = \({}_{10} \mathrm{C }_2\)  = \(\large{\frac{10\ \cdot \ 9}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 45 通り

 

 

 

(2-②) ただし、ア イともに 1つはもらえる/1人は入る、何通り?

 

→ 空がNGな場合  → すき間三角∧  → 3つに分ける  → ∧を2つ選ぶ ですね

 

8個のすき間    

確かに、どの2つの∧を選んでも、
1つは入りますね!


 

8個のすき間2個選択    

はダメですね! 両端の2つを選んだ場合に
aさん/部屋a〉、〈cさん/部屋c〉が
空ですね ∴ ○より外側に∧は作らない


 

∴ \({}_7 \mathrm{C }_2\)  = \(\large{\frac{7\ \cdot \ 6}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 21 通り

 

 

1つはもらえる、1つももらえないの違いのイメージ

 

 

 

(3)  

ア:8個の異なる品物を区別するが、
 3人を区別しない(人を区別しないとは変な話ですが)で分ける方法は、何通り?
イ:8人を(=異なる8人)、
 3組に分ける方法は、何通り?
 ただし、少なくとも〈1つはもらえる/1人は入る〉


 

n個に区別がない

 

考え方1)
通常、「組分け」であれば、配り先(選び先)に部屋名がなくとも、〈個数/人数〉指定がある
→ 〈個数/人数〉指定のパターンを(自作)リストアップして「組分け」とする

 

考え方2)
→ 配り先に名前を付けて重複順列」とする、その後〈人名/部屋名〉を除く処理をして「組分け」とする

 

 

考え方1)
フレーム名を外した時、3つになるフレームパターンは

 

r個を3グループにわけるパターン数

 

分け方をパターン化したので、「組分け」ですね

 

1,1,6のパターン   

\(\large{\frac{{}_8 \mathrm{C }_1×{}_7 \mathrm{C }_1×{}_6 \mathrm{C }_6}{2!}}\)  = \(\large{\frac{8\ \cdot \ 7\ \cdot \ 1}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 28 通り


1,2,5のパターン   

\({}_8 \mathrm{C }_1\)×\({}_7 \mathrm{C }_2\)×\({}_5 \mathrm{C }_5\)  = 8・21・1  = 168 通り


1,3,4のパターン   

\({}_8 \mathrm{C }_1\)×\({}_7 \mathrm{C }_3\)×\({}_4 \mathrm{C }_4\)  = 8・35・1  = 280 通り


2,2,4のパターン   

\(\large{\frac{{}_8 \mathrm{C }_2×{}_6 \mathrm{C }_2×{}_4 \mathrm{C }_4}{2!}}\)  = \(\large{\frac{28\ \cdot \ 15\ \cdot \ 1}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 210 通り


2,3,3のパターン   

\(\large{\frac{{}_8 \mathrm{C }_2×{}_6 \mathrm{C }_3×{}_3 \mathrm{C }_3}{2!}}\)  = \(\large{\frac{28\ \cdot \ 20\ \cdot \ 1}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 280 通り


 

∴ 28+168+280+210+280  = 966 通り

 

 

考え方2)
(1-②)の配り先に区別がある+〈1つはもらえる/1人は入る〉の解から、
選び先に区別がある場合は5796通り、
器名(選び先名)をなくすために、3つの器分の「かぶり」である3!で割れば「組分け」と同じ効果ですね

 

例えば、何通り目かにあるであろう以下の6通りから
器名(選び先名)(小文字a等)をなくすと…「組分け」ですね
ある6通り

 

∴ \(\large{\frac{5796}{3!}}\) = \(\large{\frac{5796}{6}}\)  = 966 通り

 

 

 

(3-②) ただし、〈1つももらえない人/1人も入らない部屋〉がいてもよい場合、何通り?

