中学数学　資料の散らばりと代表値

トップページ ＞ 中学1年生 ＞ 資料の散らばりと代表値

 

中学1年生

中学2年生課程へ

中学3年生課程へ

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 資料の散らばりと代表値

ア	ヒストグラムや代表値の必要性と意味
①	値の種類(名前)とその意味
・	調整平均の必要性
②	度数分布表
・	未満の対義語は何？
③	度数分布表での代表値
④	相対度数 ・ 累積相対度数
⑤	統計的確率
⑥	ヒストグラム
・	グラフの種類
⑦	度数折れ線 (度数分布多角形)
・	ヒストグラム・度数折れ線での代表値
⑧	四分位数
・	四分位範囲
⑨	箱ひげ図
・	三角グラフの読み方
・	行と列の覚え方
・	ボクシングの体重別階級表
・	～の…に対する〇〇
イ	ヒストグラムや代表値による資料の傾向の把握と表現
・	彼を知り己を知れば百戦殆うからず
・	各代表値の長所と短所
ウ	近似値
・	四捨五入…正確には
・	誤差
・	真の値の範囲
⑩	有効数字
・	大人は「有効数字」を理解しやすい

 

資料の散らばりと代表値

 

ア　ヒストグラムや代表値の必要性と意味

 

① 値の種類とその意味

この単元は、たくさんの名詞が出てきます。
内容自体は、難しい計算もありませんので、

 

シミレーションしながら、「専門用語(名詞)」と「その意味」を憶えてしまいましょう

 

「面積、あれね！」くらいのレベルになるくらいに！
「階級値、あれね！」　みたいに！

 

専門用語が出てきたら、赤い字にしますね！

 

では、あなたは「クラス男女39人を受け持つ先生」です。
(0点～100点の)テストをしました。
生徒の点数は、次のようでした。

 

 

あと、「点数の合計(値(あたい)の合計)」と「人数」がわかっているので、
「平均値 (代表値の1つ)」は分かりますね

 

 

 

 

 

 

では、次に、もう少し意味のあるデータ(資料)にするために、
点数の「降順(こうじゅん)(高い順)」や「昇順(しょうじゅん)(低い順)」に並び替えると思います。

 

ここでは、「昇順 (低い順)」に並び替えますね。

 

「ただのデータ(資料)」が「昇順 (低い順)のデータ」になりました！
かなり個別データの取り出しやすいデータになりましたね！

 

 

→このように
　偶数行の場合、2つの行の間にある
　奇数行の場合、1つの行に決まる

 

も憶える必要はありません、その都度、左手を見て→「5本指は奇数行」→「真ん中は中指」→「左から数えても右から数えても3番目」→「3を出すためには…1を足して2で割ればいいのか」で十分ですね
偶数行なら親指を折って → 4本指の真ん中は2.5 → ということは…と同様にするだけですね

 

行数の少ない表なら計算しなくても、見ただけで真ん中の場所が分かりますね！

 

 

※ 中央値(メジアン)は「平均値」ではありません、あくまで表の「真ん中に位置する」値です(場所の問題です)

 

・男子の中央値  = \(\large{\frac{68+70}{2}}\)  = 69
・女子の中央値 = 68

 

 

もう一度同じ表です

 

 

・	男子の最頻値 = 68と72 (2人) (今回は2つですが、テスト問題では1つのはずですね)
・	女子の最頻値 = 68 (4人)

 

 

 

 

上にでてきた、「平均値」「中央値」「最頻値」(「調整平均」)をまとめて、
代表値 (そのデータから『標準を知ろうとする値』) といいます。(何のために代表値を調べるの？)

 

 

↑調整平均は中学ではあまり出てきませんね

 

よって

 

 

 

 

さて、
次に思うことは、おそらく…
「表が大きい！ もう少しコンパクトにしたい」、でしょう。

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

② 度数分布表

 

ボクシングや柔道のように、個別的な値(点数、体重など)を階級別にすれば、
表がコンパクトになりますね！

 

上の表を、例えば10点刻みの表にすると…

 

度数分布表 (「階級」と「度数」、最低この2つのデータがあれば「度数分布表」です)

