中学数学　連立方程式[二元一次]

トップページ ＞ 中学2年生 ＞ 連立方程式[二元一次]

 

中学1年生課程へ

中学2年生

中学3年生課程へ

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 文字を用いた式の四則計算

(2) 連立方程式

ア	二元一次方程式とその解の意味
・	二元一次方程式の解の表現方法
イ	連立方程式とその解の意味
①	連立方程式の解法
・	加減法
・	代入法
②	3つの式がつながる連立方程式 (A=B=C)
・	解が1つに決まる理由
③	連立方程式 (3つの式)
④	連立方程式 (4つの式)
ウ	連立方程式の解法と活用
・	連立方程式の文章問題を解くポイント
・	連立方程式を利用した例題文章問題
a	値段
・	～は…より〇〇多いの表現方法
b	距離
・	出会う、追い越すのポイント
c	食塩水

 

連立方程式 ( 2つの二元一次方程式 )

 

ア　二元一次方程式とその解の意味

 

二元一次方程式とは、  「文字が2種類」で「文字の掛け合わせは 1乗まで」でしたね！
　　(○元○次の意味)
例えば、
x-y = 2 などでしたね

 

(この点、x2 やy2がある式は「2次式」ですね、
間違いやすいところで、xyでも「二次式」ですね！
x-y=2 は・・・
「文字どうしの掛け合わせ」が「ない」ので  → 1次式
そして「使っている文字」が「2種類」  → 2元
よって2元1次方程式 ですね)

 

そして、「方程式」とは、「xやyなどの文字の値や解を求めるための等式」でしたね。

 

では、上の 二元一次方程式   x-y = 2 の xの解とyの解は求められるのでしょうか？
→ 1つには求められませんね！
引いて「2」のxやyの「関係」なんて無数にありますね
 x＝ 6 の時は y＝ 4、  x= -3 の時は y= -5、  x= 5.5 の時は y=3.5

 

 

そうです、「二元一次方程式」と言いつつ・・・
xの値が決まれば、yの値がただ一つ決まる関係、すなわち
「関数」ですね！

 

確かに、x-y= 2 を yについて解くと、
　y= x-2 「←1次関数」の形ですね！

 

 

よって

 

では、x-y = 2 をグラフで表してみます (→ 結局 y = x-2 の形にして作成)

 

 

 

ですが、こだわる場面ではありません！

 

二元一次方程式 は 1次関数として考えるとわかりやすい！
まったく「同じ」とは言いませんが、
「同じこと（・・）」とは 言わせていただきますね
二元一次方程式 = 1次関数 でOKです！！

 

 

 

 

このように、二元一次方程式では xの値(解)が無数にあるように、
　それに対する y の値(解)も無数にあるということになります。

 

でありますので、二元一次方程式の問題では、必ず
　xに、「条件づけ」や「範囲指定」があります。

 

 

 

《 例 》
x-y = 2 において、xが2から5までの整数のとき、yの値を求めましょう。

 

→ xは2～5の整数という範囲指定ですね
xの条件は、2～5までの整数 → 2、3、4、5

①	計算を楽にするために、  x-y = 2 を  y = x-2 にして
②	y = x-2 の xにそれぞれ値を代入して、yを求める

 

 

 

　

 

　A. x=2のときy=0  x=3のときy=1  x=4のときy=2  x=5のときy=3

 

　A. (x , y) = (2, 0) (3, 1) (4, 2) (5, 3)

 

解答の表現方法はどれでもOKです (1番下が最もポピュラーですね)
これらは、「場合分けの解答」ですね！ 初見参ですね！
「～のときは～、 ～のときは～」 今後たまに出てきます！

 

 

 

 

長くなってしまいましたが、ここでは原則として、

 

●	文字が1つなら、式は1つ で解が1つに決まる (1年生 一元一次方程式)
↓
〇	文字が2つなら、式が1つでは 解が1つに決まらない (2年生 二元一次方程式)
↓
●	文字が2つなら、式は2つ で解が1つに決まる (2年生 連立方程式)
↓
〇	文字が3つなら、式が2つでは 解が1つに決まらない
↓
●	文字が3つなら、式は3つ で解が1つに決まる

 

というイメージを持っていて下さいね！

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

イ　連立方程式とその解の意味

 

