中学数学 平面図形と平行線の性質

 

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A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1)  平面図形と平行線の性質 (2)  図形の合同

平行線や角の性質
 ① 平行線と角
  ・ 対頂角
  ・ 同位角
  ・ 錯角
  ・ (逆) 同位角(錯角)が等しい⇒平行
  ・ 同側内角
 ② 三角形と角 (三角形の角)
  ・ 三角形の内角の和は、180°の証明
  ・ 三角形の外角とは
  ・ 三角形の外角の求め方
  ・ 四角形の外側の角(凸四角形を含む)の求め方
  ・ 三角形の外角の和
  ・ 鋭角三角形鈍角三角形直角三角形
  ・ 対角対辺とは
  ・ 三角形の対辺と対角の関係
  ・ 斜辺は重要!
 ③ 平行線と面積 (頂点の平行移動)(等積変形)
多角形の角の性質
 ・ 多角形の内角の総和
 ・ 多角形の内角の総和の公式
 ・ 多角形の外角の総和
 ・ 多角形の外角の総和の公式
 ・ 多角形の対角線の本数

 

平面図形と平行線の性質

 

ア 平行線や角の性質

 

①平行線と角

それでは、平行線と角の特徴(性質)を見ていきましょう

 

人は、「特徴」があると「名前」をつけたくなりますね!
口には出さなくても、心の中で「あの『茶髪君』いけてる!」などなど、
名前をつけた、=『特徴がある』 ということですね!

 

それでは、2本の平行線とそれを横切る直線について、3つほど。

 

 

前提として、『 直線は、180° 』ですね!

 

直線は180°の図

 

あまりに当たり前すぎて(=特徴が無さすぎて)、
つい意識の外に忘れてしまいますね。
常に意識しましょうとは言いませんが、いつでも意識の中に
呼び戻せるように、意識しましょうね!

 

 

【 対頂角 (たいちょうかく) 】

 

対頂角の図

 

・(位置関係) (つい)ですね
 (平行線は関係なかったですね…)

 

・(性質) 対頂角は等しい


 

・(物理的イメージ)
 対頂角のイメージ化

 

・(数学的証明)

 

対頂角は等しい証明図

「直線は180°」という意識の呼び戻し
    ↓
\( \small{\begin{cases}
∠a = 180°-∠c (基準: \color{red}{ 赤線 } ) \\
∠b = 180°-∠c (基準: \color{blue}{ 青線 } )
\end{cases}}\)

 

(どちらも右辺が同じ、すなわち)
 ∴ ∠a = ∠b


 

 

 

 

【 同位角 (どういかく) 】

同位角の図

・(位置関係) じような置関係の

 

・(性質) 平行  ならば  同位角は等しい


 

・(物理的イメージ)

同位角のイメージ化    


 

アルファベットのEに似ている


 

同位角が同じでない場合、
2直線をどちらかに延長し続けると・・・
同位角の異なる2直線はいずれ交わる図(右延長)
同位角の異なる2直線はいずれ交わる図(左延長)
ということですね

 

 


  平行とは  

 

同一の平面上にあって、
両方向に限りなく延長しても、
いずれの方向においても互いに交わらない直線

 

 

・(数学的証明)

同位角の証明図

 

Oから直線lとその平行線mに
垂線を下す
(三角形の内角の和は180°)
\(\small{\begin{cases}
∠a = 180°-90°-∠O (△OaAにおいて) \\
∠b = 180°-90°-∠O (△ObBにおいて)
\end{cases}}\)
(どちらも右辺が同じ、すなわち)
 ∴ ∠a = ∠b


 

 

 

 

【 錯角 (さっかく) 】

 

錯角の図

 

・(位置関係) 図のような位置関係の角
 (強いて言うなら「Z」のような?)
・(性質) 平行  ならば  錯角は等しい


 

・(数学的証明)

錯角の証明図

 

\(\small{\begin{cases}
∠a = ∠A (対頂角より) \\
∠b = ∠A (同位角より)
\end{cases}}\)
 ∴ ∠a = ∠b


 

・(物理的イメージ)は不要ですね!
楽で便利」というイメージを持つといいと思います

 

上の証明のように、∠a = ∠A (対頂角)、∠b = ∠A (同位角)
∴ ∠a = ∠b という「2段階」を踏まなくても、
∠a = ∠b (錯角)!! 一言で済みますね!

 

(昔の数学者が、この角度にも名前をつけたら楽かも?!
といことで『錯角』とか名付けたのかもですね!)
長くなってしまいましたが、「対頂角」「同位角・錯角」は、

 

名前』、『位置関係』、
平行なら、同じ角度。   同じ角度なら、平行』

 

ということだけおさえておけば、
今後の問題を解くための「使える武器」になりますね!

