中学数学　三平方の定理

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中学3年生課程

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 図形の相似

(2) 円周角・中心角

(3) 三平方の定理

ア	三平方の定理の意味と証明
①	三平方の定理
②	三平方の定理の証明
・	ピタゴラスさんの証明方法
・	バスカラさんの証明方法
・	ガーフィールドさんの証明方法
・	相似を利用した証明方法
・	ユークリッドさんの証明方法
③	三平方の定理の逆
・	三平方の定理の逆の証明①(同一法)
・	三平方の定理の逆の証明②(相似の利用)
④	特別な角
・	特別な辺
・	ピタゴラス数
イ	三平方の定理の活用
①	面積　(1年平面図形への応用問題)
・	正三角形の高さと面積
・	例題) テープの折り返し
・	内分点、外分点を求める(余談：高校課程)
・	座標上の2点間の距離を求める
・	ヒポクラテスの月
②	体積　(1年空間図形への応用問題)
・	正四面体に関する頻出問題
・	正四面体の公式集
・	例題) 立体の体積を2通りに求めて高さを求める
・	例題) 立体の切断、付け足しを考える
③	最短距離 (最短経路)
④	立体の切断
⑤	体積比
⑥	立体の対角線

 

三平方の定理

 

ア　三平方の定理の意味と証明

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理)！一度は聞いたことがあるのではないでしょうか
まさに、『King of 定理』と言えますね！

 

単純なのにすごく役立つ
経済的に言えば「コストパフォーマンス」がよい、すごくよいですね

 

ただ、今まで学んできた単元の応用問題をつくりやすくなるので
「三平方の定理」＝「難しい」と思いがちになりますね

 

三平方の定理自体はすごくシンプル！

 

 

 

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①　三平方の定理

 

 

これだけです！
直角三角形の3辺のうち、2辺が判れば残りの1辺がわかります

 

三平方の定理を少し変形すると

 

 

 

 

《 例 》
xを求めましょう

 

 

慣れてきますと、変形バージョンで …　x = \(\small{\sqrt{4^2+3^2}}\)  = \(\small{\sqrt{16+9}}\)  = 5 //　

 

さらに慣れてきますと、比から…
5, 4, 3 の三角形だな… 5 //

 

 

 

 

 

・ABCD = 底辺11×高さDH　→　DH = 132÷11 = 12

・CH	=\(\small{\sqrt{CD^2-DH^2}}\) = \(\small{\sqrt{13^2-12^2}}\) = \(\small{\sqrt{169-144}}\) = \(\small{\sqrt{25}}\) = 5

 

　

 

x = \(\small{\sqrt{BH^2+DH^2}}\)
　=\(\small{\sqrt{ (11+5)^2+12^2}}\)
　= \(\small{\sqrt{16^2+12^2}}\)
　= \(\small{\sqrt{256+144}}\)
　= \(\small{\sqrt{400}}\)
　= 10\(\small{\sqrt{4}}\)
　= 20　//

 

 

 

《 例 》
水面に浮いた丸太の直径を求めましょう　(図は断面図)

 

 

 

大きな円が書けないので、縮小図を書いてみると

 

 

r = \(\small{\sqrt{20^2+(r-8)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{400+r^2-16r+64}}\)  = …
変形バージョンよりも原型の方がよいようですね、もとい
r2 = 202+(r-8)2
r2 = 400+r2-16r+64
r2 = r2-16r+464
16r = 464
　r = 29　  　問いは直径より 58cm　//

 

 

 

 

 

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②　三平方の定理の証明

 

三平方の定理の定理の証明方法は、300通り以上あるらしいですね！
それだけあると、出題者側も
「三平方の定理を証明せよ」という問題は出しにくいですね
よって、三平方の定理の証明自体の問題は、
出てもメジャーどころの証明の虫食い問題
ということになるのかなと思います

 

親子中学数学では、5つほど紹介しますが、
理屈さえわかればよいと思います
そして気に入った1つだけは、
「自分の三平方の定理の証明方法」として
「納得」＋「表現」ができれば十分 としますね！

 

 

基本的にどの証明方法も
流れは・・・

 

→ a を1辺とする正方形の面積( a2 ) ＋b を1辺とする正方形の面積( b2)
　＝ c を1辺とする正方形の面積( c2 ) になる！ですね

 

 

直角二等辺三角形ならば一目瞭然ですね！

 

　 a2+b2=c2

 

 

 

逆に、直角三角形ではない 正三角形は一目瞭然でOUT！　ですね

 

　  a2=b2=c2　になってしまいますね

 

 

 

それでは、どのような直角三角形でも成り立つという証明に移りますね

 

前置き確認として、直角三角形の2つの鋭角どうしの和は どんな時でも90°ですね

 

 

 

では、

 

証明① ピタゴラスさんの証明方法 (面積を2通りに計算)

 

　

 

合同な直角三角形を図のように4つ並べると　外と中に2つの正方形ができる

 

(前提)
・外の正方形の1辺は本当に直線？

→	(直角になるように配置した)直角+鋭角＋他の鋭角 = 180°
→	外側の辺はちゃんと直線！ (中の白四角形は当然に正方形 ← 4辺4角が等しい)

 

(本題)
大の正方形の面積を2通りで求めてみると、
① 縦×横 ＝(a+b)2  = a2+2ab+b2

 

②	4つの直角三角形の面積 ＋ 内側の正方形面積 = 4コ×\(\large{\frac{1}{2}}\)ab+c2 = 2ab+c2

 

 

→ 2つは同等であるはずなので
　① ＝ ②
　→ a2+2ab+b2 = 2ab+c2　
　→ c2=a2+b2　　//

 

 

 

 

証明② バスカラさんの証明方法 (面積を2通りに計算)

 

 

① 縦×横 ＝ c2

②	4つの直角三角形の面積＋内側の正方形面積 = 4×\(\large{\frac{1}{2}}\)ab+(a-b)2 = 2ab+a2-2ab+b2 = a2+b2

① ＝ ②　→　c2 = a2+b2

 

 

 

 

証明③ ガーフィールドさんの証明方法 (面積を2通りに計算 )

 

 

① 台形の面積  =\(\large{\frac{ (上底+下底)高さ}{2}}\)  = \(\large{\frac{(a+b)(a+b)}{2}}\)  =\(\large{\frac{ a^2+2ab+b^2}{2}}\)