 

考え方1)
同様に、指定のパターンをリストアップすると、上のパターン+1人占めパターン+2人占めパターン

 

1,0,0のパターン

\({}_8 \mathrm{C }_8\)  = 1 通り(空が2つの場合)

 


点線

1マスと7マス

\({}_8 \mathrm{C }_1\)×\({}_7 \mathrm{C }_7\)  = 8×1  = 8 通り


2マスと6マス

\({}_8 \mathrm{C }_2\)×\({}_6 \mathrm{C }_6\)  = 28×1  = 28 通り


3マスと5マス

\({}_8 \mathrm{C }_3\)×\({}_5 \mathrm{C }_5\)  = 56×1  = 56 通り


4マスと4マス

\(\large{\frac{{}_8 \mathrm{C }_4×{}_4 \mathrm{C }_4}{2!}}\)  = \(\large{\frac{70\ \cdot \ 1}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 35 通り


 

∴ (3)の966+ 1+8+28+56+35  = 1094 通り

 

 

考え方2)
同様に、上の(1)の配り先に区別がある+〈1つもらえない/1人も入らない〉がOKの解(6561通り)から、かぶりを除く方法ですね

 

ただし、〈2人がもらえない/2部屋が空〉の場合の3通りは、単純に「3」!で割れないですね、

 

全てa   1通り
全てb   1通り
全てc   1通り

 

ただの「3」で割って、1通りですね
なぜなら

bcが空
a、b、c」の並びは
6通りですが

bcの部屋名がなくなった図
  器名をとると
  「ある、空、空」で
  並びは3通りしかない
 ∴ 「3」で割る


 

a多いb少ないc0
「a、b、c」が

多い、少ない、0
  「ある、ちょいある、空」
  →器名を取っても別物、6通り
  ∴「3!」で割る


 

ということで
2つ空の場合の組分け+それ以外の組分け  = \(\large{\frac{3}{3}}\)+\(\large{\frac{(6561-3)}{3!}}\)  = 1+\(\large{\frac{6558}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)  = 1+1093  = 1094 通り

 

 

 

(4)  

ア:8個の異なる品物も区別しない、3人も区別しない(人を区別しないとは変な話ですが)  で分ける方法は、何通り?
イ:8人も区別しない(人を区別しないとは変な話ですが)、部屋名も区別しないで3組に分ける方法は、何通り?
 ただし、〈1つもらえない人/1人も入らない部屋〉  OK


 

n側にもr側にも区別がないr

 

もうここまでくると、「羅列」するしかないですね!
羅列した
∴ 10 通り

 

 

 

(4-②) ただし、少なくとも〈1つはもらえる/1人は入る〉

 

→ (4) の答えから「0」を含むものを除けばよいですね
5 通り

 

 


余談

 

ただただ3つに分ける

 

(異なる)8人を、ただ3つのグループに分ける方法は 何通り?

という、「入らない部屋OK」「入らない部屋NG」を
示してくれていない問題に出会った時は、
どのようにすればよいのでしょうか?

 

 

当然に、「グループ制作(区別する)
→「入らない部屋NG
→「かぶり処理(組分け)」
で考えていくのかなと感じますね

 

 

なぜなら、「入らない部屋」があるということは・・・
「2つのグループ」や「1つのグループ(かたまり?)」があるということで
それは、問題文の「3つのグループに」に分けていない!とも考えられるからです。

 

 

この点、「入らない部屋OK」「入らない部屋NG」を
示していない問題に出会ったことはありませんが、
もし出会ってしまった場合は・・・・

 

① 賭けに出て…「入らない部屋NG」で進める
② 無難に…「0人のグループOK」「0人のグループNG」の場合分けでいく

 

 

やはり、「組分け」は、
「区別を作る」→「区別をとる」という原則のような
ものがありますので…②なのかな…
出会ったら報告しますね

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

c 同じものを含む組合せ

 

同じものを含む場合は、もう単純に「C」は使えせんね!
ご想像通り  …「場合分け  →考えられるパターンは?」となります

 

 

《 例 》

 

aaabbc

 

● 1枚を取り出す「組合せ」は、何通り?
1マスマスには abcの3種類全て可能性がありますね
3通り (a)(b)(c)

 

〇 1枚を取り出す「順列」は、何通り?
1マス ∴ (同様)に 3通り   (a)(b)(c)

 

 

 

● 2枚を取り出す「組合せ」は、何通り?

