中学数学 連立方程式[二元一次]

 

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A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1)  文字を用いた式の四則計算 (2)  連立方程式
二元一次方程式とその解の意味
  ・ 二元一次方程式の解の表現方法
連立方程式とその解の意味
 ① 連立方程式の解法
  ・ 加減法
  ・ 代入法
 ② 3つの式がつながる連立方程式 (A=B=C)
  ・ 解が1つに決まる理由
 ③ 連立方程式 (3つの式)
 ④ 連立方程式 (4つの式)
連立方程式の解法と活用
  ・ 連立方程式の文章問題を解くポイント
  ・ 連立方程式を利用した例題文章問題
  ・ 出会う、追い越すのポイント
  ・ ~は…より〇〇多いの表現方法

 

連立方程式 ( 2つの二元一次方程式 )

 

ア 二元一次方程式とその解の意味

 

二元一次方程式とは、  「文字が2種類」で「文字の掛け合わせは1乗まで」でしたね!
  (○元○次の意味)
例えば、
x-y = 2 などでしたね

 

(この点、x2 やy2がある式は「2次式」ですね、
間違いやすいところで、xyでも「二次式」ですね!)

 

そして、「方程式」とは、「xやyなどの文字の値や解を求めるための等式」でしたね。

 

では、上の 二元一次方程式   x-y = 2 の xの解とyの解は求められるのでしょうか?
→ 求められませんね!
引いて「2」のxやyの「関係」なんて無数にありますね
x= 6 の時は y= 4、   x= -3 の時は   y= -5  x= 5.5 の時は   y=3.5

 

 

そうです、「二元一次方程式」と言いつつ・・・
xの値が決まれば、yの値がただ一つ決まる関係、すなわち
「関数」ですね!

 

確かに、x-y= 2 を yについて解くと、
 y= x-2 「←1次関数」の形ですね!

 

 

よって

 


  二元一次方程式  

 

x-y = 2

 

・ xやyの解を求めたい
 という気持ち

 

・ yの式(y=の式)で
 なくてもよい

 

・ xとyの組

 

 

 

   ⇔   

 

 

 


  1次関数  

 

y = x-2

 

・ xとyの関係性を知りたい
 という気持ち

 

・ yの式なら1次関数

 

・ xが決まればyが決まる


 

では、x-y = 2 をグラフで表してみます (→ 結局 y = x-2 の形にして作成)

 

 x-y=2
x-y=2のグラフ    

 

 

 y=x-2
y=x-1のグラフ


 

 

ですが、こだわる場面ではありません!

 

二元一次方程式 は 1次関数として考えるとわかりやすい!
まったく「同じ」とは言いませんが、
「同じこと・・」とは 言わせていただきますね
二元一次方程式 = 1次関数 でOKです!!

 

 

 

 

このように、二元一次方程式では xの値(解)が無数にあるように、
 それに対する y の値(解)も無数にあるということになります。

 

でありますので、二元一次方程式の問題では、必ず
 xに、「条件づけ」や「範囲指定」があります。

 

 

 

《 例 》
x-y = 2 において、xが2から5までの整数のとき、yの値を求めましょう。

 

xの条件は、2~5までの整数 → 2、3、4、5、
 ① 計算を楽にするために、  x-y = 2  y = x-2 にして
 ② y = x-2 の xにそれぞれ値を代入して、yを求める

 

二元一次方程式の表

 

 

 二元一次方程式の解

 

 A. x=2,y=0 x=3,y=1 x=4,y=2 x=5,y=3

 

 A. (x , y) = (2, 0) (3, 1) (4, 2) (5, 3)

 

解答の表現方法はどれでもOKです
これらは、「場合分けの解答」ですね! 初見参ですね!
「~のときは~、~のときは~」 今後はごくたまに出てきます!

