中学数学　文字を用いた四則計算

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A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 文字を用いた式の四則計算

(2) 連立方程式

ア	簡単な整式の加法・減法、単項式の乗法・除法
・	単項式・多項式・同類項・定数項とは
・	文字式の 加法・減法
・	文字式の 乗法・除法
・	分配法則の手順
・	分配法則のイメージ画像
・	指数法則
①	式の値
イ	文字式の利用
①	素数、因数、約数
・	素数とは
・	「1」は素数？
・	因数とは
・	素因数とは
・	約数とは
②	素因数分解
・	3年生の因数分解の先取イメージ
・	分解が「×」でつながる理由
・	偶数を文字を使って表す
・	奇数を文字を使って表す
・	倍数判定
・	平方数
・	2～100までの素因数分解
③	最大公約数・最小公倍数
・	「互いに素」とは
④	約数の個数・約数の総和
・	約数の個数
・	約数の総和
ウ	目的に応じた式の変形 (等式の変形)

 

文字を用いた四則計算

 

ア　簡単な整式の加法・減法、単項式の乗法・除法

 

まずは、1年生過程の要点の復習です。

 

① (カッコ)で囲まれたら、それで「1文字扱い」と考えられるようになること
ex. など

 

 

② ×÷ だけで、つながっている(構成されている)ものは
元(≒項)が「1つ」で、その「元」がどう変形されたのかという問題
ex. \(\large{\frac{x+1}{2}}\)  → 1×\(\large{\frac{1}{2}}\)×(x+1)  →
→ 元が\(\large{\frac{1}{2}}\)倍されて さらに、  (x+2)倍された

 

 

③ ＋－ でつながっているものは、　「元」が複数ある
ex. \(\large{\frac{x+1 }{2}}\)+3x-5y  → +-

 

 

 

 

単項式・多項式・同類項

 

それでは、2年生過程に入りますね。

 

「項」が集まれば、「式」になりますね

 

・「項」が1つだけ集まったもの・・・単項式 (＝ 項)

 

ex. -1, 3, x, xy, 4x,  2x2y などなど

 

 

・「項」が複数集まったもの・・・多項式

 

ex. x+1, x2-1,  2a+3b,  4x2+8x+1などなど

 

 

 

数字として定まってしまっている項を、「定数項」といいます

 

ex.

 

ex. でaは「1」と判明したとします
→ x2+2・(1)・x+(1)2

 

→
　「定数項」に昇格！

 

 

項で使用している文字が同じものを、「同類項」といいます

 

ex.

 

→ 同類項は、まとめることができますので、上の式は   8xy-6x2+6x とできますね！

 

 

《 例 》
-b+4ax-3 について次の問いに答えましょう

 

①　項をいいなさい　→　-b、4ax、-3
②　単項式か多項式か答えなさい　→　多項式
③　何項式かいいなさい　→　3項式

⑤　x の係数をいいなさい　→　4a(xに注目→xにかかるのは4a)
⑤　定数項をいいなさい　→　-3
⑥　次数をいいなさい　→　2　(最高の次数は 2・a・x → 文字の掛け合わせが2回)
⑦　1次の項をいいなさい　→　-b
⑧　何次式かいいなさい　→　2次式
⑨　何元何次式かいいなさい　→　3元2次式　(文字の種類3、最高の文字の掛け合わせ2)

 

 

 

 

 

文字式の加法・減法

 

最も簡潔な形にするだけですね！

 

①　(カッコ)を外したり
②　通分したり
③　同類項をまとめたり　するだけです

 

 

《 例 》

 

⑤まででも間違いではありませんが、並びの暗黙のルールは原則、

 

1. アルファベット順
2. 同じアルファベットの場合は、次数の高いもの順 ですね

 

慣れてきますと、いきなり②や③や④から始められるようになりますね！
(いきなり⑤は、テストなどで見直しがしにくいのかなと思います)

 

 

 

 

文字式の乗法・除法

加法・減法と同様に最も簡潔な形にするだけですね！

 

①分配法則を用いて(カッコ)を外したり
②÷を×にしたり(分数表示にしたり)
③同じ文字をまとめたり　するだけです

 

では

 

①分配法則

 

　1年生では、(カッコ)に掛けるものは、「1つ」でしたね。

 

 

《 例 》
a(x+y)= = などでしたね

 