 

・60-50 = 10
・90-80 = 10
10点刻みで表を作ったのですから、当然どこも「10」ですね

 

 

・50～60の階級の階級値  = \(\large{\frac{50+60}{2}}\) = 55
・20～30の階級の階級値  = \(\large{\frac{20+30}{2}}\) = 25
→ 今後、度数分布表やヒストグラムから代表値を求めていく場合、
50～60にいる男子3人は全員「55点扱い」ということになります
もっと言えば3人全員「55点」です！

 

 

もう一度同じ表です

・	男子の60～70の階級までの累積度数は？ → 1+0+1+3+5 = 10
・	女子の70～80の階級までの累積度数は？ → 0+0+3+1+7+2 = 13

⇒ 当然、最後の階級までの累積度数 = 全度数 ですね

 

 

 

 

〈 階級の幅がある度数分布表での範囲(レンジ) 〉

 

階級の幅がない度数分布表の階級は真の値ですので
範囲 = 最大値-最小値　ですね

 

階級の幅がある度数分布表の範囲は
作成元のデータがない限り
最大値、最小値の真の値が分かりませんので
まず出題されることはありませんが念のため

 

男子の範囲は
(上の場合なら)　110-20 = 90
(下の場合なら)　105-25 = 80
(元データありなら)　100-24 = 76
→ 異なりますね

 

テストでは明らかに違う問題しかでませんね
ex.
ア. 範囲は100より大きい → ×
イ. 範囲は70より小さい → ×　など

 

 

《 例 》
範囲は？

 

　　
　　　　　　　

範囲 ＝ 30－10 ＝ 20

 

このあと出てくるヒストグラムでも全く同様です

　　　　　

範囲 ＝ 30－10 ＝ 20

 

また、階級に幅がないときも同様に

　　　　　

範囲 ＝ 6－3 ＝ 3

 

　　　　　

範囲 ＝ 6－3 ＝ 3

 

→ 階級に幅がないということは、真の値ですね
ということは、最小値3、最大値6 ですね
最初の階級に幅のある例題では、最小値・最大値はわかりませが
便宜上、
範囲 ＝ 度数終了最大階級の大 －度数開始最小階級の小
ですね

 

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

③ 度数分布表での代表値(平均値、中央値、最頻値)

 

度数分布表にしたとたんに、各代表値(平均、最頻、中央)の扱いが今までと少し異なってきますね。
(考え方は同じです、「値」の代わりに「階級値」を利用するだけです)

 

もう一度同じ度数分布表です。
毎回、階級値を求めるのは面倒ということで、表の横に、「階級値」の１列を書き加えると、後々楽ですね！
「～」の上に、書き込むのもありですね　 　のように

 

 

・男子の最頻値は、 5人の60～70の階級と、同じく5人の70～80の階級の、各階級値ですね

(昇順データのときは、「68点」と「72点」の2つでしたね)

 

・女子の最頻値、7人の60～70の階級、の階級値
　\(\large{\frac{60+70}{2}}\) = 65 (点)
(昇順データのときは、「68点」でしたね)

 

 

 

10番目は、60～70の階級に
11番目は、70～80の階級に ありますね
またがっている場合は・・・
でしたね
ここでも「値」がないので、やはり「階級値」を使います
　男子の中央値  = \(\large{\frac{65+75}{2}}\) = 70
(昇順データのときは69でしたね)

 

・女子の中央値
→ 19人の真ん中の場所は、  \(\large{\frac{19+1}{2}}\) = 10
∴ 10番目が所属する階級の、階級値が中央値となります。

 

同じく、地道に足し算をして所属する階級を調べます。
　→ 4＜10番目＜11
10番目は60～70の階級の中にありますね
　女子の中央値  = 60～70の階級値 = 65
(昇順データのときは68でしたね)

 

 

以上のように、度数分布表での代表値(平均、最頻、中央)は
昇順データのときの代表値よりかなりぼけていますが、かけ離れてはいませんね

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

④ 相対度数 ・ 累積相対度数

 

せっかく度数分布表で、大体の「分布イメージ」、
この階級が多い、少ないというイメージがつかめたのですから、
もう少し正確な「多い、少ない」をイメージしたいですね！

 

まだ、39人の先生ですよ～！

 

先の「男子の最頻値65点が2人、75点が2人」は、
男子全体からしてどのくらいなのでしょうか？

 

そうです「割合」です。
相対度数 = 割合　ですね！

 

割合で使えるものは、 だけでしたね！

 

 

ただそれだけですが…
「相対度数は？」といえば、「小数のまま」です。
(もちろん、問題が、何％？なら％で !)