 

 

 

もちろん、下図のような「平行ではない場合」でも

 

平行ではない場合の同位角、錯角の位置図

 

「同位角」、「錯角」と言いますが、
問題では、9分9厘「平行」ですね!
(平行の時に力を発揮しますので)
平行ではないのは、習い初めの「名前確認テスト」「位置確認テスト」
くらいかと思います

 

 

練習問題角の特徴の利用

練習問題角の特徴の利用

 

 

〔 逆の証明 〕

(逆) 同位角(錯角)が等しい ⇒ 平行

 

まず証明を求められることはありません
問題では「同位角(または錯角)が等しいので平行!」と当たり前のように使用してOKです!
ですが念のため証明です

 

・同位角が等しい  ならば)   平行?

 

交点をそれぞれA、Bとする
平行線を横切る直線O
Oから直線mに垂線を下ろしそれぞれC、Dとする
Oからmへの垂線
△OACと△OBDにおいて
∠O = ∠O (共通)
∠a = ∠b (仮定より)
よって2つの角が等しいので
△OAC∽△OBD
∴ ∠OCAも90°
垂線は2つの平行線と直角の図
答1 ∴ 2つは相似の位置(3年)にあるので「対応する辺は平行」である
  ∴  l // m
答2 ∴ lはODの垂線、mもODの垂線
  ∴ 1つの直線に対する垂線は平行であるので
  l // m
答3 CDの外側にmに垂線を引いて交点をEFとする
 →すべて90°になる
 ∴ 四角形CDEFは平行四辺形(長方形)
 ∴ l // m

 

 

同様に
・錯角が等しい  ならば)   平行?

 

対頂角は等しいので、
1つの錯角の対頂角と他の角で証明してもよい
→以下先ほどの
同位角が等しい  ならば)   平行 と同じ証明
ですので省略しますね

 

 

 

 

同側内角

 

「同側内角」とは
同側内角aとbのセットのことをいいます

 

同側内角の和が180° ならば 平行

 

ですね。

 

(証明)

aの隣にcをとった図

図で、∠c=180°-a
よって、∠b=∠c であれば、
同位角が等しいので、2直線は平行
∠b=∠c
∠b=180°-∠a (cをaで表した)
∠a+∠b=180° (移項した)
∴ 同側内角の和が180° ならば平行


 

・同位角が等しい ならば平行 の変形版という感じでしょうか

 

 

ex. 次の図は、どのよう図形か調べましょう

 

∠BAD=130°、∠ABC=50°の四角形ABCD

 

∠EAD=50°を設定した図

 

BAの延長上にEをとる
∠EAD=180°-130°=50°
よって、 同位角が等しいのでAD//BC
∴ 台形

 


→ 証明問題で、点Eを設定するのは面倒ですね
→ 一言、同側内角の和が(130°+50°=)180°
 ∴ AD//BCな 台形 (少し楽ができましたね)

 

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

② 三角形と角

なんといっても、三角形の大特徴は、
三角形の内角の和は、180°』ですね!
図形の問題は、ほぼ三角形を原点にしてますね!

 

ポイント

 

三角形の内角の和は、180°の証明

 

(どんな形の三角形であっても) 三角形の内角ないかくの和は、180°ですね!

 

 

△ABC

 

内角とは、三角形の「内側の角」、
図でいえば ∠aや∠bや∠c ですね


 

三角形の内角の和  = ∠a+∠b+∠c = 180°ということですね

 

 

本当に180°か証明は簡単ですね! では、

 

① BCを延長します
② Cから、ABと平行な直線を伸ばします

 

ABと平行な補助線

 

まず、∠c+∠x+∠y = 180° ですね (∵ 一直線)

←読み「なぜなら」    ←読み「ゆえに」

 

そして、
\(\small{\begin{cases}
∠x = ∠a (錯角より)\\
∠y = ∠b (同位角より)
\end{cases}}\)

 

すなわち、∠c+∠x+∠y  = ∠c+∠a+∠b  = 180° 
∴ 三角形の内角の和は180° //

 

 

 

 

三角形の外角

 

三角形の『外角』とは、

 

「三角形の1辺と他の1辺の延長線がつくる角」

 

ですね
言葉では理解しにくいと思いますので、
下図のような「場所」であるという視覚的理解で十分ですね

 

三角形の外角の特徴 

 

・1つのセット外角の対頂角は「対頂角」の関係ですので、同じ角度ですね
・外角の角度は?という場合、1セットの角度を足しません、
「対頂角」の関係ですし、1つを言えば十分ですね!
ex) 頂点aの外角の角度は? → 180°-∠a

 

 

ここで、前出の「ポイント『内角の和は180°』」の下図をよく見ていただくと、
ABと平行な補助線
x+yはCの外角になっていますね!!
ということは、x+yはa+bでしたので、a+b = cの外角ですね!!

