中学数学 空間図形

 

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A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 平面図形 (2) 空間図形

 

空間図形

 

ア 空間における直線や平面の位置関係

 

平面図形が「2次元の図形」なら、
空間図形は「3次元の図形」、すなわち「立体」ですね!

 

 

 

① 平面と点 の関係

 

・平面に、点が「1つ」のとき、
 平面と1点の関係画像
 平面は、「自在」に「無限」に位置がある
 イメージは、一本足の椅子に座った感じ
 またはウエイターさんが お盆を人差し指1本でトレイを支える感じ

 

 

・平面に、点が「2つ」のとき、
 平面と2点の関係画像
 平面は、「回転軸を軸」に「無限」に位置がある
 イメージは、2本足の椅子に座った感じ
 またはウエイターさんが お盆を人差し指と中指2本でトレイを支える感じ   

 

 

・平面に、点が「3つ」のとき、
 平面と3点の関係画像
 平面が、「1つ (1か所)に決まる
 ただし、その3点が一直線上な配置な場合は
 上の点が「2つ」と同じことですね  →1か所に決まらない  

 


 (「1つに決まる」とは、その平面以外あり得ないということですね)
 イメージは3本足の椅子に座った感じ、初めてカチッと「安定」しますね
 またはウエイターさんが お盆を人差し指と中指と親指3本でトレイを支える感じ
 グラグラしないということですね 

 

 

 

 

② 直線と直線 の関係 (ねじれの位置とは)

 

直線は、直線の両端を(にょい棒のように)永遠に延ばし続けたら
 ①交わる
 ②交わらない
の2通りですね。

 

②の交わらない理由は、 
 1.平行だから
 2.「ねじれの位置」にあるから
の2通りですね。

 


  平行 とは  

 

同一の平面上にあって、
両方向に限りなく延長しても、
いずれの方向においても互いに交わらない直線

 


  ねじれの位置 とは  

 

2直線が(延長しても)交わらない位置関係で、
「平行の場面」を除いたもの

 

また、
「交わる」場合と、「平行」の場合の2つは、「同一平面上」にあると言えますね

 

《 例 》
 ねじれの位置とは

 

ADは 直線lと、交わる
ABも、EHも、EFも、同様に交わる

 

DHは 直線lと、交わらない (平行なので)
CGも、BFも、交わらない (同じく平行なので)

 

DCは 直線lと、交わらない (ねじれの位置にあるので)
BCも、HGも、FGも、交わらない (同じくねじれの位置にあるので)

 

練習問題ねじれの位置

練習問題ねじれの位置

 

 

 

 

③ 直線と平面 の関係

 

先ほどまでは
「平面」と「点」、「直線」と「直線」の関係でしたね

 

次は
「平面」と「直線」、
その関係は 3通り ですね
(平面を拡大し続ける、直線を延長し続けるイメージを頭の片隅に持っておいてくださいね)

 

① 直線が平面上にある
平面と直線の関係

 

 

② 交わる
中学数学 空間図形 |
この時、必ず一か所は「90°」の箇所がある

 

平面と直線が交わるときは必ずどこかが90°であるイメージ図

 

イメージは、電車のアクセルでしょうか
平面と直線が平行なときの性質

 

ということは、他にもう1か所(合計2か所) 垂直な場所がある場合には、
Pとlは、「垂直」に交わっているということになりますね
(上図のレバーを垂直に立てるように)

 

中学数学 空間図形 |

 

2か所垂直であることを
証明できれば、
P⊥l といえますね


 

 

③ 交わらない

 

中学数学 空間図形 |

→ 平行の場合だけですね
平面P//直線l → P//l
少しでも傾いていれば、
いずれ必ず、交わる!