「連立方程式を解く」とは

 

→	同じ未知数(x, yなど)についての方程式が2つ以上あるとき、それらすべてを同時に満たす未知数の値を決定すること　ですね

 

簡単にいえば

→	それぞれ無数の解を持つ方程式達の共通解を求めることですね (関数的に言えば、交点を求めること)

 

 

 

 

①　連立方程式の解法

 

連立方程式　…　難しくはありません！
式が2つあるだけです
　(正確には、ここでは二元一次方程式が2つあるだけです)

 

先に軽くふれましたが、文字が2種類なら、等式が2つあれば、
　解が1つに決まる　というものですね。

 

では解き方です

 

《 例 》
次の連立方程式を解きましょう

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18　\scriptsize{…①}\\
x + y = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

2つの解法があります、  (1)ひっ算方式　(2)代入方式

 

 

 

まずは、(1) ひっ算方式(加減法) で解いてみますね。

 

 

 

できる限り小さい数字を掛けて (後の計算を楽にするため)、
xの係数かyの係数をそろえます。

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18　\scriptsize{…①}\\
x + y = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

xの係数を「2」でそろえよう！とねらいをつけてみました。
②×2 → 2x+2y = 6 …②’ (読み：まる2ダッシュ)

 

xの係数がそろったので、①－②’ (②’-①でも可) をします

 

　 2x+8y=18 …①
-) 2x+2y=6 …②’
　　0+6y=12

 

　よって、y=2

 

あとは、y=2を ①か②か②’の楽なものに代入して、xも求めます
　②に代入してみますね
　x+(2) = 3 →　x = 1
　A. x= 1, y= 2

 

 

 

 

では、(2) 代入方式 (代入法)です

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18　\scriptsize{…①}\\
x + y = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

 

 

②の式を、xの式にしようと！とねらいをつけてみました。
x+y= 3 → x= -y+3 …②’

 

②’を①に代入する前に、①の整理が楽ですね
2x+8y = 18  → x+4y = 9 …①’

 

ここで、②’を①’に代入

(-y+3)+4y= 9　…

(一元)一次方程式になった

　→　3y=6
　→　 y=2

 

あとは、「ひっ算方式」同様、y= 2 を、①②①’②’の楽そうなものに代入
　②’に代入してみますね
　x= -y+3 = -(2)+3 = 1
　A. x= 1, y= 2

 

 

【 確かめ算 】
x= 1, y=2を、①②にそれぞれ代入します

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18　\scriptsize{…①}\\
x + y = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)　
　↓
\(\small{\begin{cases}
2(1) + 8(2) = 18　\scriptsize{…①}\\
(1) + (2) = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)
　↓
\(\small{\begin{cases}
2 + 16 = 18　\scriptsize{…①}\\
1 + 2 = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)
　↓　
\(\small{\begin{cases}
18 = 18　\scriptsize{…①}\\
3 = 3　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

2つの式で、ともに成り立っていますね！ → 〇（マル）となります

 

 

 

② 連立方程式 (A=B=C)

 

《 例 》　
次の連立方程式を解きましょう
　\(\large{\frac{x-1}{2}}\)-\(\large{\frac{y+1}{3}}\) = \(\large{\frac{x-2}{10}}\)+\(\large{\frac{y-3}{4}}\) = \(\large{\frac{x+y}{12}}\)

 

A = B = C の形のときは、A = B 、A = C、B = C
　の 3通り に分けてもよいですね
そのうちの楽そうな2つを、今まで通り「連立」させましょう

 

\(\small{\begin{cases}
A = C　\\
B = C　
\end{cases}}\)で行ってみますね

 

\(\small{\begin{cases}
\large{\frac{x-1}{2}}-\large{\frac{y+1}{3}} = \large{\frac{x+y}{12}}\scriptsize{…①}\\
\large{\frac{x-2}{10}}+\large{\frac{y-3}{4}} =\large{\frac{x+y}{12}}\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)　

 

「係数そろえ」「代入」うんぬんの前に、「整理」が必要ですね

 

①	分数が嫌なので、①には「12」、②には「60」をかけた

　\(\small{\begin{cases}
6(x-1)-4(y+1) = x+y　\\
6(x-2)+15(y-3) = 5(x+y)
\end{cases}}\)　

 

