中学数学 平面図形

 

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中学1年生 中学2年生課程へ 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 平面図形 (2) 空間図形

基本的な作図とその活用
 ・ 図形の各部名称
 ・ 2大根本作図
 A 4つの基本的な作図
 ① 垂線の作図
  ・ 垂線の特徴
  ・ 本当に直角?
  ・ 三角形の面積公式の1/2とは
  ・ ひし形の面積の有効活用
 ①-2 点Pを通る垂線の作図
  ・ 点Pを通る垂線の特徴
  ・ 50点な点Pを通る垂線の作図
 ② 垂直二等分線の作図
 ③ 角の二等分線の作図
  ・ 角の二等分線の特徴
 ④ 正三角形の作図
 色々な作図
平行移動回転移動対称移動
 ① 平行移動
 ② 回転移動
  ・ 点対称移動
 ③ 対称移動
図形の面積
 ① 平行四辺形系の面積
 ② 三角形の面積
 ③ 底辺共有2三角形の面積
  ・ 四角形の分類表
 ④ 円の面積 と円周
  ・ 円周率とは
  ・ 道路標識の「R」の意味

 

平面図形

 

ア 基本的な作図とその活用

 

「図形」は、「数と式」「関数」「資料の活用」と比較して、
最も理解しやすい分野といえますね!

 

なぜなら、自然の摂理と同じだからです、イメージがしやすいのです!
「-(マイナス)」なんて人間の考えた基準は出てきません!

 

点数の稼ぎどころと言えますね!

 

図形のポイントは、1、2、3年生を通じて、

 

1. その図形の特徴(性質)を、知っていること!
2. その図形の特徴(性質)を、見つけ出せること!(練習あるのみ!)
3. その図形の特徴(性質)を、利用できること!(練習あるのみ!)

 

です!

 

 

 

 

図形の各部名称

 

まずは、憶えるとこは憶えておきましょう!

 

練習問題記号の意味

練習問題記号の意味

 

練習問題直線線分半直線の違い

 

練習問題現象の名称

練習問題現象の名称

 

練習問題円の現象の名称

練習問題円の現象の名称

 

 

 

2大根本作図

 

数学での「作図」においては、「コンパス」と「定規」しか使いません。
しかも、定規は「直線を引くだけのためのもの」であって、目盛りは使ってはいけません
距離を測る手段は「コンパス」です。

 

作図は、「書き方」で憶えると、いずれ忘れてしまいます。
特徴(性質)」を憶えておけば、「書き方」を忘れても、なんとか書けますね!

 

その中でも、「考え方」の「根本」になる 2大根本作図が・・・
ひし形 と② たこ形 ですね!

 

 

① ひし形

 

《 例 》
1点から「ひし形」を2個ほど書きましょう

 

中学数学 平面図形 |

中学数学 平面図形 |
①適当に開いたコンパスで
円弧を書きます


中学数学 平面図形 |
①と「同じ開き」で
円弧上の適当な2点から
交わるように円弧②を書く

中学数学 平面図形 |
「点」と「交点」を結んで
「ひし形」の完成ですね


 

 

 

《 例 》
2点から「ひし形」を書きましょう

 

中学数学 平面図形 | 

中学数学 平面図形 |
2点を支点に「同じ開き」で
交わるように円弧①を書いて


中学数学 平面図形 |
「点」と「交点」を結んで
「ひし形」の完成ですね


 

 

 

 

② たこ形

《 例 》
1点から「たこ形」を2個ほど書きましょう

 

中学数学 平面図形 |

中学数学 平面図形 |
①適当に開いたコンパスで
 円弧を書きます

 


中学数学 平面図形 |
①と「違う開き」で
円弧上の適当な2点から
交わるように円弧②を書く

中学数学 平面図形 |
  「点」と「交点」を結んで
  「たこ形」の完成ですね


 

 

 

《 例 》
2点から「たこ形」を書きましょう

 

中学数学 平面図形 |

中学数学 平面図形 |
①適当に開いたコンパスで
 円弧を書きます


中学数学 平面図形 |
①と「違う開き」で
交わるように円弧②を書く

中学数学 平面図形 |
   「点」と「交点」を結んで
   「たこ形」の完成ですね


 

 

中学数学 平面図形 |

「ひし形」「たこ形」の性質

 

2つの図形はたくさんの性質を持ちますが
作図で役立つ性質を太字にしますね

 