 

ポイント

 

三角形の外角の求め方

 

三角形の外角の求め方

 

① 外角 = 離れた2つの内角の和   ex) cの外角=a+b
② 外角 = 一直線いっちょくせん180°- その内角( ←当然)   ex) cの外角=180°-c

 

(当然と言えば当然ですね。
三角形の内角の和は180°、一直線も180°、180°つながりですね!)

 

ここでは文字で理解ができましたら、略図でイメージ化しますね
(今後の問題では、これ(外角)を計算するのではなく、
複雑な図形にさりげなくひそんでいる「この関係」に、
気づく」ということの方が大切ですので!)

 

外角の簡略図

  通称『内角と外角の関係』ですね
  俗にいう「スリッパの法則」ですね
  スリッパ 横から見たスリッパ?


 

 

 

《 例 》
xの角度を求めましょう

 

例題問題三角形の外角を利用

 

色々な「補助線」の引き方が考えられますね

補助線:元の図にはないが、
問題解決のために自分で引く線


 

 

 

〔補助線1〕

 

補助線1

 

 

  A. x = 130°


 

 

〔補助線2〕

補助線2

  

 

 

 ∴ x = ②+③ = 130°
 A. x = 130°


 

 

〔補助線3〕

補助線3

 

 x1 = 30°+
 x2 = 40°+
∴ x = x1+x2
 = 30°+40°++
 = 30°+40°+60° = 130°


 

 

 

ちなみに、四角形の内角の和は360°でしたね

 

四角形四角形は2つの三角形からなる図

 

∵ 四角形の内角の和  = a+b+c+d+e+f  = 2つの三角形の内角の和(a+b+c)+(d+e+f)  = 180°×2  = 360°

 

 

同様に、おう四角形の内角の和もちゃんと360°ですね

 

凹四角形凹四角形も2つの三角形からなる

 

上のとつ四角形同様、ちゃんと2つの三角形からできていますものね

 

以上より

 


公式

【 四角形の外側の角 】

 

凹、凸四角形イラスト
x = a+b+c   

 

※四角形の『外の角』 ≠ 四角形の『外角』

 

外角とその対頂角    

 

 四角形の『外角』は
 t やs の場所ですね


 

 

※注) 実は中学では、凹四角形を四角形として扱いませんので、
ちゃんと補助線を引いてxのような角度を求めてくださいね! 答のみなら… 公式で!

 

 

線分に囲まれたエリア
小・中学の四角形の定義
→ 4つの線分に囲まれた多角形

 

 

直線に囲まれたエリア
高校の四角形の定義
→ 4つの直線に囲まれた多角形でもよい

 

 

 

【 三角形の外角の和 】

 

360° です!
実は、三角形であろうと、四角形であろうと、n角形であろうと
外角の和は全て『360°』です!  後の「多角形と角」でお話しますね。

 

 

 

鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形

 

鋭 角えいかくとは … 0°超、90°未満の角
・直 角とは … 90°の角
鈍 角どんかくとは … 90°超、180°未満の角
ちなみに
平角へいかくとは … 180°の角(角というイメージはしませんが)
 (よって、0°や181°、360°などは上のどれにも当てはまりませんね
  → 固有名詞があるのは180°まで)

 

・鋭角三角形とは …1番大きい角が 90°未満
・直角三角形とは …1番大きい角が 90°
・鈍角三角形とは …1番大きい角が 90°超

 

 

ex) 1番大きい角が・・・

鋭角三角形のイラスト
 (鋭角三角形)

直角三角形イラスト
 (直角三角形)

鈍角三角形イラスト
  (鈍角三角形)


 

三角形の内角の和は180°ですので、
90°が2か所存在することは不可能ですね
90°が2か所あれば、それは四角形以上ですね

 

たとえば、タテの2線を、上に上に延ばしていくと…

 

1つの辺に対し90°と90°未満
いずれ交わる
= 三角形になれる

1つの辺に対し平行
 交わらない(平行)
 = 四角形以上

1つの辺に対し90°と90°超
上に延ばす限りは
交わらない
= 四角形以上

 


 

 

割合的に見るならば、

 

赤線
  1番大きい角

青線
  それ以外の角①

緑線
  それ以外の角②

 

