中学数学　平面図形

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A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 平面図形

(2) 空間図形

ア	基本的な作図とその活用
・	図形の各部名称
・	2大根本作図
・	ひし形・たこ形の性質
A	4つの基本的な作図
①	垂線の作図
・	垂線の特徴
・	本当に直角？
・	三角形の面積公式の1/2とは
・	ひし形の面積の有効活用
①	点Pを通る垂線の作図
・	点Pを通る垂線の特徴
・	50点な点Pを通る垂線の作図
②	垂直二等分線の作図
③	角の二等分線の作図
・	角の二等分線の特徴
・	正三角形の作図
・	色々な作図
イ	平行移動、回転移動、対称移動
①	平行移動
②	回転移動
・	コンパスで回転移動の作図
・	点対称移動
③	対称移動
・	コンパスで(線)対称移動の作図
ウ	図形の面積
①	平行四辺形系の面積
②	三角形の面積
③	底辺共有2三角形の面積
・	四角形の分類表
④	円の面積　と円周
・	円周率とは
・	道路標識の「R」の意味

 

平面図形

 

ア　基本的な作図とその活用

 

「図形」は、「数と式」「関数」「資料の活用」と比較して、
最も理解しやすい分野といえますね！

 

なぜなら、自然の摂理と同じだからです、イメージがしやすいのです！
「－(マイナス)」なんて人間の考えた基準は出てきません！

 

点数の稼ぎどころと言えますね！

 

図形のポイントは、1、2、3年生を通じて、

 

1.	その図形の特徴(性質)を、知っていること！
2.	その図形の特徴(性質)を、見つけ出せること！(練習あるのみ！）
3.	その図形の特徴(性質)を、利用できること！(練習あるのみ！)

 

です！

 

 

 

 

図形の各部名称

 

まずは、憶えるとこは憶えておきましょう！

 

 

 

 

 

 

 

2大根本作図

 

数学での「作図」においては、「コンパス」と「定規」しか使いません。
しかも、定規は「直線を引くだけのためのもの」であって、目盛りは使ってはいけません。
距離を測る手段は「コンパス」です。

 

作図は、「書き方」で憶えると、いずれ忘れてしまいます。
「特徴(性質)」を憶えておけば、「書き方」を忘れても、なんとか書けますね！

 

その中でも、「考え方」の「根本」になる 2大根本作図が・・・
① ひし形　と② たこ形　ですね！

 

 

① ひし形

 

《 例 》
1点から「ひし形」を2個ほど書きましょう

 

 

 

 

《 例 》
2点から「ひし形」を書きましょう

 

 

 

 

 

② たこ形

《 例 》
1点から「たこ形」を2個ほど書きましょう

 

 

 

 

《 例 》
2点から「たこ形」を書きましょう

 

 

 

 

これら「ひし形、たこ形の書き方」と「ひし形、たこ形の性質」を知っていれば 作図の7割はカバーできますね！
すなわち
与えられた問題に、まずは薄っすらと「ひし形」や「たこ形」を 「どう配置すればよいか」をイメージすれば作図も進みやすいですね！

 

 

 

 

4つの基本的な作図

1－①　垂線

直線lに垂線(直角に交わる線)を引きましょう

 

③2つの交点を通る
　 直線を引いて完成

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4つの基本作図の続きです

 

①-2　点Pを通る垂線

点Pを通る、lの垂線を描きましょう

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

②　垂直二等分線

 

もう垂直二等分線なんてわかっちゃいますね
最初から、点Aと点Bが与えられているのですから！

 

 

垂直二等分線というからには、
ABの中点を通りますね

 

 

 

 

 

 

特徴は繰り返しになりますが、
① AB⊥ n
② 常に AP = BP
③ MはABの中点
　(M : middle、mannnakaでもいいかも)

 

 

 

 

③　角の二等分線

 

角を2等分する線です
90°の角があれば45°と45°に分けることができるということですね

 

 

 

 

【 二等分線である証明 】

 

 

 

 

 

 

 

 

④　正三角形の作図

 

描けそうな気がしますね！

 

