中学数学　二次方程式

トップページ ＞ 中学3年生 ＞ 二次方程式

 

中学1年生課程へ

中学2年生課程へ

中学3年生課程

A  数と式

B  図形

C  関数

D  資料の活用

(1) 平方根

(2) 式の展開・因数分解

(3) 二次方程式

ア	二次方程式の必要性と解の意味
イ	因数分解や平方の形に変形することによる二次方程式の解法
・	〈武器① 〉平方根の求め方を利用して解く
・	両辺をxで割ってはいけない
・	〈武器②〉因数分解を利用して解く
・	因数分解利用で、右辺を「0」にする理由
・	二次方程式の解の書き方
ウ	解の公式を用いた二次方程式の解法
・	〈武器③〉解の公式を利用して解く
・	〈おまけ武器④〉平方完成利用(平方完成とは)
・	解の公式の作り方
①	判別式D
・	簡略版判別式 D/4
・	D/4 が成り立つ理由 (簡易版 解の公式)
②	解と係数の関係
③	応用計算問題
・	式の値
エ	二次方程式の活用
・	「整数」の例題問題
・	「図形」の例題問題
・	「割合」の例題問題
・	「落下」の例題問題
・	「食塩水」の例題問題

 

二次方程式

 

ア　二次方程式の必要性と解の意味

 

この単元で言う　「二次方程式」とは、正確には、
「1元二次方程式」ですね　( 〇元〇次の意味)

 

すなわち、
ax2+bx+c=0 や ax2+bx(a, b, c は定数、a≠0)のような方程式ですね (一元 ＝ 使用する「文字」の種類が1種類 )

 

たとえば、
4x2+8x+3=0 のような形ですね

→	使っている文字は「x」の1種類(一元)ですね
→	右辺を全て「移項」して「0」にしたとき、左辺で最も次数の高い項が、「2次」ですね

 

そして、
「一次方程式」同様、「x」が「x2」であっても
「xの値を求めたい！」というものが「二次方程式」であって、
そのまま「二次方程式の必要性」ということになりますね！

 

 

 

基本的に「方程式」は、「移項」や「等式の性質」を駆使して、　

 

左辺を「x」だけの形( x = 〇〇 )にすれば、〇〇が「解」ですね

 

「二次方程式」の解き方は、
・「移項」
・「等式の性質」のほかに
・「平方根の考え方」
・「因数分解」
・「解の公式」
・できれば「平方完成」
が新たな「武器」として必要なだけですね！

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

イ　因数分解や平方の形に変形することによる二次方程式の解法

 

それでは実際に二次方程式を解いていきましょう

 

 

〈 武器① 〉平方根の求め方を利用

 

x2 ＝ 9　A. x = ±3 でしたね

 

左辺の「x2 」を「x」にするためには、
機械的に右辺全体に「±√ 」を付けるだけでしたね！

 

これをもう少ししっかり言うと、

 

 

《 例 》
・x2 = 16 → 左辺丸々2乗の形  → ∴ x = ±\(\small{\sqrt{16}}\)  = ±4

 

・c2 = a2+b2 → 左辺丸々2乗の形  → ∴ c = \(±\small{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

・	x2-25 = 0 → x2 = 25 → 左辺丸々2乗の形  → ∴ x = ±\(\small{\sqrt{25}}\)  = ±5

 

・	(x+3)2 = 36 → 左辺丸々2乗の形 ←(カッコ)を「1文字」と見れますね  → x+3＝±\(\small{\sqrt{36}}\)  → x+3 = ±6  → x=-3±6  → ∴ x = 3または x = -9

 

・	(x+2)2-2=5 → (x+2)2 = 7 → 左辺丸々2乗の形 　→ x+2 = ±\(\small{\sqrt{7}}\)  → ∴ x = -2±\(\small{\sqrt{7}}\)

 

・

9(x-3)2 = 4 → (x-3)2 = \(\large{\frac{4}{9}}\) → 左辺丸々2乗の形  → x-3 = ±\(\small{\sqrt{\large{\frac{4}{9}}}}\)  → x = 3±\(\large{\frac{2}{3}}\)  → ∴ x = \(\large{\frac{11}{3}}\), x = \(\large{\frac{7}{3}}\) または、 9(x-3)2 = 4 → 32(x-3)2=4 → { 3(x-3) }2 = 4 → 左辺丸々2乗の形 → 3(x-3)＝±\(\small{\sqrt{4}}\) → (x-3)= \(\large{\frac{±\sqrt{4}}{3}}\) → (x-3) = ±\(\large{\frac{2}{3}}\) → x = 3± \(\large{\frac{2}{3}}\) → ∴ x = \(\large{\frac{11}{3}}\), x = \(\large{\frac{7}{3}}\)

