中学数学　図形の合同 図形の性質

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A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 平面図形と平行線の性質

(2) 図形の合同・図形の性質

ア	証明の必要性と意味及びその方法
・	「証明」の必要性
・	「証明」のイメージ
イ	三角形の合同条件
①	合同とは
②	三角形の合同条件
・	三角形の合同条件のまとめ
・	三角形の合同条件、他にもある？
③	仮定と結論
ウ	三角形や平行四辺形の性質の論証
①	二等辺三角形
・	必要条件・十分条件・反例 とは
・	定義、定理、性質、特徴、違いは？
・	二等辺三角形の条件　のまとめ
②	正三角形
・	正三角形の条件　のまとめ
③	直角三角形の合同条件
・	直角三角形の合同条件　のまとめ
・	直角三角形の考え方
④	平行四辺形の条件
・	平行四辺形の条件の証明
・	平行四辺形の条件の逆の証明
・	平行四辺形の条件　のまとめ
⑤	特別な平行四辺形
(1)	長方形の条件
(2)	ひし形の条件
(3)	正方形の条件
・	他の平行四辺形の条件のまとめ
・	典型例題　正三角形の条件＋三角形の合同条件

 

図形の合同・図形の性質

 

ア　証明の必要性と意味及びその方法

 

「証明」・・・難しいイメージがあるかもしれませんが・・・
大丈夫です！　面白くなってきます！

 

 

「証明」の必要性

『証明』・・・数学だけでなく、実社会でも普通によく聞く言葉ですね！
読んで字のごとく、「証拠を示して→明らかにすること」ですね！　

 

(「判定フィルター」が、「その事実」が「証拠になる」か「証拠にならない」か「判定」しますね)

 

 

この流れがないと、人は納得できないし、納得させられないですね！

 

例えば、クラスの給食費がなくなった　→　いきなり犯人扱いされた。
納得できないですね！

 

「証拠は？」となりますね。
A「証拠は・・・放課後1人で教室でゴソゴソしていたのを見た」
→判定フィルター(証拠には・・・・・・ならない！)  →無罪
B「証拠は・・・防犯ビデオに現場が映っている」
→判定フィルター(証拠に・・・・・・なる！)  →有罪

 

 

証明とは

 

「ある事実」  →「判定フィルター」  →「判定」

 

という「一連の流れ」ですね！

 

そして、人に納得してもらうためには、この一連の流れ、
すなわち、「証明」が必要！ということになりますね！

 

 

 

 

「証明」のイメージ

それでは、「証明」の方法(流れ)を、図を使ってイメージ化してみますね
イメージで十分ですので！

 

 

【 刑事事件の証明のイメージ】

 

 

 

 

ここで、A検事が「殺人罪」を証明しようとしているとします

 

 

 

B検事が同じ事案を証明しました

 

 

 

C検事が証明しました

 

 

 

 

 

【 数学の証明のイメージ 】

 

 

 

 

では、A君がある図形を「正三角形である」と証明しようとしています

 

 

 

B君が同じ事案を証明しました

 

 

 

C君が同じ事案を証明しました

 

 

 

D君が同じ事案を証明しました

 

 

 

これらのイメージ例から分かることを簡単にまとめますと、

 

〔要点〕
●フィルターに適した「事実」だけが、『証拠』になれる、適してない「事実」は「ただの事実」

 

●各フィルターの「要件」(数学では「条件」)を知っていないと、「証拠」と「ただの事実」の区別ができない

 

●「武器」があれば、「事実」から「新しい事実」を導くことができる

 

 

〔違い〕
◎法律は「人の気持ち」の証明があるが、数学にはない
　→数学の方が明確！

 

◎法律は「人(裁判官)」が判断するが、数学は「自然の摂理(＝神)」が判断する
　→数学は、「判断」に間違いがない (対して「人」は間違えるもの)
　→数学の方が明確！

 

◎法律は「要件」を条文から考え出すが、数学は「要件」を明記してくれている
　→数学の方が明確！

 

 

〔目標〕
〇各フィルター(各図形)の「要件」の理解。図形は自然の摂理ですので、ほぼ当たり前と思う「要件」ばかりですのでご安心ください

 

〇「武器」を増やす、使いこなす　(新事実発見のために！)

 

 