 

 

 

 

長くなってしまいましたが、ここでは原則として、

 

● 文字が1つなら、式は1つ で解が1つに決まる (1年生 一元一次方程式)

〇 文字が2つなら、式が1つでは 解が1つに決まらない (2年生 二元一次方程式)

● 文字が2つなら、式は2つ で解が1つに決まる (2年生 連立方程式)

〇 文字が3つなら、式が2つでは 解が1つに決まらない

● 文字が3つなら、式は3つ で解が1つに決まる

 

というイメージを持っていて下さいね!

 

 

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イ 連立方程式とその解の意味

 

「連立方程式を解く」とは

 

→ 同じ未知数(x, yなど)についての方程式が2つ以上あるとき、それらすべてを同時に満たす未知数の値を決定すること ですね

 

簡単にいえば
→ それぞれ無数の解を持つ方程式達の共通解を求めることですね
  (関数的に言えば、交点を求めること)

 

 

① 連立方程式の解法

 

連立方程式 … 難しくはありません!
式が2つあるだけです
 (正確には、ここでは二元一次方程式が2つあるだけです)

 

先に軽くふれましたが、文字が2種類なら、等式が2つあれば、
 解が1つに決まる というものですね。

 

では解き方です

 

《 例 》
次の連立方程式を解きましょう

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18 \scriptsize{…①}\\
x + y = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

2つの解法があります、  (1)ひっ算方式  (2)代入方式

 

 

 

まずは、(1) ひっ算方式(加減法) で解いてみますね。

 

xの係数、またはyの①係数を上下で同じにして、引いたり足したりして
どちらかの文字をなくしてしまいます。

 

 

できる限り小さい数字を掛けて (後の計算を楽にするため)、
xの係数かyの係数をそろえます。

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18 \scriptsize{…①}\\
x + y = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

xの係数を「2」でそろえよう!とねらいをつけてみました。
②×2 → 2x+2y = 6 …②’(読み:まる2ダッシュ)

 

xの係数がそろったので、①-②’ (②’-①でも可) をします

 

ひっ算

 

 すなわち、y=2


 

あとは、y=2を ①か②か②’の楽なものに代入して、xも求めます
 ②に代入してみますね
 x+(2) = 3 → x = 1 A. x= 1, y= 2

 

 

親御さんは、②×2ではなく、①×\(\large{\frac{1}{2}}\)(=①÷2) だろう!
と途中でお子さんを叱らないで下さいね!
「面倒かも」「無駄かも」を経験して、「もっといい方法はないのか?」
を「考えるようになる」と思いますので(数学でも実社会でも)。

 

ミチミチ計算も途中で止めず、最後までやってから
「正解! でも、こういう方法もあるかも」
と言ってほしいかなと思います。
(なるほど感も違うと思いますし、方法(手段)も1つではないと体感もできますし)
えらそうを申してすいみません…

 

 

では、(2) 代入方式 (代入法)です

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18 \scriptsize{…①}\\
x + y = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

2つの式のどちらかを、xの式、または yの式 にして、
他方の式に代入して、(一元)一次方程式にしてしまいます。

 

 

②の式を、xの式にしようと!とねらいをつけてみました。
x+y= 3 → x= -y+3 …②’

 

②’を①に代入する前に、①の整理が楽ですね
2x+8y = 18  → x+4y = 9 …①’

 

ここで、②’を①’に代入
 (-y+3)+4y= 9 …(一元)一次方程式になった
 → 3y=6
 →  y=2

 

あとは、「ひっ算方式」同様、y= 2 を、①②①’②’の楽そうなものに代入
 ②’に代入してみます
 x= -y+3 = -(2)+3 = 1   A. x= 1, y= 2

 

 

【 確かめ算 】
x= 1, y=2を、①②にそれぞれ代入します

 