・3(2+3)は、
(1)カッコの中を先に計算すれば、
　3(2+3)  = 3(5)  = 3×5  = 15
(2)分配法則で行うと、
　  = 6+9  = 15  　→ (1)と同じ答ですね！

 

 

2年生以降では、(カッコ)に複数個掛けていくことになりますが、
「順次掛ける」だけですので、手間なだけで何も変わりませんね！
  = + + + + + + + + ですね！

 

→ 同類項が無いので、これ以上は、まとめられませんね(計算できませんね)
よって、これが「答え」です

 

・(2+3+4)(7-3-2) は、
(1)カッコの中を先に計算すれば、
　(2+3+4)(7-3-2)  = (9)(2)  = 18
(2)分配法則で行うと、
　14-6-4+21-9-6+28-12-8  = 18  　→ (1)と同じ答ですね！

 

 

 

 

② ÷を×にする
　これは完全に1年生の復習ですね
　逆数にするだけでしたね！

 

《 例 》

慣れれば、いきなり③からできますね！

 

 

 

 

③ 同じ文字をまとめる
　「累乗」で表したり、「約分」したりするだけですね！

 

《 例 》

 

 

 

《 例 》
① -5x3y2z×\(\large{\frac{1}{2}}\)xy2z3
　(方法1)＝ -\(\large{\frac{5}{2}}\)xxxx・yyyy・zzzz ＝ -\(\large{\frac{5}{2}}\)x4y4z4　(数える)
　(方法2)＝ -\(\large{\frac{5}{2}}\)x3+1y2+2z1+3 ＝ -\(\large{\frac{5}{2}}\)x4y4z4　(指数法則)

 

 

② (x2)3
　(方法1)＝ xx・xx・xx ＝ x6　(数える)
　(方法2)＝ x2×3＝ x6　(指数法則)

 

 

②’ (-2x2y3)3
　(方法1)＝ -8xx・xx・xx・yyy・yyy・yyy ＝ -8x6y9　(数える)
　(方法2)＝ (-2)1×3・x2×3・y3×3 ＝ -8x6y9　(指数法則)(指数どうしの分配法則)

 

 

②’’ \(\left(\large{\frac{y^3}{x^2}}\right )^3\)
　(方法1)＝ \(\large{\frac{yyy}{xx}}\)・\(\large{\frac{yyy}{xx}}\)・\(\large{\frac{yyy}{xx}}\) ＝ \(\large{\frac{y^9}{x^6}}\)　(数える)
　(方法2)＝ \(\large{\frac{y^{3\color{red}{\times} 3}}{x^{2\color{red}{\times} 3}}}\) ＝ \(\large{\frac{y^9}{x^6}}\)　(指数法則)

 

 

③ -5x3y2z÷\(\large{\frac{1}{2}}\)xy2z3  
　(方法1)＝ -5x3y2z×2÷xy2z3
　　 ＝
　　 ＝ -\(\large{\frac{10x^2}{z^2}}\)　(どんどん約分)
　(方法2)＝ -5x3y2z×2÷xy2z3
　　 ＝ -10x3-1・y2-2・z1-3
　　 ＝ -10x2y0z-2
　　 ＝ -\(\large{\frac{10x^2}{z^2}}\)　(指数法則+前提ルール)

 

2つの方法が 使いこなせたら鬼金棒ですね！

 

 

 

 

 

 

 

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①　式の値

 

式、または、値を、どのように活用すれば　計算が楽か？　
それだけですね！　  (「楽」 ＝ 「ミスが少ない」)

 

具体的には、

 

・式または値を、「簡潔な形」にしてみたり、
・式または値を、「展開」してみたり、
・「2乗」してみたり、(←3年生)

 

ですね。

 

 

《 例 》
x = \(\large{\frac{1}{2}}\), y = -1 のとき、3(x+y)-(x+4y) の値は？

 

(方法①) 先に全てを代入して、

 

 

(方法②) 先に計算して、

 

と、いうふうに、式を簡潔な形にしてから、代入すれば
(①は合計4か所に代入、②は合計2か所に代入)、
絶対ではありませんが、計算が楽になることが多いですね！

 

 

「どうやって解くのか？」から「どうやったら楽か？」を考えだしてきたら、
数学レベルが上級レベルになってきている、といえるのではないでしょうか。
もちろん「ミチミチ計算する」根性も「大切なもの」ですね！！

 

 

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イ　文字式の利用

 

