中学数学 文字を用いた四則計算

 

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中学1年生課程へ 中学2年生 中学3年生課程へ
A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1)  文字を用いた式の四則計算 (2)  連立方程式
簡単な整式の加法・減法単項式の乗法・除法
  ・ 単項式多項式同類項定数項とは
  ・ 文字式の 加法・減法
  ・ 文字式の 乗法・除法
  ・ 分配法則の手順
  ・ 分配法則のイメージ画像
  ・ 指数法則
 ① 式の値
文字式の利用
 ① 素数、因数、約数
  ・ 素数とは
  ・ 「1」は素数?
  ・ 因数とは
  ・ 素因数とは
  ・ 約数とは
 ② 素因数分解
  ・ 3年生の因数分解の先取イメージ
  ・ 分解が「×」でつながる理由
  ・ 偶数を文字を使って表す
  ・ 奇数を文字を使って表す
  ・ 倍数判定
  ・ 平方数
  ・ 2~100までの素因数分解
 ③ 最大公約数最小公倍数
  ・ 互いに素」とは
 ④ 約数の個数・約数の総和
  ・ 約数の個数
  ・ 約数の総和
目的に応じた式の変形 (等式の変形)

 

文字を用いた四則計算

 

ア 簡単な整式の加法・減法、単項式の乗法・除法

 

まずは、1年生過程の要点の復習です。

 

① (カッコ)で囲まれたら、それで「1文字扱い」と考えられるようになること
ex. 中学数学 文字を用いた四則計算 |中学数学 文字を用いた四則計算 |中学数学 文字を用いた四則計算 | など

 

 

② ×÷ だけで、つながっている(構成されている)ものは
元(≒項)が「1つ」で、その「元」がどう変形されたのかという問題
ex. \(\large{\frac{x+1}{2}}\)  → 1×\(\large{\frac{1}{2}}\)×(x+1)  →中学数学 文字を用いた四則計算 |
→ 元が\(\large{\frac{1}{2}}\)倍されて さらに、  (x+2)倍された

 

 

③ +- でつながっているものは、 「元」が複数ある
ex. \(\large{\frac{x+1 }{2}}\)+3x-5y  → 中学数学 文字を用いた四則計算 |+中学数学 文字を用いた四則計算 |- 中学数学 文字を用いた四則計算 |

 

 

 

 

単項式・多項式・同類項

 

それでは、2年生過程に入りますね。

 

「項」が集まれば、「」になりますね

 

・「項」が1つだけ集まったもの・・・単項式 (= 項)

 

ex. -1, 3, x, xy, 4x,  2x2y などなど

 

 

・「項」が複数集まったもの・・・多項式

 

ex. x+1, x2-1,  2a+3b,  4x2+8x+1などなど

 

 

 

数字として定まってしまっている項を、「定数項」といいます

 

ex. 中学数学 文字を用いた四則計算 |

項は項でも、字としてまってしまっている
例えば、xが、2と判明しようが 5と判明しようが
「定数項」はxの値に関わらず 1 ですね

 

ex. 中学数学 文字を用いた四則計算 | でaは「1」と判明したとします
→ x2+2・(1)・x+(1)2

 

中学数学 文字を用いた四則計算 |
 「定数項」に昇格!

 

 

項で使用している文字が同じものを、「同類項」といいます

 

ex. 中学数学 文字を用いた四則計算 |

 

→ 同類項は、まとめることができますので、上の式は   8xy-6x2+6x とできますね!

 

 

《 例 》
-b+4ax-3 について次の問いに答えましょう

 

① 項をいいなさい → -b4ax-3
② 単項式か多項式か答えなさい → 多項式
③ 何項式かいいなさい → 3項式

④ 係数をいいなさい → 

-bの係数は-1
4axの係数は4
-3の係数は-3
中学では定数項の係数を
聞いてくることはないですね


⑤ x の係数をいいなさい → 4a(xに注目→xにかかるのは4a)
⑤ 定数項をいいなさい → -3
⑥ 次数をいいなさい → 2 (最高の次数は 2・a・x → 文字の掛け合わせが2回)
⑦ 1次の項をいいなさい → -b
⑧ 何次式かいいなさい → 2次式
⑨ 何元何次式かいいなさい → 3元2次式 (文字の種類3、最高の文字の掛け合わせ2)

 

 

練習問題項の種類

練習問題項の種類

 

 

 

文字式の加法・減法

 

最も簡潔な形にするだけですね!

 

① (カッコ)を外したり
② 通分したり
③ 同類項をまとめたり するだけです

 

 

《 例 》

\(\large{\frac{y^2-1}{2}}\)+\(\large{\frac{x+1}{3}}\)-\(\large{\frac{x+y^2}{6}}\)

= \(\large{\frac{(y^2-1)}{2}}\)+\(\large{\frac{(x+1)}{3}}\)-\(\large{\frac{(x+y^2)}{6}}\) …凡ミス防止のため(カッコ)をつけた
= \(\large{\frac{3(y^2-1)}{6}}\)+\(\large{\frac{2(x+1)}{6}}\)-\(\large{\frac{(x+y^2)}{6}}\) …通分をした
= \(\large{\frac{3(y^2-1)+2(x+1)-(x+y^2)}{6}}\) …③分母が同じになったので、分子を同じ土俵に乗せた
= \(\large{\frac{3y^2-3+2x+2-x-y^2}{6}}\) …④分配法則を用いて(カッコ)を外し
= \(\large{\frac{2y^2-1+x}{6}}\) …⑤同類項をまとめた(計算した)
= \(\large{\frac{x+2y^2-1}{6}}\) …⑥アルファベット順に並び替えた //


 

⑤まででも間違いではありませんが、並びの暗黙のルールは原則、

 

1. アルファベット順
2. 同じアルファベットの場合は、次数の高いもの順 ですね

 

慣れてきますと、いきなり②や③や④から始められるようになりますね!
(いきなり⑤は、テストなどで見直しがしにくいのかなと思います)

 

 

 

 

文字式の乗法・除法

加法・減法と同様に最も簡潔な形にするだけですね!

 

分配法則を用いて(カッコ)を外したり
÷を×にしたり(分数表示にしたり)
同じ文字をまとめたり するだけです

 

では

 

分配法則

 

 1年生では、(カッコ)に掛けるものは、「1つ」でしたね。

 

 

《 例 》
a(x+y)= a×(x+y)= ax+ay などでしたね

 

・3(2+3)は、
(1)カッコの中を先に計算すれば、
 3(2+3)  = 3(5)  = 3×5  = 15
(2)分配法則で行うと、
 3(2+3)  = 6+9  = 15   → (1)と同じ答ですね!

