中学数学の　平方根

  √を簡単な形にする方法  

「2乗すれば中の数字」より
　↓
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{(　　)^2}}\)  ) なら√が不要
　↓
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{(　　)^2}}\)  ) なら√の前に出せる 
　||
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{〇^2・□^2・☆^1}}\)  ) なら、2乗の形のものは√の前に出せる 

\(\small{\sqrt{1}}\) = \(\small{\sqrt{1×1}}\) = \(\small{\sqrt{1^2}}\) = 1
√ の中を「素因数分解」すれば、「2乗なもの」を発見できますね！
(素因数分解のしかた)
\(\small{\sqrt{3}}\) = \(\small{\sqrt{3}}\)(←これ以上どうしようもないですね、よって これが「最も簡潔な形」です)

\(\small{\sqrt{100}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・5・5}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・5^2}}\)  = 2・5√  = 10
\(\small{\sqrt{121}}\) = \(\small{\sqrt{11^2}}\) = 11
\(\small{\sqrt{20}}\) = \(\small{\sqrt{2^2・5}}\) = 2\(\small{\sqrt{5}}\)
\(\small{\sqrt{40}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・2・5}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・2・5}}\)  = 2\(\small{\sqrt{10}}\)
\(\small{\sqrt{216}}\) = \(\small{\sqrt{2・2・2・3・3・3}}\)  = \(\small{\sqrt{2^2・2・3^2・3}}\)  = 2・3\(\small{\sqrt{2・3}}\)=6\(\small{\sqrt{6}}\)

慣れてきますと、細かく素因数分解せず
平方数で割っていくと楽 と思うようになりますね
4 = 22 → 「4で割れたら22 get！」
9 = 32 → 「9で割れたら32 get！」

\(\small{\sqrt{20}}\)＝\(\small{\sqrt{\color{red}{4}\ \cdot \ 5}}\)＝2\(\small{\sqrt{5}}\)
\(\small{\sqrt{27}}\)＝\(\small{\sqrt{\color{red}{9}\ \cdot \ 3}}\)＝3\(\small{\sqrt{3}}\)
\(\small{\sqrt{50}}\)＝\(\small{\sqrt{\color{red}{25}\ \cdot \ 2}}\)＝5\(\small{\sqrt{2}}\)

よく出てくるものは
\(\small{\sqrt{8}}\) = 2\(\small{\sqrt{2}}\)！
など、勝手に憶えてしまいますね

\(\small{\sqrt{64}}\) ＝ ±8　？？？

これは慣れてきたころによく起こる小混乱ですね

\(\small{\sqrt{64}}\)は、すでに√がついているので、64の平方根で
－がついていないので、＋の方の平方根ということですね
その＋の方の平方根である\(\small{\sqrt{64}}\)を簡潔な形にせよ　という問題ですね

\(\small{\sqrt{64}}\)を見たときに
→ √がついている → 「64の平方根は？ということか」というアとイをごちゃまぜにした読み方 → 小混乱

\(\small{\sqrt{64}}\)を見たときは
→ √がついている → 「これは64の平方根！(プラスの方の)」と読めば → 「(イ)簡単な形は？」ということか

《 例 》
\(\small{\sqrt{64}}\)の値を求めよ
この問いをくどく言いなおすと
(64の平方根の＋（プラス）の方の値である) \(\small{\sqrt{64}}\)の (最も簡潔な形にした) 値を求めよ　ですね

∴ \(\small{\sqrt{64}}\)＝+\(\small{\sqrt{64}}\)＝\(\small{\sqrt{8^2}}\)＝8

他に考えられる小混乱は、
\(\small{\sqrt{64}}\)は\(\small{\sqrt{(+8)^2}}\)とも\(\small{\sqrt{(-8)^2}}\) とも変形できるし…
2乗の形のものは前に出せるから、±8？

→ ダメです！
「2乗の形のものは√の前に出せる」  → 正確には「2乗の形のものの絶対値が前に出せる」ですね (後述)
\(\small{\sqrt{(-8)^2}}\) → ｜-8｜  → -(-8) ＝8 　(絶対値の外し方)