文字式を利用して、色々な証明ができていくわけですが、
その前に、
「数の区分方法」を少々

 

①　素数、因数、約数

 

 

どれも同じ意味ですので、自分がしっくりくるもので
理解しておいてくださいね。お父ちゃんは①です。

 

では本題です。例えば

 

「2」は、「1」と「2(自分)」でしか割れないですね。よって「2」は素数！

 

「6」は、「1」と「2」と「3」と「6(自分)」で割れますね。
よって、

 

①的に言うなら、「自分以外でも割れてしまう」
②的に言うなら、「自分以外の約数(2や3)がある」
③的にいうなら、「約数が2つ以上ある」

 

すなわち、6は素数ではない！ですね。

 

「31」は、
…2で割れない、3でもだめ、4も×、5も、・・・
半分くらいの15も×、半分超えてもないということは、
(16×2＝32、17×2＝34、18×2＝36…)
半分より大きいものに最小である「2」を掛けても、
必ず元(31)より大きい！
すなわち・・・半分までに約数がないということは・・・
約数は「ない」ということですので、

 

「あり」そうで「ない」31は、素数ですね！

 

 

 

 

因数とは、
その数字を作るための「元(＝部品)」ですね。

 

「因」という文字の意味は、「その、元」ですものね！
原因（・）、敗因（・）、病因（・）、因（・）果応報・・・

 

例えば、「60」という数字を、
　60＝6×10　
と分解すれば、
「6」は、「60」の因数(60の部品)、
「10」も「60」の因数(60の部品)
となります。

 

 

 

素因数とは、
その数字を作るための「元の素（もと）(＝最小部品)」ですね。

 

例えば、先ほどの「60」という数字を
　60＝2×30　
とすれば、　
「2(素数（そすう）)」は、「60」の素因数(60の最小（・・）部品)、
「30」は「60」の因数(60の部品)
となりますね。

 

全て、最小部品にまで分解することを
後で出てくる、素因数分解といいますね！

 

 

 

約数とは、
その数字を割り切れる自然数ですね。
＝因数と考えてもいいのですが、

 

 

　60 = 1×60
　 x = 1×x

 

これらは、〇×〇の形になっているので、「分解」したように見えますが、
(分解されたもの ＝ 因数なのですが)
60や xを「分解というより、正確に表現しただけ」とも言えますね

 

60＝1×60  → ある、60が  → 「60がある」
x＝1×x  → ある、xが  → 「xがある」

 

 

 

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②　素因数分解

 

素因数分解は、3年生で習うようですが、
難しいものでもないし、数字の基本でもあると思いますので、
(逆に小学生で習ってもよいのでは？とさえ感じますね)
ここ2年でやってしまいますね

 

では本題、素因数分解とは、
「数字を素数(＝最小部品)にまで分解する」ことですね！

 

 

《 例 》
60を素因数分解しましょう

 

60 = 2×2×3×5
∴　22×3×5　  〔22・3・5〕　  〔(2)2(3)(5)〕

 

どれも同じ意味ですが、「素因数分解しましょう」というときの
答えの表現方法は、「×」を使う表現方法が無難ですね。

 

 

(方法)
与えられた数字を、素数で割り続ける！それだけですね

 

…適当な素数で割る
　↓
… 30は素数でないから…
　↓
… また素数で割る
　↓
… 15は素数でないから…
　↓
… また素数で割る
　　↓素数(5は素数)になったので終了！

 

60は、「2、2、3、5 からできている！」ということですね、
60 = 2×2×3×5
　　　↑同じ素数は、「まとめなければ！」いけないので…
　= 22×3×5
　　↑記入は次数の高いものから低いものへ！

 

 

 

 

因数分解

 

3年生で習いますが、イメージだけ先に・・・
「文字」の入ったものを『(最小の)因数』に分解する。それだけですね。

 

 

 

《 例 》
x2-1 =
　　　最小部品　　最小部品

 

こんな感じですね！
(かっこ)を「一文字」と見れるようになっていれば、
ちゃんと、素因数分解と同じように「〇×〇」の形になっているのが解るはずですね！

 

 

(ちなみに)
文字がない(＝自然数だけの)場合なら、
　60 = 22×3×5

 

 

 

(イメージするなら)
　自転車 = (タイヤ)2・(フレーム)  (ハンドル)  (ペダル)  (サドル)

 

 

ですね！

 

 

 

 