問題の中で、「武器(＝一言で済む)」として使ってよいのか、「やはりそれにも証明がいるのか」の線引きが
「時期」によって異なるのが、1番の問題といえますね
ここでは、できる限り「受験時には武器」「定期テストではその武器自体の証明も必要かも」なども指摘していきますね

 

 

長くなってしまいましたが、本題に入っていきますね

 

 

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イ　三角形の合同条件

 

①　合同とは

合同とは、
『同じ形 で 同じ大きさ』ですね！
それだけです！

 

 

 

 

 

「合同」ということは、

 

ピッタリ1つに重なるということですね
重ねるために使える作用は、
・使える作用  → 「裏返し」「回転」  「平行移動」
・使えない作用  → 「拡大・縮小」「変形」

 

 

 

重ねると一致する「点」「辺」「角」を
「対応する点」「対応する辺」「対応する角」とい言いますね

 

 

ex.
点Bに対応する点は 点F
点Eに対応する点は 点C
辺ABに対応する辺は 辺DF  (アルファベット順に、辺FDでもOKです)
∠tに対応する角は ∠y

 

 

そして、△ABC と △DFEが「合同」という意味の記号が
「 ≡ 」 ですね！

 

ex.
△ABC ≡ △DFE 〇  →対応する点の順番がちゃんと一致
△ABC ≡ △DEF ×  → 対応する点の順番が一致していない
一致していないと…
「対応」が おかしくなってしまいますね！

 

 

 

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②　三角形の合同条件

 

※以後は「要件」という言葉を、数学に合わせて「条件」と言いますね

 

基本、「合同」の条件は、

 

① 全ての辺の長さが同じ、　かつ
② 全ての角の大きさが同じ

 

という事実を集められれば、「証明」ですね！

 

例えば、

 

○○なので、  辺AB = 辺DE …①
○○なので、  辺BC = 辺EF …②
○○なので、  辺CA = 辺FD …③
○○なので、  ∠x = ∠r …④
○○なので、  ∠y = ∠s …⑤
○○なので、  ∠z = ∠t …⑥

 

∴ ①②③④⑤⑥より
「全ての辺の長さが等しく、
全ての角の大きさが等しい」ので、 ←「条件」ですね
△ABC ≡（ごうどう） △DEFである

 

ではありますがっ !!
「三角形」はある程度の段階で、『形』『大きさ』が決まってしまいますね。(「決まる」とは)
日本語で例えるなら、「皆(みな)まで言うな！」「あとは一本道」「自動的に決まる」
将棋で例えるなら、『詰み』の形で終了！　『玉まで取る』ところまでしないですね

 

すなわち、
「決まった後の作業」は、言葉は悪いですが『無駄』ということですね

 

そして、どこまですれば『詰み』なのか、ちゃんと「明記」してくれているのが数学の優しいところですね！

 

そして、それが…「三角形が1つに決まる条件」ということであり、
2つの三角形が、同じ条件で決まれば「合同」ということですね！
cf. 「決まる」+「同じ条件で」＝「合同条件」

 

三角形はどこまですれば「決まる」かを、イメージだけしておきましょう

 

 

△ABCと△DEFの△ABCについて

 

 

以上をまとめれば、『三角形の合同条件』ですね！
その前に、少し気づいた点があると思います！

 

(1) 全 辺辺辺角角角のうち、「3つの部分」だけでよい(形、大きさが決まる)
ex.
①辺・辺・辺　 ②辺・辺・角　 ③辺・角・角　
cf.
「3つの部分」が同じということで、
　「≡」マークは3本線？　　
　はたまた、面積が同じなら「＝(イコール)」
　面積だけでなく形まで同じなので「≡」3本線？

 

 

(2) 「辺」で「大きさ」が、「決まる」
　  「角」で「形」が、「決まる」

 

よって、大きさを決める「辺」が1つは入っていないといけない
ex. 　辺・角・角

 

 

 

 

 

《 例 》
図のようなとき、△OABと△ODCが合同であることを証明しましょう

 

 

自分の持っている「武器」で、すぐに分かる「新事実」を書き込んでみると…

 

 

△OABと△ODCにおいて ←書き出しの「決まり文句」
　AB = CD　(図より) …① ←既成事実
l//m より ←既成前提事実
∠BAD = ∠CDA ←新事実　(錯角) ←武器名…②
∠ABC = ∠DCB ←新事実　(錯角) ←武器名…③
①②③より
一組の辺と、その両端の角が、それぞれ等しい ←三角形の合同条件③ので
△OAB ≡ △ODC　//