【 ひし形 】

中学数学 平面図形 |

・対辺がそれぞれ平行
 (AD//BC、AB//DC)
・4辺が全て等しい
 (同じ開きのコンパス⇔同じ半径)
・対角がそれぞれ等しい
 (∠A = ∠C、∠B = ∠D)
・対角線が「中点」で「直角」に交わる
 (ACはBDの垂直二等分線
 BDはACの垂直二等分線)
・2本の対角線は「角の二等分線
 (∠ABD = ∠CBD など)


 

 

【 たこ形 】

中学数学 平面図形 |

・2辺がそれぞれ等しい
 (2つの開きのコンパス⇔それぞれは同じ半径)
・対角線がACの「中点」で「直角」に交わる
 (ACはBDの垂線
 BDはACの垂直二等分線)
・1本の対角線は「角の二等分線
 (∠ABD = ∠CBD   ∠ADB = ∠CDB)


 

 

これら「ひし形、たこ形の書き方」と「ひし形、たこ形の性質」を知っていれば
作図の7割はカバーできますね!
すなわち
与えられた問題に、まずは薄っすらと
「ひし形」や「たこ形」を「どう配置すればよいか」をイメージすれば
作図も進みやすいですね!

 

 

 

 

4つの基本的な作図

1-① 垂線

直線lに垂線(直角に交わる線)を引きましょう

 

中学数学 平面図形 |

中学数学 平面図形 |
「ひし形」か「たこ形」を想像して・・・
「たこ形」でいきますね


中学数学 平面図形 |
①適当に開いたコンパス( コンパスイラスト )の支点を、
直線lの適当な場所に置いて円を描く

 

 

中学数学 平面図形 |
②適当に開きを変えた(変えなくてもよい)コンパスの支点を、
 直線lの別な場所に置いて円を描く

 

 


中学数学 平面図形 |
③2つの交点を通る
  直線を引いて完成

 

 

 

ポイント

 

垂線の特徴

 

垂線の性質

m⊥l
〇=〇、 △=△ (半径より)

 

言葉で憶えられなくても、
図に、直角マーク「中学数学 平面図形 |」や
長さが同じマーク「中学数学 平面図形 |、〇、△、」など
を書き込むことができれば十分です
付随知識として、
① 〇=〇(△=△)の二等辺三角形
② m⊥lより、mやlは点線三角形の
底辺」や「高さ」と見ることができる


たこ形の性質を知っていれば当たり前のことですね!

 

 

 

余談>

 

直線上の2点を中心とした円の交点を結んだ線は本当に直角?

 

上の図で、最後に「垂線の証明1」(直角マーク)を書き込むとき、
「本当にこれは直角?」「なぜ直角と言えるの?」
となりますね。
本当に直角なのでしょうか?

 

下図は、上の図の点で切り出して、各点に名前を付けたものです

 

 

垂線の証明2

 

 (証明1)
 △OACと△OBCにおいて、
  \(\small{\begin{cases}
OA = OB (半径より)\\
CA = CB (半径より)\\
OC = OC (共通)
\end{cases}}\)


 

よって、「3つの辺がそれぞれ等しい」ので  △OAC≡△OBC …①
(2年生の「合同」です、のちほど 学びましょうね)
次に、△OMAと△OMBにおいて
  \(\small{\begin{cases}
OA = OB (半径より)\\
∠AOM = ∠BOM (①より)\\
OM = OM (共通)
\end{cases}}\)
よって、△OMA ≡ △OMBより
∠OMA=∠OMB…②
∠OMA+∠OMB=180°…③
②を③に代入して、
∠OMB+∠OMB=180°  → 2∠OMB=180°  → ∠OMB=90°
(または、MはAB上にあるから、  ∠OMA=∠OMB=90°とさらっと言ってもOKですね)
(または、△BOCは△AOCの「線対称」の図 (Oが共通より
また、△AOCは△BOCの「線対称」の図
よって、「線対称」ということは、対応する点(AB)を結んだ線は、
「対称の軸(折り目OC)」に直交(直角に交わる)するでもOKですね)

 

∴ OC⊥ AB

 

 

(証明2)
\(\small{\begin{cases}
OA= OB \\
CA = CB 
\end{cases}}\)

 

∴ 四角形AOBCは「凧型四角形」である
∴ 凧型四角形の対角線は直交するので
OC⊥AB //

 

 