 

②	2つの直角三角形の面積 ＋ 1つの直角二等辺三角形の面積(白) = 2×\(\large{\frac{1}{2}}\)ab+\(\large{\frac{1}{2}}\)c2  = ab+\(\large{\frac{c^2}{2}}\)  = \(\large{\frac{2ab+c^2}{2}}\)

 

① = ②より　  → \(\large{\frac{a^2+2ab+b^2}{2}}\) = \(\large{\frac{2ab+c^2}{2}}\)  → c2 = a2+b2　//

 

→ 証明①ピタゴラスさんの証明方法の半分バージョン(2つくっつければ正方形)ですね

 

 

 

 

証明④ 相似を利用した証明方法

 

 

∴ △BC（大）A∽△Bh（中）Cで  c：a = a：Bh  → a2=c・Bh …①
　△BC（大）A∽△Ch（小）Aで   c：b = b：Ah  → b2=c・Ah …②

 

①②を 足し合わせてみると
　　 a2 = cBh
+)　b2 = cAh　
a2+b2 = c(Bh+Ah)
→ Bh+Ah は図より「c」であるので
　 a2+b2 ＝ c(c)
　∴ c2 = a2+b2

 

 

 

 

証明⑤ ユークリッドさんの証明方法

 

復習として、2年生の等積変形とは

 

　(等しい面積のまま変形させる) でしたね
頂点を底辺に平行移動させても

 

 

 

 

 

 

　

 

 

 

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③　三平方の定理の逆

 

先に「三平方の定理」をお話ししたときに、
当たり前のように「 ⇔（ならば）(両矢印)」にしてしまっていましたね！

 

ここでは、少し＋α しつつ「逆の証明」をさせていただきますね！

 

 

　( 2年生　鈍角三角形・鋭角三角形)

 

 

 

 

 

 

《 例 》
次の長さを3辺とする三角形は、どのような三角形でしょう

 

(1) 3、5、4

→	最大の辺の5の2乗は「25」 他の辺の2乗の足し算は  9＋16 ＝ 「25」

　「25」＝「25」 　　
∴ (5が斜辺の) 直角三角形

 

 

(2) 4、5、6

→ 最大の辺の2乗「36」＜

他の辺の2乗の足し算 16+25 ＝「41」

∴ 鋭角三角形　　　　　

 

 

(3) \(\small{\sqrt{7}}\)、 2\(\small{\sqrt{2}}\)、4

→	最大の辺がぱっと見、わからないので、とりあえず順に2乗すると、7、8、16

→ 最大の辺の2乗「16」＞

他の辺の2乗の足し算「15」

∴ 鈍角三角形　　　　　

 

 

 

 

 

余談として、念のために
「三平方の定理の逆」
・c2= a2+b2　⇒（ならば）　(c を斜辺とする)直角三角形　である
を証明しておきますね

 

三平方の定理の逆の証明①(同一法)

 

c2= a2+b2

⇔（ならば）

(c を斜辺とする)直角三角形

 

△ABCとは別に、EF ＝a、FD ＝ b、∠F＝ ∠90°の△DEFを準備する

 

　　　

 

三平方の定理より　  ED2＝ a2+b2 …①
仮定より　　c2 =a2+b2 …②

 

①②より (右辺が等しいので) ED2＝ c2
∴ ED＞0より　ED ＝ c

∴	DE ＝ AB、EF ＝ BC、FD ＝ CA、より3組の辺がそれぞれ等しいので 　　△DEF ≡ △ABC
∴	∠F＝ ∠C＝ 90° より △ABCは (cを斜辺とする)直角三角形 //

 

 

この証明で十分ではありますが、
「三平方の定理の逆」を証明するために
「三平方の定理」を使うことに納得がいかない、
またはこの論法ならどんな証明でもできるのでは？
と納得がいかない場合のみ次を…

 

ですが、「余談」であることに変わりはありません！

 

 

 

三平方の定理の逆の証明②(相似の利用)

 

その前に、次の(1つの頂点から垂線を下した)三角形には

 

 

　　

 

 

1本の線で 3つとも相似になるのは「直角三角形」だけですね！
→ △大 ∽ △中 ∽ △小
→ △BCA ∽ △BhC ∽ △ChA
　(2角が等しいので相似)

 

 

 

　他の三角形はどんなに頑張っても、2つまでですね
ex)
　
　△大 ∽ △中 で2つの相似までですね

 

　正三角形 (二等辺三角形)でさえ、2つの相似ですね
→ △中 ∽ △小 ( 正確には合同 )

 

 

 

 

では・・・

 

〔 証明②　相似の利用 〕

 

( 証明②は、「三平方の定理」の証明の「相似を利用した証明」の逆バージョンですね

→	大中小3つの三角形が相似でないと成り立たないという証明になります
→	逆を言えば、3つが相似なら直角三角形ということですね

 

 

(仮定) a2+b2= c2　⇒（ならば）　(結論) △ABCは cを斜辺とする直角三角形である

 

　
△BCAの線分BAを   a2：b2 に内分する点をHとすると

 

 

 

● △BAC(大)と△BCH(中)において
BA：BC＝c：a　　
BC：BH = a：\(\large{\frac{a^2}{c}}\)  → ca：a2

 

∴ BA：BC ＝ BC：BH …①
　∠B ＝ ∠B　(共通) …②

 

①②より
「2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しい」ので
　△BAC(大) ∽ △BCH(中)
　∴ ∠BCA ＝ ∠BHC …③

 

 

● △BAC(大) と △CAH(小)において、(同様に)
BA：AC ＝c：b
CA：AH = b：\(\large{\frac{b^2}{c}}\)  → cb：b2  → c：b

 

∴ BA：AC ＝ CA：AH …④
　∠A ＝ ∠A(共通) …⑤

 

④⑤より「2組の辺の比 と その間の角がそれぞれ等しい」ので

 

△BAC(大) ∽ △CAH(小)
　∴ ∠BCA ＝ ∠CAH …⑥

 

③⑥より ∠BCA ＝ ∠BHC  ＝ ∠CHA …⑦
　∠BHC＋∠CHA ＝ 180° …⑧ であるので

 

⑦⑧より ∠BCA ＝ ∠BHC ＝ ∠CHA ＝ 90°

 