前置きが長くなってしまいましたが、
本題の「文字式の利用」です。
文字式を利用して、問題を解いていきましょう。

 

 

《 例 》
偶数を文字を使って表しましょう

 

0、2、4、6、8…と全て列挙するのは不可能ですね！
文字を使うと、「全ての場面をカバー」できます。

 

すなわち、「証明した」ということにつながっていきます。
「全ての場面をカバー」=「証明した」 ですね！

 

偶数とは、「2で割り切れる整数」→「2を約数に持つ整数」ですね！

 

　よって、　2n

 

　以上です！
n に　0、1、2、3…100…どんな整数を入れてみても、確かに偶数ですね

 

ちなみに、「0」は・・・偶数です！

 

 

 

《 例 》
30は偶数であることを証明しましょう

 

① 30÷2 = 15、2で割り切れるので偶数である
② 30 = 2×15、偶数は2nで表せる整数、よって偶数である
③ 30 = 2×15、2を約数(または因数でも可)にもっている

 

よって偶数である　//

 

色々表現方法はありますが、①②③のどれでもOKですね！

 

 

 

《 例 》
奇数を一言で表現しましょう

 

　　　2n+1

 

 

 

《 例 》
3つの連続する整数の和は、3の倍数であることを証明しましょう。

 

　0、1、2　→　0+1+2＝3
　1、2、3　→　1+2+3＝6
　2、3、4　→　2+3+4＝9

 

確かに今のところ3の倍数ですが
全ての場面をあげるのは不可能ですね・・・
よって、文字を使いましょう！

 

(証明)　
最も小さい数字をn、とすると、3つの連続する整数は
n、n+1、n+2　で表すことができる
その和は、(n)+(n+1)+(n+2) ＝ 3n+3 ＝ 3・(n+1)
と表すことができる
(3つの連続する整数の和は、3を約数(または因数でも可)に持つ、)
よって、3つの連続する整数の和は3の倍数である //

 

 

 

 

《 例 》
30は3の倍数であることを証明しましょう。

 

30＝6・5
よって、30は3の倍数である //
↑これは「証明」しきれていないですね！
これで言えることは、30は6の倍数である。
(または、5の倍数である。)ということだけですね。

 

(解答例)
30を素因数分解すると
30＝2・3・5
よって、30は(3を約数にもつので) 3の倍数である　//　OKですね！

 

 

 

 

〔 倍数判定 〕

 

「倍数」とは…その数を整数倍された数

 

 

 

《 例 》
下1桁が偶数ならば、2の倍数であることを証明しましょう

→ そもそも、偶数とは2で割り切れるものをいうので
　下1桁が偶数ならば、2の倍数である

 

 

 

《 例 》
各桁の和が3の倍数ならば、3の倍数であることを証明しましょう

→ 4桁の数字の千の位の数字をa、百の位の数字をb、
　十の位の数字をc、一の位の数字をd とすると
　1000a+100b+10c+d と表すことができる。改造すると
　999a+a+99b+b+9c+c+d とできる
　＝ 3(333a+33b+3c)+a+b+c+d
∴ 3(333a+33b+3c) の部分は因数に3を持つので、3の倍数(確定)である
∴ 残りの a+b+c+d が3の倍数であれば、その数は3の倍数となる
∴ 各桁の和が3の倍数ならば、3の倍数

 

→ 5桁なら 10000a+1000b+100c+10d+e
　= 3(3333a+333b+33c+3d)+a+b+c+d+e で
　何桁でも「原理」は同じですね

 

(何桁にでも対応する証明方法はありますが、
文字だらけになって、
「原理」「本質」が逆にわかりにくくなります。
今後の数学学習でもそういった
本質がわかりにくい公式や証明に出会うと思いますが、
基本は「本質の理解」→「文字化(公式、証明)」
の順ですね！)

 

 

 

《 例 》
下二桁が4の倍数ならば、4の倍数であることを証明しましょう

→ 百の位の数字をa、十の位の数字をb、一の位の数字をcとすると
　100a+10b+c
　＝ 4(25a)+10b+c
　(102以上は4で割りきれる)
∴ 4(25a)の部分は因数に4を持つので、4の倍数(確定)である
∴ 残りの 10b+c が4の倍数であれば、その数は4の倍数となる
∴ 下2けたが4の倍数ならば、4の倍数

 

 

 