●「ひし形」の場合は明らかに「垂直」に交わっているといえますね
∵ ひし形は「4辺が全て等しい」 (ひし形の性質)
∴ ひし形は同じ二等辺三角形が2つくっついたもの
∴ 二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する
  (二等辺三角形の性質)
∴ 対角線が直交する

 

 

余談

 

三角形の面積

 

三角形の面積は、底辺×高さ÷2ですね
少し数学風に言えば、S(面積) = \(\large{\frac{1}{2}}\)(底辺)(高さ) ですね

 

・\(\large{\frac{1}{2}}\) とは?
→ 三角形はひっくり返してくっつけたら「平行四辺形」になる
その平行四辺形の面積の
半分の面積という意味の「\(\large{\frac{1}{2}}\) 」ですね三角形の面積の「1/2の理由」 or 中学数学 平面図形 |

 

・底辺とは?→ そのまま「底辺」ですね

 

・では、「高さ」とは?

 

三角形イラスト

頂点から底辺に下した
垂線」ということになりますね
垂線が三角形の中にあれば、
イメージしやすいですが、


中学数学 平面図形 |

垂線が三角形からはみ出て、
イメージしにくくても、
底辺の延長上に下した垂線が「高さ」です!


 

中学数学 平面図形 |

長方形にするとイメージしやすですね


 

平行四辺形の面積が、(底辺)×(高さ)の理由
 平行四辺形の面積のイメージ

 

 

余談>

 

ひし形の面積の有効活用

 

余談が続いてすいません

 

ひし形の定義、定理(特徴・性質)は、

 

ひし形の面積の求め方の有効活用1

 

平行四辺形の全性質 プラス
4辺が全て同じ長さ
対角線が直交する ですね。


 

そして、
① ひし形の面積 = 底辺×高さ
または
② ひし形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)(対角線)(対角線)  でしたね

 

下は四角形の定番の (底辺)(高さ) は出てこないし、
四角形なのに「\(\large{\frac{1}{2}}\) 」がつくって、なにか気持ち悪いですね。

 

そうです、この公式は、2つの三角形の面積を足した式 ですね!
 共にACを底辺とする
 高さBOの三角形と、高さDOの三角形を足したものですね
 (BDを底辺と見るなら、高さはそれぞれAO、CO)

 

ひし形の面積

= △ABC+△ADC
= \(\large{\frac{1}{2}}\)AC・BO+\(\large{\frac{1}{2}}\)AC・DO
= \(\large{\frac{1}{2}}\)AC(BO+DO)
= \(\large{\frac{1}{2}}\)(AC)(BD)
= \(\large{\frac{1}{2}}\)(対角線)(対角線)


 

難しい!ので 数字で行きましょう!

中学数学 平面図形 |

●ひし形の公式だと
\(\large{\frac{1}{2}}\)(対角線)(対角線) = \(\large{\frac{1}{2}}\)×4×6 = 12

 

●△ABC+△ACDだと
= \(\left(\frac{ 1 }{ 2 }・4・3 \right )\)+\(\left(\frac{ 1 }{ 2 }・4・3 \right )\)
= 6+6 = 12 ですね!


 

 

この、
①「底辺を共有」していて、
②「高さ」がわかっている 2つの三角形の面積の和を、
ひし形だけで済ますのはもったいないです。

 

例えば、次の図の面積を求めるとき、第一感(直感)は?

 

ひし形の面積の求め方の有効活用2>中学数学 平面図形 |中学数学 平面図形 |

 

「四角形・三角形というより、三角形が2つだな」と思ったと、思います。
底辺に直交していれば「高さ」ですからね。
そして、2つの三角形をそれぞれ求めて、足し合わせますね。
(1)は、\(\left(\frac{ 1 }{ 2 }・4・2.5 \right )\)+\(\left(\frac{ 1 }{ 2 }・4・1.5 \right )\) = 5+3 = 8

 

・・・ですが・・
ひし形の面積のようにまとめてしまいましょう!
\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・(2.5+1.5) = \(\large{\frac{1}{2}}\)・4・4 = 8

 

公式

「底辺共有2三角形」の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)(底辺)(合計高さ)

 

↑お父ちゃんが勝手に名付けました、皆様で自由に名付けてくださいね!

 

(2)も(3)も全く同じです。
(2)は少し「2つの三角形」とはイメージしにくいかもしれませんが、同じです。

 

 

まだまだ先の話になりますが、
「2次関数」と「図形」の複合問題などで役に立ちますね!

