中学数学　正の数・負の数

  (登場人物)  

神	：	はるか上空から、「自然の道理」でものを見る
人間	：	地上で、「人間独自の基準」でものを考える
中学生	：	素朴な疑問を持つ

●(水が氷りだしました)
「0℃！」

●(リンゴ3個－リンゴ5個＝？)
「－2個！」

「0(基準)－3＋5で、2m！」

●(10時の2時間前は？)
「8時！」

(　)カッコの外しかた

短すぎて、逆に意味がわかりませんね！　では例を、

《 例 》 (　 )カッコを外しましょう！

＋(3) ＝ ＋(＋3) ＝ ＋3  ＝ 3
＋(－4) ＝ －4
－(7) ＝ －(＋7) ＝ －7
－(－9) ＝ ＋9 ＝ 9

もっと正確にいうと、全ての「字(数字/文字)」には、「そのものがある」という意味の『×1』が含まれているのです。省略されていますが。

『 0 』と『 1 』は特別な数字

前項で少し触れましたが、
『0』と『1』はとても特別な数字です。
『数』というよりも『意味のある文字』と考えることができますね。

『0』・・・『ない』
『1』・・・『そのものがある』

例えば、
0×リンゴ、(数字と文字の組み合わせは「×」を省略できますので、)
0リンゴ →「ないリンゴ」→(リンゴがない)

0×6 →「ない6」→ (6がない)
0x →「ないx」→ （xがない)

1×リンゴ →「そのものがあるリンゴ」 → (リンゴそのものがある)

1×x →「そのものがあるx」→ (xそのものがある)

2×リンゴ＝2×1×リンゴ →「2、ある、リンゴ」→ (リンゴが、2、ある)

2x＝2×1×x →「2、ある、x」→ (xが、2、ある)

「0と1はそんなに特別？　　2×リンゴは？」

「0の『ない』と、1の『ある』は、神と人間共通だけど、
2、3、4、5、……は人間独自なものといえるよ」

「たまたま人間の指が10本だから『10進法』を採用しているけど、
もしカニのつめのように、両手で指が4本だったら
きっと『4進法』だったと思うよ。
1、2、3、10、11、12、13、20、21、22、23、30、31、32、33、100、101、……のように4、5、6、7、8、9、のない世界！

( cf. コンピュータの世界は『2進法』で『0』と『1』しかない世界ですね。)

「関係はないですが、2×リンゴは、
『リンゴ2個』なのか『大きさ2倍のリンゴ』か『重さ2倍リンゴ』なのか
分かりませんね)

その点、「1」はまさしく『そのものがある』という意味で特別だよ。

だけど当たり前すぎて逆に「省略」されますね、
「1リンゴ」→「リンゴ」
「1x」→「x」
「1×(x＋y )」→「x＋y 」のように

『 1 』は、「数多くある数字の中の一つ」ではなく、
特別な、『そのものがある』という意識をもっておけば、
「分数」や今後の「割合」なども理解しやすくなりますね！

お父ちゃんが学生の頃、
「問題集の解説によく出てくる『1』 !! 　この「1」は何？どこからきたの？」
と苦しんだものです。

マイナス×マイナス はどうして「＋」？

結論から言いますと、「数学の『ルール』だからです」

人間が作った「－(マイナス)」は、自然界には存在しないものですね、
自然界にはないものを、自然界にあるもので無理やり説明しようとすると、
逆に「？？？」となってしまいますね。

数学では、
「(　　)の中から先に計算する」
「＋－×÷の混ざった式は 『×÷ から先』に計算する」
「分数や比はできる限り簡単な形にする」
といったような「ルール」がかなりありますね。

その「ルール」の理由は、
「みんなが同じ答えを導けようにするため」であったり、
「計算に矛盾がないようにするため」であったりというものです。

今回の、
『 －×－　＝「＋」』については、例えば、

⑤ の符号は「+」でないと 右辺の「0」にならない
ということになってしまう

⑥ ということは・・・
「－」×「-」は、「+」にしよう！

というわけで
「－」×「－」は「＋」にしよう！　という数学ルール
ですね

※ ここでも、「＋－ よりも　×÷ を先に計算する」
という数学ルールを使っているので、説得力に欠けますが、
お許しを！

「＋」と「－」は方向が逆

・＋と＋はどちらも正の方向へ足すだけ

・－と－はどちらも負の方向へ足すだけ

・＋と－、－と＋は、数字の大きい方が勝つ！

  加減のまとめ  

まず、(  )を外して、
ex.　(-3)-(-7)＝-3+7

　3+7＝10
　-3-7＝-10

　-3+7 → +7が勝って → ＝4
　3-7 → -7が勝って → ＝-4

中学数学では仮分数(分母より分子が大きい形の分数)の形で終了です。
\(1\large{\frac{5}{6}}\)のように帯分数(整数+真分数)の形にしなくてもよいですね

cf.