∴ a2+b2 =c2 ならば、△ABCはcを斜辺とする直角三角形である //

 

 

 

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④　特別な角

 

これは、絶対に憶えないといけない・・・式(公式)・・・ではなく、
…『比』ですね！　
最も代表的な2つの『直角三角形の辺の比の値』となります！

 

 

 

クリック・タップで答え (反応が遅い場合があります)

 

 

 

《 例 》
(1) 面積を求めましょう

 

　

 

・右三角形は「ヨンゴー」で 2：h = 1：\(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
　→ h = \(\large{\frac{2}{\sqrt{2}}}\) ＝ \(\small{\sqrt{2}}\)
・左は「サブローキュー」で   y： h = \(\small{\sqrt{3}}\)： 1
　→ y：(\(\small{\sqrt{2}}\)) = \(\small{\sqrt{3}}\)：1
　→ y = \(\small{\sqrt{6}}\)
∴ x ＝ y+h = \(\small{\sqrt{6}}\)+\(\small{\sqrt{2}}\)

 

 

 

(2) 正三角形ABCの内部の線 x を求めましょう

 

・ 8：Dh = 1：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)  → Dh = 4\(\small{\sqrt{3}}\)
・ 8：Ah = 1：\(\large{\frac{1}{2}}\)　→ Ah = 4
∴ hE = 6-Ah = 6-(4) ＝ 2

 

∴ 三平方の定理で
x = \(\small{\sqrt{(Dh)^2+(hE)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{(4\small{\sqrt{3}})^2+2^2}}\)  = \(\small{\sqrt{48+4}}\)  = \(\small{\sqrt{52}}\)  = 2\(\small{\sqrt{13}}\)　//

 

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、内接円の半径 r を求めましょう

 

　

 

→ 面積を2通りに求めればよいですね

①	△ABC = \(\large{\frac{1}{2}}\)・4・3 = 6
②	△ABC ＝ △OAB＋△OBC＋△OCA　←「r」がちょうど共通な「高さ」になりますね

 

 

① = ②より
6 = 6r　
A.　r = 1

 

知っていれば、一言、「1」で済みますね！

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、内接円の半径rを求めましょう

 

 

① 10：8：6 の直角三角形  ＝ 2×( 5：4：3 の直角三角形)  → 相似比 2
　∴ r は「1」と知っているので、  1×(相似比)2 ＝ 2  　　 A.　r ＝ 2　

 

② 地道に、  \(\large{\frac{(10+8+6)r}{2}}\) = 24
→　12r = 24 →　r = 2 でもOKですね

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、次の問いに答えましょう

 

 

(1) ADを求めましょう

 

→ BDをxとすると、DCは  14－x

 

△ABDで、AD2 = 152-x2
△ACDで、AD2 = 132-(14-x)2
∴ ADは同じ長さなので

152-x2	=	132-(14-x)2
225-x2	=	169-196+28x-x2
28x	=	252
7x	=	63
x	=	9 (=BD)

∴ △ABDで、AD = \(\small{\sqrt{15^2-9^2}}\) = \(\small{\sqrt{225-81}}\) = \(\small{\sqrt{144}}\) = 12

A.

AD = 12

 

 

 

(2) △ABCの内接円の半径r は？

 

→ (1)より、

 

→ △ABC = \(\large{\frac{1}{2}}\)・14・12  = 7・12  = 84

 

→ △ABC  ＝ △OAB＋△OBC＋△OCA
　 = \(\large{\frac{(15+14+13)r}{2}}\) = \(\large{\frac{42r}{2}}\) = 21r

 

∴ 21r = 84 　　A.　 r = 4

 

 

 

(3)　CEを求めましょう

 

 

 

もちろん、AE = x とおいて (1)のように解いてもかまいませんが、同じことをするのは面倒ですね！

 

 

 

 

 

《 例 》
△ABCの3辺が、
AB = m2+n2 , BC = 2mn , CA = m2-n2　(m＞n)
ならば、△ABCは ∠C ＝ 90°の直角三角形であることを証明しましょう

 

 

→ ただ ABの 2乗が、 = BC2+CA2 になればよいだけですね

 

(証明)

・AB2	= (m2+n2)2 = m4+2m2n2+n4 …①

 

 

∴ ①＝②より ∠C ＝ 90°の直角三角形である 　//

 

 

 

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イ　三平方の定理の活用

 

 

① 面積　(1年平面図形への応用問題)

 

面積に応用という訳ではありませんが、
面積を求める時に、「三平方の定理」はよく役立ちますね！
ですが、あくまで「面積」の問題であって、「三平方」の問題ではないですね！

 

 

《 例 》
1辺 6cmの正三角形の「高さ」と「面積」を求めましょう

 

　

 

→ 皆まで言うなという感じですが、念のため

 

(AB：x=) 6：x = 1：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)　→　x = 3\(\small{\sqrt{3}}\)
(もちろん、AH = \(\small{\sqrt{6^2-3^2}}\)  = 3\(\small{\sqrt{3}}\)でもOK)
　∴　高さ　3\(\small{\sqrt{3}}\) cm　//

 

→ 面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)・6・3\(\small{\sqrt{3}}\) = 9\(\small{\sqrt{3}}\)
　∴　面積　9\(\small{\sqrt{3}}\) cm2　//

 

 

 

 

《 例 》
1辺 acmの正三角形の「高さ」と「面積」を求めましょう

 

 

高さ → (AB：AH＝) a：AH = 1：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
　　∴　AH = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)a

 

 

 

 

ここで、「正三角形の高さ h = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)a = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)(斜辺) 」と暗記的に憶えるよりは

 

「割合」だから「\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)a」と理解できれば、
「今後のため」にもなりますし、
　この公式を公式ではなく、
「当たり前のもの」と思うことができますね
すなわち・・・

 

①	2時間で120km進む。6時間なら？ a時間なら？

 

⇒「1時間あたり60km」
　「a 時間なら 60akm」

 

 

 

 

②	同様に、1000円の消費税は80円、6000円なら？ a円なら？

 

⇒「1円あたり0.08円」
　「a円なら 0.08a円」

 

 

 

③	同様に、斜辺2のとき高さは\(\small{\sqrt{3}}\) 、斜辺6なら？ aなら？

 