 

(食塩水のときは「～％」、値段のときは「～割、～％」
…統一してほしいものですね。)

 

 

それでは、他の階級も計算してみると、

　ですね

 

 

 

〈 累積相対度数 〉

 

・	男子の50～60の階級までの累積相対度数は？ (方法1) その階級までの相対度数を足していく → 0.05+0+0.05+0.15 = 0.25 (方法2) その階級までの累積度数÷全体 → 5÷20 = 0.25
・	女子の60～70の階級までの累積相対度数は？ (方法1) 0+0+0.16+0.05+0.37 = 0.58 (方法2) 11÷19 ≒ 0.578… ≒ 0.58

 

 

〈 相対度数 ・ 累積度数の端数の処理 〉

 

・	割り切れない場合、大体小数第3位を四捨五入します → ％にしたとき歯切れがよい
・	四捨五入された数値の集まりなので、相対度数の合計が「1.00 (100％)」にならない場合があります。 → 2つの処理があります

 

①	合わないままにして、合計だけは「1.00」にする。(＝調整しない)
②	(ア)度数が多く、しかも(イ)表内に同じ度数がない階級 の相対度数を改変して「1.00」になるように調整する。

 

①	実社会の資料は大体これですね → 役所の資料では表の下あたりに、「四捨五入のため合計が1にならない場合があります」と一言注意書きが添えられていますね
②	(ア) 度数の少ないところに0.01などを付け加えるよりも、度数の大きい所で0.01などを付け加える方がデータに与える影響が少ない。 (イ) 同じ度数であるのに、相対度数が異なることを防ぐ

 

実は、学者にも統一見解のないところです。
マル付けに困るテスト問題は作らないと思いますっ！

 

なにか、歯切れが悪くなってしまいましたが、
単語の意味さえ解れば、全体的に難しい計算はありませんね！

 

 

 

⑤ 統計的確率

(教育改定により、令和2年に1年生の方は入試範囲になります)

 

 

対して、中2の確率は「数学的確率」と言いますね

 

 

《 例 》
下の表は、ジュース瓶のふたを100回投げて表裏を調べるシミレーションを3回行ったものです
　
グラフを見て、次の文の正誤を答えましょう

1.	ふたを投げる回数が多くなるにつれて、表の出る相対度数のばらつきは小さくなり、その値は1に近づく → 誤：ばらつきは小さくなるが、値は0.4 に近づいている(1は100％表ということ)
2.	ふたを投げる回数が多くなるにつれて、表の出る相対度数のばらつきは小さくなり、その値は0.4に近づく → 正
3.	ふたを投げる回数が多くなっても、表の出る相対度数のばらつきはなく、その値は0.4で一定である → 誤：ばらつきは小さくはなるが、あることはある(一定ではない)、0.44(80回)、0.43(90回)、0.41(100回)
4.	ふたを投げる回数が多くなっても、表の出る相対度数の値は大きくなったり小さくなったりして、一定の値には近づかない → 誤：大きくなったり小さくなったりはするがその振れ(ばらつき)幅は小さくなっていく → 一定の値(0.4)に近づいているということ ex. 2人でじゃんけん3回勝負をして3連勝もあり得ますが、続ければ3連敗もありますね、100回1000回とすると、なんだかんだ 勝ち\(\large{\frac{1}{3}}\)、負け\(\large{\frac{1}{3}}\)、あいこ\(\large{\frac{1}{3}}\)、という値に近づくとイメージできますね
5.	裏が出る相対度数は0.6に近づくので、101回目は必ず裏が出る 誤：必ずではない、相対度数を確率とみなせば、表は\(\large{\frac{4}{10}}\), 裏\(\large{\frac{6}{10}}\)で、「若干裏が出やすい」にとどまる