\(\small{\begin{cases}
2x + 8y = 18 \scriptsize{…①}\\
x + y = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) 
 ↓
\(\small{\begin{cases}
2(1) + 8(2) = 18 \scriptsize{…①}\\
(1) + (2) = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)
 ↓
\(\small{\begin{cases}
2 + 16 = 18 \scriptsize{…①}\\
1 + 2 = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)
 ↓ 
\(\small{\begin{cases}
18 = 18 \scriptsize{…①}\\
3 = 3 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

2つの式ともに成り立っていますね! → 〇となります

 

 

 

② 連立方程式 (A=B=C)

 

《 例 》 
次の連立方程式を解きましょう
 \(\large{\frac{x-1}{2}}\)-\(\large{\frac{y+1}{3}}\) = \(\large{\frac{x-2}{10}}\)+\(\large{\frac{y-3}{4}}\) = \(\large{\frac{x+y}{12}}\)

 

A = B = C の形のときは、A = B 、A = C、B = C
 の 3通り に分けてもよいですね
そのうちの楽そうな2つを、今まで通り「連立」させましょう

 

\(\small{\begin{cases}
A = C \\
B = C 
\end{cases}}\)で行ってみますね

 

\(\small{\begin{cases}
\large{\frac{x-1}{2}}-\large{\frac{y+1}{3}} = \large{\frac{x+y}{12}}\scriptsize{…①}\\
\large{\frac{x-2}{10}}+\large{\frac{y-3}{4}} =\large{\frac{x+y}{12}}\scriptsize{…②}
\end{cases}}\) 

 

「係数そろえ」「代入」うんぬんの前に、「整理」が必要ですね

 

① 分数が嫌なので、①には「12」、②には「60」をかける
 \(\small{\begin{cases}
6(x-1)-4(y+1) = x+y \\
6(x-2)+15(y-3) = 5(x+y)
\end{cases}}\) 

 

② (カッコ)を1文字と見ても、いい案がなさそうので、「展開」
 \(\small{\begin{cases}
6x-6-4y-4 = x+y \\
6x-12+15y-45 = 5x+5y
\end{cases}}\) 

 

③ 「移項」
 \(\small{\begin{cases}
5x-5y = 10 \\
x+10y = 57
\end{cases}}\)

 

④ 「簡素化」
 \(\small{\begin{cases}
x-y =2 \scriptsize{…①’}\\
x+10y = 57 \scriptsize{…②’}
\end{cases}}\)

 

⑤ あとは、いつもの「連立方程式」ですね!
  x -  y = 2
-) x+10y = 57
  -11y=-55    → y = 5

 

y = 5 を①’に代入
 x-y = 2 → x-(5) = 2   → x = 7  A. x = 7, y = 5

 

 

 

 


  連立方程式の解が1つに決まる理由  

 

どうして式が2つあると解が1つに決まるのでしょうか?

 

一言で言えば、
「同一平面上の2線は、『重なっている場合』と『平行の場合』を除けば、必ずどこかで交わる」からです。

 

例えば

 

 \(\small{\begin{cases}
-2x+y = -4 \scriptsize{…①}\\
-x+2y = 7 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) を解くと A. x= 5, y= 6

 

この2つの式をグラフ上に表すと、
 それぞれの式は、無数に解を持ちますね
 そして、解の集まりが「直線」ですね

 

例えば
x= 9のとき、  ①式では y= 14、  ②式では y= 8
x= -3のとき、  ①式では y= -10、  ②式では y= 2
解が共通ではありませんね

 

連立方程式の解が1つに決まる理由1

 

①式では成り立つけど②式では成り立たない、
②式では成り立つけど①式では成り立たない、では連立方程式を解けていませんね。

 

ということで、①の式②の式ともに成り立つxの解、yの解は
 そうです、2直線が交わる所ですね!!

 

 A. x=5, y= 6  ですね!

 

この「共通の解のある場所」は、今後学ぶ「1次関数」では「交点」と
いいます

 

ということは、「交点」の座標の求め方は、

 

2直線の式を、「連立方程式」で解けばよいということになりますね!