⇒「1斜辺あたり\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)高さ」
　「a斜辺なら \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)a高さ」

 

 

 

④	同様に、斜辺2のとき底辺は1、斜辺6のときは？ aのときは？

 

⇒「1斜辺あたり\(\large{\frac{1}{2}}\)底辺」
　「a斜辺なら \(\large{\frac{1}{2}}\)a底辺」

 

 

(イメージ)

で憶えることは、「1時間あたり」「1円あたり」
のように「1斜辺あたりの高さ、底辺」という「基準」で憶えるということですね

 

 

 

( 2：\(\small{\sqrt{3}}\)：1 で憶えている場合)
4：x = 2：\(\small{\sqrt{3}}\)  → 2x = 4\(\small{\sqrt{3}}\)  → x = 2\(\small{\sqrt{3}}\)
4：y = 2：1 → 2y = 4  → y = 2

 

( 1：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)：\(\large{\frac{1}{2}}\) で憶えている場合)
x = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)・4 = 2\(\small{\sqrt{3}}\)
y = \(\large{\frac{1}{2}}\)・4 = 2
もちろん
4：x = 1：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) → x = 2\(\small{\sqrt{3}}\)
4：y = 1：\(\large{\frac{1}{2}}\) → y = 2　
でも十分 2：\(\small{\sqrt{3}}\)：1 だけで憶えている場合より楽ですね！

 

 

上のことが理解できれば、
1辺aの「正三角形の面積」の公式も当たり前のことに思えますね

 

 

 

 

 

 

 

《 例 》
幅3cmの紙テープを図のように線分ABで折り返した時
ABが5cmであった、△ABCの面積を求めましょう

 

 

 

 

それでは、本題に戻って、
△CABの面積は？
→ \(\large{\frac{1}{2}}\)×ACまたはBC×3cm
→ ACまたはBCがわかればいいんだな

 

　

 

AD = \(\small{\sqrt{5^2-3^2}}\) = \(\small{\sqrt{25-9}}\) = \(\small{\sqrt{16}}\) = 4cm
　↑「5,4,3 の三角形だな」→ 4 でもOK

∴	CDをxとすると、AC = 4-x = BC  (二等辺三角形より)

△BCDにおいて、BC2 = CD2+BD2

(4-x)2	=	x2+32
16-8x+x2	=	x2+32
-8x	=	-7
x	=	\(\large{\frac{7}{8}}\)

∴ AC = 4-\(\large{\frac{7}{8}}\) = \(\large{\frac{32-7 }{8}}\) = \(\large{\frac{25}{8}}\)
∴ △ABC = \(\large{\frac{1}{2}}\)・AC・高さ  = \(\large{\frac{1}{2}}\)・\(\large{\frac{25}{8}}\)・3  = \(\large{\frac{75}{16}}\)

A.

\(\large{\frac{75}{16}}\)

cm2

 

 

 

 

《 例 》
「関数」の問題

 

 

(1) ABの中点の座標を求めましょう (復習ですね) (座標の中点の求め方)

 

→　( \(\large{\frac{5\color{red}{+}(-3)}{2}}\) , \(\large{\frac{-5\color{red}{+}1}{2}}\) )  = ( \(\large{\frac{2}{2}}\) , \(\large{\frac{-4}{2}}\) )  = ( 1, -2 )　//

 

 

 

 

かなり横道にそれてしまいましたが、本題に戻りますね

 

 

(5) AB間の距離を求めましょう
再度図です

 

→ AB = \(\small{\sqrt{(AC)^2+(BC)^2}}\)
　・AC = 5-(-3) = 8
　・BC = 1-(-5) = 6
∴ AB = \(\small{\sqrt{8^2+6^2}}\) = \(\small{\sqrt{64+36}}\) = \(\small{\sqrt{100}}\) = 10 //

 

→ これが「座標上の2点間の距離」の公式の原理ですね

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、接点A接点Bの長さを求めましょう

 

 

AO、BO’は接線に垂直 → ∴ AO//BO’
OからABに平行なOHをひくと → AO = BH
ここまでデータを書き込めたら、後は簡単ですね
→ AB = OH
　 OH = \(\small{\sqrt{8^2-2^2}}\) = \(\small{\sqrt{64-4}}\) = \(\small{\sqrt{60}}\) = 2\(\small{\sqrt{15}}\)

A.	2\(\small{\sqrt{15}}\) cm

 

 

 

 

《 例 》
三辺を直径とする半円を3つ書いたとき、赤い部分の面積を求めましょう

 

 

いわゆる「ヒポクラテスの月」と言われるものですね
→ 『 赤い部分の面積 = 直角三角形の面積になる』というものですね
ということは、赤面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)・3・4 = 6cm2？？

 

では、地道に確認

赤面積	=	全部-直径ABの半円　(円周角が直角なら弦は直径)
	=	△ABC+直径ACの半円+直径BCの半円-直径ABの半円 ですね
	=	\(\large{\frac{1}{2}}\)・3・4 +\(\large{\frac{1}{2}}\)・22π +\(\large{\frac{1}{2}}\)・1.52π -\(\large{\frac{1}{2}}\)・2.52π
	=	6+2π+1.125π-3.125π
	=	6

A.	(確かに) 6cm2

 

 

 

 

《 例 》
斜線部の面積を求めましょう

 

 

この手の「模様問題」は
何から何をどういう順番で削っていくのか
どこが求めやすいのか、直線を足して分析したり
パズル感覚の練習ですね

 

 

→	赤斜線面積 = \(\large{\frac{1}{4}}\)赤円-2cm正方形 それ(赤斜線部分)が4つで黒斜線部分ですね
→	BO(赤円半径)：OM →「ヨンゴーの直角三角形」

∴ BO：2	=	\(\small{\sqrt{2}}\)：1
BO	=	2\(\small{\sqrt{2}}\)

∴ 赤斜線面積	=	\(\large{\frac{1}{4}}\)赤円- 2cm正方形
	=	\(\large{\frac{1}{4}}\)・(2\(\small{\sqrt{2}}\))2π-22
	=	2π-4

→ 黒斜線部分 = 4赤斜線部分 = 4(2π-4)

A.	8π-16 (cm2)

 

 

 

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② 体積　(1年空間図形への応用問題)

 

《 例 》
1辺3の正四面体ABCDについて、以下の問いに答えましょう

 

 

(1) 表面積は？

 

 

 

 

(2) 点Aから△BCDに下した垂線の長さは？

 

 

(紙に描いた立体の内部の図形は「ただのイメージ」ですが、
面倒でも別に書き出して、数値を書き込むと「具体的なイメージ」となって、
新たな「値」などを発見することが結構ありますね)

 

 

 

「重心」と「知らない場合」で進めますね、「15, 14, 13, の三角形」の要領で…
→ HM = x とすると、  BH = \(\large{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)-x

 

∴ △AMHで　AH = \(\small{\sqrt{\left( \large{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\right )^2-\left( \large{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )^2}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{27-3}{4}}}}\) = \(\small{\sqrt{6}}\)　// 　←重心と知っている場合と同じ答えですね

 

 

 

(3) 四面体ABCDの体積は?

