中学数学の 平方根

 

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(1) 平方根 (2) 式の展開・因数分解 (3) 二次方程式

 

平方根

 

ア 数の平方根の必要性

 

ついに3年生過程ですね!
頑張っていきましょう!

 

まずは、√ですね

 

√の簡単なイメージは、「正方形」ですね

 

面積64の正方形

下矢印

① 解らないものは、
  文字(xなど)にしていましたね!


 


面積64の正方形の1辺をxとおいた図

 

ですが! ② せっかく「2乗したら64」というヒントがあるのですから、
ただ「x」とおくのは、もったいないですね! そこで・・・
1辺を√64とおいた図

 

とおこう!というだけですね!

 

√ は「根号(こんごう)」といって、\(\small{\sqrt{64 }}\) は「ルート64」と読みますね
\(\small{\sqrt{64}}\)×\(\small{\sqrt{64}}\) = (\(\small{\sqrt{64}}\))2 = 64 となります (2乗すれば√ の中の数字になる!)

 

わからない≒x、ヒントがある≒√、答え8

 

 

《 例 》
xの値を0.5秒で答えましょう

 

面積1の正方形の1辺の長さは√1    面積3の正方形の1辺の長さは√3

 

面積81の正方形の1辺の長さは√81    面積100の正方形の1辺の長さは√100

 

面積121の正方形の1辺の長さは√121    面積20の正方形の1辺の長さは√20

 

 

そして、これらは実は、例えば、
「60kmの道のりを行くのに、2時間かかった、速さは?」の
「\(\large{\frac{60}{2}}\)km/h !」 と0.5秒で言ったのと同じようなものですね!

 

そうです! 計算できるところまで計算するのが「数学ルール」でしたね!

 

\(\small{\sqrt{1}}\) = \(\small{\sqrt{1×1}}\) = \(\small{\sqrt{1^2}}\) = 1
√ の中を「素因数分解」して、「2乗なもの」を前に出せる!
\(\small{\sqrt{3}}\) = \(\small{\sqrt{3}}\)(←これ以上どうしようもないですね、よって これが解です)

中学数学 平方根 |
= 3・3√
=9

\(\small{\sqrt{100}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・5・5}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・5^2}}\)  = 2・5√  = 10
\(\small{\sqrt{121}}\) = \(\small{\sqrt{11^2}}\) = 11
\(\small{\sqrt{20}}\) = \(\small{\sqrt{2^2・5}}\) = 2\(\small{\sqrt{5}}\)
\(\small{\sqrt{40}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・2・5}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・2・5}}\)  = 2\(\small{\sqrt{10}}\)
\(\small{\sqrt{216}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・2・3・3・3}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・2・3^2・3}}\)  = 2・3\(\small{\sqrt{2・3}}\)=6\(\small{\sqrt{6}}\)

 

 

慣れてきますと、細かく素因数分解せずとも
4 = 22 → 「4で割れたら22 get!」
9 = 32 → 「9で割れたら32 get!」
8 = 23 → 「8で割れたら22 get2が1つ残るけど!」
 となっていくかと思います」

 

 

√48→4√3

 

√の前に出す(〇√)ことは答(解)が具体的になるということですね

 

解らない→ヒントがある→解に近づけるイメージ゙

2√20の2のイメージ図

 

前に出た「2」の意味は、1辺は最低「2」
よりは大きいと解明したことと同じ!
問題に\(\small{\sqrt{5}}\) の値(2.236)がない場合は、
2\(\small{\sqrt{5}}\)が最終の答えになります


 

 

これら正方形の1辺を
①とりあえず「√ 」で表そう
②それから答えに近づけよう
が、「√ 」の大まかな基本イメージですね!

 

ただし、これらは「正方形」という「プラスだけ」を扱う「図形」の場合のお話となります!

 

例えば、正方形の図形がない場合は…
ex) x を求めましょう
・x2 = 9  A. ±3  確かに (-3)2=(-3)×(-3)=9
・x2 = 3  A. ±\(\small{\sqrt{3}}\)  確かに (-\(\small{\sqrt{3}}\))2=(-\(\small{\sqrt{3}}\))×(-\(\small{\sqrt{3}}\))=3
・x2 = 20  A. ±2\(\small{\sqrt{5}}\) 確かに (-2\(\small{\sqrt{5}}\))2=(-2\(\small{\sqrt{5}}\))×(-2\(\small{\sqrt{5}}\))=4×5=20

 

というふうに「-」の方もちゃんと解として成立していますね!