《 例 》
下一桁が5の倍数ならば、5の倍数であることを証明しましょう

→ そもそも本能的に知っていますが・・・105円、1000円・・・念のため
→ 100a+10b+c
　= 5(20a+2b)+c
∴ 下一桁が5の倍数ならば、5の倍数
(0は5の倍数？→0はすべての数の倍数です
→0は5の倍数)

 

 

 

《 例 》
2の倍数かつ3の倍数ならば、6の倍数であることを証明しましょう

→ 6 ＝ 2×3
→ ただの合わせ技ですね(6は2と3の最小公倍数)
∴ 2の倍数かつ3の倍数ならば、6の倍数

 

→ 偶数で、しかも各位の数字の和が3の倍数なら6の倍数ということですね

 

 

 

《 例 》
7の倍数かどうかは、7で割り切れるか試すのが1番早いですね
→　不要

 

 

 

《 例 》
下三桁が8の倍数ならば、8の倍数であることを証明しましょう

→ 1000a+100b+10c+d
　= 8(125a)+100b+10c+d
　(103以上は8で割りきれる)
∴下三桁が8の倍数ならば、8の倍数

 

 

 

《 例 》
各桁の和が9の倍数ならば、9の倍数であることを証明しましょう

→ 100a+10b+c
　＝ 9(11a+b)+a+b+c
∴ 各桁の和が9の倍数ならば、9の倍数
(3を出せば、3の倍数証明でしたね)

 

 

 

《 例 》
下一桁が0ならば、10の倍数であることを証明しましょう

→ 100a+10b+c
　＝ 10(10a+b)+c
∴ 下一桁が0ならば、10の倍数

 

 

 

《 例 》
各位を一つおきに足したものの差が11の倍数ならば、11の倍数であることを証明しましょう

→ 10000a+1000b+100c+10d+e
　= 9999a+a+1001b-b+99c+c+11d-d+e
(なぜか偶数桁目は1を足したとき、
奇数桁目は1を引いたときに11の倍数になりますね)
　= 11(909a+91b+9c+d)+a-b+c-d+e
∴各位を一つおきに足したものの差が11の倍数ならば、11の倍数
(0はすべての倍数 → 0は11の倍数)

 

 

 

 

 

 

〔 平方数 〕

 

 

《 例 》
24にできるだけ小さい自然数をかけて、
その積がある自然数の2乗になるようにしたい。
どんな自然数をかければよいか。

 

→　24×△＝〇2 な形になるような△は？ ということですね
すなわち、素因数分解の結果が
☆2× ▽2× □2 な形になればよいということですね　
＝ ( ☆2×▽2×□2 ) ＝ ( ☆▽□ )2 　ですものね (指数法則)

 

24を素因数分解してみると、
24 ＝ 3×8 ＝ 22×2×3
→　これを、22×22×32 にできれば、(2×2×3)2＝ 〇2 な形になっていますね

 

∴ (あと 2×3＝) 6 ( をかければ (2・2・3)2＝ 122 な形)

 

 

《 例 》
140をできるだけ小さい自然数nで割って、
その商がある整数の2乗になるようにしたい。
どんな自然数で割ればよいか。

 

→　\(\large{\frac{140}{n}}\) ＝ 〇2な形になるnは？ということですね
→　分子の140を素因数分解してみると、
　\(\large{\frac{2\ \cdot \ 7\ \cdot \ 10}{n}}\) ＝ \(\large{\frac{2^2×7×5}{n}}\)
→　n が7×5なら〇2な形の22
∴　35　(で割ればよい)

 

 

 

 

 

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③　最大公約数・最小公倍数

 

最大公約数を
GCD  … Greatest Common Divisor や
GCM  … Greatest Common Measure と言ったり

 

最小公倍数を
LCM  … Least Common Multiple と言ったりしますね

 

 

「文字式の利用」からは外れますが、
せっかく「素因数分解」で「素因数」を学んだのですから、
最大公約数・最小公倍数についてお話させてもらいますね。

 

 

例えば、27と36と54の、最大公約数、最小公倍数は？

 

27の約数は、1、3、9、27　ですね。
27の倍数は、27、54、81、108、・・・52488・・・ですね。

 

36の約数は、1、2、3、4、6、9、12、18、36　ですね
36の倍数は、36、72、108、144、・・・52488・・・ですね。

 

54の約数は、1、2、3、6、9、18、27、54　ですね。
54の倍数は、54、108、162、216、・・・52488・・・ですね。

 