 

 

2年生以降では、(カッコ)に複数個掛けていくことになりますが、
順次掛けるだけですので、手間なだけで何も変わりませんね!
中学数学 文字を用いた四則計算 |  = 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 |+ 中学数学 文字を用いた四則計算 | ですね!

 

→ 同類項が無いので、これ以上は、まとめられませんね(計算できませんね)
よって、これが「答え」です

 

・(2+3+4)(7-3-2) は、
(1)カッコの中を先に計算すれば、
 (2+3+4)(7-3-2)  = (9)(2)  = 18
(2)分配法則で行うと、
 14-6-4+21-9-6+28-12-8  = 18   → (1)と同じ答ですね!

 

 

ポイント

 

展開のしかた

 

 ( )が1つの分配法則

 

 ( )が2つの分配法則

 

 ( )が3つの分配法則

 ( )が3つ以上の分配法則

 

手順は、(カッコ)が増えようが、(カッコ)の中が増えようが、
おしりを一周させたら、次は手前の一周にとりかかる』
それだけですね!

 

「計算問題」だけでなく、「組み合わせの問題」にも
役に立つので、忘れないでくださいね!

 

 

 

÷を×にする
 これは完全に1年生の復習ですね
 逆数にするだけでしたね!

 

《 例 》

(2+3+4)÷(7-3-2)

 = (2+3+4)×\(\large{\frac{1}{(7-3-2)}}\) …①逆数にして「×」にした
 = \(\large{\frac{(2+3+4)}{(7-3-2)}}\) …②まとめた
 = \(\large{\frac{2+3+4}{7-3-2}}\) …③カッコは不要になっている
 = \(\large{\frac{9}{2}}\)④計算をした


慣れれば、いきなり③からできますね!

 

 

 

 

同じ文字をまとめ
 「累乗」で表したり、「約分」したりするだけですね!

 

《 例 》

2x2×3xy3÷xy×\(\large{\frac{3}{2xy}}\)

= \(\large{\frac{2x^2y×3xy^3×3}{xy×2xy}}\) …①まとめた
文字の約分②約分 (斜線でどんどん消していく)
= x・3・y2・3 …③残ったものを取り出した
= 9xy2④まとめの計算をした


 

 


公式

指数法則

〈前提ルール〉
a0  = 1 (0乗が「1」の理由)
a-m = \(\large{\frac{1}{a^m}}\)

 

〈指数法則〉
am×anam+n
(am)pam×p
②’ (ambn)pam×p bn×p
②’’ \(\left(\large{\frac{a^m}{b^n}}\right )^p\) = \(\large{\frac{a^{m\color{red}{\times} p}}{b^{n\color{red}{\times} p}}}\)
am÷anam-n

 

 

《 例 》
① -5x3y2z×\(\large{\frac{1}{2}}\)xy2z3
 (方法1)= -\(\large{\frac{5}{2}}\)xxxx・yyyy・zzzz = -\(\large{\frac{5}{2}}\)x4y4z4 (数える)
 (方法2)= -\(\large{\frac{5}{2}}\)x3+1y2+2z1+3 = -\(\large{\frac{5}{2}}\)x4y4z4 (指数法則)

 

 

② (x2)3
 (方法1)= xx・xx・xx = x6 (数える)
 (方法2)= x2×3= x6 (指数法則)

 

 

②’ (-2x2y3)3
 (方法1)= -8xx・xx・xx・yyy・yyy・yyy = -8x6y9 (数える)
 (方法2)= (-2)1×3・x2×3・y3×3 = -8x6y9 (指数法則)(指数どうしの分配法則)

 

 

②’’ \(\left(\large{\frac{y^3}{x^2}}\right )^3\)
 (方法1)= \(\large{\frac{yyy}{xx}}\)・\(\large{\frac{yyy}{xx}}\)・\(\large{\frac{yyy}{xx}}\) = \(\large{\frac{y^9}{x^6}}\) (数える)
 (方法2)= \(\large{\frac{y^{3\color{red}{\times} 3}}{x^{2\color{red}{\times} 3}}}\) = \(\large{\frac{y^9}{x^6}}\) (指数法則)

 

 

③ -5x3y2z÷\(\large{\frac{1}{2}}\)xy2z3  
 (方法1)= -5x3y2z×2÷xy2z3
   = -10xxxyyz/xyyzzz
   = -\(\large{\frac{10x^2}{z^2}}\) (どんどん約分)
 (方法2)= -5x3y2z×2÷xy2z3
   = -10x3-1・y2-2・z1-3
   = -10x2y0z-2
   = -\(\large{\frac{10x^2}{z^2}}\) (指数法則+前提ルール)

 

2つの方法が 使いこなせたら鬼金棒ですね!

 

 

 


  抜け駆け約分の禁  

(4x+6y)/2の間違った約分= 2x+6y × 「抜け駆け約分」
(4x+6y)/2の正しい約分= 2x+3y 

 

\(\large{\frac{4x+6y}{2}}\) は正確には 4x/2+6y/2の約分 (項が2つ)ですものね
\(\large{\frac{4x+6y}{2}}\) は「通分しましたよ!というアピール表現」ですから
\(\large{\frac{4x+6y}{2}}\) の分母の「2」は「共有状態」であることを忘れない!ですね
\(\large{\frac{1}{2}}\)(4x+6y)と変形するとよくわかりますね(\(\large{\frac{1}{2}}\)を分配法則 = 共有)

 

この点、
\(\large{\frac{4x\times 6y}{2}}\) は、すべて×÷でできているので、これで1つの項ですね
= \(\large{\frac{4x}{2}}\)・6y = 4x・\(\large{\frac{6y}{2}}\) = 4x・6y/2の約分 = 2x・6y = 12xy

 

 

 

練習問題約分

練習問題約分

 

練習問題約分

 

 

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① 式の値

 

式、または、値を、どのように活用すれば 計算が楽か? 
それだけですね!   (「楽」 = 「ミスが少ない」)

 

具体的には、

 

・式または値を、「簡潔な形」にしてみたり、
・式または値を、「展開」してみたり、
・「2乗」してみたり、(←3年生)

 

ですね。

 

 

《 例 》
x = \(\large{\frac{1}{2}}\), y = -1 のとき、3(x+y)-(x+4y) の値は?