「左辺丸々2乗」なら、「右辺丸々に±√」　　
(をつければ、左辺の2乗がとれる)

cf. (x+1)2-1 = \(\large{\frac{5}{4}}\) などは-1を右辺に移項すれば、
「左辺丸々2乗」の形になりますね！

とりあえず置く　√　と　log

「とりあえず置いてしまおう！」
それから「ルールに基づいて、簡潔な形に近づけていこう！」というものが
数学には結構ありますね！
中学では「√ 」、高校では「log」などでしょうか

変に「え～と」と考えるより、「0.5秒でおいてしまう(実はそれが解)！」というのも
「あり」かと思います

そして、慣れてきたら
「え～と・・・±2\(\small{\sqrt{3}}\) や 4 」と頭の中で簡潔な形にできるように
なればよいのかなと思います

√付きの大小関係
　・ 「2乗」してみる
　・ マイナスの時は、数字だけ2乗する
または
　・ 逆に全部√の中に入れる(全部\(\small{\sqrt{a}}\)の形にする)

・\(\small{\sqrt{12}}\)　□　\(\small{\sqrt{15}}\)　　2乗すると、12と15　 ∴ \(\small{\sqrt{12}}\) ＜\(\small{\sqrt{15}}\)
・6　□　\(\small{\sqrt{34}}\)　　2乗すると、36と34　　 ∴ 6 ＞\(\small{\sqrt{34}}\)
・-\(\small{\sqrt{5}}\)　□　2.236　　プラスとマイナスは当然に　　∴ -\(\small{\sqrt{5}}\) ＜ 2.236
・-2\(\small{\sqrt{3}}\)　□　-\(\small{\sqrt{15}}\)　　数字だけ2乗すると、-12と-15　　∴ -2\(\small{\sqrt{3}}\) ＞-\(\small{\sqrt{15}}\)

　\(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}}}\) ＝ 0.5　(有限)
　\(\large{\frac{1}{3}}\) ＝ 0.333・・・
　\(\large{\frac{1}{4}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}^2}}\) ＝ 0.25　(有限)
　\(\large{\frac{1}{\color{red}{ 5}}}\) ＝ 0.2　(有限)
　\(\large{\frac{1}{6}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}\ \cdot \ 3}}\) ＝ 0.1666・・・
　\(\large{\frac{1}{7}}\) ＝ 0.142857・・・
　\(\large{\frac{1}{8}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{\color{red}{ 2}^3}}\) ＝ 0.125　(有限)
　\(\large{\frac{1}{9}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{3^2}}\) ＝ 0.111・・・
　\(\large{\frac{1}{10}}\) ＝ \(\large{\frac{1}{\color{red}{2}\ \cdot \ \color{red}{5}}}\) ＝ 0.1　(有限)

　「\(\large{\frac{2}{2}}\) という1」を掛けても、
　「\(\large{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}\)という1」を掛けても、
　「\(\large{\frac{0.33}{0.33}}\) という1」を掛けても、「3」ですね！

→ \(\large{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}}\) という「1」をかけて
＝ \(\large{\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}}\)
＝ \(\large{\frac{7-2\sqrt{14}+2}{7-2}}\)   分子は(a-b)2=a2-2ab+b2 を利用
＝ \(\large{\frac{9-2\sqrt{14}}{5}}\)

根号の乗法・除法

大前提として、

でなければいけません (数学ルール)
なぜなら、根号は、

という意味ですから、
2乗して「－(マイナス)」になる数字はありませんね！

それを踏まえて、公式というほどではありませんが、

・ \(\small{\sqrt{2}}\)×\(\small{\sqrt{5}}\) = \(\small{\sqrt{10}}\)
・ 2×\(\small{\sqrt{6}}\) = 2\(\small{\sqrt{6}}\)
・ 4\(\small{\sqrt{5}}\)×2\(\small{\sqrt{10}}\) = 8\(\small{\sqrt{5×5\cdot2}}\)   = 40\(\small{\sqrt{2}}\)
・ \(\large{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{6}{3}}}}\) = \(\small{\sqrt{2}}\)
・ \(\large{\frac{\sqrt{24}}{2\sqrt{3}}}\) \(\small{\begin{cases}
\scriptsize{=} \large{\frac{\sqrt{3\cdot8}}{2\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \large{\frac{2\sqrt{3\cdot2}}{2\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{\large{\frac{3\cdot2}{3}}}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{2}} …先に分子スッキリ　\\
\scriptsize{=} \large{\frac{\sqrt{3\cdot2^3}×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}} \scriptsize{=} \large{\frac{6\sqrt{2}}{6}} \scriptsize{=} \small{\sqrt{2}} …先に分母スッキリ
\end{cases}}\)