 

 

そして、この x の値のことを平方根(へいほうこん)とも言いますね

 

ex)
・9の平方根は A. ±3
・3の平方根は A. ±\(\small{\sqrt{3}}\)
・20の平方根は A. ±2\(\small{\sqrt{5}}\)

 

(右)平方は?、(左)平方根は? 

 

平方」しましょう  = 「2乗しましょう
平方根」は?  = 「±√をつけましょう

 

 

● この後に学ぶ「二次方程式」のために、もう少し掘り下げますね!

 

「x2の平方根は、右辺の値に±√をつけたもの」
ex) x2 = 4 → x = ±\(\small{\sqrt{4}}\)
 x2 = y → x = ±\(\small{\sqrt{y}}\)

 

    \(\Downarrow\) もっと言えば

 

「x2の平方根は、右辺丸々に±√をつける」
ex) x2 = y-3 → x = ±\(\small{\sqrt{y-3}}\)
 x2 = a+b+c → x = ±\(\small{\sqrt{a+b+c}}\)

 

    \(\Downarrow\) もっと言えば

 

左辺丸々を2乗の形ならば、右辺丸々に±√をつければ、左辺の2乗がとれる
ex)
・ (x+3)2 = \(\large{\frac{3}{5}}\) → x+3 = ±\(\small{\sqrt{\large{\frac{3}{5}}}}\)
・(x-4)2 = y-2 → x-4 = ±\(\small{\sqrt{y-2}}\)
・(a+b+c)2 = d+e+f → a+b+c = ±\(\small{\sqrt{d+e+f}}\) ですね!

 

ポイント

「左辺丸々2乗」なら、「右辺丸々に±√」  
(をつければ、左辺の2乗がとれる)

 

cf. (x+1)2-1 = \(\large{\frac{5}{4}}\) などは-1を右辺に移項すれば、
「左辺丸々2乗」の形になりますね!

正確には、新等式の性質
「両辺を\(\large{\frac{1}{2}}\)乗(=両辺に√をつける)しても成り立つ」ですね
ex) (x-4)2 = y-2
→ ±\(\small{\sqrt{(x-4)^2}}\) = ±\(\small{\sqrt{y-2}}\)
考えることが増えてしまいますので忘れて下さい
「左辺丸々2乗」なら、「右辺丸々に±√」で十分です

 

 

 

余談

 

とりあえず置く √ と log

 

「とりあえず置いてしまおう!」
それから「計算して、解に近づけていこう!」というものが
数学には結構ありますね!
中学では「√ 」、高校では「log」などでしょうか

 

√とlogの考え方の共通点

 

変に「え~と」と考えるより、「0.5秒でおいてしまう!」というのも
「あり」かと思います

 

そして、慣れてきたら
「え~と・・・±2\(\small{\sqrt{3}}\) や 4 」と頭の中で計算できるように
なればよいのかなと思います

 

 

 

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① 平方根の大小

 

整数の大小は、例えば
-6<-2<0<1<3<7 で、これを数直線上に表せば、

 

数直線-6~7

 

で、右にあればあるほど、大きくなりますね

 

そこでこれらを、単純に「2乗」してみると
 (-6)2= 36、(-2)2= 4、  02= 0、  12= 1、  32= 9、  72= 49
 マイナスの値がプラスになって
 先ほどと順序が変わってしまいますね!

 

2乗しても位置関係が変わらないようにするには
どのように2乗すればよいのでしょうか? 簡単ですね
→マイナス側は、マイナスを外して2乗して、またマイナスを付ける
→ すなわち、数字だけを2乗すれば、 大小関係は元と同じですね!

 

これで、√ のついたものの大小も
はっきりしてきますね!

 

 ポイント

√付きの大小関係
 ・ 「2乗」してみる
 ・ マイナスの時は、数字だけ2乗する

 

ただそれだけですね

 

《 例 》
 不等号を入れましょう

・\(\small{\sqrt{12}}\) □ \(\small{\sqrt{15}}\)  2乗すると、12と15  ∴ \(\small{\sqrt{12}}\) \(\small{\sqrt{15}}\)
・6 □ \(\small{\sqrt{34}}\)  2乗すると、36と34   ∴ 6 \(\small{\sqrt{34}}\)
・-\(\small{\sqrt{5}}\) □ 2.236  プラスとマイナスは当然に  ∴ -\(\small{\sqrt{5}}\) 2.236
・-2\(\small{\sqrt{3}}\) □ -\(\small{\sqrt{15}}\)  数字だけ2乗すると、-12と-15  ∴ -2\(\small{\sqrt{3}}\) -\(\small{\sqrt{15}}\)

 

 

 

 

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② 有理数・無理数

 (数の分類)

 

有理数・・・分数で表せる数
無理数・・・分数で表せない数

 

これは、一体どういう意味なのでしょうか?