 

aaabbc

 

考えられるマスパターンは ←(場合分け)

① 2枚同じ 2マス  

← 3枚あるaと2枚あるbに可能性がありますね
→ 2通り (a a)(b b)


② バラバラ 1マスと1マス  

abcの3文字から2つ選ぶことと同じですね
中学数学 場合の数 |= \({}_3 \mathrm{C }_2\)  = \(\large{\frac{3\ \cdot \ 2}{2\ \cdot \ 1}}\)  = 3 通り (a b)(a c)(b c)


 

場合分け←和の法則でしたね   ∴ 2通り+3通り= 5 通り

 

〇 2枚を取り出す「順列」は、何通り?
考えられるマスパターンは  ←(場合分け)

① 2枚同じ 2フレーム  

← 3枚ある a と2枚あるbに可能性がありますね
→ 2通り(a a)(b b)


② バラバラ 1フレームと1フレーム  

abcの3文字から2つ選び+並べることと同じですね
→ \({}_3 \mathrm{C }_2\)×2!= \({}_3 \mathrm{P }_2\)= 3・2= 6 通り
(a b)(a c)(b a)(b c)(ca)(c b)


 

∴ 2 通り+6 通り= 8 通り

 

 


ポイント

 

正しい順序は「PからC」? 「CからP」?

 

「日本語の流れ」や「イメージ」から言いますと、CからPが自然ですね

 

例えば
abcdef から3個「選んでC」「並びにこだわってP」みましょう・・・自然ですね

 

abcdefから3個「並びにこだわってP」「選びC」ましょう・・・なんとなくミスが出そうですね

 

\({}_6 \mathrm{C }_③\)×3!  = 6・5・4/3・2・1××3・2・1  = \(\large{\frac{6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)×3・2・1  = \({}_6 \mathrm{P }_③\)

 

\({}_6 \mathrm{P }_③\)÷3!= 6・5・4×1/3・2・1= 6・5・4×\(\large{\frac{1}{3\ \cdot \ 2\ \cdot \ 1}}\)= \({}_6 \mathrm{C }_③\)

 

確かに、教科書の手順上、「順列」から学びますし、
計算上、「異なるものを選ぶ」ために番号をつける→「順列」が先に出現→だぶりで割ると「組合せ」
すなわち、Pに何かをして→ Cですね
ですが
「場合の数」の理解が進んできたら、「C」から考えていく ということを
おすすめしたいかなと思います

 

 

 

選ぶ →  

並びにこだわるのか
こだわらないのか?

 

 

二股矢印

こだわる  
こだわらない  

 

→ 掛ける 〇!(P)
→ そのまま (C)


 

 

 

● 3枚を取り出す「組合せ」は、何通り?

 

aaabbc

 

考えられるマスパターンは

① 3枚同じ3マス  

aのみ可能性あり  → \({}_1 \mathrm{C }_1\)  = 1 通り (a a a)


② 2枚同じ2マス1マス  

・前マスは abのみ可  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
・後マスは 残った2種類から1つ  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
 よって、  \({}_2 \mathrm{C }_1\)×\({}_2 \mathrm{C }_1\)  = 4 通り   (aab)(aac)(bba)(bbc)


③ バラバラ1マス1マス1マス  

→ \({}_3 \mathrm{C }_3\) = 1 通り   (abc)


 

∴ 1通り+4通り+1通り  = 6 通り

 

〇 3枚を取り出す「順列」は、何通り?
→ おおよそ、上のC×〇!でP(順列)ですが…
① \({}_1 \mathrm{C }_1\)×1! = 1 通り   (aaa)

さすがに、CからPを求めましょうと言いましても、
C自体が段階を踏んでますので、全体像に戻りまして、
3マス同じものを2つ含む順列は? ですね!

