中学数学　平面図形と平行線の性質

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(1) 平面図形と平行線の性質

(2) 図形の合同・図形の性質

ア	平行線や角の性質
①	平行線と角
・	対頂角
・	同位角
・	錯角
・	(逆) 同位角(錯角)が等しい⇒平行
・	同側内角
②	三角形と角　(三角形の角)
・	三角形の内角の和は、180°の証明
・	三角形の外角とは
・	三角形の外角の求め方
・	四角形の外側の角(凸四角形を含む)の求め方
・	三角形の外角の和
・	鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形
・	対角・対辺とは
・	三角形の対辺と対角の関係
・	斜辺は重要！
③	平行線と面積 (頂点の平行移動)(等積変形)
イ	多角形の角の性質
・	多角形の内角の総和
・	多角形の内角の総和の公式
・	多角形の外角の総和
・	多角形の外角の総和の公式
・	多角形の対角線の本数

 

平面図形と平行線の性質

 

ア　平行線や角の性質

 

①平行線と角

それでは、平行線と角の特徴(性質)を見ていきましょう

 

人は、「特徴」があると「名前」をつけたくなりますね！
口には出さなくても、心の中で「あの『茶髪君』いけてる！」などなど、
名前をつけた、＝『特徴がある』　ということですね！

 

それでは、2本の平行線とそれを横切る直線について、3つほど。

 

 

前提として、『 直線は、180° 』ですね！

 

 

あまりに当たり前すぎて(＝特徴が無さすぎて)、
つい意識の外に忘れてしまいますね。
常に意識しましょうとは言いませんが、いつでも意識の中に
呼び戻せるように、意識しましょうね！

 

 

【 対頂角 (たいちょうかく) 】

 

 

 

・(物理的イメージ)
　

 

・(数学的証明)

 

 

 

 

 

【 同位角 (どういかく) 】

 

・(物理的イメージ)

 

同位角が同じでない場合、
2直線をどちらかに延長し続けると・・・


ということですね

 

 

 

 

・(数学的証明)

 

 

 

 

【 錯角 (さっかく) 】

 

 

・(数学的証明)

 

・(物理的イメージ)は不要ですね！
「楽で便利」というイメージを持つといいと思います

 

上の証明のように、∠a = ∠A (対頂角)、∠b = ∠A (同位角)
∴ ∠a = ∠b という「2段階」を踏まなくても、
∠a = ∠b (錯角)！！ 一言で済みますね！

 

(昔の数学者が、この角度にも名前をつけたら楽かも？！
といことで『錯角』とか名付けたのかもですね！)
長くなってしまいましたが、「対頂角」「同位角・錯角」は、

 

『名前』、『位置関係』、
『平行なら、同じ角度。  　同じ角度なら、平行』

 

ということだけおさえておけば、
今後の問題を解くための「使える武器」になりますね！

 

 

 

もちろん、下図のような「平行ではない場合」でも

 

 

「同位角」、「錯角」と言いますが、
問題では、9分9厘「平行」ですね！
(平行の時に力を発揮しますので)
平行ではないのは、習い初めの「名前確認テスト」「位置確認テスト」
くらいかと思います

 

 

 

 

〔 逆の証明 〕

(逆) 同位角(錯角)が等しい ⇒ 平行

 

まず証明を求められることはありません
問題では「同位角(または錯角)が等しいので平行！」と当たり前のように使用してOKです！
ですが念のため証明です

 

・同位角が等しい  ⇒（ならば)   平行？

 

交点をそれぞれA、Bとする

Oから直線mに垂線を下ろしそれぞれの交点をC、Dとする

△OACと△OBDにおいて
∠O = ∠O (共通)
∠a = ∠b (仮定より)
よって2つの角が等しいので
△OAC∽△OBD
∴　∠OCAも90°

答1 ∴ 2つは相似の位置(3年)にあるので「対応する辺は平行」である
　　∴ 　l // m
答2 ∴ lはODの垂線、mもODの垂線
　　∴ 1つの直線に対する垂線は平行であるので
　　l // m
答3 CDの外側にmに垂線を引いて交点をEFとする
　→すべて90°になる
　∴ 四角形CDEFは平行四辺形(長方形)
　∴ l // m