四面体の体積 = \(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ = \(\large{\frac{1}{3}}\)・\(\large{\frac{9\sqrt{3}}{4}}\)・\(\small{\sqrt{6}}\) = \(\large{\frac{3\sqrt{3\ \cdot \ 3\ \cdot \ 2}}{4}}\) = \(\large{\frac{9\sqrt{2}}{4}}\) //

 

 

 

(4) 四面体ABCDの内接球の半径は?

 

　

 

球はABには接しませんね(届きませんね)
　なぜなら、BM、AMは「面」、 ABは「谷」ですものね
球の中心はAH上のどこかですね
　なぜなら正四面体を真上からみると…

 

→ OHを求めれば、それが内接球の半径ですね

→ AO：OH	=	\(\large{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)：\(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)　(角の二等分線と辺の比より)
	=	3\(\small{\sqrt{3}}\)：\(\small{\sqrt{3}}\)
	=	3：1

 

 

∴ AH = \(\small{\sqrt{6}}\)、AO：OH = 3：1 より
　 OH = \(\large{\frac{\sqrt{6}}{3+1}}\)・1 =\(\large{\frac{\sqrt{6}}{4}}\) = 内接球の半径 //

 

 

 

(5) 外接球の半径は？

 

 

→ 内接球の中心と外接球の中心は一致します！

 

 

→ 外接球半径 = OA ですね！
∴ AH-OH = \(\small{\sqrt{6}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{6}}{4}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{6}}{4}}\)　//

 

 

 

正四面体に関して、たった「1辺」のデータから
ここまで求まるのも すごいことですね
今回は1辺「3」で行いましたが、これを1辺「a」で行うと
たくさんの公式ができあがりますね！

 

 

 

 

立体図形のイメージ練習にもってこいですので、
是非「a」で練習してみてくださいね！
立体図形のイメージ(空間認識力？)は前頭葉が熱くなりますが、
鍛えられれば、日常生活でも必ず役立ちますね！
ex)

・	10tトラックに18t の荷物を積むことができます！違反ですが！
・	部屋のお片付けも「始めれば」、スッキリできるように！ →「始め」なければ、散らかりっぱなしですが、やればできる人のはずです！

 

 

 

《 例 》
1辺8cmの正方形ABCDの辺BC、CDの中点をそれぞれE、Fとしたとき、
以下の問いに答えましょう

 

 

(1) BCDが1点で集まるように点線で折り曲げたときにできる
　三角錐の体積を求めましょう

 

イメージ図はこんな感じでしょうか

 

　　

 

三角錐の体積	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積・高さ
	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・△CEF・AB
	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・\(\left( \large{\frac{1}{2}}\cdot\small{4}\cdot\small{4} \right )\)・8
	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・(8)・8
	=	\(\large{\frac{64}{3}}\) cm2

 

 

 

(2) △AEFを底面としたときの三角錐の高さを求めましょう

 

　

 

→ (1)で求めた体積に変わりはありませんので
　三角錐の体積\(\large{\frac{64}{3}}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\)・△AEF・高さ

 

△AEF = ABCD-△ABE-△ECF-△FDA = 64-16-8-16 = 24

 

 

 

∴ \(\large{\frac{1}{3}}\)・△AEF・高さ	=	\(\large{\frac{64}{3}}\)
\(\large{\frac{1}{3}}\)・24・高さ	=	\(\large{\frac{64}{3}}\)
8・高さ	=	\(\large{\frac{64}{3}}\)
高さ	=	\(\large{\frac{8}{3}}\) cm

 

 

 

 

 

《 類問 》
1辺4cmの立方体ABCD_EFGHの辺BCの中点をMとするとき、
頂点Bから△AFMに下ろした垂線の長さを求めましょう
立方体：全面正方形、直方体：長方形の面もある

 

 

→	「頂点Bから△AFMに下ろした垂線の長さ」 = 「三角錐B_AFMの高さ」

(流れ)

①	三角錐の体積をできる限り簡単に求めておく(底面BFMなど)
②	三角錐の体積を△AFMを底面とした求め方で求めれば高さ(垂線の長さ)がわかる (別方向からの体積)
③	ということは△AFMの面積も必要だな

 

では

① 三角錐の体積	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・(△AFB)・BM
	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・(\(\large{\frac{1}{2}}\)・4・4)・2
	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・8.・2
	=	\(\large{\frac{16}{3}}\) cm3

 

② △AFMの面積

 

高さMNのためにMFをイメージ図で

 

 

∴ 高さMN

= \(\small{\sqrt{MF^2-NF^2}}\) = \(\small{\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2}}\) = \(\small{\sqrt{20-8}}\) = 2\(\small{\sqrt{3}}\)

∴ △AFM = \(\large{\frac{1}{2}}\)・4\(\small{\sqrt{2}}\)・2\(\small{\sqrt{3}}\) = 4\(\small{\sqrt{6}}\) cm2

 

③ 三角錐の体積\(\large{\frac{16}{3}}\)	=	\(\large{\frac{1}{3}}\)・4\(\small{\sqrt{6}}\)・高さ
\(\large{\frac{4\sqrt{6}}{3}}\)・高さ	=	\(\large{\frac{16}{3}}\)
4\(\small{\sqrt{6}}\)・高さ	=	16
高さ	=	\(\large{\frac{4}{\sqrt{6}}}\) = \(\large{\frac{4\sqrt{6}}{6}}\) = \(\large{\frac{2}{3}}\)\(\small{\sqrt{6}}\)