 

 

まず、「分数」は「比」でしたね!
例えば、下の三角形の小三角形と大三角形の辺の「比」は、1:2 ですね

 

 

これを、「分数」で表すと、
 小を基準にすれば、  大は\(\large{\frac{2}{1}}\)(倍)
 大を基準にすれば、  小は\(\large{\frac{1}{2}}\)(倍)

 

よって、\(\small{\begin{cases}
1:2 \small{=} 1.5:x \\
\large{\frac{2}{1}} \small{=} \large{\frac{x}{1.5}} \\
\large{\frac{1}{2}} \small{=} \large{\frac{1.5}{x}} 
\end{cases}}\) どれで求めても、x = 3 ですね ∴ 分数は「比」

 

∴ 分数で表せる → 整数比で表せる数は整数比で表せる → 有造語です

 

 

 

対して、数は分数で表せない → 整数比で表せない → 無造語です

 

 無理数のイメージ図は

 

無理数のイメージ

 

具体的には、無理数とは「循環しない無限小数」でしたね、
 「π」と「√ の残るもの」ということですね

 

《 例 》
●「整数」は、当然全て分数で表せるので「有理数」ですね
ex) 1 → \(\large{\frac{1}{1}}\)  0 → \(\large{\frac{0}{3}}\)    -5 → -\(\large{\frac{5}{1}}\)

 

●「分数」は、分数と言うぐらいだから「有理数」ですね

 

●「有限小数(…と続かずにピシッと終わる)」も分数で表せるので「有理数」ですね
ex) 0.35 → \(\large{\frac{35}{100}}\)  0.00006 → \(\large{\frac{6}{100000}}\)  -0.08 → -\(\large{\frac{8}{100}}\)

 

cf. 有限小数になる分数は、分母が「2」か「5」の素因数のみでできている
  (他の素因数があると無限小数になる)

 \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}}}\) = 0.5 (有限)
 \(\large{\frac{1}{3}}\) = 0.333・・・
 \(\large{\frac{1}{4}}\) = \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}^2}}\) = 0.25 (有限)
 \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 5}}}\) = 0.2 (有限)
 \(\large{\frac{1}{6}}\) = \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}\ \cdot \ 3}}\) = 0.1666・・・
 \(\large{\frac{1}{7}}\) = 0.142857・・・
 \(\large{\frac{1}{8}}\) = \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}^3}}\) = 0.125 (有限)
 \(\large{\frac{1}{9}}\) = \(\large{\frac{1}{3^2}}\) = 0.111・・・

 

●「循環する無限小数」も、分数で表せますね→「有理数」

 

ex) 0.3 → 「点のある数字で繰り返すという意味」
  0.3 → 0.3333…  → x = 0.3333…とおきます
 両辺を10倍すると  → 10x = 3.3333…
 (後の引き算で、小数点以下が消えるように、(小数第1位を合わせて) 10の何乗かをする)

 

 引き算をしてみると

 

  10x = 3.3333…
-)  x = 0.3333… 
   9x = 3  
 ∴ x = \(\large{\frac{3}{9}}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\) 確かに 1÷3 = 0.3333…

 

 

ex) \(0.\dot{5}7142\dot{8}\) → 「点をたくさん打つのは大変なので、スパンの始まりと終わりにだけに点を打ちます(数学ルール)
 0.571428 → 0.571428571428… 
 x = 0.571428…とおくと、1000000x = 571428.571428…

 

  1000000x = 571428.571428…
-)      x =     0.571428…  
   999999x = 571428
 ∴ x = \(\large{\frac{571428}{999999}}\) = \(\large{\frac{4}{7}}\)

 

●「循環しない無限小数」は、「引き算技」も使えず → 分数表示不可 → 無理数
 \(\small{\sqrt{4}}\) = 2 → 有理数
 \(\small{\sqrt{3}}\) = \(\small{\sqrt{3}}\) → 無理数(最終的に√が残れば「無理数」)
 \(\small{\sqrt{8}}\) = 2\(\small{\sqrt{2}}\) → 無理数 (√が残ったので無理数)

 

そして、円周率π (3.14141356…)も循環しない無限小数 → 無理数ですね!