 

 

同様に
・錯角が等しい  ⇒（ならば)   平行？

 

対頂角は等しいので、
1つの錯角の対頂角と他の角で証明してもよい
→以下先ほどの
同位角が等しい  ⇒（ならば)   平行　と同じ証明
ですので省略しますね

 

 

 

 

同側内角

 

「同側内角」とは
aとbのセットのことをいいます

 

・同側内角の和が180° ⇔（ならば　平行

 

ですね。

 

(証明)

 

・同位角が等しい ⇔（ならば）平行　の変形版という感じでしょうか

 

 

ex. 次の図は、どのよう図形か調べましょう

 

 

→ 証明問題で、点Eを設定するのは面倒ですね
→ 一言、同側内角の和が(130°+50°＝)180°
　∴ AD//BCな 台形　(少し楽ができましたね)

 

 

 

 

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②　三角形と角

なんといっても、三角形の大特徴は、
『三角形の内角の和は、180°』ですね！
図形の問題は、ほぼ三角形を原点にしてますね！

 

 

 

 

三角形の外角

 

三角形の『外角』とは、

 

「三角形の1辺と他の1辺の延長線がつくる角」

 

ですね
言葉では理解しにくいと思いますので、
下図のような「場所」であるという視覚的理解で十分ですね

 

　

 

・1つのセットは「対頂角」の関係ですので、同じ角度ですね
・外角の角度は？という場合、1セットの角度を足しません、
「対頂角」の関係ですし、1つを言えば十分ですね！
ex) 頂点aの外角の角度は? → 直線180°-∠a

 

 

ここで、前出の「ポイント『内角の和は180°』」の下図をよく見ていただくと、

x+yはCの外角になっていますね！！
ということは、x+yはa+bでしたので、 a+b = c の外角ですね！！

 

 

 

 

《 例 》
xの角度を求めましょう

 

 

※四角形の『外側（・）の角』 ≠ 四角形の『外角』

 

 

 

 

※注) 実は中学では、凹四角形を四角形として扱いませんので、
ちゃんと補助線を引いてxのような角度を求めてくださいね！ 答のみなら… 公式で！

 

 

 

 

【 三角形の外角の和 】

 

360° です！
実は、三角形であろうと、四角形であろうと、n角形であろうと
外角の和は全て『360°』です！　 後の「多角形と角」でお話しますね。

 

 

 

鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形

 

・鋭 角（えいかく）とは　… 0°超、90°未満の角
・直 角とは　… 90°の角
・鈍 角（どんかく）とは　… 90°超、180°未満の角
ちなみに
・平角（へいかく）とは　… 180°の角(角というイメージはしませんが)
　(よって、0°や181°、360°などは上のどれにも当てはまりませんね
　 → 固有名詞があるのは180°まで)

 

・鋭角三角形とは　…1番大きい角が 90°未満
・直角三角形とは　…1番大きい角が 90°
・鈍角三角形とは　…1番大きい角が 90°超

 

 

ex) 1番大きい角が・・・

 

三角形の内角の和は180°ですので、
90°が2か所存在することは不可能ですね
90°が2か所あれば、それは四角形以上ですね

 

たとえば、タテの2線を、上に上に延ばしていくと…

 

 

 

割合的に見るならば、

 

 

 

・鈍角三角形　

 

 

・直角三角形　

 

 

・鋭角三角形　

 

 

 

 

対角・対辺

 

四角形の場合と三角形の場合で違いますね

 

・四角形の場合、対応するのは、
　　角 ⇔ 角
　　辺 ⇔ 辺　　　ですね

 