 

ちなみに注釈を除くと…
△OABと△ODCにおいて
AB = CD　(図より) …①
l//m より
∠BAD = ∠CDA (錯角) …②
∠ABC = ∠DCB (錯角) …③
①②③より
一組の辺と、その両端の角が、それぞれ等しい ので
△OAB ≡ △ODC　//

 

 

 

 

 

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③　仮定と結論

 

図形の場面では「仮定と結論」はそれほど気にすることはありませんね！

 

例えば、次のような問題があったとします

 

ならば であるとを証明しましょう

 

「～ならば～である」
という形の場合、
「ならば」の部分を「仮定」と言います
「である」の部分を「結論」と言います

 

ただそれだけですね

 

よって、証明では「仮定」の部分を ただの「既成事実」として使用してOKです

 

(「辺の長さ」や「角度」が「同じ」という証明は、
「その辺」や「その角」を含む「三角形」の合同を証明すれば
「その辺」や「その角」は同じということがいえますね)

 

ex.
AO = DO (仮定より)
BO = CO (仮定より)
∠AOB = ∠DOC (対頂角)
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい ので
∴ △OAB ≡ △ODC
∴ AB = CD　//

 

ここで・・・問題レベルが上がってくると、「ならば　である」を使わず
「のとき」、「である」、と言う場合もありますね、例えば上の問題では、

 

のとき を証明しましょう
である。 を証明しましょう

 

このような場合の証明では
ex.
AO = DO (条件より)
BO = CO (条件より)

と言ってもよいですね
もちろん、結局同じ意味なので
(仮定より) と言ってもかまいませんね！

 

 

 

 

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ウ　三角形や平行四辺形の性質の論証

 

 

ここからは、しばらく図形の「合同条件」ではなく、
図形の「成立条件」のお話ですね

 

 

 

 

①　二等辺三角形

まずは各部名称から、
「特徴があれば名前をつけたくなる」という人間のサガですね

 

 

「定義」はこれだけですね！
そして、実は、角が等しいという意味のちょんちょんマーク  ( )はまだつけられないのです…
では、それを証明していきましょう！

 

 

《 例 1 》
△ABCが、AB = ACならば(二等辺三角形ならば)、  ∠B = ∠Cである ことを証明しましょう

 

 

(考え方)
∠Bを含む三角形と∠Cを含む三角形が、「合同」であることを証明すれば、
自然∠B = ∠Cといえますね
では、どういった「補助線」を引いて2つの三角形を作りましょうか

 

(証明)
∠Aの二等分線とBC(辺BC)の交点をDとする (自分で勝手に設定OK)

 

 

△ABDと△ACDにおいて ←決まり文句
AB = AC (仮定より)
AD = AD (共通) ←「同じもの」を使っているという意味
∠BAD = ∠CAD (∠Aの二等分線より) ←自分でそう設定していた
∴ 二組の辺と その間の角が それぞれ等しい から
　△ABD ≡ △ACD
∴ ∠B = ∠C

 

「証明」しましたので、今後は『定理』となります

 

 

 

ここで、上の定理の「⇒（ならば) 」は、右向きだけですね
「\(\Leftarrow\)」左向きも証明できれば、「」両矢印となって、より「鋭い武器」になりますね！

 

では、

 

 

《例 2 》
底角が等しいならば、二等辺三角形であることを証明しましょう

 

→実は、まだ「二等辺三角形」であると証明していないのですから、
二等辺三角形の特徴の固有名詞「底角」という単語を使えませんので
正確には…

 

《 例 2’ 》
2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形であることを証明しましょう
ですね！

 

(証明)

 

∠Aの二等分線とBC(辺BC)の交点をDとする
△ABDと△ACDにおいて
∠B = ∠C (仮定より) …①
∠BAD = ∠CAD (∠Aの二等分線より) …②
①②より
∠ADB = ∠ADC (三角形の内角の和は180°より) …③

AD = AD (共通) …④

 

②③④より
1組の辺と その両端の角が それぞれ等しい から
△ABD ≡ △ACD
∴ AB = AC
∴ 2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である

 

 

逆も証明しましたので

 

 

 

 

 

二等辺三角形の続きです

 

二等辺三角形の証明は、全て(頂)角の「二等分線」で始まりますね。

 