A.	(垂直に下ろした線=) \(\large{\frac{2}{3}}\)\(\small{\sqrt{6}}\) cm

 

 

 

 

《 例 》
1辺6cmの立方体ABCD_EFGHの辺EF、FGの中点をそれぞれI、Jとするとき、
立体ABC_IFJの体積を求めましょう

 

 

→	三角錐の体積 を求める公式はありますが、 頂点のない途中までの公式はありませんね
→	ということは、 立体ABC_IFJ = 三角錐P_BAC－三角錐P_FIJ ですね

 

では、
まず大三角錐P_BACの体積

 

 中点連結定理の逆 (AB//IFかつIF=\(\large{\frac{1}{2}}\)AB ⇒（ならば） I、Fは中点)

 

∴ FP = BF = 6cm　→　BP = 12cm
∴ 大三角錐P_BAC = \(\large{\frac{1}{3}}\)・18・12 = 72cm3

 

次に、小三角錐P_FIJの体積
・△FIJ = \(\large{\frac{1}{2}}\)・3・3  = \(\large{\frac{9}{2}}\)
・高さPF = 6
→ \(\large{\frac{1}{3}}\)・\(\large{\frac{9}{2}}\)・6 = 9cm3
よって、
立体ABC_IFJ = 三角錐P_BAC－三角錐P_FJI = 72-9 = 63cm3

 

 

 

 

《 例 》
次のような、各辺の長さが1である2つの正三角柱でできた立体について
以下の問いに答えましょう

 

 

(1) 表面積を求めましょう

・ 底面正方形 = 1・1 = 1
∴ \(\small{\sqrt{3}}\)+2+1 = \(\small{\sqrt{3}}\)+3

A.	\(\small{\sqrt{3}}\)+3

 

 

 

 

(2) 体積を求めましょう

 

または
　

 

→ 上で行きますね

 

 

 

 

 

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③　最短距離 ( 最短経路 )

 

 

点Aと点Bの最短距離を表すものは、「イ」ですね
という訳で、「最短距離を求めよ」という問題でのポイントは

 

これだけです！

 

 

《 例 》
y軸上にA、x軸上にBがあるとき、PABQの長さが最小になるような A, Bの座標を求めましょう

 

→	Aはy軸上を、Bはx軸上を自由に動けます
→	y軸についてPと対称な点P’をとれば、点Aがy軸上をどんなに動いても 「APの距離」 = 「AP’の距離」ですね！ ということは、P’で考えてもよいということですね
→	同様に、x軸についてQと対称な点Q’とします
→	P’ABQ’が一直線 = 最短距離
→	あとは、2点P’(-2, 3)、Q’(3, -2)を通る直線の y切片とx切片を求めるだけですね

 

　= -x-2+3
　= -x+1

 

・y切片 → y = -(0)+1 = 1
・x切片 → 0 = -x+1　→　x = 1

A.	A(0, 1)　B(1, 0) のとき最短

 

 

 

《 例 》
図のように半径3cm、高さ6cmの円柱の母線をABとしたとき、
Aから側面を1周してBにいたる最短距離は何cm？

 

 

ですね！

 

(展開図)

 

 

cf. 2周してBにいたる場合は何cm？

 

 

 

 

 

《 例 》
図のような直方体で、辺AB、BCと交わるように EからGに紐をかける場合で
紐が最も短くなるのは何cm？

 

 

→　展開図ですね

 

 

 

・ EP = EF+BF = 5+3 = 8
・ GP = GF+BF = 4+3 = 7
∴ EG = \(\small{\sqrt{8^2+7^2}}\) = \(\small{\sqrt{64+49}}\) = \(\small{\sqrt{113}}\)

A.	\(\small{\sqrt{113}}\) cm

 

 

 

《 例 》
図のような三角錐の1つの母線OAの中点をBとするとき、
BからAまで紐を1周巻く最短の長さを求めましょう

 

 

→	まずは「展開図」ですね
→	正しいイメージで考えるために、展開イメージ図はできる限り正確がよい
→	という訳で、「円錐の形」と展開図の「扇形の形」の関係は・・・

 

(展開図) けっこう背が高いのでこんな感じ？

 

 

 

OB：OA = 1：2 で∠O = 60° ということは・・・「サブローキュー」ですね
→ ∴ ∠OBA = 90°
ちなみに正確な展開図は・・・

 

　

 

∴ 紐AB = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)×12\(\small{\sqrt{5}}\)
　　　　　= 6\(\small{\sqrt{15}}\) cm　//

 

(もちろん、AB：12\(\small{\sqrt{5}}\) = \(\large{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)：1 でも、AB = \(\small{\sqrt{(12\small{\sqrt{5}})^2-(6\small{\sqrt{5}})^2 }}\) で 求めてもOKですね)

 

 

 

 

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④　立体の切断

 

《 例 》
図のように透明な「直方体」に水が深さ4cmで入っています

 

 

→ 自然現象的に、「対辺な関係にある辺の長さの和は同じ」ですので、
　6+2 = 5.5+x
　x = 8-5.5 = 2.5　　A.　2.5cm 

 

 

 

《 例 》
1辺4cmの立方体を以下の図の3点を通るように切ったとき、
「切り口の形」と「切り口の面積」を求めましょう

 

(1) 3点B, D, F を通る平面で切るとき

 

 

すなわち、「切り口」を形作る線(平面図形の縁（ふち）の線)は必ず「立体の表面上」にあります！
「立体の内部にはありません」 (上図ならFDのような線はない)

 

再度、(形)

 

(面積) = BF×BD  = 4×4\(\small{\sqrt{2}}\)  = 16\(\small{\sqrt{2}}\) cm2　//

 

 

 

(2) CDの中点MとD, F の3点を通る平面で切るとき

 

 

「対面が平行なら切り口も平行」ですので
直方体 → 面BFGC//面AEHD

→	DからMFと平行な線 → AEの中点を通るはず
→	同様に、FからMDと平行な線 → AEの中点を通るはず

 

 