 

 

それでは、クラスの先生に戻って

 

ex.
ある男子15人, 女子15人のクラスで同様のテストを行いました
① 男子が60～70点をとる確率は？
　 → 0.25 = \(\large{\frac{25}{100}}\) = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 

②	何人の女子が60点未満になると予想されますか → 60までの累積相対度数は、0+0+0.16+0.05 = 0.21 　∴ 15人×0.21 = 3.15 ≒ およそ3人

　(先の女子19人のクラスでは、 19人×0.21 = 3.99 ≒ 4人 でしたね)

 

(イメージ)
女子
円グラフにしてルーレットにするイメージ

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

⑥ ヒストグラム

 

では、次に思うことは、
もっと「直感的に、視覚的にイメージを把握したい！」
ではないでしょうか？

 

そこで、データのグラフ化ということになりますね
「度数分布表」は「ヒストグラム」という「棒グラフ」が描けますね！
(ヒストグラムは 柱状グラフ ともいいますね)

 

まだ先生ですよ～

 

 

上の余談のように、
「ヒストグラム」は「棒グラフ」の一種ですね

 

・	棒グラフは、横軸、縦軸に何をとってもよい
・	ヒストグラムは、横軸に階級、縦軸に度数、という決まりがある(定義)

 

さらに、暗黙の了解で、ヒストグラムのグラフは

①	横軸は「階級」であるから、当然に連続データになる

 

 

のように、「20～40の階級」と「40～60の階級」を入れ替えてはいけません。
入れ替えたら、「ヒストグラム」ではなく、「ただの棒グラフ」ということになりますね。

 

つまり、ヒストグラムの目指すところは、
「一目で、全体の、散らばり具合　がわかる」ということになりますね !!

 

 

②	連続データであるということを示すという意味で、 グラフの棒が、隣とくっついていますね！

 

 

 

③	ヒストグラムのグラフでは、「棒の面積比」で散らばり具合を表している

 

 

 

それでは、本題に戻りまして、男女39人のヒストグラムを作成してみましょう。

 

 

 

 

横軸の表示方法は、どちらでもOKです！

 

 

 

⑦ 度数折れ線 (度数分布多角形)

 

棒の上底の中点を結んだものを、
度数折れ線 または 度数分布多角形 といいます
それだけです

 

 

 

左は、「ヒストグラム」+「度数折れ線」、右(小)は「度数折れ線」のみになります

 

 

下は、男子の「度数折れ線」と女子の「度数折れ線」を重ねたものです

 

 

 

【 ヒストグラム・度数折れ線での代表値 】

 

ヒストグラム・度数折れ線での代表値は
「度数分布表での代表値」と全く同じです

 

なぜなら、資料(データ)を「表」にするか「グラフ」にするかの違いだけで
中身(使われる数字)は全く同じだからです！
よって、同様に「階級値」を利用して計算します

 

《 例 》　
ヒストグラム・度数折れ線から代表値を求めましょう

 

→　グラフに、図のように「度数(または累積度数)」や「階級値」を書き込むのもありですね

 

 

① グラフから男子の人数を求めましょう
　→ 1+1+3+5+5+2+2+1 ＝ 20 (人〉

 

② グラフから平均値を求めましょう

 

③ グラフから最頻値を求めましょう
　→ 一目で60～70、70～80が多いと分かる
　→ 最頻値  ＝ 度数の最も多い階級の階級値  ＝ 65と75

 

④ グラフから中央値を求めましょう
　→ 20の真ん中の場所＝ \(\large{\frac{20+1}{2}}\)＝ 10.5
　→ 1人+0人  ＝1+1人＝2+3人  ＝5+5人＝10+5人＝15
　∴ 10人目は60～70の階級に、11人目は70～80の階級にいる
　→ 中央値 ＝ \(\large{\frac{65+75}{2}}\)  ＝ \(\large{\frac{140}{2}}\)  ＝ 70(点)

 

 

 

 

 

① グラフから女子の人数を求めましょう
　→ 3+1+7+2+3+3  ＝ 19 (人)