 

 

《 例 》
二等辺三角形の頂角の「二等分線」は、
底辺の「垂直二等分線」になることを証明しましょう

 

(証明)

∴ △ADB ≡ △ADC
合同より
BD = CD …① ← 二等分の根拠
∠ADB = ∠ADC
また ∠ADB+∠ADC = 180° ← 一直線なので
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°
∴ AD⊥BC …②
①②より
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線になる //

 

 

 

もちろん、「逆」も証明できます

 

ですが、結局、左右の三角形の合同を証明しますので、

 

 

　

 

 

 

 

 

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②　正三角形

 

二等辺三角形の延長版ですね！

 

人にとって、正三角形は最も単純な形ですが、
正三角形本人にとっては、最も厳しい条件を課せられている三角形ですね！
　「髪は耳にかからないように」「ズボンはストレート」「スカートはひざ下5cm」
のように・・・

 

その分、話があまり膨らまないですね！

 

 

 

《 例 》
△ABCが、AB = BC = CA (= 正三角形)ならば、  ∠A = ∠B = ∠Cであることを証明しましょう

 

 

 

 

 

では、「逆」です

 

《 例 》
△ABCが、∠A = ∠B = ∠ C ならば、AB = BC = CA であることを証明しましょう

 

 

 

逆も証明しましたので

 

 

 

 

 

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③　直角三角形の合同条件

 

「直角三角形」は数学で、最もよく扱われる「三角形」ですね
そこで提案ですが、直角三角形では、自己中心主義ならぬ
「斜辺中心主義」で考えていくとよいのかなと思います
すなわち、直角三角形を考えるときは、
ついつい「直角」に目が行きがちですが、「斜辺」から考える！
「釣り竿のイメージ」も「斜辺」をグルグル回しましたね！

 

戻りまして、「直角三角形の合同条件」ですが、結論から言いますと

 

 

ですね！

 

 

〈証明〉
直角三角形ABCと直角三角形DEFで、
AB=DE、AC=DF ならば
△ABC ≡ △DEFであることを証明しましょう

 

　

 

辺ACと辺DFを重ねると
∠ACB+∠ACE＝180°より、BCEは一直線なので
△ABEは三角形である (四角形ではない)

 

次に、△ABEで、
AB=DEより、(二辺が等しいので)△ABEは二等辺三角形である
よって、∠ABC＝∠DEF、
また
∠BAC＝180°-90°-∠ABC=90°-∠ABC
∠EDF＝180°-90°-∠DEF=90°-∠DEF　より
∠BAC＝∠EDF　(残りの角も等しいということ)

 

∴ (AB＝DE、∠BAC=∠EDF、AC=DFより)
　2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、  △ABC ≡ △DEF

 

 

 

 

 

 

(直角三角形の合同の考え方)

 

「直角三角形」は「三角形」の中で最も重要なもの、
「直角三角形」は、この「親子中学」では「斜辺中心主義」で行きましょうと提案していましたね。
そこで、「釣り竿のイメージ」を、0°～90°に絞ったものが次です

 

 

イメージはなんとなくでもかまいません！
ただ、押さえてもらいたいことは・・・

 

「直角三角形」は、「斜辺(釣り竿)」の角度だけで唯一無二の「形」が決まるということです

 

たとえば、隣の釣り人が「同じ角度」で釣り竿を持っていたら、
自分と全く「同じ形」の「直角三角形」ができているということです
さらにそれが、「同じ長さの竿」であれば「同じ形」＋「同じ大きさ」ということになるということですね！

 

 

 

本題に戻りまして　条件をもう一度

 

①の条件は、斜辺中心主義で言うと、
・「斜辺」と「隣接する角(どちらでもよい)」 がそれぞれ等しい
　　↓
・「斜辺」と「直角以外の角(どちらでもよい)」 がそれぞれ等しい
　　↓
・「斜辺」と「鋭角(どちらでもよい)」 がそれぞれ等しい
　　↓
・「斜辺」と「1つの鋭角」 がそれぞれ等しい　
　　というふうに、表現方法を言い換えただけとわかりますね

 

 

②の条件は、
ただの①の裏返しですね！

 

「竿の長さ」と「その角度」で、「大きさ」と「形」が決まる
決まるということは、
「他の角度」、「他の辺の長さ」も「自動的に決まっている」

 