 

 

 

 

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イ 数の平方根を含む式の計算

 

① 有理化

有理化とは、分数の分母に √ がこないようにすることですね!

 

数字は、「どのような 1」を掛けても、元の数字に変化はありませんね!
例えば、「3」という数字に、
 「1という1」を掛けても、
 「\(\large{\frac{2}{2}}\) という1」を掛けても、
 「\(\large{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}\)という1」を掛けても、
 「\(\large{\frac{0.33}{0.33}}\) という1」を掛けても、「3」ですね!

 

これを利用して、分母の√ をとる作業が、「有理化」ですね!

 

《 例 》
・ \(\large{\frac{3}{\sqrt{2}}}\) を有理化しましょう

 

\(\large{\frac{3}{\sqrt{2}}}\) には「どのような1」を掛ければ、分母にある√ がとれるのでしょうか?
 → 「\(\large{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\)という1」ですね!
∴ \(\large{\frac{3}{\sqrt{2}}}\)×\(\large{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\) = \(\large{\frac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2^2}}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

 

 

・ \(\large{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}\) を有理化しましょう
 \(\large{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}\)×\(\large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\) = \(\large{\frac{\sqrt{3\cdot2×3}}{3}}\)  = \(\large{\frac{3\sqrt{2}}{3}}\)  = \(\small{\sqrt{2}}\)

 

これは実は、次に学ぶ \(\large{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{a}{b}}}}\) でもOKなのですが、あまりにも有理化の経験回数の方が増えていくと思いますので、忘れがちになりますね!

 

逆を言えば、「有理化さえできれば間違いなし!」ですね

 

「有理化」は数学ルールですので、「約分」と同じように、最後の答えは
必ず「有理化」してくださいね!
(ただし、高校の「三角関数」の場面では有理化は、ほぼ不要ですね)

 

 

 

 

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② 乗法・除法

 

公式

 

根号の乗法・除法

 

大前提として、

 

ルートの中は必ずプラスであること
ルートの中は「+(プラス)」

でなければいけません (数学ルール)
なぜなら、根号は、

「2乗すれば
中学数学 平方根 |
のような数字になる」

という意味ですから、
2乗して「-(マイナス)」になる数字はありませんね!

 

ex) (+1)×(+1) = +1

    (-1)×(-1) = +1


 

それを踏まえて、公式というほどではありませんが、

 

 ・ a×\(\small{\sqrt{b}}\) = a\(\small{\sqrt{b}}\)

 

 ・ \(\small{\sqrt{a}}\)×\(\small{\sqrt{b}}\) = \(\small{\sqrt{ab}}\)

 

 ・ \(\large{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{a}{b}}}}\)

 

 

 

《 例 》 計算しましょう

 

・ \(\small{\sqrt{2}}\)×\(\small{\sqrt{5}}\) = \(\small{\sqrt{10}}\)
・ 2×\(\small{\sqrt{6}}\) = 2\(\small{\sqrt{6}}\)
・ 4\(\small{\sqrt{5}}\)×2\(\small{\sqrt{10}}\) = 8\(\small{\sqrt{5×5\cdot2}}\)   = 40\(\small{\sqrt{2}}\)
・ \(\large{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{6}{3}}}}\) = \(\small{\sqrt{2}}\)
・ \(\large{\frac{\sqrt{24}}{2\sqrt{3}}}\) \(\small{\begin{cases}
\scriptsize{=} \large{\frac{\sqrt{3\cdot8}}{2\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \large{\frac{2\sqrt{3\cdot2}}{2\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{\large{\frac{3\cdot2}{3}}}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{2}} …先に分子スッキリ \\
\scriptsize{=} \large{\frac{\sqrt{3\cdot2^3}×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \large{\frac{6\sqrt{2}}{6}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{2}} …先に分母スッキリ
\end{cases}}\)

 

(√ の計算問題で、どのように解けば楽かを考えることは大切ではありますが、
まずは有理化がおすすめかなと思います
もちろん自分が1番得意な思考回路で解くことが1番ですが!)