・FD = \(\small{\sqrt{(FH)^2+(HD)^2}}\)
  (FH = \(\small{\sqrt{2}}\)・4 = 4\(\small{\sqrt{2}}\) )
　　= \(\small{\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{32+16}}\)
　　= \(\small{\sqrt{48}}\) = \(\small{\sqrt{16\cdot3}}\) = 4\(\small{\sqrt{3}}\)
・MN = AC = FH = 4\(\small{\sqrt{2}}\)
∴ 面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)・4\(\small{\sqrt{3}}\)・4\(\small{\sqrt{2}}\)  = 8\(\small{\sqrt{6}}\) cm2　//

 

 

 

(3) ABの中点M、ADの中点N、点Gの3点を通る平面で切るとき

 

 

点M、N、G、を通る平面レベルにあるのは確か

 

 

 

 

 

 

 

(4) ABの中点M、ADの中点N、BFの中点Pの3点を通る平面で切るとき

 

 

(形)　正六角形
(面積)　正六角形の中心をOとする
　MN = 2\(\small{\sqrt{2}}\)　(AN = 2のヨンゴーより)
　正六角形は正三角形が6つ集まったもの
　(1辺aの正三角形の面積公式)
　　
　△OMN = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2\(\small{\sqrt{2}}\)・\(\small{\sqrt{6}}\) = 2\(\small{\sqrt{3}}\)
　∴ 正六角形MPQRSN  = 6・2\(\small{\sqrt{3}}\)  = 12\(\small{\sqrt{3}}\) cm2

 

 

 

 

余談としての
(追加問題1) 正六角錐C‐MPQRSNの体積を求めましょう

 

 

(方法1) \(\large{\frac{1}{3}}\) ・底面積MPQRSN・高さCO
(方法2) (三角錐V‐CTU)-3(三角錐C‐BPM)-3三角錐T‐BPM)

 

(方法1) 底面積12\(\small{\sqrt{3}}\)cm2 は(4)で求めていますので、あとは高さCOですね
　△COMからCOを求めてみますね(Oは対角線CEの中点かはわからないので)

 

 

∴	CO = \(\small{\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2}}\)  = \(\small{\sqrt{20-8}}\)  = \(\small{\sqrt{12}}\)  = 2\(\small{\sqrt{3}}\) cm (OはCEの中点でしたね)
∴	正六角錐C‐MPQRSN  = \(\large{\frac{1}{3}}\)・12\(\small{\sqrt{3}}\)・2\(\small{\sqrt{3}}\)  = 8・3  = 24 cm3　//

 

 

 

(方法2) 正六角錐C_MPQRSNの体積、2種類の三角錐(C_MBP、T_BPM)の切り落とし

 

→	MN = TM 、 PQ = TP= 2\(\small{\sqrt{2}}\) (△AMNと△BMT、 △FPQと△BPTで1：1の「ちょう」より)
→	AN = TB = 2  (1：1の「ちょう」より)

同様にすると
・三角錐C‐BMP = 三角錐C‐GQR = 三角錐C‐DNS
・三角錐T‐BMP = 三角錐U‐GQR = 三角錐V‐DNS

 

・大三角錐V‐CTU = \(\large{\frac{1}{3}}\)・底面積△CTU・高さVC
　= \(\large{\frac{1}{3}}\)・(\(\large{\frac{1}{2}}\)・6・6)・6  = 36cm3 …①

 

・三角錐C‐BMP = \(\large{\frac{1}{3}}\)・(\(\large{\frac{1}{2}}\)・2・2)・4  = \(\large{\frac{8}{3}}\) cm3 …②
・三角錐T‐BPM = \(\large{\frac{1}{3}}\)・(\(\large{\frac{1}{2}}\)・2・2)・2  = \(\large{\frac{4}{3}}\)cm3 …③

 

∴ 正六角錐C‐MPQRSN = ①-3×②-3×③  = 36-8-4  = 24cm3　//

 

 

 

(追加問題2) 6点MPQRSNで切った時、Cを含む側の体積を求めましょう

 

(正六角錐C‐MPQRSNの体積との違いに注意してくださいね！
→ 三角錐C‐BMP、C‐DNS、C－GQRを、含むか含まないかの違い)

 

 

(考え方1) 正六角錐C‐MPQRSN +3( 三角錐C‐BMP)
　= 24+3(\(\large{\frac{8}{3}}\)) = 32 cm3　//

 

(考え方2) 三角錐V‐CTU - 3(三角錐T‐BPM)
　= 36-3(\(\large{\frac{4}{3}}\)) = 32 cm3　//

 

 

 

 

⑤　体積比

 

図形の「体積比」は、相似の場面で学んだ図形の「面積比」と
全く同じように考えることができましたね！

 

図形の『体積比』は

 

「比」であるから、
「正真正銘の底面積」も「正真正銘の高さ」も必要ないですね！

 

 

(イメージ)

 

上のイメージは「正真正銘な高さ」ですが、これらが
「高さにあたるもの（・・・・・）」「底面積にあたるもの（・・・・・）」

 

そして、「三角錐」であろうが「円錐」であろうが「同様」であることはもう理解できますね

 

 

 

《 例 》
OA = OB = OCの三角錐で、OAの中点がE、OCの中点がG、
OF：FB = 2：1のとき、三角錐の体積比O‐ABC：O‐EFGを求めましょう

 

 

どこが「底面積にあたるもの」「高さにあたるもの」かは、
もう判っているとは思いますが、念のため三角錐を倒してみますね

 

 

→ 「底面積にあたるもの」 = 「(面積の)横にあたるもの」×「(面積の)縦にあたるもの」
∴ △OAB：△OEF = (OB・OA)：(OF・OE) = 3×2：2×1 = 6：2 = ③：①

 

→ 三角錐O‐ABCの「(体積の)高さにあたるもの」 = OC =  2 
　 三角錐O‐EFGの「(体積の)高さにあたるもの」 = OG =  1 

 

∴ 三角錐O‐ABC：三角錐O‐EFG
　= 「底面積にあたるもの」×「高さにあたるもの」：「底面積にあたるもの」×「高さにあたるもの」
　= △OAB×OC：△OEF×OG = ③× 2 ：①× 1 = 6：1

 

A.　三角錐O‐ABC：三角錐O‐EFG = 6：1

 

・	もちろん、△OBCや△OACを底面積と考えてもOKです △ABCだけはダメですね！
・	もちろん、横・縦 = 底面積　→　底面積・高さ と段階を踏まずに  横・縦・高さ：横・縦・高さ でもOKですね

 

 

 

 