 

→ 4通り×\(\large{\frac{3!}{2!}}\)  = 4通り×3通り  = 12 通り 
(aab)×\(\large{\frac{3!}{2!}}\)  +(aac)×\(\large{\frac{3!}{2!}}\)  +(bba)×\(\large{\frac{3!}{2!}}\)  +(bbc)×\(\large{\frac{3!}{2!}}\)
③ \({}_3 \mathrm{C }_3\)×3! = 6 通り (abc)×3!

 

∴ 1通り+12通り+6通り  = 19通り

 

 

 

● 4枚を取り出す「組合せ」は、何通り?

 

aaabbc

 

考えられるマスパターンは

① 3枚同じ3マス1マス  

・前マスは aのみ可 → 1 通り
・後ろマスは → 残った2種類から1つ  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
よって、\({}_1 \mathrm{C }_1\)×\({}_2 \mathrm{C }_1\)  = 1×2  = 2 通り (aaab)(aaac)


 

② 2枚同じ、次も2枚同じ2マス2マス  

・前マスは abのみ可  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
・後マスは 残った1種類から1つ  → \({}_1 \mathrm{C }_1\)  → 1 通り
よって、\(\large{\frac{{}_2 \mathrm{C }_1×{}_1 \mathrm{C }_1}{\color{red}{ 2!}}}\) = 1 通り (aabb)

 

そもそもは4文字の組合せですので
1つ目の2組、2つ目の目2組目の中の並びはこだわりませんね
すなわち、「組分け」の考え方をお借りします
 2組目、2組目
フレームの大きさが同じ場合は要注意です!


 

③ 次はバラバラ2マス1マス1マス  

・前マスは abのみ可  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
・後マスは \(\large{\frac{{}_2 \mathrm{C }_1×{}_1 \mathrm{C }_1}{\color{red}{2!}}}\)  = 1 通り
よって、\({}_2 \mathrm{C }_1\)×\(\large{\frac{{}_2 \mathrm{C }_1×{}_1 \mathrm{C }_1}{\color{red}{2!}}}\)= 2通り×1通り= 2 通り (aabc)(bbac)

 

④ 全部バラバラ1マス1マス1マス1マスは…ないですね→ 0 通り


 

∴ 2通り+1通り+2通り+0通り  = 5 通り

 

※ 同じ大きさのフレームを個別に見ると、「組分け」に注意となりますが
同じ大きさのフレームをまとめて見てあげると、「組合せ」だけで大丈夫ですね
というわけで、再度!

 

 

aaabbc

 

● 4枚を取り出す「組合せ」は、何通り?
考えられるフレームパターンは

① 3枚同じ3マス1マス  

・前マスは aのみ可 → 1 通り
・後ろマスは → 残った2種類から1つ  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
よって、\({}_1 \mathrm{C }_1\)×\({}_2 \mathrm{C }_1\)  = 1×2  = 2 通り (aaab)(aaac)


② 2枚同じ、次も2枚同じ2マス2マス  

2か所に、候補 a, b を入れる  → \({}_2 \mathrm{C }_2\)  = 1 通り  (aabb)


当然と言えば当然ですね!
元々は 4マス4枚の「組合せ」を考えていたのですから!
2つ2つに勝手に分けて考えたのは自分ですから!
aabbbbaaは、かぶりですね!

③ 次はバラバラ2マス1マス1マス  

・前マスは aかbのみ可  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  → 2 通り
・後ろマス2つは、  2か所に、「残りの2つ」を入れる  → \({}_2 \mathrm{C }_2\)  = 1通り
よって、\({}_2 \mathrm{C }_1\)×\({}_2 \mathrm{C }_2\)  = 2 通り (aabc)(bbac)


④ 全部バラバラ1マス1マス1マス1マスは…ないですね→ 0 通り

 

∴ 2通り+1通り+2通り+0通り  = 5 通り

 

〇 4枚を取り出す「順列」は、何通り?