 

 

 

《 例 》 逆に全て√ の中に収めましょう( \(\small{\sqrt{a}}\) の形)

 

・ 2\(\small{\sqrt{3}}\) = \(\small{\sqrt{2^2×3}}\) = \(\small{\sqrt{12}}\)
・ 3\(\small{\sqrt{2}}\) = \(\small{\sqrt{3^2×2}}\) = \(\small{\sqrt{18}}\)

 

 

 

余談

 

平方根の近似値の求め方

 

12m2の土地の広さを想像する時、おそらく

 

土地の広さを想像する1土地の広さを想像する2

 

などの長方形で、広さをイメージするのではないでしょうか
そして、正方形でイメージするためには、1辺は「小数」になりそうだと
諦めたこともあるのではないでしょうか

 

そうです、正方形で1辺の長さを求めるには、地道な作業が必要なのですです
面積12の1辺は? \(\small{\sqrt{12}}\) !なら本当に楽なのですが、
今は「近似値」を求めようとしているのでしたね

 

√の近似値求め方

(方法)
整数部分は?   12に近い整数の2乗は、  3×3=9セーフ
  4×4= 16 アウト  ←12を超えた!OUT!
3<x<4 → x(12の正方形の1辺)は、  3.△△△…は確定!

 

小数第1位は?   3.2×3.2=10.24セーフ   3.4×3.4=11.56セーフ 
  3.5×3.5=12.25アウト  ←12を超えた!
3.4<x<3.5 → xは、  3.4△△…は確定!

 

少数第2位は?   3.45×3.45=11.9025セーフ   3.46×3.46=11.9716セーフ 
  3.47×3.47=12.0409アウト  ←12を超えた!
3.46<x<3.47 → xは、  3.46△…は確定!

 ・
 ・
 ・

 

このように地道に「あたり」を探しながら求めていくことになります・・・

 

ですが安心して下さいね、
試験では、小数第1位まで求める知識があれば十分ですので!
(4桁×4桁のような掛け算をさせられることはありません)

 

ちなみに、
   32 = 9
(3.4)2 = 11.56
(3.46)2 = 11.9716

  ・
  ・ 
  ・

これを続けると、11.99999…というふうに「12」に近づいていきますね
「12」になることはありませんが!

 

 

以下は近似値の有名なゴロ合わせです

 

\(\small{\sqrt{2}}\) = 1.414 21356…  (ヒトヨヒトヨ ニヒトミゴロ)  (一夜一夜に人見ごろ)

 

\(\small{\sqrt{3}}\) = 1.732 0508…  (ヒトナミニ オゴレヤ)  (人並みにおごれや!)

 

\(\small{\sqrt{5}}\) = 2.236 0679…  (フジサンロク オウムナク)  (富士山麓 オウム鳴く)

 

 

30年で人や街並みは変われど、√の近似値は変わらないのですね…当然ですね

 

『自然の摂理』が決める「数学」は、変わりませんが、
『人間』が決める「社会科」は、変わりますね!

 

 「いい国造ろう(1192)鎌倉幕府」が「いい箱(1185)作ろう鎌倉幕府」という教科書もあるみたいですね!

 

 

 

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③ 加法・減法

根号を含む加法・減法は、√を「文字」と同じように扱えばよいだけですね!

 

√をxのように文字として扱う

 

 

 

《 例 》

 

\(\large{\frac{36}{\sqrt{24}}}\)-\(\small{\sqrt{\large{\frac{3}{2}}}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{64}}{3}}\)

=\(\large{\frac{36\sqrt{24}}{24}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{8}{3}}\) …有理化など
=\(\large{\frac{3\sqrt{24}}{2}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{8}{3}}\) …約分
=\(\large{\frac{3・2\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{8}{3}}\) …前出し
=3\(\small{\sqrt{6}}\)-\(\large{\frac{\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{8}{3}}\) …約分
=\(\large{\frac{18\sqrt{6}-3\sqrt{6}-16}{6}}\) …通分
=\(\large{\frac{15\sqrt{6}-16}{6}}\) …分子の計算
=\(\large{\frac{5\sqrt{6}}{2}}\)-\(\large{\frac{8}{3}}\) //


 

 

 

 

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ウ 具体的な場面での平方根を用いた処理

 

《 例 》
1辺の長さが1の正方形の対角線の長さは? (三平方の定理を使わない)

 

1辺1の正方形

 

同じものを4枚くっつけると見えてきますね!

 

1辺1の正方形×4枚

 

1辺1の正方形の半分
の面積は?

 → \(\large{\frac{1}{2}}\)・1・1 = \(\large{\frac{1}{2}}\)

それが4つ集まった 
1辺1の正方形の半分×4
 の面積は?

 → \(\large{\frac{1}{2}}\)・4個 = 2

 

1辺1の正方形の半分×4

 

は4つの辺、4つの角が
等しいので正方形


xは正方形  
面積2の正方形
 の1辺

∴ x = \(\small{\sqrt{2}}\) //

 


 

 

 

 

√に関する文章問題はあまりないですね!