《 例 》
各辺の長さが全て6cmの正四面体O‐ABCDにおいて、
OB、ODの中点L、Mと頂点Aの3点で正四面体を切るとき
辺OCとの交点をNとして、以下の問いに答えましょう

 

 

(1) ONの長さを求めましょう

 

→ 図をBの方から見ると

 

→ BからANに平行な補助線を引くと

 

∴ OC = 6cmより、より、 ON = 2cm //

 

 

 

(2) 切り口の四角形ALNMの面積を求めましょう

 

→ 正四角錐を真上から見ると

 

 

 

 

∴ AN	= \(\small{\sqrt{OA^2+ON^2}}\) = \(\small{\sqrt{6^2+2^2}}\) = \(\small{\sqrt{40}}\) = 2\(\small{\sqrt{10}}\) cm　 ←たこ形の長い方の対角線

 

 

次にML

 

∴ 四角形ALNM = \(\large{\frac{1}{2}}\)・2\(\small{\sqrt{10}}\)・3\(\small{\sqrt{2}}\) = 3\(\small{\sqrt{2\cdot5\cdot2}}\)  = 6\(\small{\sqrt{5}}\) cm2　//

 

 

 

(3)　四角錐O‐ALNMを切り取ったとき、残りの立体の体積を求めましょう

 

→	四角錐では体積比「底面積にあたるもの」「高さにあたるもの」が使えないので真上からOACを通る包丁で2等分した三角錐O‐ABCとO‐ALNで考えると、三角錐になって「あたるもの」で考えることができる

 

 

→ 三角錐A‐OLN：A‐OBC = (底面積にあたるもの)(高さにあたるもの)：(底面積にあたるもの)(高さにあたるもの) = (①×1)(AO)：(②×3)(AO) = 1：6

 

∴	四角錐O‐ALNM：O‐ABCD = 2：12 = 1：6 (当然結局1：6)
∴	四角錐O‐ABCDをVとすると、 O‐ALNM = \(\large{\frac{1}{6}}\)V

 

では、四角錐O‐ABCDの正確な体積は・・・

 

∴ 四角錐O‐ABCD = \(\large{\frac{1}{3}}\)・36・3\(\small{\sqrt{2}}\) = 36\(\small{\sqrt{2}}\) cm3
∴ 四角錐O‐ALNM = 36\(\small{\sqrt{2}}\)×\(\large{\frac{1}{6}}\) = 6\(\small{\sqrt{2}}\) cm3

 

∴ 残りの立体の体積 = 36\(\small{\sqrt{2}}\)-6\(\small{\sqrt{2}}\) = 30\(\small{\sqrt{2}}\) cm3//

 

 

 

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⑥　立体の対角線

 

《 例 》
図のような直方体ABCD‐EFGHの辺AEの中点をPとし、
点P、頂点F、Hの3点を通る平面と対角線CEの交点をQとします

 

 

(1) 対角線CEの長さを求めましょう

 

→ CEGの平面を切り出すと

 

 

 

(2) CQの長さを求めましょう

 

 

→ AEGCの平面を切り出すと

 

 

よって、図より
CQは\(\large{\frac{3}{4}}\)CEですね！(△CAG≡△EAG、△ERP∽△EGA相似比2)
∴ CQ = \(\large{\frac{3}{4}}\)×5\(\small{\sqrt{2}}\) = \(\large{\frac{15\sqrt{2}}{4}}\) cm　//

 

 

 

(3)　頂点F、Gから対角線CEにおろした垂線の交点をそれぞれS、Tとするとき
　CT：TS：SE を求めましょう

 

 

ETに注目すると、直角三角形TEGの1辺が四角形EFGHの対角線になっている

 

 

 

→ EG = 5cm、CGも5cm…ということは△GECは「ヨンゴーの直角三角形」

 

 

∴ CT = ET = \(\large{\frac{5\sqrt{2}}{2}}\)
　(二等辺三角形⇒頂角からの垂線は 底辺を2分する)

 

あとはESですね

 

 

 

(∠EFC = 90° が見つけられない場合は「15,14,13のAHの求め方」でESが求められますね)

 

∠EFC = 90°が見つけられたら、相似で楽できますね

　3：ES = 5\(\small{\sqrt{2}}\)：3
　ES = \(\large{\frac{9}{5\sqrt{2}}}\) = \(\large{\frac{9\sqrt{2}}{10}}\)

 

∴ 対角線 CE = 5\(\small{\sqrt{2}}\) 、  CT = \(\large{\frac{5\sqrt{2}}{2}}\) (←中点)、  ES = \(\large{\frac{9\sqrt{2}}{10}}\)

 

最後の間違い防止のため、CTとESの長さを比較しますね
(図が悪くて実は、①ではなく・・・

②だったらもったいないですから！)

 

CT2 = \(\large{\frac{50}{4}}\) = \(\large{\frac{1250}{100}}\) 、 ES2  = \(\large{\frac{162}{100}}\)  ∴ CT＞ES    ∴ ①でOK

 

あとは、TS。 TS = ET-ES  = \(\large{\frac{5\sqrt{2}}{2}}\)-\(\large{\frac{9\sqrt{2}}{10}}\)  = \(\large{\frac{25\sqrt{2}-9\sqrt{2}}{10}}\)  = \(\large{\frac{16\sqrt{2}}{10}}\)

 

∴ CT：TS：SE  = \(\large{\frac{5\sqrt{2}}{2}}\)：\(\large{\frac{16\sqrt{2}}{10}}\)：\(\large{\frac{9\sqrt{2}}{10}}\)  = \(\large{\frac{5}{2}}\)：\(\large{\frac{16}{10}}\)：\(\large{\frac{9}{10}}\)  = 25：16：9　//

 

 

 

かなり「一筋縄ではいかない」難しい問題でしたね！

 

 

 

ここまでの例題は、あくまで『図形』の問題(長さ、角度、面積、体積、比など)であって、
「三平方の定理」、「特別な角」はあくまでそれらを解くための道具ですね！
「三平方の定理」自体が難し訳ではないですね！

 

2次元の平面に描かれた3次元の図形をイメージすることはなかなか大変ですね！
集中力もいりますし、何より練習が大切だと思います！

 

あと少し！
頑張っていきましょう！！

 

 

 

 

お疲れ様でした！
その他の問題は、「問題集」で !!

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