 

 

 

④ 平面と平面 の関係

 

 

平面と平面の関係は 2通り ですね

 

2つの平面をそれぞれ拡大し続ければいずれ・・・
①交わる
ノートパソコンの開閉イメージ図>
→ ノートパソコンの折り目部分が 2つの平面の交わる部分ですね
→ 2平面が平行でない場合は 必ずこの部分が発生しますね

 

 

②交わらない (平行のときだけ)
中学,数学,空間図形

 

 

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イ 空間図形の構成や表現

 

① 各立体の名称

 

まずは名前を憶えてしまいましょう

練習問題色々な立体の名称

練習問題色々な立体の名称

 

 

三角錐の画像

 

頂点が、中心からずれていても「三角錐」です。
とにかく  とがっていれば「~すい」ですね

 

 

 

② 立体の各部名称

 

練習問題立体の部分名称

 

 

練習問題立体の部分名称

 

 

 

③ 正○○柱、正○○錐とは

 

底面が、「三角形」「方形」、「~角形」の場合で、
側面の面たちが、全て同じ形の場合

 

「正三角柱、正三角錐」、「正四角柱、正四角錐」、「正~角柱、正~角錐」と言いますね。

 

では、「ピラミッド」は、正~錐でしょうか?

 

 答え. 正四角錐ですね!ピラミッドのイラスト>

 

 

 

正多面体

 

 

正多面体の条件

 

1. すべての面が同じ形
2. 頂点に集まる面の数が全て同じ
2. へこみがない

 

ですね
この世に5種類しかありませんので、
(数学っぽくはないのですが) 英単語のように憶えてしまいましょう

 

 

正多面体の特徴

正多面体の特徴

 

正多面体の特徴

 

→「辺の数」は、例えば、正十二面体の場合
五角形 一つの面には5つの辺
ですが 五角形2つ
となりの面もその辺を持つ!
他の辺に関しても同様なので…
ダブり防止のため「2」で割るですね!

 

→「頂点の数」は、例えば、正十二面体の場合

五角形3つ      

 

1つの頂点をつくるのに
3つの辺が必要なので


 

五角形3つ      

 

「3」で割れば
辺のダブりが解消されますね


 

 

 

ちなみに、

・サッカーボールは、
五角形と六角形でできていますから    
多面体ではないですね!

正多面体と誤解しやすい多面体


 

・正四面体を2つ合わせた多面体は
全ての面が正三角形ですが…
3つの面が集まる頂点と、4つの面が集まる頂点がありますので、    
多面体ではないですね!

中学数学 空間図形 |


 

・図は、全ての面が同じ形、
全ての頂点には同じ数(10個)の面が集まりますが、    
「へこみ」部分があるので
多面体ではないですね!

へこみのある多面体


 

 

 

 

⑤ 平面の回転 (回転体)

 

「点」を動かすと「線」が 中学,数学,空間図形
「線」を動かすと「面」が 中学,数学,空間図形
「面」を動かすと「立体」ができますね!中学,数学,空間図形

 

そして、「平面」をある軸で、回転させても立体ができますね、
これを「回転体」と言います。

 

回転体の画像

中学数学 空間図形 |
「円錐」ができました

 


中学数学 空間図形 |

中学数学 空間図形 |
「円柱」ができました

 


 

 

回転体の特徴

 

・ 回転体を、「軸に垂直な平面」で切った「切り口」は、
切る位置に関係なく必ず『』である。

 

回転体を軸に垂直に切る図回転体を軸に垂直に切った図

 

・  回転体を、「軸を含む平面」で切った「切り口」は、
「軸を対称軸」とする『線対称』な図形である。

 

回転体を軸を含む平面で切ろうとする図回転体を軸を含む平面で切った図

 

 

・  回転体は、「軸を含む平面(ガラス)」について、
「面を対称面」とする『面対称』な図形である。

 

回転体に軸を含んでガラスを入れた図回転体に軸を含んでガラスを入れた分析図

 

 

 

軸に接する三角形の回転体体積

 

《 例 》
次の3つの△ABCをl軸を回転軸として1回転させた立体の体積を求めましょう

 

円すい    

 

体積 = \(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・4
    = 12π


 

 

そろばん玉    

 

体積 = 上円すい+下円すい
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ+\(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・AH+\(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・CH
    = 3π(AH+CH)
    = 12π


 

 

スカート型円すい    

 

体積 = 大円すい-小円すい
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ-\(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・AH-\(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・CH
    = 3π(AH-CH)
    = 12π


 

どれも同じ体積ですね!