 

やはり、√に関する問題は、計算問題、パズルチックな問題がほとんどとなりますね

 

 

《 例 》 計算しましょう
・ (-\(\small{\sqrt{2}}\))2 = 2
・-(\(\small{\sqrt{2}}\))2 = -2
 例題問題ルートに関する計算問題

-2 ではありません!

√〇
の中は「プラス」
でなければいけない
という

大鉄則がありましたね!
よって、これの正体は、  「2乗したら4」
すなわち  「4の平方根(\(\small{\sqrt{4}}\))」ですね!
問題作者が、4が√ の中にいることをいいことに
(-2)2 といういたずら変形を加えたものですね

 

 

プラス は 、 「 いったん √ 内で計算」を…省けるから  →「2個あれば出られる」
 √の中が(+)^2

 

マイナスは、「いったん √ 内で計算」を省けない
 √の中が(-)^2

 

 

 

《 例 》
・\(\small{\sqrt{(3-\pi)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{(3-3.14…)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{(-0.14…)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{(-1)^2\cdot(0.14…)^2}}\)  = \(\small{\sqrt{(0.14…)^2}}\)  = 0.14…  = π-3

 

 ちょっと不思議ですね!この原理は
①数字は2乗すれば必ずプラス (-3)×(-3)= 9
②√の中は必ずプラス この2つの条件から

 

→√の中で2乗なものは『その絶対値』を√の前に出せる ということにつながりますね
→上の「マイナスの場合  (\(\small{\sqrt{(-2)^2}}\) = \(\small{\sqrt{4}}\) = \(\small{\sqrt{2^2}}\) = 2)において いったん√の中で計算を省けない」というものなどは、「絶対値を前に出す」の簡易バージョンということになりますね

 

・\(\small{\sqrt{(5-3)^2}}\) ←プラスとわかればそのまま出してもよいですね  = (5-3) = 2 もちろん先に中を計算してもよい   \(\small{\sqrt{2^2}}\) = 2 ですね

 

・\(\small{\sqrt{(3-5)^2}}\) = マイナスの場合の絶対値を前に出すと  = -(3-5)  = 2  または = \(\small{\sqrt{(-2)^2}}\)  = 絶対値を前に出す  → 2 
もちろん「簡易バージョン」で「いったん中で計算」  → \(\small{\sqrt{4}}\) = 2 でもかまいません

 

・\(\small{\sqrt{(3-\pi)^2}}\) の「3-π」は…「-」!  → ∴ -(3-π)  = π-3

 

 

 

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① 整数部分・小数部分

 

《 例 》 「整数部分」を答えましょう

 1.732


 

・ \(\small{\sqrt{2}}\) → 1×1=1セーフ2×2=4アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{2}}\)  =1.△△△ A. 1

 

例題問題√の整数部分を求める


 

・ \(\small{\sqrt{15}}\)   → 3×3=9セーフ  4×4=16 アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{15}}\)  =3.△△△ A. 3

 

・ \(\small{\sqrt{27}}\) → 5×5= 25 セーフ  6×6= 36 アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{27}}\)  =5.△△△ A. 5

 

・ 2\(\small{\sqrt{6}}\) ←外の2は「整数部分」ではありません!「最低2はある」という意味にとどまります → \(\small{\sqrt{24}}\) ←中に入れる → 4×4= 16 セーフ  5×5=25 アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{24}}\)  =4.△△△ A. 4

↑「2」を中に入れずに、「6」の整数部分「2」をもとめて、
(外の2)  ×(6の整数部分の2)  =4でもよいのでは?
→ ダメです!たまたまです!必ず中に入れてください!
次の問題で確認ですね

 

・ 3\(\small{\sqrt{7}}\) → \(\small{\sqrt{63}}\) → 7×7= 49 セーフ  8×8=  64 アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{63}}\)  =7.△△△ A. 7

中に入れずに行うと…  (外の3)  ×(7の整数部分2)  = 6
→ 中に入れると、限界に大きいものを探すことができる!