3マス1マス
  例(aaab)

3枚同じものを含む順列は→ \(\large{\frac{4!}{3!}}\)= 4 通り
→ 4通りが2通り←上の組合せで求めたものある
  = 4×2  = 8 通り


本来4マスを2マス2マス
  例(aabb)

2枚、2枚で同じものを含む順列は  → \(\large{\frac{4!}{2!\ \cdot \ 2!}}\)  = 6 通り
→ 6通りが1通りある  = 6×1  = 6 通り


本来1マスを1マス1マス2マス
  例(aabc)

2枚同じものを含む順列は  → \(\large{\frac{4!}{2!}}\)  = 12 通り
→ 12通りが2通りある  = 12×2  = 24 通り

 

∴ 8+6+24  = 38通り


 

 

 

● 5枚を取り出す「組合せ」は、何通り?

 

aaabbc

 

考えられるマスパターンは

3マス2マス  

・前マスは aのみ可  → \({}_1 \mathrm{C }_1\)
・後マスは bのみ可  → \({}_1 \mathrm{C }_1\)
よって、 1×1 = 1 通り (aaabb)


2マス1マス1マス  

・前マスは aのみ可  → \({}_1 \mathrm{C }_1\)
・中,後2マスは  2か所に「残りの2つ」を入れる  → \({}_2 \mathrm{C }_2\)
よって、 1×1 = 1 通り (aaabc)


2マス2マス1マス  
・前,中2マスは 2か所に、  候補 a,bを入れる  → \({}_2 \mathrm{C }_2\) → 1 通り
・後マスは残りの c ←余った aは入れてはいけない
aは先に「2つ使う」として使用済み→ aabbaは①と同じ!
  →\({}_1\mathrm{C }_1\)
よって \({}_2 \mathrm{C }_2\)×\({}_1 \mathrm{C }_1\)  = 1×1  = 1 通り  (aabbc)

 

∴ 1+1+1 = 3 通り

 

最後の1個を残して、他の全部を「選ぶ」ということは
「他の全部」の中に同じものが含まれていても、いなくても
「1通り」×「種類数」ですね
なぜなら、\({}_6 \mathrm{C }_5\)  = \({}_6 \mathrm{C }_1\)  → 1つを選ぶことと同じ
aaabbcから「1つ」を選ぶことは、  「文字の種類数通り」  → 3通りですね

 

〇 5枚を取り出す「順列」は、何通り?
① (aaabb)の順列  = \(\large{\frac{5!}{3!\ \cdot \ 2!}}\)  = 5・4・3!/3!・2  = 10 通り
② (aaabc)の順列  = \(\large{\frac{5!}{3!}}\)  = 5・4・3!/3!  = 20 通り
③ (aabbc)の順列  = \(\large{\frac{5!}{2!\ \cdot \ 2!}}\)  = 5・4・3・2/2・2  = 30 通り

 

∴ 10+20+30  = 60 通り

 

 

 

 

aaabbc

 

● 6枚を取り出す「組合せ」は、何通り? → 1 通り ですね

 

〇 6枚を取り出す「順列」は、何通り?
 aaabbcの「同じものを含む全順列」ですね
→ \(\large{\frac{6!}{3!\ \cdot \ 2!}}\)  = 6・5・4・3!/3!・2  = 60 通り

 

 

 

 

《 例 》
a,a,a, b,b,b c,c, d,e から4つを取り出す 組合せは何通り?