・ 2\(\small{\sqrt{3}}\) = \(\small{\sqrt{2^2×3}}\) = \(\small{\sqrt{12}}\)
・ 3\(\small{\sqrt{2}}\) = \(\small{\sqrt{3^2×2}}\) = \(\small{\sqrt{18}}\)

平方根の近似値の求め方

12m2の土地の広さを想像する時、おそらく

などの長方形で、広さをイメージするのではないでしょうか
そして、正方形でイメージするためには、1辺は「小数」になりそうだと
諦めたこともあるのではないでしょうか

そうです、正方形で1辺の長さを求めるには、地道な作業が必要なのですです
面積12の1辺は？ \(\small{\sqrt{12}}\) ！なら本当に楽なのですが、
今は「近似値」を求めようとしているのでしたね

このように地道に「あたり」を探しながら求めていくことになります・・・

ですが安心して下さいね、
試験では、小数第1位まで求める知識があれば十分ですので！
(4桁×4桁のような掛け算をさせられることはありません)

ちなみに、
　　 32 = 9
(3.4)2 = 11.56
(3.46)2 = 11.9716

これを続けると、11.99999…というふうに「12」に近づいていきますね
「12」になることはありませんが！

以下は近似値の有名なゴロ合わせです

\(\small{\sqrt{2}}\) = 1.414　21356…  (ヒトヨヒトヨ　ニヒトミゴロ)  (一夜一夜に人見ごろ)

\(\small{\sqrt{3}}\) = 1.732　0508…  (ヒトナミニ　オゴレヤ)  (人並みにおごれや！)

\(\small{\sqrt{5}}\) = 2.236　0679…  (フジサンロク　オウムナク)  (富士山麓　オウム鳴く)

30年で人や街並みは変われど、√の近似値は変わらないのですね…当然ですね

『自然の摂理』が決める「数学」は、変わりませんが、
『人間』が決める「社会科」は、変わりますね！

　「いい国造ろう(1192)鎌倉幕府」が「いい箱(1185)作ろう鎌倉幕府」という教科書もあるみたいですね！

-2 ではありません！

大鉄則がありましたね！
よって、これの正体は、  「2乗したら4」
すなわち  「4の平方根(\(\small{\sqrt{4}}\))」ですね！
問題作者が、4が√ の中にいることをいいことに
(-2)2 といういたずら変形を加えたものですね

プラス は 、 「 いったん √ 内で計算」を…省けるから  →「2個あれば出られる」
　

マイナスは、「いったん √ 内で計算」を省けない
　

  √を簡単な形にする方法  

「2乗すれば中の数字」より
　↓
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{(　　)^2}}\)  ) なら√が不要
　↓
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{(　　)^2}}\)  ) なら√の前に出せる 
　||
中の数字が、2乗の形(\(\small{\sqrt{〇^2・□^2・☆^1}}\)  ) なら、2乗の形のものは√の前に出せる 
　↓

ですね

↑「2」を中に入れずに、「\(\small{\sqrt{6}}\)」の整数部分「2」をもとめて、
(外の2)  ×(\(\small{\sqrt{6}}\)の整数部分の2)  =4でもよいのでは？
→ ダメです！たまたまです！必ず中に入れてください！
次の問題で確認ですね

中に入れずに行うと…  (外の3)  ×(\(\small{\sqrt{7}}\)の整数部分2)  = 6
→ 中に入れると、限界に大きいものを探すことができる！

  ということで  

整数部分　⇒　暗算で求まる　 

→ 「全部」-「整数部分」  = 「小数部分」

　　2.6457513…(全部)
-)   2　　　　(整数部分)
　　0.6457513…(小数部分)