 

・鈍角三角形 鈍角の場合の割合

 

 

・直角三角形 直角の場合の割合

 

 

・鋭角三角形 鋭角の場合の割合

 

 

 

 

対角・対辺

 

四角形の場合と三角形の場合で違いますね

 

・四角形の場合、対応するのは、
  角 ⇔ 角
  辺 ⇔ 辺   ですね

 

四角形の対辺、対角
例えば
 ∠aの対角は、∠c
 ∠bの対角は、∠d
 ∠cの対角は、∠a
 ∠dの対角は、∠b

 

四角形の対角イラスト
例えば
 辺ABの対辺は、辺DC
 辺BCの対辺は、辺AD
 辺CDの対辺は、辺AB
 辺ADの対辺は、辺BC


 

 

 

・三角形の場合、対応するのは・・・
  角 ⇔ 辺
  辺 ⇔ 角   ですね

 

三角形の対辺対角イラスト

 

例えば、
∠aの対辺は、辺BC
∠bの対辺は、辺AC
∠cの対辺は、辺AB


 

辺ABの対角は、∠c
辺BCの対角は、∠a
辺ACの対角は、∠b

 

 

ちなみに、三角形の「辺」に名前を付けたいとき、

 

辺の名前

対辺をとって名付ける
とすることが
多いですね!


 

もちろん、x, y, z, などを付けても、辺ABのままでもOKです

 

 

 

 

三角形の対辺と対角の関係

 

対辺の長さの順位は、対角の大きさの順位に対応しますね!

 

三角形の対辺と対角の関係イラスト

図では
∠C > ∠A > ∠B
となっていますので、
c > a > b
となりますね!


 

 

 

直角三角形において、「直角」に対する「対辺」を
特別に、『斜辺』といいますね!

 

直角三角形の直角と対辺は斜辺

 

自然1番長い辺が「斜辺」になりますね!
・「直角の向かい側」 で理解してもよいですし
・「直角三角形なら1番長い辺」 で理解してもよいですね!

 

他の鋭角・鈍角三角形で「斜辺」という固有名詞はありませんね
辺AB、辺〇〇、…などと言うしかありませんね

 

 

ポイント

 

斜辺

 

『斜辺』は勉強が進むにつれて、結構重要になってきます

 

そこで、斜辺のイメージを一つ
『斜辺』を「釣り竿」、『高さ』を「釣り糸」、
『底辺』を「海 (自分から浮きまでの距離)」とするとよいですね!

 

それでは、釣り竿を自分中心に回してみましょう

 

斜辺を釣り竿にしたイメージ図

 

ということで、斜辺(釣り竿)を回すと
全ての直角三角形を網羅(もうら)するということですね!!」
(釣り竿の角度だけで「形」が決まる)
「浮きの動きが面白いですね!」
「海中に竿を沈めるのは無理がありますが、イメージですので!」

 

 

 

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③ 平行線と面積 (頂点の平行移動)

 

底辺と高さが同じなら頂点はずれても面積は変わらない

 

面積は、
△pAB も △p’AB も △p’’AB も △p’’’AB も 同じですね!
なぜなら、
三角形の面積 = \(\large{\frac{1}{2}}\)×底辺×高さ
ですね
形は変われど、「\(\large{\frac{1}{2}}\) 」も「底辺」も「高さ」も変わっていませんものね!

 

三角形の「頂点」が、「底辺」に「平行に移動」しても面積は変わらない

 

と、まとめることができますね
当たり前と言えば当たり前なのですが、
「問題」で利用すると、つい見落としがちになる単元ですね!

 

練習問題平行線と面積

練習問題平行線と面積

 

 

 

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イ 多角形の角の性質

 

多角形の内角の総和

 

四角形の内角の総和は、「360°」ですね!
では、なぜ360°なのでしょうか?

 

それは、「四角形が三角形2つからできている」からですね!

 

四角形の内角の和が360°である理由対角線を引いた図

 

三角形2つからできているのがわかりますね
そして、角度マークを書き足すと、

 

角度マーク記入 ですね!

 

適当な数字で確認してみると…

 

適当な角度の記入

 

・70°+計130°+100°+計60° = 360°

 

・左の三角形の内角+右の三角形の内角
 = 180°+180° = 360°


 

よって、「四角形の内角の総和」は、2×180° = 360°
ということがわかりましたね!

