中学数学　空間図形

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(1) 平面図形

(2) 空間図形

ア	空間における直線や平面の位置関係
①	平面と点　の関係
②	直線と直線　の関係　(ねじれの位置とは)
③	直線と平面　の関係
④	平面と平面　の関係
イ	空間図形の構成や表現
①	立体の名称
②	立体の各部名称
③	正○○柱、正○○錐とは
④	正多面体
⑤	平面の回転　(回転体)
⑥	投影図
⑦	展開図
⑧	図形の切断
ウ	扇形の弧の長さと面積、基本的な柱体、錐体、球の表面積と体積
①	表面積
②	扇形
・	円錐の側面積πlr
・	扇形の面積S=1/2lr
③	球の表面積
④	体積 (体積の公式)

 

空間図形

 

ア　空間における直線や平面の位置関係

 

平面図形が「2次元の図形」なら、
空間図形は「3次元の図形」、すなわち「立体」ですね！

 

 

 

①　平面と点　の関係

 

・平面に、点が「1つ」のとき、
　
　平面は、「自在」に「無限」に位置がある
　イメージは、一本足の椅子に座った感じ
　またはウエイターさんが　お盆を指1本でトレイを支える感じ

 

 

・平面に、点が「2つ」のとき、
　
　平面は、「回転軸を軸」に「無限」に位置がある
　イメージは、2本足の椅子に座った感じ
　またはウエイターさんが　お盆を指2本でトレイを支える感じ　　　

 

 

・平面に、点が「3つ」のとき、
　
　平面が、「1つ (１か所)に決まる」
　ただし、その3点が一直線上な配置な場合は
　上の点が「2つ」と同じことですね  →1か所に決まらない　　

 

イメージは3本足の椅子に座った感じ、初めてカチッと「安定」しますね
　またはウエイターさんが　お盆を指3本でトレイを支える感じ
　グラグラしないということですね　

 

 

 

 

 

②　直線と直線　の関係　(ねじれの位置とは)

 

直線は、直線の両端を(にょい棒のように)永遠に延ばし続けたら
　①交わる
　②交わらない
の2通りですね。

 

②の交わらない理由は、　
　1.平行だから
　2.「ねじれの位置」にあるから
の2通りですね。

 

 

 

また、
「交わる」場合と、「平行」の場合の2つは、「同一平面上」にあると言えますね

 

《 例 》
　

 

ADは 直線lと、交わる
ABも、EHも、EFも、同様に交わる

 

DHは 直線lと、交わらない (平行なので)
CGも、BFも、交わらない (同じく平行なので)

 

DCは 直線lと、交わらない (ねじれの位置にあるので)
BCも、HGも、FGも、交わらない (同じくねじれの位置にあるので)

 

 

 

 

 

③　直線と平面　の関係

 

先ほどまでは
「平面」と「点」、「直線」と「直線」の関係でしたね

 

次は
「平面」と「直線」、
その関係は　3通り　ですね
(平面を拡大し続ける、直線を延長し続けるイメージを頭の片隅に持っておいてくださいね)

 

① 直線が平面上にある

 

 

② 交わる

この時、必ず一か所は「90°」の箇所がある

 

 

イメージは、電車のアクセルでしょうか

 

ということは、他にもう１か所(合計2か所) 垂直な場所がある場合には、
Pとlは、「垂直」に交わっているということになりますね
(上図のレバーを垂直に立てるように)

 

 

 

 

③ 交わらない

 

 

 

 

④　平面と平面　の関係

 

 

平面と平面の関係は　2通り　ですね

 

2つの平面をそれぞれ拡大し続ければいずれ・・・
①交わる

→ ノートパソコンの折り目部分が　2つの平面の交わる部分ですね
→ 2平面が平行でない場合は　必ずこの部分が発生しますね

 

 

②交わらない　(平行のときだけ)

 

 

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イ　空間図形の構成や表現

 

①　各立体の名称

 

まずは名前を憶えてしまいましょう

 

 

 

頂点が、中心からずれていても「三角錐」です。
とにかく　 とがっていれば「～錐（すい）」ですね

 

 

 

②　立体の各部名称

 

 

 

③　正○○柱、正○○錐とは

 

① 底面が、「正三角形」「正方形」、「正～角形」の場合で、
② 側面の面たちが、全て同じ形の場合

 

「正三角柱、正三角錐」、「正四角柱、正四角錐」、「正～角柱、正～角錐」と言いますね。

 

では、「ピラミッド」は、正～錐でしょうか？

 

　答え． 正四角錐ですね！

 