 

(方法①) 先に全てを代入して、

3(x+y)-(x+4y)  

= 中学数学 文字を用いた四則計算 |

マイナスの値を
代入する時は、
(カッコ)を忘れずに!

  …①xに\(\large{\frac{1}{2}}\)、yに-1を代入


= 3\(\left(\large{\frac{1}{2}}\small{-1}\right )\)-\(\left(\large{\frac{1}{2}}\small{-4}\right )\) …②中の(カッコ)を外した
= \(\large{\frac{3}{2}}\)-3 -\(\large{\frac{1}{2}}\)+4 …③分配法則で(カッコ)を外した
= \(\large{\frac{3}{2}}\)-\(\large{\frac{6}{2}}\) -\(\large{\frac{1}{2}}\)+\(\large{\frac{8}{2}}\) …④通分した
= \(\large{\frac{3-6-1+8}{2}}\) …⑤同じ土俵に乗せた
= \(\large{\frac{11-7}{2}}\)
= \(\large{\frac{4}{2}}\)
= 2
と、いうふうに
「ミチミチ」計算してもかまいませんが、


 

 

(方法②) 先に計算して、

3(x+y)-(x+4y)  

= 3x+3y-x-4y …①分配法則で(カッコ)を外した
= 2x-y …②計算した(同類項をまとめた)
= 2\(\left(\large{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right )\)-(-1) …③xに\(\large{\frac{1}{2}}\) 、yに-1を代入
= 1+1
= 2


 

と、いうふうに、式を簡潔な形にしてから、代入すれば
(①は合計4か所に代入、②は合計2か所に代入)、
絶対ではありませんが、計算が楽になることが多いですね!

 

 

「どうやって解くのか?」から「どうやったら楽か?」を考えだしてきたら、
数学レベルが上級レベルになってきている、といえるのではないでしょうか。
もちろん「ミチミチ計算する」根性も「大切なもの」ですね!!

 

 

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イ 文字式の利用

 

文字式を利用して、色々な証明ができていくわけですが、
その前に、
「数の区分方法」を少々

 

① 素数、因数、約数

 

素数とは、

1と自分でしか割り切れない自然数
または、
1と自分しか約数を持たない自然数
または、
約数が2つしかない自然数


 

どれも同じ意味ですので、自分がしっくりくるもので
理解しておいてくださいね。お父ちゃんは①です。

 

では本題です。例えば

 

「2」は、「1」と「2(自分)」でしか割れないですね。よって「2」は素数!

 

「6」は、「1」と「2」と「3」と「6(自分)」で割れますね。
よって、

 

①的に言うなら、「自分以外でも割れてしまう」
②的に言うなら、「自分以外の約数(2や3)がある」
③的にいうなら、「約数が2つ以上ある」

 

すなわち、6は素数ではない!ですね。

 

「31」は、
…2で割れない、3でもだめ、4も×、5も、・・・
半分くらいの15も×、半分超えてもないということは、
(16×2=32、17×2=34、18×2=36…)
半分より大きいものに最小である「2」を掛けても、
必ず元(31)より大きい!
すなわち・・・半分までに約数がないということは・・・
約数は「ない」ということですので、

 

「あり」そうで「ない」31は、素数ですね!

 

 

余談

 

『1』は素数?

 

『1』は素数なのでしょうか?そうではないのでしょうか?

 

結論から言いますと、
「『1』は素数とはしない」 ですね!

 

先に出てきた条件①に当てはめると、
「1で割れる、かつ、自分(1)でも割り切れる」
となって、「1」も素数では? となりますが・・・

 

①の条件を正確を言うと、
「1と、(1以外である場合の)自分でしか割り切れない。」
という意味を予定しているのですね、
だから③の条件「約数が2つしかない自然数」につながるわけですね。

 

 

もう一つの証明で言いますと、
素数の倍数は素数ではない」ですね
(倍と言うからには、必ず約数に「2」が含まれてしまう)

 

例えば、
素数「2」の倍数は、
(2)、4、6、8、10、12・・・
素数「3」の倍数は、
(3)、6、9、12、15、・・・

 

上の4、6、8、10、12・・・も、
6、9、12、15、・・・も、素数ではないですね!

 

ここで、
「1」も素数に入れると、
「1」の倍数、(1)、2、3、4、5、6・・・
「全整数」となって、「1」以外は「素数」ではない!となってしまいますね!
( = 2も3も5も…素数ではないとなってしまいます)

 

よって、「1」は素の素という感じはしますが、「素数」から外します

 

「1」は「数字の1」という意味より、
そのものが『ある』という意味の1」、英語の「is」のようなものとイメージしておけばよいのではないでしょうか。

 

 

 

因数とは、
その数字を作るための「(=部品)」ですね。

 

「因」という文字の意味は、「その、元」ですものね!
、敗、病果応報・・・

 

例えば、「60」という数字を、
 60=6×10 
と分解すれば、
「6」は、「60」の因数(60の部品)、
「10」も「60」の因数(60の部品)
となります。

 

 

 

素因数とは、
その数字を作るための「元のもと(=最小部品)」ですね。

 

例えば、先ほどの「60」という数字を
 60=2×30 
とすれば、 
「2(素数そすう)」は、「60」の因数(60の最小・・部品)、
「30」は「60」の因数(60の部品)
となりますね。

 

全て、最小部品にまで分解することを
後で出てくる、素因数分解といいますね!

 

 

 

約数とは、
その数字を割り切れる自然数ですね。
=因数と考えてもいいのですが、

 

約数は、「1」も「自分」も含む   
因数は、「1」を除いてしまいます。

 

ex. 12を素因数分解すると
12 = 22×3 ですが
12 = 13×22×3や
12 = 14×22×3 とはしませんものね!

 

 60 = 1×60
  x = 1×x

 

これらは、〇×〇の形になっているので、「分解」したように見えますが、
(分解されたもの = 因数なのですが)
60や xを「分解というより、正確に表現しただけ」とも言えますね

 

60=1×60  → ある、60が  → 「60がある」
x=1×x  → ある、xが  → 「xがある」

 

「1」は因数としない (数学ルール)

 

 

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② 素因数分解

 

素因数分解は、3年生で習うようですが、
難しいものでもないし、数字の基本でもあると思いますので、
(逆に小学生で習ってもよいのでは?とさえ感じますね)
ここ2年でやってしまいますね

 

では本題、素因数分解とは、
数字を素数(=最小部品)にまで分解する」ことですね!