 

・ 4+\(\small{\sqrt{5}}\)   → \(\small{\sqrt{5}}\) 単体の整数部分は   → 2×2=4セーフ  3×3=9アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{5}}\) = 2.△△△   → 4+2.△△△  = 6.△△△ A. 6

 

・ 4-\(\small{\sqrt{5}}\) ←-の時は注意! → \(\small{\sqrt{5}}\) 単体の整数部分は → 2×2 =4セーフ  3×3 =9アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{5}}\) = 2.△△△ → 4-2.△△△  = 1.△△△
 ex. 4-2.2 = 1.8   A. 1

 

 

 

 

《 例 》 「小数部分」を答えましょう

 

まずは「整数部分」を求めることになりますね!
「全部」-「整数部分」   = 「小数部分」

 

  2.6457513…(全部)
-)   2    (整数部分)
  0.6457513…(小数部分)

 

・ \(\small{\sqrt{8}}\) → 2×2=4セーフ  3×3=9アウト
 ∴ 整数部分は 2 ∴ 小数部分は \(\small{\sqrt{8}}\)-2

 

・ 2\(\small{\sqrt{7}}\) → \(\small{\sqrt{28}}\) → 5×5= 25 セーフ  6×6=36 アウト
 ∴ 整数部分は 5 ∴ 小数部分は 2\(\small{\sqrt{7}}\)-5

 

・ 6+\(\small{\sqrt{3}}\) → \(\small{\sqrt{3}}\) 単体の整数部分は → 1×1=1セーフ  2×2= 4アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{3}}\)  =1.△△△   ∴ 整数部分は 6+1.△△△  → 7
 ∴ 小数部分は  6+\(\small{\sqrt{3}}\)-7  = -1+\(\small{\sqrt{3}}\)

 

・ 6-\(\small{\sqrt{3}}\) ←-の時は注意! → \(\small{\sqrt{3}}\) 単体の整数部分は → 1×1=1セーフ  2×2=4アウト
 ∴ \(\small{\sqrt{3}}\)= 1.△△△ ∴ 整数部分は  6-1.△△△  = 4.△△△  → 4
 ∴ 小数部分は  6-\(\small{\sqrt{3}}\)-4  = 2-\(\small{\sqrt{3}}\)

 

 

 

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② 根号を無くす自然数m

 

《 例 》
\(\small{\sqrt{24m}}\) が自然数になるための、自然数mの最小の値を求めましょう

 

1番簡単なのは、  m = 24 の時ですね!  → \(\small{\sqrt{24\cdot\color{red}{24}}}\)  = 24
ですが、24より小さい数字でも√ がとれそうですね
→ \(\small{\sqrt{24m}}\) = \(\small{\sqrt{2^2\cdot6\cdot m}}\) ∴ 最小の自然数m = 6 ですね

 

この手の問題は、
「どうすれば、√の中身が全て2乗になりますか?」ということですね!
すなわち、√の中身が、
\(\small{\sqrt{〇\color{red}{^2}\cdot\color{red}{1^2}\cdot△\color{red}{^2}\cdot□\color{red}{^2}\cdot\color{red}{1^2}}}\) のように「全て2乗」な形、
すなわち、もっと極端にいうと、√の中が

√〇^偶数・1
のように

全てが、偶数乗か、  1( = 12)」になればよいということですね!

 

 

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数・・・になるような、自然数・・・mは何個・・ありますか?

 

→ \(\small{\sqrt{8m}}\) = \(\small{\sqrt{2^2\cdot2\cdot\color{red}{m}}}\) ←22 は前に出られますが、出さずに√ の中の先頭にでも置いておいて下さいね!
√2^2・2を整数にするm=2√2^2・2を整数にするm=4√2^2・2を整数にするm=6√2^2・2を整数にするm=8
∴ m = 2、8、18、32、…   A.  無限にある

 

 

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数・・・になるようなmのうち、最小・・自然数・・・は?

 

→ (上の問より)   A. m = 2     

・自然数(=正の整数)  1,2,3,4…
 「マイナス」「0」 不可
・整数 … -1,0,1,2…
 「マイナス」「0」   OK


 

 

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が整数・・になるようなmのうち、最小の整数・・は?
→ 「√の中はプラス」よりm≧0、m = 0の時、  \(\small{\sqrt{8m}}\)   = \(\small{\sqrt{8\cdot0}}\)   = \(\small{\sqrt{0}}\)   = 0
A. m = 0

 

整数
・・・ -2,-1,0,1,2・・・
ですが、√ の中が「-(マイナス)」はあり得ないので、
この問題では、0,1 2 3 4・・・

 

 

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数・・・になるようなmのうち、最小の整数・・は?