帯分数の読み方
ex.

加減の計算、暗算、はできる限り頭からしましょう

63＋78＝？
小学生の頃は、

「2, 4, 1」 前から読みなおして「142！でしたね！」
ですが・・・ できる限り前から(先頭から)計算しましょう

1.　6＋7は、1上がることは確かだから、「百・・」(確定)
　(2上がることは絶対にない、最大の9＋9でも18で、1しか上がらない)
2.　6＋7だけに注目した場合の1の位は「3」、だけど、
次の4+8が「1」上がってくるのは確かだから、
「百(すでに確定)・・・40(確定)・・・最後、1の位が2！」「142！！」

(後ろから計算するひっ算のように「それを前から読むと」という
並び替え作業がないのでミスが減りますね！

頭の中では「百・・・2、3、40・・・2」ですね！

たしか、「そろばん」も前からでしたよね！

加減だけでつながるものは、並び替えは自由です

《 例 》
－4＋8
＝ 8－4　でもよいですね

《 例 》
－4＋6－5＋7
＝7＋6－5－4  　(＝13－9＝4)  (＋グループ－グループ)
＝7－5＋6－4  　(＝2＋2＝4)　(途中で大きい数をできる限り作らない)

《 例 》
3－(＋4)  ＝ －(＋4)＋3

などなど、並び替えは自由ですので、
1番楽に計算できる方法を、いつも探しましょうね！
(問題によって、楽に計算できる並び方があるものです。)

※　数学は、
いかに『楽』に『間違えず』に『早く』解けるかが
最大のテーマであると感じますね！

『通分』する意味は何？

そうです！「目盛り(規格)」が違うのです！

この「1を\(\large{\frac{1}{2}}\) できる定規」と「1を\(\large{\frac{1}{3}}\) できる定規」の2つの定規を使って
家を建てたら、おそらく「ガラクタオブジェ」が出来上がることでしょう！

「分母をそろえる」ということは
「目盛りをそろえて統一定規で図る」ということですね。

よって、\(\large{\frac{1}{2}}\)+\(\large{\frac{1}{3}}\) = \(\large{\frac{3}{6}}\)+\(\large{\frac{2}{6}}\) = \(\large{\frac{3+2}{6}}\) = \(\large{\frac{5}{6}}\)

最後の答えは『約分』していないと間違いなの？

数学の暗黙のルールで

「計算できるものは計算しましょう！」
「簡潔にできるものはできる限り簡潔にしましょう！」

みたいなルールがあります。

だから、「約分」していないと、
答え的には間違いではないけれど、
数学ルール的に足りていないという意味で
「×（バツ）」をつけられてしまうのです！

\(\large{\frac{6}{8}}\)＝\(\large{\frac{3}{4}}\)　〇

\(\large{\frac{3}{4}}\)のように「最も約分された分数」を「既約（きやく）分数」と言ったりしますね
→  「既（すで）に約分された分数」

(＋)×(＋)、　(－)×(－)　のように、同符号どうしの掛け算は、　＋　
(＋)×(－)、　(－)×(＋)　のように、異符号どうしの掛け算は、　－　

それだけでしたね。

分数の掛け算、割り算は通分しなくてもいいの？

それでは、① \(\large{\frac{1}{2}}\)+\(\large{\frac{1}{3}}\)と ② \(\large{\frac{1}{2}}\)×\(\large{\frac{1}{3}}\) の根本的な違いから説明しますね。

①を正確に表すと、
１×\(\large{\frac{1}{2}}\) +1×\(\large{\frac{1}{3}}\) ( 1を\(\large{\frac{1}{2}}\)したものと、1を\(\large{\frac{1}{3}}\)したものを足す)

②を正確に表すと、
1×\(\large{\frac{1}{2}}\)×\(\large{\frac{1}{3}}\) ( 1を\(\large{\frac{1}{2}}\)して、さらにそれを\(\large{\frac{1}{3}}\)する) ですね。

①は「元」が2つ、目盛りをそろえないと(通分しないと)足したり引いたりできない

というわけで、「通分」すると、
\(\large{\frac{3}{6}}\)+\(\large{\frac{2}{6}}\)＝ \(\large{\frac{3+2}{6}}\) というふうに「一つの分数」で表すことができますね。

②は「元」が1つ、その「元」をどう変形させているのか、ということですね。

というわけで、いきなり
1×\(\large{\frac{1}{2}}\)×\(\large{\frac{1}{3}}\) ＝ \(\large{\frac{1×1}{2×3}}\) というふうに「一つの分数」(元々1つ)で表すことができますね

確認のため、「通分」してみると、
\(\large{\frac{1}{2}}\)×\(\large{\frac{1}{3}}\) ＝ \(\large{\frac{3}{6}}\)×\(\large{\frac{2}{6}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{6}}\) で「通分」は「約分」されて、「意味のないもの」とわかりますね