 

 

 

他方、2直線が「重なっている」場合、「平行」な場合は…

 

●「重なっている」…
 \(\small{\begin{cases}
x+y = 2 \scriptsize{…①}\\
2x+2y = 4 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) などですね

 

②式を「2」で割ると①式と全く同じですね!
 \(\small{\begin{cases}
x+y = 2 \scriptsize{…①}\\
x+y = 2 \scriptsize{…②’}
\end{cases}}\)

 

  x+2 = 2
-) x+y = 2
  0-0 = 0

 

 

文章問題で、自分の作った2式がこのような事態になるということは、
「全く同じ意味の式」を作った
すなわち
「二元一次方程式」を1つ作っただけということになります
ということは、解は、~の時は~、~の時は~ … となります
 A. 解は無数  考え直しですね!

 

 

 

●「平行」…
 \(\small{\begin{cases}
x-y = -4 \scriptsize{…①}\\
x-y = 2 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) などですね

 

①②を yの式にすると
 \(\small{\begin{cases}
y = 1x+4 \scriptsize{…①’}\\
y = 1x-2 \scriptsize{…②’}
\end{cases}}\) 「傾き」がどちらも「1」
 →「平行」
 →「交点なし」ですね!

 

  y = x+4
-) y = x-2
  0 = 0+6 → 0 = 6 ???ですね!
   A. 解なし

 

 

※「重なっている」「平行」などの問題は出ません。
文章問題で、このような(消えちゃった!)感じのときは、
自分の立てた2式が、「同じ意味」か「どちらかが間違っている
ので、せっかくですが、どちらかの式を「考え直し」ましょうね!
(大体1つは合っていますので…)

 

 

2つの式が平行な場合は1つがおかしい

 

 

 

③ 連立方程式 (3つの式)

 

《 例 》
次の連立方程式を解くと、xの値がyの2倍になるという。
連立方程式の解と、aの値を求めましょう
  \(\small{\begin{cases}
x+2y=a+6 \scriptsize{…①}\\
-x+3y=a \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) 

 

「xの値がyの2倍」ということは
x=2y ですね
そして、x=2y も直線ですね

 

ということは、結局
  \(\small{\begin{cases}
x+2y=a+6 \scriptsize{…①}\\
-x+3y=a \scriptsize{…②}\\
x=2y \scriptsize{…③}\\
\end{cases}}\) 
あとは この「3つの式の連立方程式」を解くだけです

 


  連立方程式の解法の根本  

 

いかにして文字を消去して減らすか    

 

  これだけです!

 

③を①、②に代入するとyとaだけの式になりますね
  \(\small{\begin{cases}
(2y)+2y=a+6 \scriptsize{…①’}\\
-(2y)+3y=a \scriptsize{…②’}\\
\end{cases}}\) 

 

整理して
  \(\small{\begin{cases}
4y-a=6 \scriptsize{…①’}\\
y=a \scriptsize{…②’}\\
\end{cases}}\) 

 

②’を①’に代入(代入法)して
4(a)-a=6 ∴ a=2
②’より yも2

 

-x+3y=a … に求めた値を代入して
-x+3(2)=(2) ∴ x=4
A. 解は x=4, y=2 aの値はa=2

 

 

 

④ 連立方程式 (4つの式)

 

《 例 》
2つの連立方程式\(\small{\begin{cases}
x-y=3 \scriptsize{…①}\\
ax+y=5 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\) と \(\small{\begin{cases}
3x-by=-1 \scriptsize{…③}\\
2x+3y=1 \scriptsize{…④}
\end{cases}}\) の解が同じであるとき、a、bの値を求めましょう

 

「解が同じ」ということは・・・
4つの直線は「1点で交わる」ということですね

 

(イメージ)
4直線が1点で交わるイメージ図

 

ということは、どの2直線を選んで連立させてもよいということ
→ 文字を打ち消しあえる2式を選んで
 \(\small{\begin{cases}
x-y=3 \scriptsize{…①}\\
2x+3y=1 \scriptsize{…④}
\end{cases}}\)

 

これを解くと、x=2、y=-1
これらを②、③にそれぞれ代入すると
 a=3、b=-7 ですね

 

 

 

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ウ 連立方程式の解法と活用

 

方程式の活用といえば、「文章問題」!