 

② グラフから平均値を求めましょう

 

③ グラフから最頻値を求めましょう
　→ 一目で60～70が多いと分かる
　→ 最頻値  ＝ 度数の最も多い階級値  ＝ 65

 

④ グラフから中央値を求めましょう
　→ 19の真ん中の場所  ＝ \(\large{\frac{19+1}{2}}\)  ＝ 10
　→ 3人+1人＝4+7人＝11
　　∴ 10人目は60～70の階級にいる
　→ 中央値 ＝ 65 (点)

 

 

(当然、すべて度数分布表での代表値と同じ値ですね)

 

 

 

 

 

⑧ 四分位数

 

(教育改定により、令和2年に2年生の方は入試範囲になります(高校数Ⅰから移行)
(中学2年課程になりますが、中2確率は手強いと思いますので、親中ではここ1年で学びますね)

 

 

〈 四分位数の求め方 〉

 

中央値を求めるとき、「真ん中の場所」に
値があれば、それが中央値
値がなければ、前後の平均が中央値でしたね

 

→ 第1, 第3四分位数も同様です
⇒ あればそれ、なければ前後の平均です

 

では、具体的に

 

(手順①)

・	まずは、単独中央値を含まずに真っ二つに分けます → 含もうとすると「どっちに含むの～？」となりますね
・	なければ普通に真っ二つ

 

ア	(単独)中央値：4 (第2四分位数)
イ	(合成)中央値：4.5 (第2四分位数)
ウ	(単独)中央値：5 (第2四分位数)
エ	(合成)中央値：5 (第2四分位数)

 

(手順②)
あとはそれぞれの次の中央値を求めるだけですね

 

→ 全部で4パターンですね (全部単独～全部合成)

 

 

↑ これら5つの値を『五数要約』と言います
　 (↑後述、箱ひげ図の元データになりますね)

 

 

では先生に戻って
↓面倒なので「行の境目」を0.5としています

 

 

 

 

 

四分位範囲

 

四分位数を単体で求めても、何のための値？？ でしたが
ここで少しは存在意義がわかりますね

 

 

 

それでは先生に戻って、

でしたね
では
男子の四分位範囲は？
　→ 81-59 = 22
男子の四分位偏差は？
　→ \(\large{\frac{22}{2}}\) = 11　(片翼の幅)
女子の四分位範囲は？
　→ 84-60 = 24
女子の四分位偏差は？
　→ \(\large{\frac{24}{2}}\) = 12　(片翼の幅)

 

 

 

 

⑨ 箱ひげ図

 

(四分位数同様、高校数Ⅰから中2に移行、親中ではここで学びますね)

 

先に出てきた「五数要約」を視覚的にとらえようとする図ですね
男子の五数要約 → 最小値24、最大値100、第1四分位数59、第3四分位数81、中央値69 から箱ひげ図を作ってみると

 

男子

 

「範囲」の中の「四分位範囲」( )を強調した図を考えたら、自然に このような図( )になったんだろうなと想像できますね
そして、その図が箱にひげが生えたように見えるので『箱ひげ図』ですね！
⇒ 箱ひげ図の利点、「シンプル」

 

リアルには

のように書きたかったのでしょうね

 

 

必要に応じて「平均値」を「+」印で書き込むこともあります

 

 

〈 箱ひげ図から分かること 〉

 

 

→ 4つに分けた部分で、短い部分ほど度数が上に伸びる！

 

ということは

大体このようなヒストグラムと想像できますね
なぜなら、
長方形の面積は25ですべて同じで、底辺が指定されているならば、あとは「高さ」で調整するしかないですものね

 

 

 

上の練習で、実際には…
4区分には それぞれ階級が刻まれているはずなので

は

このようであるかもしれませんね
→ マスを氷と思えば、溶ければ上図ですね

 

次に、4区分に分けるQ1などの区切り線(箱の左縦線)は、実際には目盛とずれているはずです
例えば、上の練習の2番目の問題では
「大体平らなヒストグラム」を予想しましたね