 

すなわち、結局は

回転軸に接する三角形の回転体の体積  = \(\large{\frac{1}{3}}\)・最大回転面積・軸に接する長さ

 ですね

 

 

《 例 》
回転体の体積を2通りで求めてみましょう

 

中学数学 空間図形 |    

 

(方法①) 
体積 = 大円すい-小円すい
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・6-\(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・2
    = 18π-6π
    = 12π cm3

 

(方法②)
体積 = \(\large{\frac{1}{3}}\)・最大円面積・軸に接する長さ
    = \(\large{\frac{1}{3}}\)・9π・4
    = 12π cm3


 

 

練習問題出来上がる回転体の形

練習問題出来上がる回転体の形

 

 

 

 

⑥ 投影図

 

投影図は、

真上」から見た図(平面図)と、
真正面」から見た図(立面図)で表す方法ですね


 

立体投影図内容投影図

 

練習問題投影図

 

立面図、平面図、どっちが上だったっけ? となったら…

 

三角柱見取り図    

 

適当に立てた三角柱などを描いて


 

台紙上の三角柱    

背後に2つ折りの台紙を描いて

 

っている姿が映る「立面図」が「上」

 

● 上空から見て立体感がなくなってしまって、
  平面化したものが描かれる「平面図」が「下」


 

 ですね

 

 

 

 

 

⑦ 展開図

 

立体をばらした図ですね、設計図みたいなものです

 

展開図事例

 

 

 

【 立方体の展開図の見分け方 】

 

(前提) 6面からなる
(基本形) 位置を 立方体 として、
展開図の基本形を 展開図縦 や 展開図横 としますね

 

そして、面は『同じ線上なら転がってもよい』ので
線上で転がる図 同じ線上  直角に転がる図 同じ線上でない×

 

展開図縦型> や 展開図横型

 

も基本形ということができますね!
逆を言えば、「同じ線上で転がして、基本形になれば展開図としてOK」ということですね!

 

《 例 》
図は立方体の展開図になりますか

展開図

中学数学 空間図形 |
 2ついっしょに転がしても
 OKです
 → 基本形になったので
 → 展開図になる


 

 

練習問題展開図で一致する頂点

練習問題展開図で一致する頂点

 

練習問題展開図で一致する頂点

練習問題展開図で一致する頂点

 

 

 

 

図形の切断

 

立体を包丁で切断すると、
切り口がいろいろな形になりますね

 

《 例 》
立方体ABCD‐EFGHがあります
M、Nはそれぞれの辺の中点です
MNをふくむ平面で切るとき、考えられる切り口の形は?

 

立方体

 

直線MNは決定ですね 立方体


 

2点を含む平面では平面は「決まり」ませんでしたね (平面と点)

 

立方体の切断正三角形    
  正三角形

 

立方体の切断二等辺三角形    
  二等辺三角形

 

立方体の切断長方形    
  長方形

 

立方体の切断台形    
  台形

 

立方体の切断六角形    
  六角形
(全て中点を選べば正六角形)

 

立方体の切断五角形    
  五角形

 


 

2点を含む平面では平面は「決まり」ませんので
大きく分けて、「三角形」「四角形」「五角形」「六角形」の
4つも考えられますね
この点、M、N、Gの(一直線上にない) 3点を指定されていたら・・・

 

立方体の切断五角形
五角形の一つに「決まって」いましたね

 

 

豆腐の味噌汁をつくっているときに
豆腐だけ切らしてもらいましょうね!
立方体を何個かつくって、いろいろ試してみてくださいね

 