 

1年生では「(1元)1次方程式(文字が1つ)」で、式を立てていましたね
そして、2年生では「連立方程式」で式を立ててもよいのです!
文字を2つ使ってもよいのです!
解らないものが2つまで許してくれるのです!

 

決して、
①「1年生より難しいのだろうな~」とか
②「2文字使わないといけないのか~」とか
③「これからは、1次方程式の文章問題か連立方程式の文章問題か、見抜かなければいけないのか~」
とか心配しないでくださいね!

 

①はすっきり考えられる分、ある意味簡単になったと思うはずです
②は2文字使ってもよいのです (使わなければいけません、といことではないのです)
 (あまりにも簡単な問題、「縦5mで面積15の長方形、横は?」などは、
 2文字目を使う余地がありませんが…)
③は見抜く必要は全くありません!どういう式を立てるかだけを考えればよいです。
 「これも解らないな~、2文字目使うかぁ」という感じです。

 

 

論より証拠ですね

「鶴(足2本)と亀(足4本)が合わせて、15匹います。
足の合計は48本でした。鶴と亀はそれぞれ何匹?」

小学生〉 武器は 鶴亀算 (「もし全部が」から始める技)
①もし全部が鶴だったら、足数は 2本×15匹=30本
  → 18本足りない
②1匹亀に入れ替えると、鶴足28+亀足4=32本
  →1匹入れ替えると、足が2本増えるのだろう
③ ①のときより18本増やしたい
  →18÷2=9  亀は9かな?
④ 確認
  →足4本×亀9匹+足2本×鶴6羽=36+12=48本
  答え. 鶴6羽 亀9匹
  グラフで言えば、2直線の交点の近くから、交点に近づけていくイメージですね!

 

 

「鶴(足2本)と亀(足4本)が合わせて、15匹います。
足はの合計は48本でした。鶴と亀はそれぞれ何匹?」(全く同じ問題です)

中学1年生〉 新武器は 1次方程式 
①鶴をx羽とおく、すると亀は、  (総数-x)匹、すなわち、  (15-x)匹と表すことができる
②足の総合計数は、
(2本×x)+〔4本×(15-x)〕=48本
  → 2x+4(15-x)=48  …式を立てた

 

③後は解くだけ。   A. 鶴6羽 亀9匹  

 

 

中学2年生〉 新武器は 連立方程式 
①鶴をx羽、亀をy匹とおく
② x+y=15 …(匹数)
  2x+4y=48 …(足数)  …式を立てた

 

③後は連立で解くだけ。    A. 鶴6羽 亀9匹  

 

 すっきりしてますね! イメージしやすいですね!

 

 

 

では、問題を解いていきましょう
やはり代表的な問題は、1次方程式同様、
「金額」「距離」「割合」ですね。 

 

 

連立方程式文章問題ポイント

 

連立方程式の文章問題を解くポイント

 

連立方程式は、式を2つ作ることになるのですが、ポイントは、

 

横をそろえる

 

 例えば、
 「A合計」+「B合計」  =「全合計」合計でそろえた
 「A金額」+「B金額」  =「全金額」金額でそろえた

 

マル図マル図 で言えば

 

マル図物理的な部分の部分が「物理的に存在するもの」なので、よく使いますね、

 

「A距離」+「B距離」  =「全距離」
「A時間」+「B時間」  =「全時間」
「A対象」+「B対象」  =「全対象」
「A全体」+「B全体」  =「全全体」

 

マル図割合的な部分の部分は、「割合的なもの」なので、単純には足せません!!