ですが「階級に幅がある」ヒストグラムでは必ずしも「平らっぽく」なるとは限りませんね
例えば、以下の3つは4範囲均等箱ひげ図から考えられるヒストグラムです

 

「平ら型()」ばかりか「山型()」「谷型()」まで考えられますね

⇒	箱ひげ図の4範囲の比から、必ずしも「平ら型」「山形」「谷型」が決まるわけではない

 

先ほどの「長方形の考え方」は何だったの？ となりますね

 

では、「4範囲の間が細かく刻まれている」または「階級に幅がない」場合の考えられるヒストグラムは…

 

→	4範囲のそれぞれに1氷ずつ合計4氷足しても、2氷ずつ合計8氷足しても、「山形」「谷型」は作りにくいですね
⇒	「階級に幅がない」場合は「長方形の考え方」は有効　と言えますね (実社会では このとらえ方の方が多いですし、素直ですし、箱ひげ図の価値も高くなりますが、なぜか中学数学ではおおまかな階級の幅をとって 必ずしも想像どおりのヒストグラムにはならないということを強調して教えられますね)

 

 

 

 

 

 

 

あなたが先生シミレーションはここまでです！
お疲れ様でした！

 

 

 

「資料の散らばりと代表値」をたくさん扱った問題集は少ないと思いますので
当1年生無料問題集では
ほぼ全国の2014～2019の高校入試過去問の「資料の散らばりと代表値」を集めた問題(157問(60ページ))を解説しています
よろしければご利用くださいね！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

イ　ヒストグラムや代表値による資料の傾向の把握と表現

 

ここまで「資料」を勉強してきて、
「結局、資料から何を知りたいの？」となっているのかなと思います。

 

お父ちゃんも含めて、「ものを受け取る側」「情報を(テレビなどから)受け取る側」は、
どちらかと言うと、最高(値)、最低(値)に興味を持ちがちです。

 

ですが、「ものを作る側、売る側」「情報を発信する側」は、
代表値(平均、中央、最頻)が表す『標準』を知りたいのです。

 

 

例えば、皆さまが「靴(くつ)づくり職人」になったとします。
よく売れるように、
おそらく、25～27cmサイズの靴から作り出すと思います(男子)。
いきなり 22cm や 30cmからは作らないですよね(男子)。

 

Tシャツ作りでも同じです。
MやLサイズから作ると思います。
いきなり、Sや3Lからは作らないですよね。

 

テレビ番組作成でも同様です。
「視聴率を高くしたい」→「大衆受けするテーマ」を取り上げると思います。
いきなり「マニアックなテーマ」は取り上げないですよね。

 

テスト問題作りでも同じです。
「0点、100点の少ない、すなわち5,　60点の多いテストを作ると思います。
いきなり、0点だらけ、100点だらけになりそうなテストは作らないですよね。

 

 

そうです
「売れ筋」「大衆受け」 ≒ 代表値付近なのです！

 

 

という訳で、
今、中学生の皆様も、年齢とともに
「受け取る側」から「与える側、作る側」になっていくのですから、

 

『標準』を知っていかなければいけない、ということになりますね。

 

(もちろん、皆様に「標準になりましょう！」と言っているわけではありません、
他人とは違う個性は大切にしつつ、「標準、一般」、すなわち他人(ひと)の気持ちや考えも分かれば、鬼に金棒ということですね！)

 

 

 

 

それでは、具体例です。
ヒストグラムから、どのようなことを読み取ることができるでしょうか？

 

下の3つのヒストグラムは、ある中学校3校の模擬テストの結果だとしますね

 

 

 

 

 

 

3つのグラフから考えられることは、

 

・右寄り型は、進学校かな…
・左寄り型の学校の次の目標は、中央型、その次に右寄り型になることかな…
・テストを受けた本人目線なら、同じ50点でも3校で価値が違いますね！

 

 

逆に、これらのグラフが、軽犯罪～重犯罪の発生件数であるならば、

 

・左寄り型の方が優れているといえますね！(軽犯罪は多いが重犯罪は少ない)

 

 

 

次です、ある職場の従業員の年収としますね

 

 

人員を採用したい職場では、もしかしたら、
中央値や平均値をもって従業員の「平均年収」のように宣伝するかもしれませんね
「平均650万くらい稼いでますよ～」

 