すなわち、同じ長さの竿ならば、
「角度」だけで「他の辺の長さ」が自動的に決まる　⇔　「他の辺の長さ」だけで「角度」が自動的に決まる

 

と言ってもかまいませんね！

 

よって、
・「斜辺」と「隣接する角(どちらでもよい)」がそれぞれ等しい
　　↓
　(他の辺が同じと言っても同じこと)
　　↓
・「斜辺」と「他の辺(どちらでもよい)」がそれぞれ等しい
　　↓
・「斜辺」と「他の1辺」がそれぞれ等しい
　　というふうに、表現方法を言い換えただけとわかりますね

 

 

よって
　斜辺中心主義では、②はほとんど①と同じことを言っている　となりますね！

 

 

よって、「直角三角形の合同条件」は「三角形の合同条件」を
さらに絞ったものと言うことができますね

 

 

もちろん、証明できるなら、普通の「三角形の合同条件」で証明しても全く構いませんね

 

 

 

 

 

 

《 例 》
∠SOTの二等分線OZ上の点Pから、2辺OS、OTに垂線を引いた交点を
それぞれA、Bとします。このとき、PA = PBであることを証明しましょう

 

 

(証明)
△OAPと△OBPにおいて
∠OAP = ∠OBP = 90° (仮定より) …① ←直角三角形という証拠
∠AOP = ∠BOP (仮定より) …② ←二等分線なので、当然
OP = OP (共通) …③

 

①②③より、直角三角形の 斜辺と 1つの鋭角 がそれぞれ等しいから
△OAP ≡ △OBP
∴ PA = PB　//

 

 

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④　平行四辺形の条件

 

平行四辺形は、ただの四角形が「色々な特徴」を持ち始める親玉的存在の四角形ですね(四角形の分類)

 

 

出発点はこれだけなんですね！
ここから、色々な「定理」ができていくのです

 

 

《 例 1 》
平行四辺形  ⇒（ならば) 対辺がそれぞれ等しい？

 

 

△ABDと△CDBにおいて
AD//BC、 AB//DC より
●∠ABD = ∠CDB (錯角) …①
〇∠ADB = ∠CBD (錯角) …②
BD = BD (共通) …③
①②③より
  1組の辺と 両端の角が それぞれ等しい ので
△ABD ≡ △CDB
∴ AB = CD、 AD = CB
∴ 平行四辺形  ⇒（ならば) 対辺がそれぞれ等しい

 

 

 

《 例 2 》
平行四辺形  ⇒（ならば) 対角がそれぞれ等しい？

 

 

(証明①)
例1の延長となります
△ABDと△CDBにおいて

∴ ∠A = ∠C

∴ 平行四辺形  ⇒（ならば) 対角がそれぞれ等しい

 

 

 

(証明②)
「合同」を使わない証明

 

 

(証明)
AD//BC、AB//DCより
(●) ∠BAC = ∠DCA (錯角) = ∠a
(〇) ∠ACB = ∠CAD (錯角) = ∠b
(●) ∠ABD = ∠CDB (錯角) = ∠c
(〇) ∠ADB = ∠CBD (錯角) = ∠d とする
↑●〇●〇はこんがらないないように書いただけ → 後で消して下さいね

 

∠A = ∠a+∠b (●+〇)
∠C = ∠a+∠b (●+〇)
　∴ ∠A = ∠C
∠B = ∠c+∠d (●+〇)
∠D = ∠c+∠d (●+〇)
　∴ ∠B = ∠D
∴ 平行四辺形  ⇒（ならば) 対角がそれぞれ等しい

 

 

 

《 例 3 》
平行四辺形  ⇒（ならば) 対角線がそれぞれ中点で交わる？

 

 

(証明)
△OADと△OCBにおいて   (△OABと△OCDでも可ですね)
∠DAC = ∠BCA (錯角) …①
∠ADB = ∠CBD (錯角) …②

 

①②③より
1組の辺と 両端の角がそれぞれ等しい ので
∴ △OAD ≡ △OCD
∴ OA = OC、OB = OD
∴ 平行四辺形  ⇒（ならば) 対角線がそれぞれ中点で交わる

 

 

以上で4つのことが分かりましたね

 

 

 

 

平行四辺形の条件の逆の証明

 

それでは、「逆」の証明です

 