 

 

正多面体

 

 

正多面体の条件

 

1. すべての面が同じ形
2. 頂点に集まる面の数が全て同じ
2. へこみがない

 

ですね
この世に5種類しかありませんので、
(数学っぽくはないのですが)　英単語のように憶えてしまいましょう

 

 

 

→「辺の数」は、例えば、正十二面体の場合
　一つの面には5つの辺
ですが　
となりの面もその辺を持つ！
他の辺に関しても同様なので…
ダブり防止のため「2」で割るですね！

 

→「頂点の数」は、例えば、正十二面体の場合

 

 

 

 

ちなみに、

 

 

 

 

 

 

⑤　平面の回転　(回転体)

 

「点」を動かすと「線」が　
「線」を動かすと「面」が　
「面」を動かすと「立体」ができますね！

 

そして、「平面」をある軸で、回転させても立体ができますね、
これを「回転体」と言います。

 

 

 

【 回転体の特徴 】

 

・ 回転体を、「軸に垂直な平面」で切った「切り口」は、
切る位置に関係なく必ず『円』である。

 

 

・ 　回転体を、「軸を含む平面」で切った「切り口」は、
「軸を対称軸」とする『線対称』な図形である。

 

 

 

・ 　回転体は、「軸を含む平面(ガラス)」について、
「面を対称面」とする『面対称』な図形である。

 

 

 

 

【 軸に接する三角形の回転体体積 】

 

《 例 》
次の3つの△ABCをl軸を回転軸として1回転させた立体の体積を求めましょう

 

 

 

 

 

 

どれも同じ体積ですね！

 

すなわち、結局は

　ですね

 

 

《 例 》
回転体の体積を2通りで求めてみましょう

 

 

 

 

 

 

 

⑥　投影図

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑦　展開図

 

立体をばらした図ですね、設計図みたいなものです

 

 

 

 

【 立方体の展開図の見分け方 】

 

(前提)　6面からなる
(基本形)　位置を  として、
展開図の基本形を  や  としますね

 

そして、面は『同じ線上なら転がってもよい』ので
 同じ線上〇　　 同じ線上でない×

 

 や

 

も基本形ということができますね！
逆を言えば、「同じ線上で転がして、基本形になれば展開図としてOK」ということですね！

 

《 例 》
図は立方体の展開図になりますか

 

 

 

 

 

 

 

図形の切断

 

立体を包丁で切断すると、
切り口がいろいろな形になりますね

 

《 例 》
立方体ABCD‐EFGHがあります
M、Nはそれぞれの辺の中点です
MNをふくむ平面で切るとき、考えられる切り口の形は？

 

 

2点を含む平面では平面は「決まり」ませんでしたね (平面と点)

 

 

2点を含む平面では平面は「決まり」ませんので
大きく分けて、「三角形」「四角形」「五角形」「六角形」の
4つも考えられますね
この点、M、N、Gの(一直線上にない) 3点を指定されていたら・・・

 

五角形の一つに「決まって」いましたね

 

 

豆腐の味噌汁をつくっているときに
豆腐だけ切らしてもらいましょうね！
立方体を何個かつくって、いろいろ試してみてくださいね

 

 

 

 

 

【 直方体(立方体)を二等分する平面 】

 

対角面 ←造語です(対角線を含む平面)は直方体や立方体を二等分しますね

 

 

 

これら対角面(対角線を含む平面)で分けられた立体は、すべて体積が同じですね！
例えば(ウ)を完全に分けてみると…

 

 

このように分けられて、
そして、(ウB)を手前に1回転させると

 

 

左右対称な図形とわかりますね
すなわち、「同じ体積」「二分する」ですね！

 

 

《 例 》

 

 

 

・ABKJ‐EFLMはJKCD‐MLGHの2倍
・対角面はABKJ‐EFLMを二等分する
すなわち、
点Cをを含む側の立体の体積は、全直方体の\(\large{\frac{2}{3}}\)とわかる

 

∴ 点C側体積 ＝ \(\large{\frac{2}{3}}\)・全直方体
　　 ＝ \(\large{\frac{2}{3}}\)・6・6・6
　　 ＝ 144 cm3

 

 

 

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ウ　扇形の弧の長さと面積、基本的な柱体、錐体、球の表面積と体積

 

①　表面積

 

立体の『表面積』は、それぞれの面の面積を足し合わせるだけですね。
展開図を書く必要は、そんなにはないかなと思いますが、
慣れるまでは書いた方がいいのかな、とも思います。

 

 