 

→ m = 0 の時、 \(\small{\sqrt{8m}}\)   = \(\small{\sqrt{8\cdot0}}\)   = \(\small{\sqrt{0}}\)   = 0自然数ではない!OUT
∴ \(\small{\sqrt{8m}}\) = \(\small{\sqrt{2^2\cdot2\cdot m}}\) より   A. m = 2

 

 

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) 最小の整数・・になるような、自然数・・・mの値は?

 

↑mが最小ではなく、√が最小ですね
→ ( )が「0」の時、\(\small{\sqrt{5\cdot0}}\)   = \(\small{\sqrt{0}}\)   = 0
∴ ( ) = 0 → (60-m)が0 → 60-m = 0 → m = 60 の時
A. m = 60

 

 

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が最小の自然数・・になるような、自然数・・・mの値は?

 

√が最小の自然数ですね
→ √が自然数なので0はダメ = (60-m)が0はダメ
∴ \(\small{\sqrt{5\cdot\color{red}{5}}}\) の時が最小の自然数ですね!
→ 60-m = 5 → m = 55   A. 55

 

 

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が自然数・・・になるような、最小の整数・・mの値は?

 

mが最小の整数
→ √ の中が全て2乗になるために、考えられる(60-m)は…
(5・12)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・1^2)}}\) ∴ 60-m=5・12  → m=55
(5・22)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・2^2)}}\) ∴ 60-m=5・22  → m=40
(5・32)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・3^2)}}\) ∴ 60-m=5・32  → m=15
(5・42)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・4^2)}}\) ∴ 60-m=5・42  → m=-20

 ・
 ・
 ・

∴ mは整数より「マイナス」もOK → 永遠に続く!
A. 解なし

 

 

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が自然数・・・になるような、最小の自然数・・・mの値は?

 

→ 上と同じであるが、mが自然数・・・→ mが「マイナス」はOUT!
(上の問題より) A. 15

 

 

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が最小の自然数になるような、自然数mの値は?

 

→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\)   = 2\(\small{\sqrt{\large{\frac{2}{m}}}}\) ∴ m =2 ではダメですね!  \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{2}}}}\)   = 2
→ 普通に、m = 8 のときですね! \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{8}}}}\)   = \(\small{\sqrt{1}}\)   = 1 A. m = 8

 

これは、22 を√の前に出してしまったからのミスですね!
→ 先に出たきた「出さずに√の中の先頭にでも置いておいて下さいね!」
ですね、実は√の中が「掛け算だけ」の時は、前出しOKなのですが、
「割り算」の時は、前出しは危険ですね!
よって、そのような「場合分け」は面倒ですので、いつでも
出さずに√ の中の先頭にでも置いておいて下さいね!」ですね!

 

 

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が自然数になるような、最小の自然数mの値は?

 

mが最小
→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\) A. m = 2

 

 

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が自然数になるような、最大の自然数mの値は?

 

mが最
→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\)
∴ m = 22・2のとき A. m = 8

 

ちなみに、

m = 22・2・22 → \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{2^2\cdot2\cdot\color{red}{2^2}}}}}\)   = \(\small{\sqrt{\large{\frac{1}{2^2}}}}\)   = \(\small{\sqrt{\large{\frac{1^2}{2^2}}}}\)   = \(\small{\sqrt{\left( \large{\frac{ 1 }{ 2 }} \right )^2}}\)   = \(\large{\frac{1}{2}}\)
m = 22・2・32 → \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{2^2\cdot2\cdot\color{red}{3^2}}}}}\)   = \(\small{\sqrt{\large{\frac{1}{3^2}}}}\)   = \(\large{\frac{1}{3}}\)
m = 22・2・42 → \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{2^2\cdot2\cdot\color{red}{4^2}}}}}\)   = \(\small{\sqrt{\large{\frac{1}{4^2}}}}\)   = \(\large{\frac{1}{4}}\)

 ・
 ・
 ・

と、mの値はいくらでも大きくできますが、
\(\large{\frac{1}{2}}\)、\(\large{\frac{1}{3}}\)、\(\large{\frac{1}{4}}\)は自然数ではないですから… OUT!ですね!

 

ポイント

・どうすれば、\(\small{\sqrt{〇^2}}\) や \(\small{\sqrt{1^2}}\) の形になるか
・前出しはしない
・「自然数」、「整数」 の違い
・どっちの最小を求めよと言っているのか?
 (√の値なのか、mの値なのか)

 

 

 

√は、計算問題・パズルチックな問題がメインになりますね!

 

 

 

お疲れ様でした !!

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で !!

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2017/12/5 23:12  
 
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