① 四角形の対辺がそれぞれ平行  ⇒ （ならば) 平行四辺形？
…は「定義」ですから、証明は不要ですね！

 

 

 

 

② 四角形ABCDの対辺がそれぞれ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形？

 

 

 

それでは、数学的証明です

 

対辺がそれぞれ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形である
∴ 四角形ABCDの対辺がそれぞれ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形

 

 

 

③ 四角形ABCDの対角がそれぞれ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形？

 

   

 

ABの延長上に点Eを、 BCの延長上に点Fをとる
四角形の内角の和は360° …①
仮定 ∠A =∠C、  ∠ABC = ∠D より
∠A＋∠ABC = ∠D＋∠BCD  (=)   …②
①②より
∠A＋∠ABC = ∠D＋∠BCD  = 180°
　∠A = 180°－∠ABC …③ ←∠A+∠ABC=180° を移項
また、 ∠CBE = ∠180°-ABC …④ ←
③④より (どちらも右辺が同じなので)
∠A = ∠CBE
∴ 同位角が等しいので  AD//BC …⑤
　 同様に、AB//DC …⑥
⑤⑥より
対辺がそれぞれ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形である
∴ 四角形ABCDの対角がそれぞれ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形

 

 

 

④ 四角形ABCDの対角線がそれぞれの中点で交わる  ⇒ （ならば) 平行四辺形？

 

   
②の「対辺がそれぞれ等しければ…」と同じ手順で

 

(証明）
△OABと△OCDにおいて  (△OADと△OCBでも可ですね)
OA = OC (仮定より) …①
OB = OD (仮定より) …②
∠AOB = ∠COD (対頂角) …③
①②③より
2辺と その間の角が それぞれ等しい ので
△OAB ≡ △OCD
∴ ∠OAB = ∠OCDより錯角が等しいので AB//DC …④
同様に △OAD ≡ OCB より
AD//BC …⑤
④⑤より
対辺がそれぞれ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形である
∴ 四角形ABCDの対角線がそれぞれの中点で交わる  ⇒ （ならば) 平行四辺形

 

 

 

そして、もう一つあるのです合わせ技ですね

 

⑤ 平行四辺形  ⇒（ならば) 1組の対辺が平行で(かつ)等しい

 

 

これは証明していないようで、実はすでに証明していますね
下図のように、平行四辺形の次の2つの「定義」と「定理」は、実は
2組が平行 ⇔（ならば) 平行四辺形  ⇔ （ならば) 2組が等しい

 

　ですね

 

平行四辺形  ⇒（ならば) 2組が平行でかつ（・・）その2組が等しいも〇（マル）となりますね
　そして、それよりも小さい
平行四辺形  ⇒（ならば) 1組が平行でかつ等しい も当然〇となりますね！

 

 

では本題、その逆は？
⑤’四角形ABCDの1組の対辺が平行でかつ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形？

 

 

（証明）
対角線AC、BDを引く
△OADと△OCBにおいて
AD//BCより
∠OAD = ∠OCB (錯角) …①
∠ODA = ∠OBC (錯角) …②
AD = BC (仮定より) …③
①②③より
1組の辺と その両端の角が それぞれ等しい ので
△OAD ≡ △OCB
∴ OA = OC、OD = OB
四角形ABCDの対角線がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形である ←学びたての新武器ですね
∴ 四角形ABCDの1組の対辺が平行でかつ等しい  ⇒ （ならば) 平行四辺形

 

 

一応 全て証明しましたが
証明方法を全て憶える必要はないですね
「二等辺三角形」が 「頂角の二等分線」を引くように
「平行四辺形」は 「対角線」を引けば、あとは簡単な「証明」ですものね！
定期テスト用ですね！

 

 

 

 

 

 

《 例 》
ABCD←マークは平行四辺形です。「なにか四角形」ではありませんの対辺AB、DCの中点をそれぞれM、Nとします
四角形MBNDは平行四辺形であることを証明しましょう

 

 

色々な条件が使えそうですね
自分が最も簡単、得意と思う証明方法でよいですね

 

（証明)
平行四辺形より
AB = DC
M、Nはその中点であるから
AM = MB = DN = NC …①
AB//DCよりMB//DN …②
①②より
1組の対辺が 平行で 等しい ので 四角形MBNDは平行四辺形 //

 