 

→ 同じものを含む  → 何個かを取り出す  → 場合分け

 

考えられるマスパターンは

3マス1マス  

・前マスは 1か所に a, bの可能性  → \({}_2 \mathrm{C }_1\)  = 2 通り
・後マスは 1か所に残りの4つが候補→ \({}_4 \mathrm{C }_1\)通り  = 4 通り
よって、2×4 = 8 通り


2マス2マス  

・2か所に a b c の可能性  → \({}_3 \mathrm{C }_2\)  = 3 通り


2マス1マス1マス  

・前マスは 1か所に a b c の可能性  →\({}_3 \mathrm{C }_1\)  = 3 通り
・中、後ろ2マスは 2か所に残りの4つが候補  → \({}_4 \mathrm{C }_2\)  = 6 通り
 よって、3×6 = 18 通り


1マスが4個  

4か所にa b c d e の5つが候補  → \({}_5 \mathrm{C }_4\)  = 5 通り


 

∴ 8+3+18+5 = 34 通り

 

 

場合の数まとめ

 

選び方 選ばれたものの並びに 囲みの並びに

全て異なる
(異なるn個)
ex.
(1,2,3,4,5)
(a,b,c,d,e)
(人)

全部を
(使う)
(分ける)

マスの並びに
こだわる
こだわり3マス

全順列 (\({}_n \mathrm{ P }_n\))

円順列 (n-1! or \(\large{\frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n}}\))
じゅず順列  (\(\large{\frac{円順列}{2}}\))
選ばれないOKな 重複順列 (\(n^r\))
1つは入る重複順列 (場合分け)

マスの並びに
こだわらない
こだわらない3マス

全部を選ぶ組合せ (\({}_n \mathrm{ C }_n\)=1)

選ばれないOKな
重複組合せ  (〇┃〇〇┃〇)

1つは入る
重複組合せ  (∧∧∧∧)

フレームどうしの並びに
こだわる
こだわる3フレーム

分けはめ (\({}_n \mathrm{ C }_r×{}_{(n-r)} \mathrm{ C }_s×{}_{(n-r-s)} \mathrm{ C }_t\))

フレームどうしの並びに
こだわらない
こだわらない3フレーム

組み分け
  〇通り  
同じ大きさの
フレーム数の階乗

1部(r個)を
(取り出す)
(使う)(選ぶ)

マスの並びに
こだわる
こだわり3マス

(普通の)順列(\({}_n \mathrm{ P }_r\))

マスの並びに
こだわらない
こだわらない3マス

(普通の)組合せ (\({}_n \mathrm{ C }_r\))

同じものを含む
ex.
(1,1,2,2,3)
(a,a,b,b,c)
(区別のない,物)

全部を
(使う)
(分ける)

マスの並びに
こだわる
2マス同じな3マス

同じものを含む
・全順列 (\(\large{\frac{n!}{かぶり!×かぶり!}}\))
・円順列 (1個しかないものを固定)
・じゅず順列 (左右対称除外注意)

マスの並びに
こだわらない
2マス同じな3マス

同じものを含むが
すべてを選ぶので
(1通り)

1部を
(取り出す)
(使う)(選ぶ)

マスの並びに
こだわる
こだわる3マス

同じものを含む順列
(場合分け)

マスの並びに
こだわらない
こだわらない3マス

同じものを含む組合せ
(場合分け)

場合の数の総まとめ

 

 

「場合の数」のお話はここまでですが、
かなり長くなってしまいましたね!

 

中学生には「難しい」と感じたと思いますが、
あえて「小学、中学レベルの場合の数」と「高校レベルの場合の数」の中間レベルのお話をさせていただきました

 

そうすることで、「2つ効果」があると期待したからです

 

①「小学、中学レベルの場合の数」が簡単に感じる
②高校生になった時、すんなりと「高校レベルの場合の数」に入っていける

 

②に関しては、「場合の数」の難しさレベルが「小、中」と「高校」では
ギャップが大きすぎると感じていたからです。

 

「中間レベル」が必要では?と感じていたのでした!!
頑張っていきましょう!

 

 

 

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2017/12/5 23:12  
 
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