(まとめ)

●「×÷」でつながっている

「元」は1つ
(「元」がどのように  「変形」したのか
イメージ：横に大きくなって、次に縦に大きくなって、次は全体的に小さくなって・・・ )

ex.
3 → 1×3
xy → 1×x×y
\(\large{\frac{1}{2}}\)xyz → 1÷2×x×y×z

●「+-」でつながっている

「元」は 複数 ある
(「元」に「何がくっついてきたのか」
「何が引かれてしまったのか」 )

ex.
1+2
x+y
\(\large{\frac{1}{2}}\)+x+y+z

分配法則の目的は、

例えば、
コミック360円を12冊買うといくら？

360×12＝4320 (円)ですが、
分配法則を使うと
360×12

少し暗算がしやすくなりますね。

  憶えておきたい  
　210 ＝ 1024　　 

二乗を「平方」、三乗を「立方」と言うことがありますね

● 面積でよく使った「cm2」 (平方センチメートル)ですね

・1(cm)×1(cm)×2(倍)= 1cm×2cm= 2cm2

● 体積でよく使った「cm3」(立方センチメートル)ですね

・1(cm)×1(cm)×2(倍)＝ 2(cm)2×1(cm) = 2cm3 //　ですね！

除法のポイント

もう一度確認しておきますね

●「×÷」でつながっている

「元」は1つ
(「元」がどのように「変形」したのか
イメージ：横に大きくなって、次に縦に大きくなって、次は全体的に小さくなって・・・ )

ex.
3　→　1×3
xy　→　1×x×y
\(\large{\frac{1}{2}}\)xyz　→　1÷2×x×y×z

●「+-」でつながっている

「元」は 複数 ある
( 「元」に「何がくっついてきたのか」
「何が引かれてしまったのか」 )

ex.
1+2
x+y
\(\large{\frac{1}{2}}\)+x+y+z

そして新たに、

⇒「÷〇」は、「× \(\large{\frac{1}{〇}}\)」というふうに、
分数の分母にもってくれば 掛け算になりますね！

⇒「÷\(\large{\frac{〇}{●}}\)」は、「×\(\large{\frac{●}{〇}}\)」というふうに、
「×逆数」にすれば 掛け算になります！

実は、上の2つは同じことを言っていますね
「÷〇」は、実は「÷ \(\large{\frac{〇}{1}}\) 」ですものね

《 例 》
3÷7 ＝ \(\large{\frac{3}{7}}\)　これで答えです！
・3÷7 →「3を7で割る」という意味
・\(\large{\frac{3}{7}}\) →「3を7で割る」、「1を7で割ったものが3つ」、「7につき3」　という意味も見えてきますね。

ただし、問いに「少数第何位まで求めよ」とあれば、
ミチミチと小数に計算しなければなりませんね・・・
\(\large{\frac{3}{7}}\) = 0.4285・・・と。

その他、×（かける）にできるということは、当然に

(＋)×(＋)、　(－)×(－)　のように、同符号どうしの掛け算は、　＋　
(＋)×(－)、　(－)×(＋)　のように、異符号どうしの掛け算は、　－　

ですし、÷のままでも
(＋)÷(＋)、　(－)÷(－)　のように、同符号どうしの割り算は、　＋　
(＋)÷(－)、　(－)÷(＋)　のように、異符号どうしの割り算は、　－　
→ まったく同様ということですね

逆数 とは

「逆数」とは、＝ その数に掛けたら、「 1 」になるような数。

簡単に言いますと

《 例 》
・ 2の逆数は　　\(\large{\frac{1}{2}}\)
　(確かに、2×\(\large{\frac{1}{2}}\)＝1)

・ \(\large{\frac{1}{3}}\)の逆数は　　3
　(確かに、\(\large{\frac{1}{3}}\)×3＝1)

・ -3の逆数は　　\(-\large{\frac{1}{3}}\)
　(確かに、-3×(-\(\large{\frac{1}{3}}\))＝1)

・ 0.25の逆数は

(　)の意味

(　)の意味は

数学ではもう一つ！

(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g)といくら長くてもこれで「一つの文字」です

掛けるでつながる (a×b×c×d×e×f×g)は、元々「abcdefg」の一文字ですから、(　)は不要ですね
そういう意味で、「+－×÷の混ざった式は×÷から先に計算する」の意味になりますね！

(3＋4＋5)もこれで、「一つの文字」ですが、
文字は文字でも、中が「数字」ですので、計算ができてしまいますね！
そういう意味で、(　　)の中から計算しましょう！の意味になりますね！