 

 

【 正三角形の性質 】

 

 

 

以上が基本の4作図で、今後使える「ツール」となります。

 

①垂線 が引けますね(90°が書ける)！
②垂直二等分線 が引けますね(中点を見つけられる)！
③角を二等分 できますね(半角にできる)！
④正三角形 が描けますね(60°が書ける)！

 

「作図」は少しひねられると、できそうでできない…
読めるけど書けない「漢字」のような難しさがあります
できる限り実際に描いてみてくださいね。

 

 

《典型例 》

 

 

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イ　平行移動、回転移動、対称移動

 

主に方眼紙と定規だけ使う分野です。
当たり前と言えば、当たり前の分野ですね！

 

 

①　平行移動

 

・ 平行移動・・・図形を、「一定の方向」に「一定の距離」だけずらす移動。

 

・ 一言、「マウス」

 

 

(性質)
① 軌跡(きせき…点が動いた跡)が、同じ長さ (Aa=Bb=Cc)
② 軌跡が、平行 (Aa//Bb//Cc)

 

(イメージ) は、パソコンのマウスですね

 

 

 

 

【 平行移動をコンパスと定規だけで作図 】

 

《 例 》
△ABC を、点Aを点aに移すように平行移動した図を作図しましょう

①

②

③

③’ 点bも平行移動で決めるなら(正統？)

 

cf.
①’何も考えず作図できるのはひし形ですね
→ 開きを何回も変えずに平行線がひける

後は同様に

 

 

 

 

②　回転移動

 

・ 回転移動・・・「ある1つの点を中心」に「一定の角度だけ回転」させる移動。

 

・ 一言、「太陽系」「風車」

 

△ABCを時計回りに「90°」回転させた図

 

(性質)
　① 角度が同じ (∠AOD = ∠BOE = ∠COF = ～°)
　② 対応する長さが同じ (  OA = OD、  OB = OE、  OC = OF)

 

(イメージ) は、風車ですね　

 

(時計周りに90°の場合の「点」の求め方)
　例えば、 Oから左に2、上に3の点C(上図)の場合、

 

①座標化します…O( 0 , 0 )で…Cは、( -2 , 3 )
②C点を分数化します… \(\large{\frac{上下}{左右}}\)…-\(\large{\frac{3}{2}}\)
③逆数にします…-\(\large{\frac{3}{2}}\) → -\(\large{\frac{2}{3}}\)
④「-1」を掛けます… -\(\large{\frac{2}{3}}\)×(-1) = \(\large{\frac{2}{3}}\)
⑤座標に戻して完成です… \(\large{\frac{2}{3}}\) → F( 3 , 2 )

 

これは、1次関数の、「傾き」に対する「垂線の傾き」の利用ですが、
今、難しければ、
「2行って、3」は「3行って、2の、90°ぽい所」、
「3行って、1」は「1行って、3の、90°ぽい所」 でOKです！

 

 

 

 

 

【 回転移動をコンパスと定規だけで作図 】

 

《 例 》
三角形 abc は三角形 ABC をある点 O を中心として回転移動したものである。点 O を作図しましょう

 

まず、前提知識として1つの円周上での弦の垂直二等分線はどのような弦であっても必ず中心を通りましたね (典型作図)

 

この原理は、「二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線」になります (二等辺三角形の条件)

どの点と中心を結んでもそれは半径なので同じ長さ
→ どんな長さの弦であってもOを頂角とする二等辺三角形の底辺
→ どの二等辺三角形もOが頂点(当然)
→ 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂角の二等分線
⇒ ∴ 弦の垂直二等分線は中心Oを通る(集まる)

 

またこれらは同心円上の円でも成り立ちますね

 

では、問題に戻りまして

Aとa(地球)、Bとb(金星)、Cとc(水星)はそれぞれ同心(太陽)円周上の点ですね
ということは、弦Aaの垂直二等分線上のどこかにOがある
また弦Bbの垂直二等分線上のどこかにOがある
交わったところが共通のO → 中心ですね
2つで十分「決まる」ので別にCとcの垂直二等分線は省略可ですね