 

ひし形の面積の求め方の有効活用3

 

図の赤い部分は、底辺共有2三角形ですね
共有底辺は、0~4の「4」ですよ~
合計高さは-2~3の「5」ですよ~
共有底辺を見つけることもポイントですね!


 

 

ちなみに、共有底辺を「共有高さ」とイメージするほうが楽なら、
それでも全く問題なしですね! (全く同じ結果ですので)

 

 

話が飛び過ぎてしまいましたが、
2つの三角形は、「底辺が共有」なら「高さ」を「足した」三角形の面積と
同じということです。
ここに当然、

ひし形イラスト
ひし形 も

 

たこ形イラスト
たこ形 も

 

変形凧型イラスト

 

 (対角線がたまたま直交する)
 変形たこ形も
 含まれてくるわけですね!


 

   中学数学 平面図形 |


 

 

 

4つの基本作図の続きです

 

①-2 点Pを通る垂線

点Pを通る、lの垂線を描きましょう

 

1点を通る垂線の書き方

中学数学 平面図形 |
     ①Pを支点に
      適当なABを決める

 

 


中学数学 平面図形 |
②適当に開きなおしたコンパスを
 (開きが同じならひし形 OKです)
 Aを支点に円を描く
 開きはそのままに、今度は
 を支点に円を描く

中学数学 平面図形 |
   ③交点とPを結んで完成
   最初に「ひし形かたこ形」を
   イメージすると楽ですね


 

 

 

 

ポイント

 

点Pを通る垂線の特徴 (= 垂直二等分線の特徴)

 

1点を通る二等分線の特徴

 ① m⊥l
 ② 〇=〇、 △=△ (半径より)
 ③ (Pがm上を動いても)常に AP=BP

 

 言葉で憶えられなくても、
 図に、直角マーク「中学数学 平面図形 |」や
 長さが同じマーク「中学数学 平面図形 |、〇、△、など」
 を書き込むことができれば十分です

 

 付随知識として、
 ④ 〇=〇(△=△)の二等辺三角形
 ⑤ m⊥lより、mやlは点線三角形の
底辺」や「高さ」と見ることができる


 

③は、直線mは点Pの集まりということですね

中学数学 平面図形 |

 

 

 常にPA = PBより
 Pが直線AB上に来た時、
 Pは、当然A点 と点Bの 中点 になりますね


 

 

これで
点Pが直線上にある場合の垂線も同様に描けますね

 

中学数学 平面図形 |中学数学 平面図形 |中学数学 平面図形 |

 

 

 

余談

 

50点な点Pを通る垂線の描き方

 

点Pを通る垂線は、常にPを頂点とする二等辺三角形なのだから、

 

少し間違った1点を通る二等分線の書き方

中学数学 平面図形 |
  ①適当なl上にコンパスの針を置き
  コンパスの鉛筆側をPに合わせて
  円を描く

 


中学数学 平面図形 |

 

 

②コンパスの開き具合はそののまま、
 今度は、Pに鉛筆側を合わせて×
 針がl上になる点を探して、円を描く


 

これは、確かに理論上は PA = PBで 点Pを通る垂線なのでしょうが、
コンパスを定規のようにして「距離を予測している」 ということで
×(バツ)なんでしょうね。
「すでにある点と点」にコンパスの開き具合を調整するのはアリですが、
やはり与えられた点にはまず「針」を刺すものなのでしょうね

 

 

 

 

 

② 垂直二等分線

 

もう垂直二等分線なんてわかっちゃいますね
最初から、点Aと点Bが与えられているのですから!

 

線分AB

 

垂直二等分線というからには、
ABの中点を通りますね

 

 

中学数学 平面図形 |

 

 (薄っすら「ひし形」をイメージして)
 ①Aを支点に、適当な円を描き
 ②コンパスの開きはそのままに
  Bを支点に円を描く
 ③交点を結んで完成です!