 


ポイント

〔 切り口の書き方の要点 〕

 

① 切り口の線は必ず立体の表面上にある
 (立体の内部を通って点をつないではいけない)
② 立体の 平行な面にある切り口どうしは必ず平行
③ 辺を延長した交点と遠い点(上のGなど)をつなぐと1平面がイメージできる

 

考えられる切断面

考えられる切断面

 

 

直方体(立方体)を二等分する平面

 

対角面 造語です(対角線を含む平面)は直方体や立方体を二等分しますね

 

対角面で切断された直方体例1

 

中学数学 空間図形 |      

 

中学数学 空間図形 |


 

これら対角面(対角線を含む平面)で分けられた立体は、すべて体積が同じですね!
例えば(ウ)を完全に分けてみると…

 

分けた図

 

このように分けられて、
そして、(ウB)を手前に1回転させると

 

左右対称な立体

 

左右対称な図形とわかりますね
すなわち、「同じ体積」「二分する」ですね!

 


ポイント

 

対角面は直方体(立方体)を二等分する

 

《 例 》

図は、1辺の長さ6cmの立方体である。
点I, Jはそれぞれ辺BC、辺AD上の点で、BI = DJ = 2cmである。   
この立方体を、3点F, I, Jを通る平面で切って2つに分けるとき、
点Cを含む側の立体の体積を求めよ

中学数学 空間図形 |


 

 

切断面をいれると
中学数学 空間図形 |

対角面を利用したいですね
JがFの対角になるように
直方体ABKJ‐EFLMで考えると
中学数学 空間図形 |


 

 

・ABKJ‐EFLMはJKCD‐MLGHの2倍
・対角面はABKJ‐EFLMを二等分する
すなわち、
点Cをを含む側の立体の体積は、全直方体の\(\large{\frac{2}{3}}\)とわかる

 

∴ 点C側体積 = \(\large{\frac{2}{3}}\)・全直方体
   = \(\large{\frac{2}{3}}\)・6・6・6
   = 144 cm3

 

 

 

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ウ 扇形の弧の長さと面積、基本的な柱体、錐体、球の表面積と体積

 

① 表面積

 

立体の『表面積』は、それぞれの面の面積を足し合わせるだけですね。
展開図を書く必要は、そんなにはないかなと思いますが、
慣れるまでは書いた方がいいのかな、とも思います。

 

 

他方、
立体を構成する「面」は、
円を除いて、全て三角形で構成されていますね。

 

全てのの多角形は三角形から構成される中学数学 空間図形 |
中学数学 空間図形 |中学数学 空間図形 |

 

中学数学 空間図形 |中学数学 空間図形 |

 

というわけで、「面積の求め方」はすでに勉強済みですので
「表面積」は、各面積を足す、それだけですね!

 

 

 

 

② 扇形

 

それでは、本題の「扇形(おうぎがた)」です
円錐の展開図の側面部分は必ず「扇形」になりますね

 

極端な扇形画像も扇形ですね。円が少しでも欠ければ「扇形」です

 

 

扇形で問題になるのは

 

「中心角の大きさ」
「弧の長さ」
「面積」

 

の3つだけです
そして、実は『割合』の問題ともいえますね

 

割合の公式は
割合の公式だけでしたね
これを扇形に当てはめると、

 

中心角、円周、面積の関係中学数学 空間図形 |

 

扇形は、この「分数(割合)」が必要なのです!「分数」を求めたいのです!