この手の問題は、
「どうすれば、√の中身が全て2乗になりますか？」ということですね！
すなわち、√の中身が、
\(\small{\sqrt{〇\color{red}{^2}\cdot\color{red}{1^2}\cdot△\color{red}{^2}\cdot□\color{red}{^2}\cdot\color{red}{1^2}}}\) のように「全て2乗」な形、
すなわち、もっと極端にいうと、√の中が

「全てが、偶数乗か、  1( = 12)」になればよいということですね！

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数（・・・）になるような、自然数（・・・）mは何個（・・）ありますか？

→ \(\small{\sqrt{8m}}\) = \(\small{\sqrt{2^2\cdot2\cdot\color{red}{m}}}\)　←22は前に出られますが、出さずに√ の中の先頭にでも置いておいて下さいね！

∴ m = 2、8、18、32、…  　A.　 無限にある

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数（・・・）になるようなmのうち、最小（・・）の自然数（・・・）は？

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が整数（・・）になるようなmのうち、最小の整数（・・）は？
→ 「√の中はプラス」よりm≧0、m = 0の時、  \(\small{\sqrt{8m}}\)  = \(\small{\sqrt{8\cdot0}}\)  = \(\small{\sqrt{0}}\)  = 0
A.　m = 0

● \(\small{\sqrt{8m}}\) が自然数（・・・）になるようなmのうち、最小の整数（・・）は？

→ m = 0 の時、 \(\small{\sqrt{8m}}\)  = \(\small{\sqrt{8\cdot0}}\)  = \(\small{\sqrt{0}}\)  = 0 ←自然数ではない！OUT
∴ \(\small{\sqrt{8m}}\) = \(\small{\sqrt{2^2\cdot2\cdot m}}\) より  　A.　m = 2

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が（・）最小の整数（・・）になるような、自然数（・・・）mの値は？

↑mが最小ではなく、√が最小ですね
→ (　)が「0」の時、\(\small{\sqrt{5\cdot0}}\)  = \(\small{\sqrt{0}}\)  = 0
∴ (　) = 0　→　(60-m)が0　→　60-m = 0　→　m = 60 の時
A.　m = 60

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が最小の自然数（・・）になるような、自然数（・・・）mの値は？

√が最小の自然数ですね
→ √が自然数なので0はダメ = (60-m)が0はダメ
∴ \(\small{\sqrt{5\cdot\color{red}{5}}}\) の時が最小の自然数ですね！
→ 60-m = 5　→　m = 55  　A.　55

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が自然数（・・・）になるような、最小の整数（・・）mの値は？

mが最小の整数
→ √ の中が全て2乗になるために、考えられる(60-m)は…
(5・12)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・1^2)}}\)　∴ 60-m=5・12  → m=55
(5・22)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・2^2)}}\)　∴ 60-m=5・22  → m=40
(5・32)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・3^2)}}\)　∴ 60-m=5・32  → m=15
(5・42)  ← \(\small{\sqrt{5\cdot(5・4^2)}}\)　∴ 60-m=5・42  → m=-20

∴ mは整数より「マイナス」もOK → 永遠に続く！
A.　解なし

● \(\small{\sqrt{5(60-m)}}\) が自然数（・・・）になるような、最小の自然数（・・・）mの値は？

→ 上と同じであるが、mが自然数（・・・）→ mが「マイナス」はOUT！
(上の問題より)　A.　15

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が最小の自然数になるような、自然数mの値は？

→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\)  = 2\(\small{\sqrt{\large{\frac{2}{m}}}}\)　∴ m =2 ではダメですね！  \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{2}}}}\)  = 2
→ 普通に、m = 8 のときですね！　\(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{8}}}}\)  = \(\small{\sqrt{1}}\)  = 1　A.　m = 8

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が自然数になるような、最小の自然数mの値は？

mが最小
→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\)　A.　m = 2

● \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) が自然数になるような、最大の自然数mの値は？

mが最大（・）
→ \(\small{\sqrt{\large{\frac{8}{m}}}}\) = \(\small{\sqrt{\large{\frac{2^2\cdot2}{m}}}}\)
∴ m = 22・2のとき　A.　m = 8