 

 

 

特徴は繰り返しになりますが、
① AB⊥ n
② 常に AP = BP
③ MはABの中点
 (M : middle、mannnakaでもいいかも)

 

 

 

 

③ 角の二等分線

 

角を2等分する線です
90°の角があれば45°と45°に分けることができるということですね

 

角の二等分線の書き方

中学数学 平面図形 |
  ①ひし形かたこ形をイメージして

 


中学数学 平面図形 |
②(Ot = Osをイメージしながら)
 Oにコンパスの針をあてて、適当な円を描く

 

 

中学数学 平面図形 |
③tを支点に適当な円を描き、
 開きはそのままに、sを支点に円を描いて完成です


 

 

 

【 二等分線である証明 】

中学数学 平面図形 |

△OtAとOsAにおいて
\(\small{\begin{cases}
Ot = Os \\
At = As \\
OA = OA (共通)
\end{cases}}\)
3辺がそれぞれ等しいので
∴ △OtA≡ △OsA
∴ ∠tOA = ∠sOA  (確かに二等分線)


 

 

 

 

ポイント

 

角の二等分線の特徴

 

角の二等分線の特徴(性質)はかなり役立ちます!

 

角の二等分線の特徴

 

特徴(性質)
① ∠ ア=∠ イ 
OA = Oa (△OAO1≡△OaO1 より)
OA⊥ O1A (接線の性質より)

 

 

 

付随特徴として、
④ 二等分線は、挟んだ円の中心の集まりである
 (ピースサインの指にピンポン玉を挟んで指先方向にしぼり出すイメージ)
適当な平行線CDを引くと、△CODは二等辺差角形
 (∠ ア=∠ イ、∠ イ=∠ ウ(錯角) ∴∠ ア = ∠ ウ、→ 底角が等しい)
 適当な平行線cdも同様に、△cODは二等辺三角形
⑥ OAが2倍になるとO1Aも2倍になる。3倍なら3倍。\(\large{\frac{1}{2}}\) 倍なら\(\large{\frac{1}{2}}\)倍

 

 

文字にすると難しくなってしまいますが、
ゆっくり、図の該当場所を鉛筆で押さえながら確認すれば、
なんとなくわかるかと思います。⑤⑥はなんとなくでかまいません。

 

 

 

 

 

④ 正三角形

 

描けそうな気がしますね!

 

正三角形の書き方

①コンパスをABの長さに広げて、


 

中学数学 平面図形 |

 

 

②Aを支点に円をえがき、
 開きはそのままに、次に
 Bを支点に円を描いて 完成です


 

【 正三角形の性質 】

中学数学 平面図形 |

 

 

① 3辺が等しい
② 全ての角が等しい (全て60°)


 

 

 

以上が基本の4作図で、今後使える「ツール」となります。

 

垂線 が引けますね(90°が書ける)!
垂直二等分線 が引けますね(中点を見つけられる)!
角を二等分 できますね(半角にできる)!
正三角形 が描けますね(60°が書ける)!

 

「作図」は少しひねられると、できそうでできない…
読めるけど書けない「漢字」のような難しさがあります
できる限り実際に描いてみてくださいね。

 

 

《典型例 》

練習問題コンパスを用いた色々な図形の書き方

練習問題コンパスを用いた色々な図形の書き方

 

 

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イ 平行移動、回転移動、対称移動

 

コンパスは使いません、方眼紙と定規(目盛りは使いません)だけ使う分野です。
当たり前と言えば、当たり前の分野ですね!

 

 

① 平行移動

 

平行移動・・・図形を、「一定の方向」に「一定の距離」だけずらす移動。

 

平行移動のイメージ図

 

(性質)
① 軌跡(きせき…点が動いた跡)が、同じ長さ (Aa=Bb=Cc)
② 軌跡が、平行 (Aa//Bb//Cc)

 

(イメージ) は、パソコンのマウスですね マウスポインタ―イラスト

 

練習問題平行移動の作図

 

 

 

 

② 回転移動

 

回転移動・・・「ある1つの点を中心」に「一定の角度だけ回転」させる移動。

 

△ABCを時計回りに「90°」回転させた図
回転移動の性質

 

(性質)
 ① 角度が同じ (∠AOD = ∠BOE = ∠COF = ~°)
 ② 対応する長さが同じ (  OA = OD、  OB = OE、  OC = OF)

 

(時計周りに90°の場合の「点」の求め方)
 例えば、 Oから左に2、上に3の点C(上図)の場合、

 

①座標化します…O( 0 , 0 )で…Cは、( -2 , 3 )
②C点を分数化します… \(\large{\frac{上下}{左右}}\)…-\(\large{\frac{3}{2}}\)
③逆数にします…-\(\large{\frac{3}{2}}\) → -\(\large{\frac{2}{3}}\)
④「-1」を掛けます… -\(\large{\frac{2}{3}}\)×(-1) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
⑤座標に戻して完成です… \(\large{\frac{2}{3}}\) → F( 3 , 2 )

 

これは、1次関数の、「傾き」に対する「垂線の傾き」の利用ですが、
今、難しければ、
2行って、3」は「3行って、2の、90°ぽい所」、
3行って、1」は「1行って、3の、90°ぽい所」 でOKです!