逆に、高給取りがたくさんいると世間から批判を受けるような職場では、
最頻値をもって「平均年収」のように公表するかもしれませんね
「最も多い年収層は350万くらいですよ～」

 

 

 

次です、2山型

 

 

2山型は、2種類の対象があるといえますね
例えば、
日本人と外国人、
大人と子供、
男子と女子、など
先のグラフも「2山型」といえますね、
規制緩和後採用人員と規制緩和前採用人員というところでしょうか…

 

 

次です、中学生7人の1ヶ月のお小遣いのヒストグラムとします

 

 

グラフを見た第１感は、「ばらつきがある」だと思います。
ここで、最頻値だけを見て「中学生のお小遣いは大体7000～8000である」
と言われては… それは違うでしょ感がありますね

 

・最頻値は、対象者が少ないと「信憑性が低い」(たまたま感)
→ 1万人を対象にしたアンケートなど、対象数が多い場合は信憑性がありますね

 

以上のように、グラフを見る者の立場や、注目したいことの違いによって、
感じることは異なりますが、おおまかなイメージを感じられれば十分ですね！

 

 

(各代表値まとめ)

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

⑦　近似値

 

まずは、小学数学の「概数(がい数)」を確認しますね

 

●「概数」…

「切り上げ」、「切り捨て」、「四捨五入」などによって表される、概(おおむ)ねの数。

 

「切り上げ」…	該当している数字が、「0でなければ、次の位(上の位)に入れてしまう」こと
「切り捨て」…	該当している数字を、「スパーン！と切り捨てる」こと
「四捨五入」…	該当している数字が、「5未満(数＜5)ならば切り捨て、5以上(5≦数)ならば切り上げる」こと

 

 

「切り上げ」、「切り捨て」、「四捨五入」は→「方法」であって、
「概数」は→「その方法で得られた数字」(結果)ですね！

 

 

 

 

 

 

もう少し小学生の復習です
「概算」というものがありましたね

 

例えば、1980円の服を4着購入しました。合計金額は？

 

(Aさんの方法)
1980×4 = 7920  →   → 8000円(結果の概数化ですね)
(Bさんの方法)
1980×4 =   → 2000×4 = 8000円 (概算ですね)

 

「概算」の目的は、
「答えを簡単にするのではなく、 計算を簡単にする！」ですね！

 

 

 

 

では本題に戻りまして、
「近似値」とは何なのでしょうか？

 

 

 

「概数」＝「近似値」なのか？という疑問が湧くかと思います。

 

・	「切り捨て」、「切り上げ」、「四捨五入」→「方法」
・	「概数」→「結果」 でしたね、そして、
・	「近似値」は → 「扱い方」　ですね

 

例えば、
　円周率の「真の値」は → π
　「概数」は → 3.14

 

そして、

・	「紙コップ製作所」の場面では、3.14(概数)は「近似値だ！」
・	「精密機器製作所」の場面では、3.14(概数)は「近似値ではない！」 「3.1415926535(概数)が近似値だ！」
・	「数学研究機関」の場面では、「3.1415926535(概数)は近似値ではない！」 「3.14159265358979323846(概数)が近似値だ！」

 

となるのかもしれませんね！
扱う場面で、「概数」にとどまったり、「近似値」になったりしますね

 

では、
「中学・高校数学」の場面では、3.14(概数)は？…そうです「近似値」ですね！
ということは、「中学・高校数学」の場面では、全て、
「概数」＝「近似値」 となってしまいますね！

 

実社会にある数値は、ほとんどが「近似値」です。
「真の値」で表されている数値はほとんどない！ですね！
「重さ」「長さ」「温度」「時間」…
…ほとんど、ミクロン単位で「△△.□□□□□…」と続いているはずですから。
この点
「個数」は「真の値」ですね！

 

 

 

誤差

 

 

この単元でしか使わない公式ですので、
時間が経てば、「どっちから、どっちを引くんだっけ？」となると思います。
そういう時は、適当に具体例を自分で作りましょう

 