(読む＋書を)を「一文字」とはイメージしにくいと思いますが、
(読書)とすれば「一文字」とイメージできてしまいますね、
(読む＋書を)も、(　)で囲まれているからには、これで「一文字」とイメージできるように なりたいですね。

ex.
3(a＋b＋c＋d＋e)＋4(a＋b＋c＋d＋e)＝ 7(a＋b＋c＋d＋e)
→　3x+4x ＝ 7x と同じ考え方ですね

(カッコ)を「1文字」と見れることに慣れると、
「計算間違い防止」や「因数分解」などに役立ちます。

先ほどの問題で

・ 5÷(2+4)  ＝ \(\large{\frac{5}{(2+4)}}\)  = \(\large{\frac{5}{2+4}}\)  = \(\large{\frac{5}{6}}\)

においても、(2+4) を「一文字」とイメージできれば、
機械的に、(2+4) を分母にもってくることができますね！

・・・イメージできない場合は、
(2+4) = X (←ラージエックスなど)
「本当に1文字」に置き換えみて、

　5÷X ＝ \(\large{\frac{5}{X}}\)
　(X = 2+4 より)
　\(\large{\frac{5}{X}}\) = \(\large{\frac{5}{2+4}}\)

というふうに「2段階」踏むことになってしまいますね
「置きかえる」→「戻す」 …できれば省きたい作業ですね！　

「0÷」(0を割る)、「÷0」(0で割る)

0÷3＝？　　(0を3で割ると・・・)

「ないものを3で割っても、『ない』じゃろ？人間で言う「0」じゃ！」
「0円を3人で分けたら・・・一人0円・・・答えは0　!?」

そうです、0÷3＝0　です。「0は割ることができます」

では次に、3÷0　は？

「3÷『ない』＝？じゃな？・・・『ない』は書かなくていいから・・
　3÷　　となるの、ということは「÷」も書く意味がないから、3・・・イコールまでたどりつかぬの～、
　『答え、「書くことができない！」じゃ』」
「そこを何とか『 ÷0＝　』まで書いてほしいのですが！」

すいませんでした・・・

では、人間の番です
「3÷0」…「3円を0人で分けたら、一人あたり…あれ？0人あたり…
　あれ？　
う～ん、次の考え方！
「÷」を「×」にしてみよう、0の逆数は・・・  0×□＝1　で□のような数字は…あれ？ない！…？？？？

それでは、解答です…

「÷0」、「\(\large{\frac{}{0}}\)」は…『 定義しない』　でした。

イメージ的には、「数学では(そのようなものは)扱わない」という感じでしょうか。

もし、数学では考えないはずの 「÷0 (分母0)」 がテストにでたら、
答えは、「定義しない」と書いてくださいね

20+3776÷100×(-0.6)
=20+\(\large{\frac{3776×(-0.6)}{100}}\)　×÷の一体化
=\(\large{\frac{2000+(-2265.6)}{100}}\)　通分、分子計算
=\(\large{\frac{-265.6}{100}}\)　分子計算
= -2.656 (℃)

摂氏と華氏 (せっしとかし)

温度には2つの標準がありますね

ほとんどの国が採用している 摂氏(せっし)
20℃ → 摂氏20度

アメリカとほんの1部の国で採用されている 華氏(かし)
68℉ → 華氏68度（ど）

この2つは、「目盛りの価値」だけではなく「始点」も異なります

摂氏の基準 → 水の状態
華氏の基準 → 人の体温 ・ 身近な自然

基準は一度慣れると改変するのは大変ですね
円の1周は360°(360や180は細かく分けても整数が多い)に慣れてしまっていることと同じですね
明日から1周100°に改変します！と言われても慣れるのに大変ですね
直角は…100°×\(\large{\frac{1}{4}}\)…25°！？

では、
● 36.5℃は何 ℉？
1目盛りの価値が1.8倍(\(\large{\frac{18}{10}}\))になるので → 36.5×1.8 ＝ 65.7
℉はスタート地点ですでに32を持っているので → 65.7+32 ＝ 97.7 ℉  (平熱)

● 100 ℉は何 ℃？
℃はスタート地点で32を持っていないので → 100-32 ＝ 68
1目盛りの価値が\(\large{\frac{10}{18}}\)になるので → 68×\(\large{\frac{10}{18}}\) ＝ 37.777…℃ (発熱)

● 0 ℉は何 ℃？
℃はスタート地点で32を持っていないので → 0-32 ＝ -32
1目盛りの価値が\(\large{\frac{10}{18}}\)になるので → -32×\(\large{\frac{10}{18}}\) ＝ -17.777…℃ (氷枕)
(身近にある最も冷たいものが氷枕だった)

(ちなみに日本の家庭用冷蔵庫の冷凍庫は大体 -21℃、よくテレビでみる船上げされたばかりのカチンコチンのマグロは -60℃ ですね)

℃ と ℉、起点まで違うのはちょっと辛いですね！