よって、最大公約数は　9
　　　 最小公倍数は　108

 

 

3つを簡単に図でイメージすると、

 

 

 

 

 

〔素因数分解を利用する解法〕

 

まずはそれぞれ素因数分解します

 

27 = 33 = 3・3・3
36 = 32×22 = 3・3・2・2
54 = 33×2 = 3・3・3・2

 

これを表にすると

 

 

・最大公約数  …全てに共通な因数  …3×3  = 9

 

・最小公倍数…  ×(一部に共通な因数)  ×(全てに素な因数)
= (最大公約数)(一部に共通な因数)(全てに素な因数)
= 9　×3×2　×2 = 108
ですね

 

実は、小学校で習った最大公約数・最小公倍数の求め方と同じことなのです

 

 

確かに同じ原理ですね！(ちなみに1は因数ではない)
これで、どこまで掛けたら「最大公約数」？、「最小公倍数」？と、
迷うことは無くなりましたね！

 

 

 

 

 

 

 

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④　約数の個数・約数の総和

 

約数の個数

 

素因数分解ができると、約数の個数も簡単に求められます。

 

 

 

《 例 》　360の約数の個数を求めましょう。

 

時間をかけて、個別に列挙するのもありですが、

 

1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360
　A.　24 通り

 

大変すぎですね！
ここで、これらの約数は全て「因数の組み合わせ」ということに注目すると・・・

 

360 = 23×32×5 = 2・2・2・3・3・5
ex. 上の列挙の
　3は「3」を1つ使ったもの
　10は「2・5」の2つを使ったもの
　12は「2・2・3」の3つを使ったもの

これらの因数の組み合わせ方が、「何通り」あるか？
が分かればよいということですね！

 

イメージは、クレーンゲームで、2・2・2・3・3・5 という5枚のカードを
とる時の、組み合わせパターンの種類ですね。
1枚も取れないパターン、2枚とれた時の組み合わせパターン、
3枚取れた時のパターン・・・5枚取れた時のパターン
一体、考えられるパターンは何通りあるのでしょうか？

 

(何かの 0乗は0ではなく「1」でしたね！)

 

これを図で表すと

 

　確かに、合計24通りですね！

 

 

「全部を書き出す」にしても「表」にしても「図」にしても大変ですね！
これは、カードの作り方が良くなかったのです。

 

 

それでは、カードを作り直しますね。
カードの組み合わせ「2の部類」「3の部類」「5の部類」でまとめます。

 

 

「2」だけの組み合わせなら、4通りしかないとわかりますね
「3」だけなら、3通りしかない
「5」だけなら、2通りしかない

 

すなわち、
  = 4通り×3通り×2通り  = 24
　A.　24 通り　ですね！

 

そして、この「4」「3」「2」は実は、360の素因数分解にヒントが出ています！
　360 = 23×32×5  = 23×32×51
「4」「3」「2」と、新しく作ったカードと、素因数分解の指数を見比べて下さい・・・・・・
素因数分解したものの指数にそれぞれ「1を足したもの」ですね！
→「使わなかった場合の0乗」をカードとして含めるための「+1」ですね

 

 

 

今後、この問題に出会った時は、計算問題を解くかのように
「公式」に当てはめるだけでいいですね！

 

 

《 例 》
300 の約数の個数は？

 

300 = 52×22×3

 

∴ 個数 = (バリエーション数)(バリエーション数)(バリエーション数)= (50,51,52)(20,21,22)(30,31)  = 3通り×3通り×2通り  = 18個

 

 

 

 

 

約数の総和

 

《 例 》　360の約数の総和を求めましょう

 

どういう意味かと申しますと・・・
「全ての約数」を「足し合わす」、ということですね！

 

1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、
20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360

 

これらの和は…1170　ですね
しかし、「約数を羅列すること」も「それらを足す計算」も大変すぎますね
ちゃんと便利な公式がありますが、まず公式の原理です

 

上の 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、
20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360を求めるためには

 

 

を全て「たどった」ものでしたね = 全ての組合せ
ex.
1→1→1とたどれば「約数1」、  1→1→5なら約数5
1→3→1なら3、  1→3→5なら15

8→9→1なら72、8→9→5なら360
どれ一つ同じものはないですね！

 

これを文字に置きかえるてみると

 