 

「A速さ」+「B速さ」  =「全速さ」 ダメです!
正しくは、
「\(\large{\frac{A距離+B距離}{A時間+B時間}}\)」 = 「\(\large{\frac{全距離}{全時間}}\)」 ですね!

 

「A割合」+「B割合」  =「全割合」 ダメですね!
正しくは、
「\(\large{\frac{A対象+B対象}{A全体+B全体}}\)」= 「\(\large{\frac{全対象}{全全体}}\)」 ですね!

 

 

 

② 1次方程式同様 「掛け算の形」、「分数の形」が、何を表しているのか が 確実に「見えるように」 ですね!

 

 例えば、(時間)・(速さ)は・・・「距離」ですね!
 よって、(時間)・(速さ)の形のままでも、それは、
 「距離」を表している・・・・・、すなわち「距離」です

 

ex)
・ 3時間×速さ60km/h
  連立方程式の式の立て方2

 

 

・ x時間×速さ60km/h
  中学数学 連立方程式[二元一次] |
   「距離」ですね!

 

分数の形も同様です
・ 120km÷時速60km/h
  中学数学 連立方程式[二元一次] |

 

 ・ xkm÷時速60km/h
  中学数学 連立方程式[二元一次] |

 

 

・「時間を表している、すなわち時間」ではなく、一言で「これは時間!」
・「塩を表している、すなわち塩」ではなく、一言で「これは塩!」
と言えるように、一目で見れるように練習していきましょうね!

 

 

 

そして、最後に、
問題集の解答例の「式立て」と「自分の式立て」が違っていても
答えが同じなら「自分の式立て」はマル!  ですので!

 

 解答例は「食塩水」をxとおいていた、
 自分は「塩」をxとおいた

 

考え方が間違っていなければ、答えは同じはずですね!!

 

 

 

 

《 例 》
ある銭湯の入浴料は大人300円、子供200でした
ある日の入浴料の売り上げ(=合計金額)は77,000円でした
子供の入場者数は大人の2倍より35人多かった
大人の入場数、子供の入場者数を求めましょう

 

(「鶴亀系」の問題ですね
 本体自体が特徴を持つ
・本体自体が、4本の「足」を持つ
・本体自体が、300円の「値段」を持つ)

 

 

大人の人数を x 、 子供の人数を y とおいてみます
合計金額=金額×人数

 

合計料金   → 300x+200y = 77000 (円)
合計人数(の関係)  → y = 2x+35

 

 \(\small{\begin{cases}
300x+200y = 77000 \scriptsize{…①}\\
y = 2x+35 \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)


 

①/100に②を代入(←①式を100で割った式に②を代入)
 3x+2(2x+35) = 770    ∴ x = 100

 

x = 100 を②に代入
 y = 2(100)+35    ∴ y = 235
  A. 大人100人 子供235人

 

 

 

 

《 例 》
ある店は、ボールペン1本は100円、シャーペン1本は150円で売っていました
先月は、シャーペンの売上金額が、ボールペンの売り上げよりも22000円多かった
今月の売り上げ本数(≠売上金額)は、先月に比べて、ボールペンは3割減、シャーペンは4割増だったので、
ボールペンとシャーペンの売り上げ本数の合計は2割増えました
今月のボールペンとシャーペンの売り上げ本数をそれぞれ求めましょう

 

 (「先月・今月」「去年・今年」「前回・今回」などの「比較系」は、
 どっちを「基準」にしたかをしっかり意識しておきましょう!
 基準さえブレなければ、どちらを基準にしても答えは同じですね!)