②	(カッコ)を1文字と見ても、いい案がなさそうので、「展開」

　\(\small{\begin{cases}
6x-6-4y-4 = x+y　\\
6x-12+15y-45 = 5x+5y
\end{cases}}\)　

 

③「移項」+「計算」
　\(\small{\begin{cases}
5x-5y = 10　\\
x+10y = 57
\end{cases}}\)

 

④「簡素化」
　\(\small{\begin{cases}
x-y =2　\scriptsize{…①’}\\
x+10y = 57　\scriptsize{…②’}
\end{cases}}\)

 

⑤	あとは、いつもの「連立方程式」ですね！

　 x -  y = 2
-) x+10y = 57
　　-11y=-55　　→ y = 5

 

y = 5 を①’に代入
　x-y = 2　→　x-(5) = 2;　→　x = 7　　
A. x = 7, y = 5

 

 

 

 

 

 

③　連立方程式 (3つの式)

 

《 例 》
次の連立方程式を解くと、xの値がyの2倍になるという。
連立方程式の解と、aの値を求めましょう
　　\(\small{\begin{cases}
x+2y=a+6　\scriptsize{…①}\\
-x+3y=a　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)　

 

パッと見、文字が3つで式が2つ
→ 解が1つに決まらず、解に文字が残りそう ですが、
「xの値がyの2倍」という文言より
x=2y という関係式もありますね

 

ということは、結局
　　\(\small{\begin{cases}
x+2y=a+6　\scriptsize{…①}\\
-x+3y=a　\scriptsize{…②}\\
x=2y　\scriptsize{…③}\\
\end{cases}}\)　
あとは この「3つの式の連立方程式」を解くだけです

 

 

 

 

③を①、②に代入するとyとaだけの式になりますね
　　\(\small{\begin{cases}
(2y)+2y=a+6　\scriptsize{…①’}\\
-(2y)+3y=a　\scriptsize{…②’}\\
\end{cases}}\)　

 

整理して
　　\(\small{\begin{cases}
4y-a=6　\scriptsize{…①’’}\\
y=a　\scriptsize{…②’’}\\
\end{cases}}\)　

 

②’’を①’’に代入(代入法)して
4(a)-a=6 　∴ a=2
②’’より　yも2 (y=2)

 

-x+3y=a　…② に求めたyとa値を代入して
-x+3(2)=(2)　∴ x=4
A. 解は x=4, y=2　aの値はa=2

 

 

 

④　連立方程式 (4つの式)

 

《 例 》
2つの連立方程式\(\small{\begin{cases}
x-y=3　\scriptsize{…①}\\
ax+y=5　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\) と \(\small{\begin{cases}
3x-by=-1　\scriptsize{…③}\\
2x+3y=1　\scriptsize{…④}
\end{cases}}\) の解が同じであるとき、a、bの値を求めましょう

 

「解が同じ」ということは・・・
4つの直線は「1点で交わる」ということですね

 

(イメージ)

 

ということは、どの2直線を選んで連立させてもよいということ
→ 文字を打ち消しあえる2式を選んで
　\(\small{\begin{cases}
x-y=3　\scriptsize{…①}\\
2x+3y=1　\scriptsize{…④}
\end{cases}}\)

 

これを解くと、x=2、y=-1
これらを②、③にそれぞれ代入すると
　a=3、b=-7　ですね

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

ウ　連立方程式の解法と活用

 

方程式の活用といえば、「文章問題」！

 

1年生では「(1元)1次方程式(文字が1つ)」で、式を立てていましたね
そして、2年生では「連立方程式」で式を立ててもよいのです！
文字を2つ使ってもよいのです！
解らないものが2つまで許してくれるのです！

 

決して、

①	「1年生より難しいのだろうな～」とか
②	「2文字使わないといけないのか～」とか
③	「これからは、1次方程式の文章問題か連立方程式の文章問題か、見抜かなければいけないのか～」

とか心配しないでくださいね！

 

①はすっきり考えられる分、ある意味簡単になったと思うはずです
②は2文字使ってもよいのです　(使わなければいけません、といことではないのです)
　(あまりにも簡単な問題、「縦5mで面積15㎡の長方形、横は？」などは、
　2文字目を使う余地がありませんが…)
③は見抜く必要は全くありません！どういう式を立てるかだけを考えればよいです。
　「これも解らないな～、2文字目使うかぁ」という感じです。