△AMD ≡ △CNBを証明して「対辺がそれぞれ等しいので」でも
いけそうですね 「対角がそれぞれ等しい」もいけそうですね

 

 

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⑤　特別な平行四辺形

 

平行四辺形5条件に、さらに厳しい条件を加えると
「長方形」や「ひし形」や「正方形」になりますね！

 

「付け加える」ということは、これら3つの図形は
それぞれ「平行四辺形の条件」を全て備えているということですね

 

 

(1)　長方形

 

 

 

確かに、平行四辺形5条件を全て備えていますね！
　対辺、①平行 ②等しい
　対角、③等しい
　対角線、④中点で交わる
　⑤1組 平行かつ等しい
→ 長方形は、③の条件に さらに厳しい条件を加えたものですね
対角 ③等しい → 4つの角 ③’全て等しい

 

 

《 例 》
長方形  ⇒（ならば) 対角線の長さが等しい？

 

（証明）
△ABCと△DCBにおいて

∴ △ABC ≡ △DCB
∴ AC = DB
∴ 対角線の長さが等しい
∴ 長方形  ⇒（ならば) 対角線の長さが等しい

 

 

《 逆 》
四角形の対角線の長さが等しい  ⇒ （ならば) 長方形？

 

 

ダメですね !!
対角線の長さが等しいというデータだけでは何も証明できないですね！

 

 

対角線の長さが等しい平行四辺形  ⇒ （ならば) 長方形？ ですね！

 

 

(証明)
△ABC、△DCB、△BAD、△CDAにおいて
AC = DB = BD = CA (仮定より) …①
AB = DC = BA = CD (仮定より) …②
BC = CB = AD = DA (仮定より) …③
3つの辺がそれぞれ等しいので
∴ △ABC ≡ △DCB  ≡ △BAD ≡ △CDA
∴ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D
∴ 4つの角が等しいので 長方形 である
∴ 対角線の長さが等しい平行四辺形  ⇒ （ならば) 長方形

 

 

 

 

 

(2)　ひし形

 

 

 

 

考え方は、「長方形」と同じですね （元々平行四辺形である）
　対辺 ①平行 ②等しい
　対角 ③等しい
　対角線 ④中点で交わる
　⑤1組平行かつ等しい
を踏まえた上で

 

→ ひし形は、②の条件に さらに厳しい条件を加えたものですね
対辺 ② 等しい → 4辺 ②’ 全て等しい

 

 

《 例 》
ひし形  ⇒（ならば) 対角線が直交する（垂直に交わる）？

 

 

△ABOと△ADOにおいて
AB = AD (仮定より) …①
AO = AO (共通) …②
BO = DO (仮定より) …③
①②③より 3つの辺がそれぞれ等しいので
△ABO ≡ △ADO
∴ △ABDは 2辺が等しい ので二等辺三角形
∠BAO = ∠DAOより
頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線であるので
∴ AO⊥BD
∴ ひし形  ⇒（ならば) 対角線が直交する（垂直に交わる）

 

 

《 逆 》
四角形の対角線が直交する（垂直に交わる）  ⇒ （ならば) ひし形？

 

もうわかりすね！ダメですね !!
「凧型」でアウトですね！

 

対角線が直交する（垂直に交わる）平行四辺形  ⇒ （ならば) ひし形？ ですね

 

 

（証明）
△ABOと△CBOと△CDOと△ADOにおいて

∴ △ABO ≡ △CBO ≡ △CDO ≡ △ADO
∴ AB = BC = CD = DA
∴ 4つの辺が等しいので ひし形
∴ 対角線が直交する(垂直に交わる)平行四辺形  ⇒ （ならば) ひし形

 

 

 

(3)　正方形

 

 

「長方形」+「ひし形」ですね！
対辺 ①平行 ②等しい
対角 ③等しい
対角線 ④中点で交わる
⑤1組平行かつ等しい
を踏まえた上で

 

→ 正方形は、②と③の条件に さらに厳しい条件を加えたものですね
対辺、②等しい → ②’全て等しい
対角、③等しい → ③’全て等しい

 

 

《 例 》
正方形  ⇒（ならば) 対角線が等しく（かつ）直交する？

 

 

（証明）
△ABCと△DCBにおいて

∴ △ABC ≡ △DCB
∴　AC = DB
∴ 対角線の長さが等しい …①

 