 

 (「売上」というと金額的なものを想像しますが、
「売上金額」=「合計金額」、   「売上総数」=「合計数」 となりますね)

 

 

先月のボールペンの売り上げ本数を x、シャーペン売り上げ本数をyとおく
 先月の売り上げ金額
  → 150y-100x = 22000
 今月の売り上げ本数
  0.7x+1.4y=1.2(x+y)
    「裏対象

 

 


小余談

 

AはBより10多い」を式で表してみましょう・・・
おそらく、
6割の人が  「A-B=10」 …ア
2割の人が  「B+10=A」 …イ
2割の人が  「A-10=B」 …ウ

 

と表現するのかなと思います

 

アは、「Aの方が大きい、だから、  大ー小=10
イは、「Aの方が10多い、ということは、  小に10足したら、=大
ウは、「Aの方が10多い、ということは、  大から10引いたら、=小

 

どれも表現は違えど、「内容は全く同じですね!」
ア、イ、ウの数式をそれぞれ「移項」してみれば、わかりますね
よって、どれでもOKです!
矯正する必要はありませんね!

 

 \(\small{\begin{cases}
150y-100x = 22000 \scriptsize{…①}\\
0.7x+1.4y = 1.2(x+y) \scriptsize{…②}
\end{cases}}\)

 

①/10、②×10で
 \(\small{\begin{cases}
-10x+15y = 2200 \scriptsize{…①’}\\
-5x+2y = 0 \scriptsize{…②’}
\end{cases}}\)

 

①’    -10x+15y = 2200
②’×2 -) -10x+4y = 0
        11y = 2200

 

y=200
 y = 200 を②’に代入

 

  -5x+2(200) = 0  → -5x = -400x=80

 

(今後の問題では途中計算は省かせてもらいますね)

 

最後に何を求めるのかを確認!問題は、今月の本数を問いていますので、
 ボールペン3割減 → 80×0.7 = 56
 シャーペン4割増 → 200×1.4 = 280
  A. ボールペン56本、 シャーペン280本

 

 

 


小余談

本番入試試験では、「式立て」と「答え」だけでOKですね!
学校の定期テストでは、「途中計算」も要求してくるかもわかりませんが
「途中計算」に決まった「書き方」はありませんので、
「こんな感じで計算を進めましたみたいな解答」で十分だと思います
先生も、
「係数合わせたのか → ひっ算方式か → これが問いにあった単位計算か」
と分かりますので! プロですから!

 

 

 

 

《 例 》 
周囲が2100mの池をAさんとBさんが走ります
2人が同時出発で、反対方向に回りだすと、7分後に出会いました
次に、Aさんが出発し2分後にBさんが、同じ方向に回ると5分後に追いつきました
AさんBさんそれぞれの走る速さは毎分何mでしょう

 

距離問題」ですね → まずは「図」を書いて問題のイメージ化ですね!

 

問題から明らかにBさんの方が早いので、Bさんの距離を長くしました
(できる限りでいいので、イメージ図の位置関係はリアルがいいですね)

 

距離のマル図> 題意の図

 

Aさんの「速さ」をxm/分、 Bさんの「速さ」をym/分としてみますね

 

・Aさんの  「距離」=「速さ」×「時間」  = x×時間ですね
 7分なので、Aさんの「距離」は  → 7x
・Bさんの「距離」も同様に  → 7y

 

よって、「出会う」ということは、
 Aさんの「距離」+Bさんの「距離」=池の1周の「距離」
 7x+7y=2100

 

後段、「追いついた」は、池も関係ないですね。直線でもよいですね
・Aさんの走った「時間」  → 2+5  = 7 分間
  Aさんの走った「距離」  → 7x m
・Bさんの走った「時間」  → 5 分間
 Bさんの走った「距離」  → 5y m

 

よって、「追いつく」ということは、
 Aさんの「距離」= Bさんの「距離」
 → 7x = 5y

 

 \(\small{\begin{cases}
7x+7y = 2100 \\
7x = 5y
\end{cases}}\)

 

 ∴ x = 125, y = 175
 A. Aさん125m/分、 Bさん175m/分

 

 

 

 

《 例 》 (まわりもの、同時出発)

 

周囲が300mの周回コースを、AとBの2人が一定速度で進んでいる。

 