 

 

《 例 》
60を素因数分解しましょう

 

60 = 2×2×3×5
∴ 22×3×5   〔22・3・5〕   〔(2)2(3)(5)〕

 

どれも同じ意味ですが、「素因数分解しましょう」というときの
答えの表現方法は、「×」を使う表現方法が無難ですね。

 

 

(方法)
与えられた数字を、素数で割り続ける!それだけですね

 

素因数分解の方法適当な素数で割る
 ↓
中学数学 文字を用いた四則計算 |30は素数でないから…
 ↓
中学数学 文字を用いた四則計算 |また素数で割る
 ↓
中学数学 文字を用いた四則計算 |15は素数でないから…
 ↓
中学数学 文字を用いた四則計算 |また素数で割る
  ↓素数(5は素数)になったので終了!

 

60は、「2、2、3、5 からできている!」ということですね、
60 = 2×2×3×5
   ↑同じ素数は、「まとめなければ!」いけないので…
 = 22×3×5
  ↑記入は次数の高いものから低いものへ!

 

慣れてきますと、「面倒」と感じてくると思います
適当に『因数』に分解して、『素因数』にまで分解するようになると思います
ex.
60 = 6×10 = (2×3)(2×5) = 22×3×5 //
10は\(\leftrightarrow\)2×5 8は\(\leftrightarrow\)23 などなど 「繰り返し使う」→「自分のもの」に !!

 

 

 

因数分解

 

3年生で習いますが、イメージだけ先に・・・
「文字」の入ったものを『(最小の)因数』に分解する。それだけですね。

 

《 例 》
x2-1 = 因数分解のイメージ
   最小部品  最小部品

 

こんな感じですね!
(かっこ)を「一文字」と見れるようになっていれば、
ちゃんと、「〇×〇」の形になっているのが解るはずですね!

 

x^2-1⇔(x+1)(x-1)

 

(ちなみに)
文字がない(=自然数だけの)場合なら、
 60 = 22×3×5

 

60⇔2^2×3×5

 

 

(イメージするなら)
 自転車 = (タイヤ)2・(フレーム)  (ハンドル)  (ペダル)  (サドル)

 

タイヤ^2×フレーム

 

ですね!

 

 

余談

 

「分解」は、どうして「×」でつながってなければいけないの?

 

( )÷( )、( )+( )、( )-( )の形ではなく、
( )×( )すなわち( )( )の形なのでしょうか?

 

まず、( )÷( )は、機械的に  ( )×\(\large{\frac{1}{(\ \ )}}\)、すなわち   \((\ \ )\)\(\left(\large{\frac{1}{(\ \ )}}\right)\) の形にできますね。
「同じ意味なら、  ×かけるで統一しましょう」ということですね!
実際、「÷」という記号は今後、ほとんど出てこなくなりますね。

 

( )+( )、( )-( ) の形は、「分解しましょう」というより
ぶっ壊しましょう」という感じでしょうか。
例えば、「60をぶっ壊しましょう」とあったとすると、
60 = 2+58
60 = 2+58-3+3
60 = 2+58-3+3-3+3

  ・
  ・
  ・

人により、無限に答がありますね。
→あまり「意味がない」ということにつながりますね。
先生もマルつけできない。
なにより、あまりに細かく壊されると、逆の作業(=組立)が困難ですね¡

 

 

イメージするならば、

 

「×」は「分解」、「ネジ」をゆるめるだけ分解する感じ
・自転車 = (タイヤ)2 ・(フレーム)  (ハンドル)  (ペダル)  (サドル)  → 組立が楽

 

「+-」は「ぶっ壊し」、「金のこぎり」でぶっ壊す感じ
フレームを真っ二つに切る人、ハンドルを真っ二つに切る人・・・
・自転車 = 金属片+ゴム片+アルミ片・・・ → 組立が困難

 

◎「分解」は、その数字が「どんな部品 からできているか」
を知るために、必要不可欠なものなのですね。

 

 

 

前置きが長くなってしまいましたが、
本題の「文字式の利用」です。
文字式を利用して、問題を解いていきましょう。

 

 

《 例 》
偶数を文字を使って表しましょう

 

0、2、4、6、8…と全て羅列するのは不可能ですね!
文字を使うと、「全ての場面をカバー」できます。

 

すなわち、「証明した」ということにつながっていきます。
「全ての場面をカバー」=「証明した」 ですね!

 

偶数とは、「2で割り切れる整数」→「2を約数に持つ整数」ですね!

 

 よって、 2n

 

 以上です!
n に 0、1、2、3…100…どんな整数を入れてみても、確かに偶数ですね

 

ちなみに、「0」は・・・偶数です!

 

 

 

《 例 》
30は偶数であることを証明しましょう

 

① 30÷2 = 15、2で割り切れるので偶数である
② 30 = 2×15、偶数は2nで表せる整数、よって偶数である
③ 30 = 2×15、2を約数(または因数でも可)にもっている

 

よって偶数である //

 

色々表現方法はありますが、①②③のどれでもOKですね!

 

 

 

《 例 》
奇数を一言で表現しましょう

 

   2n+1

 

 

 

《 例 》
3つの連続する整数の和は、3の倍数であることを証明しましょう。

 

 0、1、2 → 0+1+2=3
 1、2、3 → 1+2+3=6
 2、3、4 → 2+3+4=9

 

確かに今のところ3の倍数ですが
全ての場面をあげるのは不可能ですね・・・
よって、文字を使いましょう!

 

(証明) 
最も小さい数字をn、とすると、3つの連続する整数は
n、n+1、n+2 で表すことができる
その和は、(n)+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3・(n+1)
と表すことができる
(3つの連続する整数の和は、3を約数(または因数でも可)に持つ、)
よって、3つの連続する整数の和は3の倍数である //

 

文字にxを使ってもかまいませんが、
連続する整数を入れていくような場面では、
「n」や「m」を使うことが多いですね。 number の n?