 

では、5角形、6角形、・・・ n角形ではどうでしょうか

 

(5角形)
5角形
= 3・三角形
→ 3・180°
= 540°

 

 

 (6角形)
6角形
= 4・三角形
→ 4・180°
= 720°

 

 

(n角形)
n角形>
=(n-2)・三角形
→ (n-2)・180°


 

 

 


公式

多角形の内角の総和

 

n角形の内角の総和・・  = (n-2)・180°

 

 

ですが、実は、使う場面があまりない公式ですので、

 

三角形の数×180°

 

なんだったら、

 

三角形の数!  でもいいですね!

 

三角形の個数は?となってしまったら、
1番簡単な「四角形」で思い出せばよいですね

 

四角形

 

「2個! 」
「四角で2、ということは、 → n角なら n-2個か!」


 

 

 

 

 

多角形の外角の総和

 

多角形の外角の総和は、「三角形の外角の和」で少し触れましたが、
何角形であろうと「360°」になります

 

例えば、「五角形」で見てみますね

 

多角形の外角の総和は全て360°1多角形の1つの外角
解りやすくするために、1つの角だけを取り出しますね
外角 = 180°-その内角 でしたね、これを図で表現すると、

 

外角のイメージ  ですね

 

 

「総和」ということは、これの「全部バージョン」ということですね!

 

総外角のイメージ

 

 

五角形の内角、外角

 

麦わら帽子の個数  = 5個 (=5角形の5)
  =180°×5  = 900°
麦わら帽子


 

後は、900°から先ほど学んだ「多角形の内角の総和」を引けば
= 「多角形の角の総和」が求まりますね!

 

900°- 五角形の内角の総和  

= 900°-(5-2)・180°
= 900°-540°
= 360°(本当にやっぱり360°ですね)


 

 

これを公式風に表現すると、

n角形の外角の総和

 = \(\underbrace{ n・180° }_{ 総麦わら }\)-\(\underbrace{ (n-2)・180° }_{ 総内角 }\)
 = 180°{ (n-(n-2) } …180°でくくった
 = 180°(2) …nが消えた
 = 360° … = nに関係なく360°!


 

結局は、

 


公式

多角形の外角の総和

 

n角形の外角の総和  

= 総麦わら帽子麦わら帽子   - 総内角

 

= 結局 360° で十分ですね!

 


 

 

練習問題多角形の外角、内角

練習問題多角形の外角、内角

 

 

 

 

 

多角形の対角線の本数

 

三角形に対角線引けない

 

三角形では、対角線は1本も引けませんね
→ 0本


 

四角形に2本の対角線

 

四角形では
→ 2本


 

五角形には5本の対角線

 

五角形では
→ 5本


 

六角形には9本の対角線

 

六角形では
→ 9本


 

七角形には14本の対角線

 

七角形では
→ 14本


 

 

では n角形の対角線の本数は?

 

数字からは 規則性が見つけにくいですが、図をよく見ると・・・
ありますね、規則性が・・・

 

 

① どの図も 1つの頂点から、「自分」と「両隣」の3本が引けませんね
 ということで、一つの頂点から引ける対角線は、

 

 (n角形-3) 本

 

② 当然、n角形の頂点の数は

 

 n 個

 

よって、 (n-3)・(n頂点数) 本?
違いますね 例えば

多角形の対角線の本数

 

「AからCへ」と「CからAへ」は
ダブっています
1本につき、2回数えていますので…


 

③ ダブルカウント解消のため、「2」で割ります

 

 


公式

 

・ n角形の1つの頂点から出せる対角線の本数  = (n-3)  
 (意味)
 {線を引こうとする頂点数-(自分+両隣)}

 

・ n角形の対角線の本数 =  \(\large{\frac{(n-3)n}{2}}\)
 (意味)
 \(\large{\frac{(自分と両隣を除いた本数)(頂点数)}{2かぶり}}\)

 

 

 

《 例 》
(1) 八角形の対角線の本数は?
 \(\large{\frac{(8-3)・8}{2}}\)  = 20本 //

 

(2) 八角形のある1つの頂点から引ける対角線の本数は?
 8-3 = 5本 //

 

(3) 八角形の1つの頂点から引ける対角線によってできる三角形の数は?
 ・全頂点の数-2 = 8-2 = 6個 //
 (・1つの頂点から引ける対角線の本数+1 = 5+1 = 6個 //)

 

 


  まとめ  

 

・ n角形の頂点の数   = n 個 (当然ですね)

 

・ n角形の1つの頂点から引ける対角線の本数   = n-3 本

 

・ n角形の1つの頂点から引ける対角線によってできる三角形の数
 = n-2 個 五角形の対角線   (= 1つの頂点から引ける対角線の本数+1)

 

・ n角形の対角線の本数  = \(\large{\frac{(n-3)n}{2}}\) 本

 

 

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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