 

aef, aei, afh, afi, …dgh, dgi の24個(1つ1つが約数にあたる)
これを aef+aei+afh+afi, …+dgh+dgi にすれば「約数の総和」ということですね
そしてこれは2年冒頭で学んだ「分配法則」そのものですね！
すなわち
を にするということですね

 

これを「文字」から「数字」に戻すと

 

を にすれば　= 約数の総和 ですね！

 

そして「文字」は(カッコ)の中で計算はできませんが、
「数字」は(カッコ)の中を先に計算してもかまいませんね！
→ (20+21+22+23)(30+31+32)(50+51)
= (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)
= (15)(13)(6)
= 1170

 

もちろん、分配法則でもかまいませんが・・・
→ (20+21+22+23)(30+31+32)(50+51)
= (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)
= (1・1・1+1・1・5+1・3・1・・・+8・9・5) ←全約数

 

ですが、せっかく(カッコ)の中が数字だけなのですから
分配法則せずとも
(カッコ)の中から計算する方が全然楽ですね
というわけで

 

 

 

《 例 》
2400 の約数の総和を求めましょう

 

2400 = 25・52・3

 

∴ 約数の総和  =(バリエーションの和)(バリエーションの和)(バリエーションの和)  = (20+21+22+23+24+25)(50+51+52)(30+31)  = (1+2+4+8+16+32)(1+5+25)(1+3)  = (63)(31)(4)  = 7812

 

 

 

原理がなんとなくでも解れば
公式も忘れにくくなりますね。

 

「約数の総和」では、せっかく(カッコ)の中に文字がなくて、
(カッコ)の中から先に計算できる!! のですから、楽しましょうね。

 

ps. ないとは思いますが、「分配法則」の求め方も
「全ての約数を列挙せよ」という問題には有効ですね！

 

 

《 例 》
18の約数を求めましょう(羅列しましょう)

 

18＝2×32

 

約数＝(20,　21)(30,　31,　32)
　　＝(1,　2)(1,　3,　9)　
　　＝　(符号のない分配法則をして)
　　＝1、3、9、2、6、18
∴　並び替えて、1、2、3、6、9、18

 

 

 

 

 

 

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ウ　目的に応じた式の変形

 

いわゆる『等式の変形』ですね。

 

一言で言うと、「左辺を目的の文字だけにする」という「作業」ですね！
使える武器は、1年生の1次方程式と全く同じです。

 

①移項、全とっかえ、全符号替え
②本体改造(等式の性質3、4)

 

これだけで、パズルを解くように全て解けてしまいます！

 

この「作業化」のねらいは、
「式」を「機械的」に解くということですね！

 

イメージするならば、
例えば買い物中に、ふと「2割引き後の値段が1,600円ということは元値はいくらなんだろう？」と思った時、
「ということは」「2割の金額を引いたものが1600」「ということは…」

 

この「ということは」が頭の中に何個もあると、頭が混乱しがちです。

 

そこで、「ということは」をできる限り無くすために、式を思い浮かべるのですね！
「何かに0.8を掛けると、1600」すなわち「0.8x＝1600」
すなわち「何か(x)は、1600を0.8で割ったものだ！」
と思考回路がすっきりしますね！

 

 

少し違うイメージなら、

 

アコヤ貝から真珠(x)を取り出す感じでしょうか。
「トンカチでたたいたら、中の真珠まで壊れる・・・ということは、貝を何かで開く・・・」

 

慣れた職人さんは「ここにナイフを刺して開く → ある袋を破る → 真珠を取り出す → 塩水で洗う」

 

というふうに、「ということは」が無く、  一連の「作業」で真珠(x )を取り出しているはずですね。
慣れれば「問題」ではなく、「作業」ということですね！

 

変な話になってしまいましたが、本題に入りますね。

 

 

 

《 例 》
次の等式をxについて解きましょう。(＝左辺をxだけにしましょう)
x = \(\large{\frac{3y(x+2y)}{2}}\)

 

2x = 3y(x+2y) … 分数の形が嫌なので、「両辺に2を掛けた」
　↓
2x = 3xy+6y2 …(カッコ)の中にもxがあるので、「展開した」
　↓
2x-3xy = 6y2 …xを含む項を左辺に、xを含まない項を右辺に、「移項した」
　↓
x(2-3y) = 6y2 …共通因数xでくくり出した (展開の逆)
　↓
x = \(\large{\frac{6y^2}{(2-3y)}}\) …両辺を、xの係数(2-3y)で割った。(カッコ)を1文字と見れるように！
　↓

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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