 

 

 

《 例 》
30は3の倍数であることを証明しましょう。

 

30=6・5
よって、30は3の倍数である //
↑これは「証明」しきれていないですね!
これで言えることは、30は6の倍数である。
(または、5の倍数である。)ということだけですね。

 

(解答例)
30を素因数分解すると
30=2・3・5
よって、30は(3を約数にもつので) 3の倍数である // OKですね!

 

 

 

 

〔 倍数判定 〕

 

「倍数」とは…その数を整数倍された数

 

 

《 例 》
下1桁が偶数ならば、2の倍数であることを証明しましょう

 

 例:3506

 

→ そもそも、偶数とは2で割り切れるものをいうので
 下1桁が偶数ならば、2の倍数である

 

 

 

《 例 》
各桁の和が3の倍数ならば、3の倍数であることを証明しましょう

 

例:1080

 

→ 4桁の数字の千の位の数字をa、百の位の数字をb、
 十の位の数字をc、一の位の数字をd とすると
 1000a+100b+10c+d と表すことができる。改造すると
 999a+a+99b+b+9c+c+d とできる
 = 3(333a+33b+3c)+a+b+c+d
∴ 3(333a+33b+3c) の部分は因数に3を持つので、3の倍数(確定)である
∴ 残りの a+b+c+d が3の倍数であれば、その数は3の倍数となる
∴ 各桁の和が3の倍数ならば、3の倍数

 

→ 5桁なら 10000a+1000b+100c+10d+e
 = 3(3333a+333b+33c+3d)+a+b+c+d+e
 何桁でも「原理」は同じですね

 

(何桁にでも対応する証明方法はありますが、
文字だらけになって、
「原理」「本質」が逆にわかりにくくなります。
今後の数学学習でもそういった
本質がわかりにくい公式や証明に出会うと思いますが、
基本は「本質の理解」→「文字化(公式、証明)」
の順ですね!)

 

 

 

《 例 》
下二桁が4の倍数ならば、4の倍数であることを証明しましょう

 

例:5632

 

→ 百の位の数字をa、十の位の数字をb、一の位の数字をcとすると
 100a+10b+c
 = 4(25a)+10b+c
 (102以上は4で割りきれる)
∴ 4(25a)の部分は因数に4を持つので、4の倍数(確定)である
∴ 残りの 10b+c が4の倍数であれば、その数は4の倍数となる
∴ 下2けたが4の倍数ならば、4の倍数

 

 

 

《 例 》
下一桁が5の倍数ならば、5の倍数であることを証明しましょう

 

例:3335  6130

 

→ そもそも本能的に知っていますが・・・105円、1000円・・・念のため
→ 100a+10b+c
 = 5(20a+2b)+c
∴ 下一桁が5の倍数ならば、5の倍数
(0は5の倍数?→0はすべての数の倍数です
→0は5の倍数)

 

 

 

《 例 》
2の倍数かつ3の倍数ならば、6の倍数であることを証明しましょう

 

4122

 

→ 6 = 2×3
→ ただの合わせ技ですね(6は2と3の最小公倍数)
∴ 2の倍数かつ3の倍数ならば、6の倍数

 

→ 偶数で、しかも各位の数字の和が3の倍数なら6の倍数ということですね

 

 

 

《 例 》
7の倍数かどうかは、7で割り切れるか試すのが1番早いですね
→ 不要

 

 

 

《 例 》
下三桁が8の倍数ならば、8の倍数であることを証明しましょう

 

例:3184

 

→ 1000a+100b+10c+d
 = 8(125a)+100b+10c+d
 (103以上は8で割りきれる)
∴下三桁が8の倍数ならば、8の倍数

 

 

 

《 例 》
各桁の和が9の倍数ならば、9の倍数であることを証明しましょう

 

例:1080

 

→ 100a+10b+c
 = 9(11a+b)+a+b+c
∴ 各桁の和が9の倍数ならば、9の倍数
(3を出せば、3の倍数証明でしたね)

 

 

 

《 例 》
下一桁が0ならば、10の倍数であることを証明しましょう

 

例:9990

 

→ 100a+10b+c
 = 10(10a+b)+c
∴ 下一桁が0ならば、10の倍数

 

 

 

《 例 》
各位を一つおきに足したものの差が11の倍数ならば、11の倍数であることを証明しましょう

 

例:3916

 

→ 10000a+1000b+100c+10d+e
 = 9999a+a+1001b-b+99c+c+11d-d+e
(なぜか偶数桁目は1を足したとき、
奇数桁目は1を引いたときに11の倍数になりますね)
 = 11(909a+91b+9c+d)+a-b+c-d+e
∴各位を一つおきに足したものの差が11の倍数ならば、11の倍数
(0はすべての倍数 → 0は11の倍数)

 

 


  倍数判定  

 

・下一桁が偶数       ならば)  2の倍数
各桁の和が3の倍数    ならば)  3の倍数
・下二桁が4の倍数     ならば)  4の倍数
・下一桁が5の倍数     ならば)  5の倍数
・2の倍数かつ3の倍数   ならば)  6の倍数
・7の倍数:不要
・下三桁が8の倍数     ならば)  8の倍数
各桁の和が9の倍数    ならば)  9の倍数
・下一桁が0        ならば)  10の倍数
交互の差が11の倍数   ならば)  11の倍数

 

 

 

 

 

〔 平方数 〕

 

《 例 》
24にできるだけ小さい自然数をかけて、
その積がある自然数の2乗になるようにしたい。
どんな自然数をかければよいか。

 

→ 24×△=〇2 な形になるような△は? ということですね
すなわち、素因数分解の結果が
2× ▽2× □2 な形になればよいということですね 
= ( ☆2×▽2×□2 ) = ( ☆▽□ )2  ですものね (指数法則)

 

24を素因数分解してみると、
24 = 3×8 = 22×2×3
→ これを、22×22×32 にできれば、(2×2×3)2= 〇2 な形になっていますね

 

∴ (あと 2×3=) 6 ( をかければ (2・2・3)2= 122 な形)

 

 

《 例 》
140をできるだけ小さい自然数nで割って、
その商がある整数の2乗になるようにしたい。
どんな自然数で割ればよいか。

 

→ \(\large{\frac{140}{n}}\) = 〇2な形になるnは?ということですね
→ 分子の140を素因数分解してみると、
 \(\large{\frac{2\ \cdot \ 7\ \cdot \ 10}{n}}\) = \(\large{\frac{2^2×7×5}{n}}\)
→ n が7×5なら〇2な形の22
∴ 35 (で割ればよい)

 

 

 

余談

 

2~100までの素因数分解

 

憶える必要はないですが、
1度くらいは、「(自分以外の)何かで割れる」か試しておきたいものですね!