 

 

 

確認図で、ポイント確認 → 「対応する点は同じ円周上」「各弦の垂直二等分線の交点が中心」「確かに△OAaは二等辺三角形」

 

 

 

《 例 》
図の△ABC を、点 O を回転の中心として、反時計回りに (1) 180°、(2) 60°、(3) 30°、(4) 90°、(5) 45° 回転移動して得られる△abc を作図しましょう
　　　　

 

分かりやすいように、各点が動く円を全部書いてしまいますね。
実際は、必要な実線部分だけの円弧を書くと思います

 

(1) 180°

 

① およそ180°と思われる円弧をそれぞれ書く(黒実線円弧)
② AOを延長した線とAが動く円との交点がa、同様に、BO, COを延長してb, c を決める
②’ (定規による2点の「延長線」を認めない厳しい先生の場合(すべてコンパス)は
　コンパスを半径の開きで円周を区切っていけば3つ目が180°ですね

③ 3点abc を結んで完成
　(三角形を動かすというよりも、点を動かすイメージ)

 

 

 

(2) 60°

 

 

(3) 30°

 

 

(4) 90°

 

 

(5) 45°

 

 

作図の方法は他にもいろいろ考えられますが

 

 

 

 

 

・ 点対称移動・・・回転移動の180°バージョン

 

・ 一言、「2枚羽プロペラ」

 

 

(性質)
　① 角度が同じ (∠AOa = ∠BOb = ∠COc = 180°)
　② 対応する長さが同じ (OA = Oa、OB = Ob、OC = Oc )

 

↑当然、先ほどの「回転移動」と同じ性質ですね

 

(イメージ) は、2枚羽プロペラ　

 

 

 

 

【 点対称移動をコンパスと定規だけで作図 】

 

回転移動の180°バージョンと同じでしたね

 

 

 

 

③　対称移動

 

・ 対称移動・・・「対称の軸」(折り目)で折り返す移動

 

・ 一言、「ノート」

 

普段、「対称移動」と言えば、「点対称移動(180°回転移動)」ではなく、この「線対称移動」を指します。

 

△ABCを、直線lを「対称の軸」として対称移動させた図

 

(性質)
　① 垂直に交わる (Aa⊥l、Bb⊥l、Cc⊥l)
　② 対応する長さが同じ ( Al1 = al1、Bl2= bl2、Cl3 = cl3)
　③ 結果、l は垂直二等分線になる

 

(イメージ) は、そのまんま「ノート」ですね　

 

 

 

【 対称移動をコンパスと定規だけで作図 】

 

《 例 》
△ABCを直線lを対称の軸として、(線)対称移動させた図を作図しましょう

 

①

②

 

 

 

 

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ウ　図形の面積

 

おさらいとなります

 

 

①　平行四辺形系の面積

 

長方形の面積 = (底辺)×(高さ)　でしたね

 

 

 

 

平行四辺形(どんな平行四辺形)も「底辺」と「高さ」を変えずに
「長方形」に変形できますので・・・↓

　　　

 

結局は、平行四辺形も長方形同様　4(底辺)×3(高さ)で 「12」ですね

 

 

 

②　三角形の面積

 

三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(底辺)×(高さ)

 

 

 

 

③　底辺共有2三角形の面積

 

底辺共有2三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×(底辺)×(合計高さ（・・・・）)
　または　\(\large{\frac{1}{2}}\)×(合計底辺（・・・・）)×(高さ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原理は同じですので、個別に「公式」を憶える必要はないということですね！

 

 

 

 

 

 

④　円の面積と円周

 

円の面積は
半径×半径×円周率(およそ 3.14) でしたね
ですが、数学では

 

・半径は、「r」 (radius)
・直径は、半径の2倍ということで、「2r」
・円周率は、3.14を使わず「 π(パイ)」とします

 

よって、
円の面積 = r2π = πr2 でOKです。楽ですね！

 

 

 

ということは、円周 (直径×円周率3.14)は
円周 = (r+r)π  = 2rπ = 2πr　　ですね！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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