「真10.5cm、近似10cm、誤差は…－0.5cm」
(なぜか、公式がなくても、「真の値」が基準で、それよりどれくらい大きいか小さいかが「誤差」…と、なりませんか？)

 

ということは、
－0.5 = 10－10.5  →　「誤差」＝「近似値」－「真の値」　ですね！

 

そんな時間がもったいない人は、ゴロ合わせで
誤差 ＝ 近藤さん－真彦さん　ですね。

 

《 例 》
中学校の生徒数294人を、概数300人と表すとき、誤差は何人か。

 

誤差 ＝ 近似値-真の値 ＝ 300-294 ＝ 6 人

 

 

 

 

真の値が分からない場合の誤差　(真の値の範囲)

 

《 例 》　
(1) 近似値5.8、真の値の範囲は？

 

(「範囲」を求める場合は、必ず「略図」を書く、数学のコツでしたね！)

 

→ 5.7の次の位、5.7□を四捨五入して切り上がったものと、
　 5.8の次の位、5.8□を四捨五入して切り捨てたものがあるな！

 

 

を四捨五入 → 5.8
を四捨五入 → 5.8

 

「真の値」は、「5.750」かもしれないし「5.7532」かも「5.849」かも…
すなわち、「真の値」は、5.75～5.84999……の間に無数に考えられる
すなわち、「線」だな。
よって、真の値の範囲は　  A.　5.75≦真の値＜5.85

 

 

(2) このとき、「誤差の絶対値は？」

 

→「絶対値」とは「距離」、「距離」は「必ず+(プラス)」
よって、5.8から5.75は「-0.05の地点」であるが、「距離」は「0.05」
他方、5.8から5.84999…は「+0.04999…の地点」で、「距離」は「0.04999…」

 

 

「誤差」は大きい方を採用するので、
　A.　0.05 以下

 

このとき、「0.4999…」を、教科書では「0.05」としていますね
中学数学資料の分野では細かいことは気にしないから「0.05」なのか
高校数学の「極限」から、「0.05」としているのかは分かりませんが
「0.4999…」を「0.05」としても間違いではないのでしょうね！
ただし白丸、黒丸はしっかりお願いします！

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

⑩ 有効数字

 

2017(平成29年)1月1日現在の福岡県の人口は5,108,372人でした。
これを、千の位で「四捨五入」して　近似値511万としたとします。
(人口を概数で表す場合は、千の位で四捨五入することが多い)

 

 

上の場合、
・有効数字は、 5、1、1
・有効数字の桁数(有効桁数)は、 3桁

 

 

【 小数バージョン 】

 

上の場合、
・有効数字は、4、5、6、0
・有効数字の桁数(有効桁数)は、 4桁

 

(まとめ)
「1～9の数字」と、「小数点」が
有効数字をはっきりさせてくれる

 

 

 

 

 

 

本題に戻りまして、
上の問43の「9000」のように、いきなり「9000」と出てくると、
どこまでが有効数字か分かりませんね！

 

そこで、「ここが有効数字ですよ！」と分からせる表示方法があります。

 

　←(大きい数値用)
　←(小さい数値用)

 

 

言葉で表すと「？？」ですので、形でイメージできればよいです

 

〇×10〇　　〇.〇×10〇　　  〇.〇〇×10〇　　  〇.〇〇〇×10〇 などです
〇×\(\large{\frac{1}{10^〇}}\)　　〇.〇×\(\large{\frac{1}{10^〇}}\)　　  〇.〇〇\(\large{\frac{1}{10^〇}}\)　　  〇.〇〇〇×\(\large{\frac{1}{10^〇}}\) などです

 

青〇が有効数字になります。
(小数点より左(整数部分)は、皆、1桁ですね！)
10〇 や \(\large{\frac{1}{10^〇}}\) が位取り数字です

 

 

 

 

「資料の散らばりと代表値」をたくさん扱った問題集は少ないと思いますので
当1年生無料問題集では
ほぼ全国の2014～2019の高校入試過去問の「資料の散らばりと代表値」を集めた問題(157問(60ページ))を解説しています
よろしければご利用くださいね！

 

お疲れ様でした !!

　スポンサーリンク