(本来は1×は省略して書きません
「1と自分でしか割り切れない」
という意味で記しています)

 

  2 =  2
  3 =  3
  4 =  22
  5 =  5
  6 =  2×3
  7 =  7
  8 =  23
  9 =  32
10 =  2×5
11 =  11
12 =  22×3
13 =  13
14 =  2×7
15 =  3×5
16 =  24
17 =  17
18 =  32×2
19 =  19
20 =  22×5
21 =  3×7
22 =  2×11
23 =  23
24 =  23×3
25 =  52
26 =  2×13
27 =  33
28 =  22×7
29 =  29
30 =  2×3×5               
31 =  31
32 =  25
33 =  3×11
34 =  2×17
35 =  5×7
36 =  22×32
37 =  37
38 =  2×19
39 =  3×13
40 =  23×5
41 =  41
42 =  2×3×7
43 =  43
44 =  22×11
45 =  32×5
46 =  2×23
47 =  47
48 =  24×3
49 =  72
50 =  52×2

51 =  51
52 =  22×13
53 =  53
54 =  33×2
55 =  5×11
56 =  23×7
57 =  3×19
58 =  2×29
59 =  59
60 =  22×3×5
61 =  61
62 =  2×31
63 =  32×7
64 =  26
65 =  5×13
66 =  2×3×11
67 =  67
68 =  22×17
69 =  3×23
70 =  2×5×7
71 =  71
72 =  23×32
73 =  73
74 =  2×37
75 =  52×3
76 =  22×19
77 =  7×11
78 =  2×3×13
79 =  79
80 =  24×5
81 =  34
82 =  2×41
83 =  83
84 =  22×3×7
85 =  5×17
86 =  2×43
87 =  3×29
88 =  23×11
89 =  89
90 =  32×2×5
91 =  7×13
92 =  22×23
93 =  3×31
94 =  2×47
95 =  5×19
96 =  25×3
97 =  97
98 =  72×2
99 =  32×11


 

●大きな数字でも素数がありますね。実は素数は無限にあります
 → 43×47 = 2021 は計算できますが
  2021を素因数分解しなさい なんていわれたら・・・
  大丈夫!そんな問題はでません!

 

●素数と思っていたら、素数でなかった、
 逆に、素数ではないと思っていたら、素数だった
 というものは、少し注意しておいてくださいね

 

●一の位が「1、3、7、9」の数字は素数の可能性がありますね

 

●20くらいまでの素数は、空で言えるようになりたいですね
 「2、3、5、7、11、13、17、19・・・」 

 

 

 

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③ 最大公約数・最小公倍数

 

最大公約数を
GCD  … Greatest Common Divisor
GCM  … Greatest Common Measure と言ったり

 

最小公倍数を
LCM  … Least Common Multiple と言ったりしますね

 

 

「文字式の利用」からは外れますが、
せっかく「素因数分解」で「素因数」を学んだのですから、
最大公約数・最小公倍数についてお話させてもらいますね。

 

 

例えば、27と36と54の、最大公約数、最小公倍数は?

 

27の約数は、139、27 ですね。
27の倍数は、27、54、81、108、・・・52488・・・ですね。

 

36の約数は、1、2、3、4、6、9、12、18、36 ですね
36の倍数は、36、72、108、144、・・・52488・・・ですね。

 

54の約数は、1、2、3、6、9、18、27、54 ですね。
54の倍数は、54、108、162、216、・・・52488・・・ですね。

 

よって、最大公約数は 9
    最小公倍数は 108

 

 

3つを簡単に図でイメージすると、

 

27,36,54の約数倍数のグラフ化

 

最大公約数 …共通の約数で最大もの (できる限り右のもの)
 (最公約数は、必ず「1」、使い道はないですが)

 

最小公倍数 …共通の倍数で最小のもの (できる限り左のもの)
 (最大公倍数は無限。 簡単に公倍数を求める方法は、
そのものどうしの掛け合わせ。27×36×54 計算は大変ですが)

27,36,54の約数倍数のグラフ化sp用

 

最大公約数 …共通の約数で最大もの (できる限り下のもの)
 (最公約数は、必ず「1」、使い道はないですが)

 

最小公倍数 …共通の倍数で最小のもの (できる限り上のもの)
 (最大公倍数は無限。 簡単に公倍数を求める方法は、
そのものどうしの掛け合わせ。27×36×54 計算は大変ですが)

 

 

 

 

〔素因数分解を利用する解法〕

 

まずはそれぞれ素因数分解します

 

27 = 33 = 3・3・3
36 = 32×22 = 3・3・2・2
54 = 33×2 = 3・3・3・2

 

これを表にすると

 

27,36,54の約数表

 

・最大公約数  …全てに共通な因数  …3×3  = 9

 

・最小公倍数…全てに共通な因数  ×(一部に共通な因数)  ×(全てに素な因数)
= (最大公約数)(一部に共通な因数)(全てに素な因数)
= 9 ×3×2 ×2 = 108
ですね

 

実は、小学校で習った最大公約数・最小公倍数の求め方と同じことなのです

 

小学校のGCD、LCMの求め方

 

確かに同じ原理ですね!(ちなみに1は因数ではない)
これで、どこまで掛けたら「最大公約数」?、「最小公倍数」?と、
迷うことは無くなりましたね!

 

 

余談

 

「互いに素」とは、どういう関係?

 

「 互いに素(そ)」とは、共通因数がない数字たちの関係です。
「互いに素数」という意味ではありません。

 

2つの数字が「互いに素」の関係にあるときは、
2つの最小公倍数は? 
→ 2つの数字を掛け合わせるしかありません
途中にはないのです!

 

 

《 例 》
15と28の最小公倍数は?

 

15も28も素数ではありませんね。どちらも自分以外の因数を持ちますね!

 

 15 = 3×5
 28 =   2×2×7

 

ですが、共通の因数は・・・ありませんね。
このような「共通因数のない」関係の数字を「互いに素」といいます

 

よって、最小公倍数は、  3×5 ×2×2×7  = 15×28  = 420 //
そのもの同士を掛けるしかないのです
(420までの途中にありそうで、ないのです)

 

これを高校生風にかっこよく言うと、
「15と28は、互いに素なので15と28の最小公倍数は15×28、すなわち420」

 

逆に、当然、最大公約数は「1」ですね!