△BAOと△BCO、△DAOと△DCOにおいて

∴ △BAO ≡ △BCO ≡ △DAO ≡ △DCO
∴ △BACはBA = BCな二等辺三角形
∠ABO = ∠CBOよりBOは∠Bの二等分線
よって頂角の二等分線は底辺ACの垂直二等分線であるので
BO⊥AC …②
①②より
正方形  ⇒（ならば) 対角線が等しく（かつ）直交する

 

 

《 逆 》
対角線が等しく（かつ）直交する四角形  ⇒ （ならば) 正方形？

 

さすがにOKかと感じますが…
やはりダメですね！

 

 

対角線が等しく（かつ）直交する平行四辺形  ⇒ （ならば) 正方形？ ですね

 

 

仮定（材料）が多すぎて、逆に何を求めるのだっけ？となりますね
「正方形」である！ですね
→ 「4つの辺、4つの角 が等しい」 ですね

 

（証明）
△OABと△OBCと△OCDと△ODAにおいて
Oは中点より
OA = OB = OC = OD
仮定より
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
∴ 2つの辺とその間の角が等しいので
△OAB ≡ △OBC ≡ △OCD ≡ △ODAであり
かつ直角二等辺三角形
∴ 4つの辺、（かつ）4つの角が等しいので 正方形
∴ 対角線が等しく（かつ）直交する平行四辺形  ⇒ （ならば) 正方形

 

 

 

 

 

《 例 》

 

 

 

 

 

 

 

長々と定理の証明をしてきましたが、
証明方法を憶える必要は、ありません！

 

憶えるべきは・・・「武器」です
たとえば

 

 

 

各図形の「定理の証明」くらいなら、
対角線を引いて
→どの三角形の合同を言えば、
辺や角が同じといえるか？
(武器から「同じ長さマーク」「同じ角度マーク」「平行マーク」などのマークを書き込みながら)簡単に導けますね！

 

あえて言えば、「どの三角形の合同を証明しようか」という所に集中ですね
それには「武器」「条件」を、しっかり頭に入れておくことが前提ですね！

 

 

 

《 例 》
線分AB上に適当に点Cをとり、
AC、CBを1辺とする正三角形ACD、CBEをつくりました

 

 

(1) AE = BD を証明しましょう

 

・「辺」や「角」が「イコール」の証明は、
→ ほぼ それらを含む「三角形の合同」の証明をすればよいですね

 

・2つの三角形を探す時、
ついつい「離れた、同じような形の三角形()」が目につきがちですが、
かなりの確率で「一部が重なった三角形()」を探さなければいけませんね
「透視」ではありませんが「ぱっと見印象のない三角形も見つけ出せるようにがんばりましょうね」←練習あるのみです

 

 

AEを含む三角形  …△AEC、△AEB
BDを含む三角形  …△BDC、△BDA

 

△AECと△BDCが似ているな！

 

すぐに始めずに、何と何が「対応」しているか「図を見ながら予想」
2箇所も対応しているのを発見できれば、まずその三角形ですね！

 

見つけた三角形が、また風景に溶け込まないように「シャーペンでなぞる」
「薄～く塗る」のもよいですね(画像処理で言えば「最前面に移動」ですか)

 

長くなってしまいましたので、もう一度問題を

 

AE = BD の証明

 

△ACEと△DCBにおいて
CE = CB (△ECBは正三角形より) …① ←正三角形⇔全ての辺が等しい(武器)
AC = DC (△DACは正三角形より …②
∠ACE = 180°-60° …③ ←直線180°ー正三角形の1角∠ECB60°
∠DCB = 180°-60° …④ ←直線180°ー正三角形の1角∠DCA60°
③④より
∠ACE = ∠DCB …⑤
①②⑤より
2辺と 間の角が それぞれ等しい ので ←使用条件
△ACE ≡ △DCB
∴ AE = BD

 

 

 

(2) ∠AOBの角度を求めましょう

 

 

→ (1)の合同より
∠BDC = ∠EAC (●)
△DACは正三角形より
∠ODA = 60°+ ●
∠OAD = 60°- ●

 

 

★ ●などの記号の記入が大切ですね (∠アルファベットはややこしい)
★ 結局●の個別の角度は解りませんでしたね！ (結構あるパターンです)
「何か解らないけど…」「同じものなら、足しても同じ」「同じものなら、引いても同じ」
「等式の性質」の図形への応用…慣れていきましょうね！

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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