他方、
立体を構成する「面」は、
円を除いて、全て三角形で構成されていますね。

 

 

 

というわけで、「面積の求め方」はすでに勉強済みですので
「表面積」は、各面積を足す、それだけですね！

 

 

 

 

②　扇形

 

それでは、本題の「扇形(おうぎがた)」です
円錐の展開図の側面部分は必ず「扇形」になりますね

 

も扇形ですね。円が少しでも欠ければ「扇形」です

 

 

扇形で問題になるのは

 

「中心角の大きさ」
「弧の長さ」
「面積」

 

の3つだけです
そして、実は『割合』の問題ともいえますね

 

割合の公式は
だけでしたね
これを扇形に当てはめると、

 

 

扇形は、この「分数(割合)」が必要なのです！「分数」を求めたいのです！

 

そして、「同じ半径の円」なら、
この「割合」は
「中心角」「面積」「弧の長さ」 全てに共通なのです

 

例えば

の扇形の場合、

 

・中心角は、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  ＝ \(\large{\frac{90°}{360°}}\)   ＝ \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

・面積は、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  ＝ \(\large{\frac{2.25\pi cm^2}{9\pi cm^2}}\)   = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

・弧の長さは、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  ＝ \(\large{\frac{1.5\pi cm}{6\pi cm}}\)   = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

この「\(\large{\frac{1}{4}}\) (0.25 = 25％)」という「割合」を求めたいのです
この「\(\large{\frac{1}{4}}\)」さえ解れば、
あとは「全体 360° や 全面積 や 全円周」に「\(\large{\frac{1}{4}}\) 」を掛ければ、
それぞれ、「対象」(扇形の「中心角・面積・弧の長さ)が求まりますね！！

 

なんとなく気づいたとは思いますが、
角度の「全体」は、円の大きさに関係なく、常に「360°」ですね！
一番楽に「割合」を出せるということですね！  \(\large{\frac{60°}{360°}}\) = \(\large{\frac{1}{6}}\) !みたいに！

 

そして、この「\(\large{\frac{1}{6}}\) 」という「割合」を利用して、
扇形の「面積」や「弧の長さ」を求めたりしていたのですね。

 

ということは、中心角が解らない時は、
ミチミチと「面積」や「弧の長さ」から「割合」を求めればよい。
ということですね！

 

 

 

 

 

 

 

円錐の側面積

 

これでもう「円錐の側面積」も求められますね！

 

データを書き込むと、

 

底面の半径は、扇形の「弧の長さ」のヒントだったんですね！
もう、みなまで解くな！という感じですが、念のために、

 

扇形の「中心角」も「面積」も解らない、
→「弧の長さ」から「分数(割合)」を求めるのだな！

 

割合 ＝ \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  ＝ \(\large{\frac{扇形の弧の長さ}{大円の円周}}\)  ＝ \(\large{\frac{小円の円周}{大円の円周}}\)  = \(\large{\frac{10\pi }{24\pi }}\)   = \(\large{\frac{5}{12}}\)  　(=0.416…=≒41.6％)

 

 

扇形の面積 = 全面積×\(\large{\frac{5}{12}}\)  = πr2×\(\large{\frac{5}{12}}\)   = 60π  　A.　60π cm2

 

ちなみに、表面積は、  側面積+底面積  = 60π+25π = 85π  　A.　85π cm

 

 

 

 

 

 

 

③球の表面積

 

球の表面積は、公式で憶えてしまいましょう。
なぜなら、その証明は高校レベルの、それもかなり深い部分だからです。
その割に、公式自体は簡単ですので、中学で扱うのでしょうね！

 

 

 

 

 

 

 

④　体積

 

とうとう１年生数学 図形の終盤ですね！

 

「難しくはありません！」・・・大人のような言い回しですいません！
「簡単です！」と言いたいのですが、なぜか、そう言うのが怖いのです・・・

 

以上です！

 

ここで、「高さ」とは、
「上底」や「頂点」から「底面のある面」に下した「垂線」になります

 

 

「垂線」が「底面」から外れていてもかまいません。
「底面」のある平面までの「最短距離」が「高さ」です。

 

 

 

 

「底面」は、必ず床にくっついている面、である必要は全くありません。
自分が、「最もイメージしやすい」「最も計算がしやすい」面を
見つけてくださいね！自由です！

 

 

 

3年「三平方の定理」を学んだ後には、
この「空間図形」の応用問題はグッと難しくなりますね！
正確には「難しくなる」ではなく→「空間認識力が鍛（きた）えられる！」ですね

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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