 

 

 

他方、「素数」どうしの最小公倍数は、そのものどうしを掛け合わせるしかなかったですね。
これは、体感的にも経験的にもすでに感じていましたね。

 

 3と5の最小公倍数は…15 のように。

 

 

上の2つの例は、分数の分母にしてみれば、
イメージしやすいかもわかりませんね。

 

\(\large{\frac{1}{3}}\)+\(\large{\frac{1}{5}}\) = \(\large{\frac{5}{3\ \cdot \ 5}}\)+\(\large{\frac{3}{5\ \cdot \ 3}}\) = \(\large{\frac{5+3}{15}}\)

「ぱっと見で 通分するためには、3と5を掛け合わせるしかないな!」

 

\(\large{\frac{1}{15}}\)+\(\large{\frac{1}{28}}\)  = \(\large{\frac{28}{15\ \cdot \ 28}}\)+\(\large{\frac{15}{28\ \cdot \ 15}}\)  = \(\large{\frac{28+15}{420}}\)

「途中にありそうで…ない!15×28を計算するのかぁ…」

 

 互いに素の組み合わせ>素数の組み合わせ

 

 

以下は、高校生の過程ですので、読むだけでかまいません。

 

《 例 》
〇〇〇〇な整数nは、12の倍数であることを証明しましょう。
という問題があったとします。

 

このとき、いきなり12の倍数と証明できそうにないので、
ある2つの数字の倍数であるから、12の倍数である、と証明しよう
とします

 

A. nは〇〇すると2の倍数、△△すると6の倍数、よって、nは12の倍数である
↑これは証明になっていませんね!

 

 2と6の素因数分解

 

最小公倍数は、2×3=6 すなわち6の倍数ということ
しか言えていません。実際18などは、2と6の倍数ではありますが、
12の倍数ではありませんね!

 

ということは、最初に選んだ2数、2と6がダメだったのですね 
互いに素な3と4を選ぶべきだったということになります。

 

 3と4の素因数分解

 

最小公倍数は、3×2×2=12
すなわち12の倍数であると言えてますね!

 

A. nは〇〇すると3の倍数、△△すると4の倍数、3と4は互いに素であるからnは12の倍数である マルですね! 

中学数学 文字を用いた四則計算 |

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練習問題通分

練習問題通分

 

 

 

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④ 約数の個数・約数の総和

 

約数の個数

 

素因数分解ができると、約数の個数も簡単に求められます。

 

 

 

《 例 》 360の約数の個数を求めましょう。

 

時間をかけて、個別に列挙するのもありですが、

 

1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360
 A. 24 通り

 

大変すぎですね!
ここで、これらの約数は全て「因数の組み合わせ」ということに注目すると・・・

 

360 = 23×32×5 = 2・2・2・3・3・5
ex. 上の列挙の
 3は「3」を1つ使ったもの
 10は「2・5」の2つを使ったもの
 12は「2・2・3」の3つを使ったもの

  ・
  ・
  ・

これらの因数の組み合わせ方が、「何通り」あるか?
が分かればよいということですね!

 

イメージは、クレーンゲームで、2・2・2・3・3・5 という5枚のカードを
とる時の、組み合わせパターンの種類ですね。
1枚も取れないパターン、2枚とれた時の組み合わせパターン、
3枚取れた時のパターン・・・5枚取れた時のパターン
一体、考えられるパターンは何通りあるのでしょうか?

 

約数の個数の数えた表
20・30・50  = 1・1・1  =1公約数ですね

約数の個数の数えた表3通りまで
20・30・50  = 1・1・1  =1公約数ですね

<約数の個数の数えた表4~6通りまで


(何かの 0乗は0ではなく「1」でしたね!)

 

これを図で表すと

約数の個数樹形図

中学数学 文字を用いた四則計算 |

 

 確かに、合計24通りですね!

 

※ 2年後半で学ぶ「確率」の「組合せ」の樹形図とは異なります

 

「組合せ」の樹形図は6枚から「3枚」選ぶなど

 

今回は6枚から「選ばない」「1枚選ぶ」「2枚選ぶ」…「6枚選ぶ」をかぶせて描いたものです

 

「全部を書き出す」にしても「表」にしても「図」にしても大変ですね!
これは、カードの作り方が良くなかったのです。

 

カードの選び方    

 

このように作ってしまうと、無数に組合わせが
ある感じがして、混乱していまいますね。


 

それでは、カードを作り直しますね。
カードの組み合わせ「2の部類」「3の部類」「5の部類」でまとめます。

 

約数の個数正しいカードの作り方

約数の個数正しいカードの作り方sp用

 

「2」だけの組み合わせなら、4通りしかないとわかりますね
「3」だけなら、3通りしかない
「5」だけなら、2通りしかない

 

すなわち、
3マス  = 4通り×3通り×2通り  = 24
 A. 24 通り ですね!

 

そして、この「4」「3」「2」は実は、360の素因数分解にヒントが出ています!
 360 = 23×32×5  = 23×32×51
「4」「3」「2」と、新しく作ったカードと、素因数分解の指数を見比べて下さい・・・・・・
素因数分解したものの指数にそれぞれ「1を足したもの」ですね!
→「使わなかった場合の0乗」をカードとして含めるための「+1」ですね

 

 

公式

 

約数の個数

 

まず 素因数分解をして
〇 = 素数指数×素数指数×素数指数 のとき

 

約数の個数  = (バリエーション数)×(バリエーション数)×(バリエーション数)  = (指数+1)(指数+1)(指数+1)

 

 

※ バリエーション数  = 使わないという意味の0乗分を忘れない  = 指数+1

0乗は「1」
※ 指数しか使わない、素数自体はどうでもよい
※ 素因数分解を間違えない

 

 

今後、この問題に出会った時は、計算問題を解くかのように
「公式」に当てはめるだけでいいですね!

 

 

《 例 》
300 の約数の個数は?

 

300 = 52×22×3

 

∴ 個数 = (バリエーション数)(バリエーション数)(バリエーション数)= (50,51,52)(20,21,22)(30,31)  = 3通り×3通り×2通り  = 18個

 

 

 

 

 

約数の総和

 

 

 

 

《 例 》 360の約数の総和を求めましょう

 

どういう意味かと申しますと・・・
「全ての約数」を「足し合わす」、ということですね!