 

そして、「同じ半径の円」なら、
この「割合」は
「中心角」「面積」「弧の長さ」 全てに共通なのです

 

例えば
中学数学 空間図形 |
の扇形の場合、

 

・中心角は、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{90°}{360°}}\) 中学数学 空間図形 |  = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

・面積は、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{2.25\pi cm^2}{9\pi cm^2}}\) 中学数学 空間図形 |  = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

・弧の長さは、\(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{1.5\pi cm}{6\pi cm}}\) 中学数学 空間図形 |  = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

この「\(\large{\frac{1}{4}}\) (0.25 = 25%)」という「割合」を求めたいのです
この「\(\large{\frac{1}{4}}\)」さえ解れば、
あとは「全体 360° や 全面積 や 全円周」に「\(\large{\frac{1}{4}}\) 」を掛ければ、
それぞれ、「対象」(扇形の「中心角・面積・弧の長さ)が求まりますね!!

 

なんとなく気づいたとは思いますが、
角度の「全体」は、円の大きさに関係なく常に「360°」ですね!
一番楽に「割合」を出せるということですね!  \(\large{\frac{60°}{360°}}\) = \(\large{\frac{1}{6}}\) !みたいに!

 

そして、この「\(\large{\frac{1}{6}}\) 」という「割合」を利用して、
扇形の「面積」や「弧の長さ」を求めたりしていたのですね。

 

ということは、中心角が解らない時は、
ミチミチと「面積」や「弧の長さ」から「割合」を求めればよい。
ということですね!

 

 

練習問題扇形の円に対する割合

練習問題扇形の円に対する割合

 

 

練習問題扇形の中心角と面積

練習問題扇形の中心角と面積

 

 

 

円錐の側面積

 

これでもう「円錐の側面積」も求められますね!

 

円錐の側面積の求め方展開図
データを書き込むと、
データの書き込み

 

底面の半径は、扇形の「弧の長さ」のヒントだったんですね!
もう、みなまで解くな!という感じですが、念のために、

 

扇形の「中心角」も「面積」も解らない、
→「弧の長さ」から「分数(割合)」を求めるのだな!

 

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{扇形の弧の長さ}{大円の円周}}\)  = \(\large{\frac{小円の円周}{大円の円周}}\)  = \(\large{\frac{10\pi }{24\pi }}\) 中学数学 空間図形 |  = \(\large{\frac{5}{12}}\)   (=0.416…=≒41.6%)

 

 

扇形の面積 = 全面積×\(\large{\frac{5}{12}}\)  = πr2×\(\large{\frac{5}{12}}\) 中学数学 空間図形 |  = 60π   A. 60π cm2

 

ちなみに、表面積は、  側面積+底面積  = 60π+25π = 85π   A. 85π cm

 

公式

 

円錐の側面積の公式 πlr

 

公式集でよく見る「円錐の側面積 S=πlr」
これはどういう意味なのでしょうか?
360など、数字が一つも出てこないけど・・・??

 

もう、すぐに理解できると思います!
繰り返しになるようで申し訳ないのですが、

 

上の問題で、数字を文字に置き換えてみますね

 

πlrの証明展開図
データを書き込むと、
データの記入

 

扇形の「中心角」も「面積」も解らない、
→「弧の長さ」から「分数(割合)」を求めるのだな!

 

割合 = \(\large{\frac{対象}{全体}}\)  = \(\large{\frac{扇形の弧の長さ}{大円の円周}}\)  = \(\large{\frac{小円の円周}{大円の円周}}\)  = \(\large{\frac{2r\pi}{2l\pi}}\) 中学数学 空間図形 |   = \(\large{\frac{r}{l}}\) ← イメージしにくいですがこれが「分数(割合)」です

 

扇形の面積 = 全面積×割合  = l2π×\(\large{\frac{r}{l}}\)中学数学 空間図形 |  = πlr ですね

 

「証明」されましたので、今後は公式として利用可能です!