① スタートラインから、Aが速度100m/分で、Bが速度50m/分で互いに反対方向に歩くとき、2人が最初に出会うまで何分かかりますか

 

反対方向で出会うイメージ図    

 

 

→ 出会う2人の合計距離が300m
出会うまでの時間をx分とすると


→ A距離+B距離=300   → 100x+50x=300   → 150x=300   → x = 2 分後

 

 

② 2人が①と同じ速度で、同じ方向に進むとき、AがはじめてBに追い越すまで何分かかりますか

 

同方向で追い越すイメージ図    

 

 

→ 追い越す2人の距離の差が300m
追い越すまでの時間をx分とすると

 


→ A距離-B距離=300   → 100x-50x=300   → 50x=300   → x = 6 分後

 

 


  出会う、追い越す のポイント  

 

出会う、追いつくの要点     

 

ex. 差が3クルっ分あれば、3回追い越した

 

 


  まとめ  

 

● 反対方向で初めて出会う    
  ・ 2人の合計距離が 周長
  ・ 2人の時間は当然同じ

 

● 同方向で初めて追いつく
  ・ 2人の距離の差が周長
  ・ 2人の時間は当然同じ

 

 

 

《 例 》
Aの容器には12%の食塩水、Bの容器には8%の食塩水が入っています
Aの3分の1をBに混ぜると、9%の食塩水が600できました
A、Bの食塩水は初め何ずつあったのでしょう

 

食塩水の問題」ですね → 「距離問題」同様まずは「図」を書いて問題のイメージ化ですね!

 

割合の基本「マル図」は、例題問題連立方程式(食塩水)1でしたね

 

そして、基本マル図に「食塩水」を当てはめると中学数学 連立方程式[二元一次] |

 

そして、数学の原則、
3つのうち2つ(4つのうち3つ)が解れば、残りの1つも必ず解る」ですね!

 

ではでは、

 

Aの食塩水Bの食塩水完成食塩水
・せっかくですので「3つのうち2つわかっている」右辺の「塩」を先に求めてしまいますね
 → 600×\(\large{\frac{9}{100}}\) = 54 g

 

・そして、「\(\large{\frac{1}{3}}\) したもの」→ ややこしいので
 「Aが求まったら、それを3倍すればよいですね」

 

 

Aの食塩水(Aの全体)をx、Bの食塩水(Bの全体)をyとおいてみます
 全体の合計  → x+y = 600 (g)
 塩の合計    → \(\large{\frac{12}{100}}\)x+\(\large{\frac{8}{100}}\)y = 54 (g)

 

 \(\small{\begin{cases}
x+y = 600 \\
0.12x+0.08y = 54
\end{cases}}\)

 

 

 ∴ x = 150, y = 450
 xは元を\(\large{\frac{1}{3}}\) されたものなので、元は、150×3 = 450
  A. Aは450g、 Bも450g

 

 

 

ちなみに、Aの「」をx、Bの「」をyとおいてみますと

 

 塩の合計  → x+y = 54 (g)
 全体の合計  → \(\large{\frac{x}{0.12}}\)+\(\large{\frac{y}{0.08}}\) = 600 (g)

 

 \(\small{\begin{cases}
x+y = 54 \\
\large{\frac{x}{0.12}}\small{+}\large{\frac{y}{0.08}} \small{=} \small{600}
\end{cases}}\)

 

∴ x = 18 (Aの塩), y = 36 (Bの塩)
∴ 「Aの全体(食塩水)」 = \(\large{\frac{18}{0.12}}\) = 150 (g)
  「Bの全体(食塩水)」 = \(\large{\frac{36}{0.08}}\) = 450 (g)

 

「Aの全体」は元を\(\large{\frac{1}{3}}\)されたものなので、元は、150×3 = 450
 A. Aは450g、 Bも450g

 

計算は大変になってしまいましたが、マル!! ですね!

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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