 

 

論より証拠ですね

〈小学生〉　武器は 鶴亀算　(「もし全部が」から始める技)
①もし全部が鶴だったら、足数は　2本×15匹＝30本
　 →　18本足りない
②1匹亀に入れ替えると、鶴足28＋亀足4＝32本
　 →1匹入れ替えると、足が2本増えるのだろう
③　①のときより18本増やしたい
　 →18÷2＝9　　亀は9かな？
④　確認
　 →足4本×亀9匹＋足2本×鶴6羽＝36＋12＝48本
　　答え.　鶴6羽　亀9匹
　　グラフで言えば、2直線の交点の近くから、交点に近づけていくイメージですね！

 

 

〈中学1年生〉　新武器は 1次方程式　
①鶴をx羽とおく、すると亀は、  (総数－x)匹、すなわち、  (15－x)匹と表すことができる
②足の総合計数は、
(2本×x羽)＋〔4本×(15－x)匹〕＝48本
　 → 2x＋4(15－x)＝48　　…式を立てた

 

③後は解くだけ。　  A.　鶴6羽　亀9匹　　

 

 

〈中学2年生〉　新武器は 連立方程式　
①鶴をx羽、亀をy匹とおく
②　x＋y＝15 …（匹数）
　　2x＋4y＝48 …（足数) …式を立てた

 

③後は連立で解くだけ。　　  A.　鶴6羽　亀9匹　　

 

　すっきりしてますね！　イメージしやすいですね！

 

 

 

では、問題を解いていきましょう
やはり代表的な問題は、1次方程式同様、
「金額」「距離」「割合」ですね。　

 

 

 

 

 

 

(「鶴亀系」の問題ですね
　本体自体が特徴を持つ
・本体自体が、4本の「足」を持つ
・本体自体が、300円の「値段」を持つ)

 

 

大人の人数を x 、 子供の人数を y とおいてみます

 

 

合計料金   → 300x+200y = 77000 (円)
合計人数(の関係)  → y = 2x+35

 

　\(\small{\begin{cases}
300x+200y = 77000　\scriptsize{…①}\\
y = 2x+35　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

①/100に②を代入(←①式を100で割った式に②を代入)
　3x+2(2x+35) = 770　　  ∴ x = 100

 

x = 100 を②に代入
　y = 2(100)+35　　  ∴ y = 235

 

　　A. 大人100人 子供235人

 

 

 

 

 

　(「先月・今月」「去年・今年」「前回・今回」などの「比較系」は、
　どっちを「基準」にしたかをしっかり意識しておきましょう！
　基準さえブレなければ、どちらを基準にしても答えは同じですね！)

 

　(「売上」というと金額的なものだけを想像しますが、
「売上金額」＝「合計金額」、　「売上総数」=「合計数」
ただの「売上」＝「売上金額」＝「合計金額」
となりますね)

 

 

先月のボールペンの売り上げ本数を x、シャーペン売り上げ本数をyとおく
　先月の売り上げ金額
　　→ 150y-100x = 22000
　今月の売り上げ本数
　　
　　　　「裏対象」

 

 

 

　\(\small{\begin{cases}
150y-100x = 22000　\scriptsize{…①}\\
0.7x+1.4y = 1.2(x+y)　\scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

①/10、②×10で
　\(\small{\begin{cases}
-10x+15y = 2200　\scriptsize{…①’}\\
-5x+2y = 0　\scriptsize{…②’}
\end{cases}}\)

 

①’　　　　-10x+15y = 2200
②’×2　-) -10x+4y = 0
　　　　　　　　11y = 2200

 

　y = 200 を②’に代入

 

　 -5x+2(200) = 0  → -5x = -400 →

 

(今後の問題では途中計算は省かせてもらいますね)

 

最後に何を求めるのかを確認！問題は、今月の本数を問いていますので、
　ボールペン3割減 → 80×0.7 = 56
　シャーペン4割増 → 200×1.4 = 280
　A. ボールペン56本、 シャーペン280本

 

 

 

 

 

 

 

 

「距離問題」ですね　→　まずは「図」を書いて問題のイメージ化ですね！

 