　

 

 

 

・三角形の場合、対応するのは・・・
　　角 ⇔ 辺
　　辺 ⇔ 角　　　ですね

 

 

辺ABの対角は、∠c
辺BCの対角は、∠a
辺ACの対角は、∠b

 

 

ちなみに、三角形の「辺」に名前を付けたいとき、

 

 

もちろん、x, y, z, などを付けても、辺ABのままでもOKです

 

 

 

 

三角形の対辺と対角の関係

 

対辺の長さの順位は、対角の大きさの順位に対応しますね！

 

 

 

 

直角三角形において、「直角」に対する「対辺」を
特別に、『斜辺』といいますね！

 

 

自然1番長い辺が「斜辺」になりますね！
・「直角の向かい側」　で理解してもよいですし
・「直角三角形なら1番長い辺」　で理解してもよいですね！

 

他の鋭角・鈍角三角形で「斜辺」という固有名詞はありませんね
辺AB、辺〇〇、…などと言うしかありませんね

 

 

 

 

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③　平行線と面積　(頂点の平行移動)

 

 

面積は、
△pAB も △p’AB も △p’’AB も △p’’’AB も 同じですね！
なぜなら、
三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×高さ
ですね
形は変われど、「\(\large{\frac{1}{2}}\) 」も「底辺」も「高さ」も変わっていませんものね！

 

 

と、まとめることができますね
当たり前と言えば当たり前なのですが、
「問題」で利用すると、つい見落としがちになる単元ですね！

 

 

 

 

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イ　多角形の角の性質

 

多角形の内角の総和

 

四角形の内角の総和は、「360°」ですね！
では、なぜ360°なのでしょうか？

 

それは、「四角形が三角形2つからできている」からですね！

 

 

三角形2つからできているのがわかりますね
そして、角度マークを書き足すと、

 

　ですね！

 

適当な数字で確認してみると…

 

 

よって、「四角形の内角の総和」は、2×180° = 360°
ということがわかりましたね！

 

では、5角形、6角形、・・・ n角形ではどうでしょうか

 

 

 

 

 

 

 

 

多角形の外角の総和

 

多角形の外角の総和は、「三角形の外角の和」で少し触れましたが、
何角形であろうと「360°」になります

 

例えば、「五角形」で見てみますね

 

解りやすくするために、1つの角だけを取り出しますね
外角 = 180°-その内角　でしたね、これを図で表現すると、

 

　　ですね

 

 

「総和」ということは、これの「全部バージョン」ということですね！

 

 

 

 

後は、900°から先ほど学んだ「多角形の内角の総和」を引けば
= 「多角形の外（・）角の総和」が求まりますね！

 

 

 

これを公式風に表現すると、

 

結局は、

 

 

 

 

 

 

 

 

多角形の対角線の本数

 

 

 

 

 

 

 

では n角形の対角線の本数は？

 

数字からは 規則性が見つけにくいですが、図をよく見ると・・・
ありますね、規則性が・・・

 

 

① どの図も 1つの頂点から、「自分」と「両隣」の3本が引けませんね
　ということで、一つの頂点から引ける対角線は、

 

　(n角形-3) 本

 

② 当然、n角形の頂点の数は

 

　n 個

 

よって、 (n-3)・(n頂点数) 本？
違いますね 例えば

 

③ ダブルカウント解消のため、「2」で割ります

 

 

 

 

 

《 例 》
(1) 八角形の対角線の本数は？
　\(\large{\frac{(8-3)･8}{2}}\)  = 20本　//

 

(2) 八角形のある1つの頂点から引ける対角線の本数は？
　8-3 = 5本　//

 

(3) 八角形の1つの頂点から引ける対角線によってできる三角形の数は？
　・全頂点の数-2 = 8-2 = 6個 //
　(・1つの頂点から引ける対角線の本数+1 = 5+1 = 6個 //)

 

 

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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