 

練習問題回転移動の作図

 

 

点対称移動・・・回転移動の180°バージョン

 

点対称移動の性質

 

(性質)
 ① 角度が同じ (∠AOa = ∠BOb = ∠COc = 180°)
 ② 対応する長さが同じ (OA = Oa、OB = Ob、OC = Oc )

 

↑当然、先ほどの「回転移動」と同じ性質ですね

 

(イメージ) は、風車ですね 風車イラスト

 

 

練習問題点対称移動の作図

 

 

 

 

③ 対称移動

 

対称移動・・・「対称の軸」(折り目)で折り返す移動

 

普段、「対称移動」と言えば、「対称移動」ではなく、「対称移動」を指します。

 

△ABCを、直線lを「対称の軸」として対称移動させた図
線対称移動の性質

 

(性質)
 ① 垂直に交わる (Aa⊥l1、Bb⊥l2、Cc⊥l3
 ② 対応する長さが同じ ( Al1 = al1、Bl2= bl2、Cl3 = cl3
 ③ 結果、lは垂直二等分線になる

 

(イメージ) は、そのまんま「ノート」ですね ノートイラスト

 

練習問題線対称作図

 

 

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ウ 図形の面積

 

おさらいとなります

 

 

① 平行四辺形系の面積

 

長方形の面積 = (底辺)×(高さ) でしたね

 

四角形の面積の意味

大前提の 1×1 ですね
単位は、cmなら 1cm2mなら  1m2
 μm(マイクロメーター)なら  1μm2
 単位ナシなら、単位ナシで、ただの「1」


 

中学数学 平面図形 |

「1」×4コ で 4
結局は、4(底辺)×1(高さ)で 「4」ですね


 

中学数学 平面図形 |

「4」が3段 で 12
結局は、4(底辺)×3(高さ)で 「12」ですね


 

平行四辺形(どんな平行四辺形)も「底辺」と「高さ」を変えずに
「長方形」に変形できますので・・・↓
中学数学 平面図形 |
中学数学 平面図形 | 中学数学 平面図形 | 中学数学 平面図形 | 中学数学 平面図形 |

 

結局は、平行四辺形も長方形同様 4(底辺)×3(高さ)で 「12」ですね

 

 

 

② 三角形の面積

 

三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(底辺)×(高さ)

三角形の面積

→ 2つ合わせると必ず「平行四辺形」
→ その半分という「\(\large{\frac{1}{2}}\) 」がつきますね
 \(\large{\frac{1}{2}}\) ×4(底辺)×3(高さ) = 6


 

 

 

 

③ 底辺共有2三角形の面積

 

底辺共有2三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(底辺)×(合計高さ・・・・)
 または \(\large{\frac{1}{2}}\)×(合計底辺・・・・)×(高さ)

 

 

 (ひし形)
ひし形
青:底辺 赤:高さ
\(\large{\frac{1}{2}}\)×6×(2+2) = 12

 

 (たこ形)
たこ形

 

\(\large{\frac{1}{2}}\)×6×(2+2) = 12

 

 (変形たこ形)
変形凧型

 

\(\large{\frac{1}{2}}\)×6×(3+1) = 12


 

 

(底辺共有2三角形)
底辺共有2三角形
\(\large{\frac{1}{2}}\)×3×(2+4) = 9

 

(高さ共有2三角形)
高さ共有2三角形
\(\large{\frac{1}{2}}\)×(5+2)×4 = 14

 

(台形)(=高さ共有2三角形)
台形
\(\large{\frac{1}{2}}\)×(5+2)×4 = 14
「上底+下底」の意味が
はっきりしましたね


 

原理は同じですので、個別に「公式」を憶える必要はないということですね!