問題から明らかにBさんの方が早いので、Bさんの距離を長くしました
(できる限りでいいので、イメージ図の位置関係はリアルがいいですね)

 

　

 

Aさんの「速さ」をxm/分、 Bさんの「速さ」をym/分としてみますね

 

・Aさんの  「距離」=「速さ」×「時間」  = x×時間ですね
　7分なので、Aさんの「距離」は  → 7x
・Bさんの「距離」も同様に  → 7y

 

よって、「出会う」ということは、
　Aさんの「距離」+Bさんの「距離」＝池の1周の「距離」
　

 

後段、「追いついた」は、池も関係ないですね。直線でもよいですね
・Aさんの走った「時間」  → 2+5  = 7 分間
　Aさんの走った「距離」  → 7x m
・Bさんの走った「時間」  → 5 分間
　Bさんの走った「距離」  → 5y m

 

よって、「追いつく」ということは、
　Aさんの「距離」＝ Bさんの「距離」
　→ 7x = 5y

 

　\(\small{\begin{cases}
7x+7y = 2100　\\
7x = 5y
\end{cases}}\)

 

　∴ x = 125, y = 175
　A.　Aさん125m/分、 Bさん175m/分

 

 

 

 

 

① スタートラインから、Aが速度100m/分で、Bが速度50m/分で互いに反対方向に歩くとき、2人が最初に出会うまで何分かかりますか

 

→　A距離+B距離＝300  　→　100x+50x=300  　→　150x=300  　→　x ＝ 2 分後

 

 

 

②　2人が①と同じ速度で、同じ方向に進むとき、AがはじめてBに追い越すまで何分かかりますか

 

→　A距離-B距離＝300  　→　100x-50x=300  　→　50x=300  　→　x ＝ 6 分後

 

 

 

 

 

「食塩水の問題」ですね　→　「距離問題」同様まずは「図」を書いて問題のイメージ化ですね！

 

割合の基本「マル図」は、でしたね

 

そして、基本マル図に「食塩水」を当てはめると

 

そして、数学の原則、
「3つのうち2つ(4つのうち3つ)が解れば、残りの1つも必ず解る」ですね！

 

ではでは、

 

・せっかくですので「3つのうち2つわかっている」右辺の「塩」を先に求めてしまいますね
　→ 600×\(\large{\frac{9}{100}}\) = 54 g　

 

・そして、「\(\large{\frac{1}{3}}\) したもの」→ ややこしいので
　「Aが求まったら、それを3倍すればよいですね」

 

 

Aの食塩水(Aの全体)をx、Bの食塩水(Bの全体)をyとおいてみます
　全体の合計  → x+y = 600 (g)
　塩の合計   　→ \(\large{\frac{12}{100}}\)x+\(\large{\frac{8}{100}}\)y = 54 (g)

 

　\(\small{\begin{cases}
x+y = 600　\\
12x+8y = 5400
\end{cases}}\)
　　↓
　\(\small{\begin{cases}
x+y = 600　\\
3x+2y = 1350
\end{cases}}\)

 

　∴　x = 150, y = 450
　xは元を\(\large{\frac{1}{3}}\) されたものなので、元は、150×3 = 450
　　A.  Ａは450g、 Ｂも450g

 

 

 

ちなみに、Aの「塩（・）」をx、Bの「塩（・）」をyとおいてみますと

 

　塩の合計  → x+y = 54 (g)
　全体の合計  → \(\large{\frac{x}{0.12}}\)+\(\large{\frac{y}{0.08}}\) = 600 (g)

 

　\(\small{\begin{cases}
x+y = 54　\\
\large{\frac{x}{0.12}}\small{+}\large{\frac{y}{0.08}} \small{=} \small{600}
\end{cases}}\)

 

∴ x = 18 (Aの塩), y = 36 (Bの塩)
∴ 「Aの全体(食塩水)」 = \(\large{\frac{18}{0.12}}\) = 150 (g)
　 「Bの全体(食塩水)」 = \(\large{\frac{36}{0.08}}\) = 450 (g)

 

「Aの全体」は元を\(\large{\frac{1}{3}}\)されたものなので、元は、150×3 = 450
　A.  Aは450g、 Bも450g

 

計算は大変になってしまいましたが、マル！！ ですね！

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

　スポンサーリンク