 

1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、
20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360

 

これらの和は…1170 ですね
しかし、「約数を羅列すること」も「それらを足す計算」も大変すぎますね
ちゃんと便利な公式がありますが、まず公式の原理です

 

上の 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、
20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360を求めるためには

 

約数の個数正しいカード

約数の個数正しいカードの作り方sp用

 

を全て「たどった」ものでしたね = 全ての組合せ
ex.
1→1→1とたどれば「約数1」、  1→1→5なら約数5
1→3→1なら3、  1→3→5なら15

  ・
  ・
  ・

8→9→1なら72、8→9→5なら360
どれ一つ同じものはないですね!

 

これを文字に置きかえるてみると

 

文字に置きかえる

 

aef, aei, afh, afi, …dgh, dgi の24個(1つ1つが約数にあたる)
これを aef+aei+afh+afi, …+dgh+dgi にすれば「約数の総和」ということですね
そしてこれは2年冒頭で学んだ「分配法則」そのものですね!
すなわち
中学数学 文字を用いた四則計算 |中学数学 文字を用いた四則計算 |にするということですね

 

これを「文字」から「数字」に戻すと

 

中学数学 文字を用いた四則計算 |中学数学 文字を用いた四則計算 |にすれば = 約数の総和 ですね!

 

そして「文字」は(カッコ)の中で計算はできませんが、
「数字」は(カッコ)の中を先に計算してもかまいませんね!
→ (20+21+22+23)(30+31+32)(50+51)
= (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)
= (15)(13)(6)
= 1170

 

もちろん、分配法則でもかまいませんが・・・
→ (20+21+22+23)(30+31+32)(50+51)
= (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)
= (1・1・1+1・1・5+1・3・1・・・+8・9・5) 全約数

 

ですが、せっかく(カッコ)の中が数字だけなのですから
分配法則せずとも
(カッコ)の中から計算する方が全然楽ですね
というわけで

 

公式

 

約数の総和

 

まず 素因数分解をして
〇 = 素数指数×素数指数×素数指数 のとき

 

約数の総和 = (バリエーションの和)×(バリエーションの和)×(バリエーションの和)

 

 

※ バリエーションの和  → 使わないという意味の0乗分を忘れないように
0乗は「1」
※ 素因数分解を間違えない

 

 

 

《 例 》
2400 の約数の総和を求めましょう

 

2400 = 25・52・3

 

∴ 約数の総和  =(バリエーションの和)(バリエーションの和)(バリエーションの和)  = (20+21+22+23+24+25)(50+51+52)(30+31)  = (1+2+4+8+16+32)(1+5+25)(1+3)  = (63)(31)(4)  = 7812

 

 

 

原理がなんとなくでも解れば
公式も忘れにくくなりますね。

 

「約数の総和」では、せっかく(カッコ)の中に文字がなくて、
(カッコ)の中から先に計算できる!! のですから、楽しましょうね。

 

ps. ないとは思いますが、「分配法則」の求め方も
「全ての約数を列挙せよ」という問題には有効ですね!

 

 

《 例 》
18の約数を求めましょう(羅列しましょう)

 

18=2×32

 

約数=(20, 21)(30, 31, 32)
  =(1, 2)(1, 3, 9) 
  =(1,2)(1,3,9)の分配法則 (符号のない分配法則をして)
  =1、3、9、2、6、18
∴ 並び替えて、1、2、3、6、9、18

 

 

練習問題素因数分解

練習問題素因数分解

 

 

練習問題約数の個数と総和

練習問題約数の個数と総和

 

 

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ウ 目的に応じた式の変形

 

いわゆる『等式の変形』ですね。

 

一言で言うと、「左辺を目的の文字だけにする」という「作業」ですね!
使える武器は、1年生の1次方程式と全く同じです。

 

移項、全とっかえ、全符号替え
本体改造(等式の性質3、4)

 

これだけで、パズルを解くように全て解けてしまいます!

 

この「作業化」のねらいは、
「式」を「機械的」に解くということですね!

 

イメージするならば、
例えば買い物中に、ふと「2割引き後の値段が1,600円ということは元値はいくらなんだろう?」と思った時、
「ということは」「2割の金額を引いたものが1600」「ということは…」

 

この「ということは」が頭の中に何個もあると、頭が混乱しがちです。

 

そこで、「ということは」をできる限り無くすために、式を思い浮かべるのですね!
「何かに0.8を掛けると、1600」すなわち「0.8x=1600」
すなわち「何か(x)は、1600を0.8で割ったものだ!」
と思考回路がすっきりしますね!

 

 

少し違うイメージなら、

 

アコヤ貝から真珠(x)を取り出す感じでしょうか。
「トンカチでたたいたら、中の真珠まで壊れる・・・ということは、貝を何かで開く・・・」

 

慣れた職人さんは「ここにナイフを刺して開く → ある袋を破る → 真珠を取り出す → 塩水で洗う」

 

というふうに、「ということは」が無く、  一連の「作業」で真珠(x )を取り出しているはずですね。
慣れれば「問題」ではなく、「作業」ということですね!

 

変な話になってしまいましたが、本題に入りますね。

 

 

 

《 例 》
次の等式をxについて解きましょう。(=左辺をxだけにしましょう)
x = \(\large{\frac{3y(x+2y)}{2}}\)

 

2x = 3y(x+2y) 分数の形が嫌なので、「両辺に2を掛けた」
 ↓
2x = 3xy+6y2 (カッコ)の中にもxがあるので、「展開した」
 ↓
2x-3xy = 6y2 xを含む項を左辺に、xを含まない項を右辺に、「移項した」
 ↓
x(2-3y) = 6y2 共通因数xでくくり出した (展開の逆)
 ↓
x = \(\large{\frac{6y^2}{(2-3y)}}\) 両辺を、xの係数(2-3y)で割った。(カッコ)を1文字と見れるように!
 ↓

x = \(\large{\frac{6y^2}{2-3y}}\) //

分数の形では、(2-3y)の(カッコ)がなくても、
明らかに、6y2 を「2-3y」で割っているという形が
分かるので、(カッコ)を省略した
〈 当然、÷の形では(カッコ)は必要→ 6y2÷(2-3y)〉


 

 

練習問題簡単な等式をxについて解く

練習問題簡単な等式をxについて解く

 

練習問題簡単な等式をxについて解く

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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