 

 

 

余談

四角形の分類

 

四角形の変遷の樹形図

 

 

 

④ 円の面積と円周

 

円の面積は
半径×半径×円周率(およそ 3.14) でしたね
ですが、数学では

 

・半径は、「r」 (radius)
・直径は、半径の2倍ということで、「2r」
・円周率は、3.14を使わず「 π(パイ)」とします

 

よって、
円の面積 = r2π = πr2 でOKです。楽ですね!

 

↑並び順は何でも構いません。
ゴロがいいからこの並び順なのでしょうね「パイアールのにじょう」

 

 

ということは、円周 (直径×円周率3.14)は
円周 = (r+r)π  = 2rπ = 2πr  ですね!

 

 

円の面積と円周

円の面積は、3×3×3.14 = 28.26 としなくても、
 3×3×π =9π // でいいのです!
円周は、3×2×3.14 = 18.84 としなくても
 3×2×π = 6π でいいのです!
  楽でいいですね!


 

 

<余談

 

円周率とは

 

「円周率」とは、「直径」に対する円周の「比」ですね
どんな長さの直径に対しても、円周率を掛ければ
その直径に対する円が描けるということですね!

 

イメージ的には

 

円周率のイメージ化>

を 3.14倍 したら


 

中学数学 平面図形 |

 になる


 

そして、10cmを、この 31.4cmで丸く包むと・・・

中学数学 平面図形 |

中学数学 平面図形 |
直径10cmの「円」になる
という感じでしょうか。


 

 

② または、直径10cmの円を転ばせば、1周で31.4cmの地点にある、という感じでしょうか。
中学数学 平面図形 |

 

 

 

そして、円周率は「循環しない無限小数」です。
「π」 = 3.141592・・・・永遠に続きます(現在、2000兆桁目を超えています)

 

ということは、一時期話題になった「円周率は3で計算」、
正確には「手計算においては円周率を3とする(電卓計算なら3.14)」
の「3」においても、「3.14」においても、「3.14159」においても、
必ず直径より、ほんの、ほんの少しだけ小さい円ができるということですね。

 

例えば、直径3cm があります

 

 

・円周率「2」とすれば
3×2 = 6 (= 3cmの往復)
円周率の正確性
直径に全然届きませんね

    ・「3」の場合
     3×3=9
中学数学 平面図形 |


 

 

 

・「3.14」の場合
3×3.14 = 9.42
中学数学 平面図形 |

 

    ・「3.14159」の場合
     3×3.14159 = 9.42477
中学数学 平面図形 |
ミクロン単位で、円が直径の端に届かない


 

というふうに、桁数が多いほど「正確」に近づきますね!
= 円の縁が直径の端に限りなく近づきますね!
だけど、絶対に届きはしないのですが・・・
超精密工業製品などの製造は「3.14159……」と何桁目まで掛けるのでしょうね?

 

 

 

余談

 

道路標識の「R」

 

R16(
国道の標識画像
)の「R」
ではないですよ。
これは
「ルート16」のR。

すなわち「国道16号線」という意味ですね。

 

今回の「R」は、こちら

(
中学,数学,平面図形
)
(
中学,数学,平面図形
)
の「R」です。

 

道路のカーブを半径で表示してますね
半径が小さいほど「急」カーブになりますので、
カーブの手前で「十分に減速するように」と注意しています

 

カーブ中に減速すると、外側の前タイヤに
「遠心力のG」+「ブレーキのG」がダブルでかかりますので
タイヤの滑り出しが早くなりますね、危険です!
カーブ中はできる限り、同じ速度か、少し加速が安定しますので、
カーブの手前で十分に減速を終わらせておきましょう。

 

タイヤの接地力が、遠心力に負けると、外側に滑り出して、
ガードレールとあいさつすることになりますね!

 

とは言いましても、実際の運転中に、R(半径)120m の標識が出てきても
「急カーブ?緩いカーブ?」「わかりませ~ん」ですね
まだ直径の方がイメージできるかなとは思いますが・・・

 

 

限界速度のデータがあります
「車種」「タイヤの性能」「重さ」など、色々な要素で
変化するとは思いますが、

 

半径 乾燥路面 濡れた路面
r = 20m 40km/h 30km/h
r = 40m 60km/h 45km/h
r = 60m 70km/h 55km/h
r = 100m 90km/h 70km/h

 

のようですが、憶えておくことは不可能ですので、
「今の速度より、20km/h 落としておく」くらいでいいのではないでしょうか。

 

 

ちなみに、
東名高速の最小半径Rは、300m
新東名高速の最小半径Rは、3000m ですね

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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