円錐の面積 = πlr   (足す底面積で「表面積」) 中学数学 空間図形 |

 

 

練習問題扇形の側面積

練習問題扇形の側面積

 

中学,数学,空間図形

 

扇形の面積公式 S = 1/2lr

まったくの余談公式で憶える必要はありませんが

 

 扇形の面積公式 S = \(\large{\frac{1}{2}}\)lr

 

初めて見ると「何…これ?」となってしまいますので、
念のため触れておきますね

 

(問) 扇形の面積を求めましょう
(中心角が90°に見えますが、正方形に収まっている訳でなく…不明!ですね)

 

扇形

 

解① 扇形の面積

 = 全円面積×割合

 = πr2×\(\large{\frac{弧}{全弧}}\)
 = πr2×\(\large{\frac{弧}{円周}}\)
 = πr2×\(\large{\frac{弧}{2\pi r }}\) …ア
 9π×3/2π/6π
 = 9π×\(\large{\frac{1}{4}}\)
 = \(\large{\frac{9}{4}}\)π cm2 ですね


 

解② 扇形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)lr   (l = 弧の長さです)

 

中学数学 空間図形 |      中学数学 空間図形 |

 

 = \(\large{\frac{1}{2}}\)・\(\large{\frac{3}{2}}\)π・3
 = \(\large{\frac{9}{4}}\)π cm2 となります

 

(原理) 解①のアですね
πr^2×弧/2πr  = \(\large{\frac{1}{2}}\)弧r  = \(\large{\frac{1}{2}}\)lr ですね
いつもの公式のただの「ショートカット」バージョンですね!

 

よって、憶える必要はないですね、なぜなら
→①割合を求める場合、
・扇形の「弧の長さ」を与えられた問題…0.1%
・扇形の「面積」を与えられた問題…0.1%
・扇形の「中心角」を与えられた問題…99.8%

 

→②円錐の側面積の公式 S = πlr のlやrと混乱してしまう

 

円錐とその展開図    単純な扇形

 

よって、
扇形の「面積」や「弧の長さ」はやはり
「全面積」×割合  「全弧(円周)」×割合
で十分ですね!

 

憶えるのであれば、日本語で

扇形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)・弧・半径 ですね!

 

【 イメージ 】
ペタン ペタンと落としていくと・・・
中学数学 空間図形 |中学数学 空間図形 |

 

中学数学 空間図形 |中学数学 空間図形 |

 

・・・三角形になります
これを超超超薄紙で行うと、斜辺もツルツルですね!

 

 中学数学 空間図形 |

 

 

 

 

 

③球の表面積

 

球の表面積は、公式で憶えてしまいましょう。
なぜなら、その証明は高校レベルの、それもかなり深い部分だからです。
その割に、公式自体は簡単ですので、中学で扱うのでしょうね!

 

公式

 

球の表面積の公式

 

球の画像

球の表面積 S = 4πr2


 

なぜか、中の円の面積を「4倍」すると球の表面積になりますね!
中学ではこれで十分です!

 

球の表面積  = 中学数学 空間図形 |×4

 

 

 

練習問題球の表面積

練習問題球の表面積

 

 

 

 

④ 体積

 

とうとう1年生数学 図形の終盤ですね!

 

「難しくはありません!」・・・大人のような言い回しですいません!
「簡単です!」と言いたいのですが、なぜか、そう言うのが怖いのです・・・

 

・柱体( 色々な立体の体積の公式)…「底面積」×「高さ」

 

・錐体( 中学数学 空間図形 |)…\(\large{\frac{1}{3}}\)×「底面積」×「高さ」

 

・球( 中学数学 空間図形 |) …\(\large{\frac{4}{3}}\)πr3 (これも表面積と同様の理由で、憶えてしまいましょう)

以上です!

 

ここで、「高さ」とは、
「上底」や「頂点」から「底面のある面」に下した「垂線」になります

 

中学数学 空間図形 |

 

「垂線」が「底面」から外れていてもかまいません。
「底面」のある平面までの「最短距離」が「高さ」です。

 

 

練習問題体積1

練習問題体積1

 

 

底面」は、必ず床にくっついている面、である必要は全くありません。
自分が、「最もイメージしやすい」「最も計算がしやすい」面を
見つけてくださいね!自由です!

 

 

練習問題体積2

練習問題体積2

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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