 

・	x(x+2)＝6 → x2+2x = 6 → x2 = -2x+6 → ダメですね(右辺にxを含む項があってはいけませんね！) → 左辺丸々2乗の形 にできない → 平方根の求め方を利用できない → 他の解き方 → 後で出てきますのでその時にお話しますね

 

 

⇒	x(x+2) = 0 → 両辺をxで割ると  → x+2 = 0  → x = -2 ？？ 『ダメですね！』 xは「未知数」ですから、-1かも3かも-0.5かも「0」かも・・・まだわかりませんね！ 「数学ルール」では「0で割る\(\begin{pmatrix}\large{\frac{}{0}}\end{pmatrix}\)」は「ナシ」でしたね！(0で割る) よって、「0」かもしれない「x」や「xを含む項」で両辺を割ってはいけません！→ 他の解き方 → 後で出てきますのでその時にお話しますね

 

 

 

 

 

〈武器②〉因数分解を利用

 

例えば、 6(　) という「1つの項（・・・・）」を分解すると、
2・3・(　) ですね！(もう皆様は(カッコ)の中の数字や文字に惑わされることなく
(カッコ)を「1文字」と見れますものね！)

 

これで、6(　)という「1つの項」は、「2の倍数」であり「3の倍数」であり「(　)の倍数」あることは確定で、
あとは(　)しだいで全てが確定しますね！

 

では、 6(　) = 0（・・）の場合は・・・6(　)は因数に「0」を持つはずということで
　(　) = 0 とわかりますね

 

ではでは、 (　)(　) = 0 なら、前の(　)が0か、  後の(　)が0か、
または
両方とも0 のいずれかということがわかりますね！

 

そして、(　)(　)の形は… 文字を含んだ数字を因数分解した後の形と同じですね
　ex) (x+2)(x-3)

 

これを利用して、二次方程式を解いていきます

 

 

 

《 例 》 方程式を解きましょう

 

・ x2+10x+9 = -15
→ ① 右辺は必ず「0」にします
　　　x2+10x+24 = 0
→ ② 左辺を因数分解します
　　　(x+4)(x+6) = 0

→	この式は、(x+4)が「0」のとき、または、(x+6)が「0」のとき成立しますね！

→ ③ よって、
　x+4 = （が）0 　→　（のとき）x= -4
　x+6 = （が）0　→　（のとき）x= -6
　A.　x = -4, x = -6　となります！

 

確認のため、x = -4,   x = -6 を  x2+10x+24 = 0に代入してみますね
　x = -4 のとき  (-4)2+10(-4)+24 = 0
　→ 16-40+24 = 0
　→ 　　　　 0 = 0　OK

 

　x = -6 のとき  (-6)2+10(-6)+24 = 0
　→ 36-60+24 = 0
　→ 　　　　 0 = 0　OKですね！

 

 

・ x2-3x = 0
→ (x)(x-3) = 0
→ x(x-3) = 0　　A.　x = 0, x = 3
→ 「この式が成立するためには、(x) = 0 のとき、または(x-3) = 0のとき」
という理屈が理解できれば、今後は機械的（・・・）に処理してもOKですね

 

すなわち、
　 　という形になれば
セットの数字の「符号を逆にしたもの」が、解ですね！
　A.　x = -3, x = 4

 

 

・ x2-8x+16 = 0
→　(x-4)2 = 0　　A.　x = 4

 

 

・ (x+3)2 = 36
→ x2+6x+9-36 = 0
→ x2+6x-27 = 0
→ (x+9)(x-3) = 0  　　A.　x = -9, x = 3

 

　…ですが…「平方根の求め方の利用」で1度求めていますね！
　左辺丸々2乗の形  → x+3 = ±\(\small{\sqrt{36 }}\) でしたね！
→ x=-3±6 → x=-9, 3

 

・ x2-25 = 0
→ x2 = 25
→ 左辺丸々2乗の形 → x = ±5
または
→ 因数分解で、(x-5)(x+5) = 0
→ x = ±5
これは どちらも同じくらいの労力ですね

 

 

 

二次方程式は、8割方「因数分解を利用」で求めますので、
ついつい「平方根の求め方の利用」を忘れて、ひと手間かけてしまいますね

 

ですが、よく言えば、「因数分解利用」さえできれば「平方根利用」は
ど忘れしていても大丈夫！ということですね

 

 

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

ウ　解の公式を用いた二次方程式の解法

 

〈武器③〉解の公式を利用

 

明らかに整数では因数分解できない二次方程式がありますね
そういう場合は、「解の公式」というものに当てはめれば、解が出ます！

 

 

最初、憶えるのは大変ですが、憶えてしまえば安心ですね
今までの、「平方根を利用した求め方」や「因数分解を利用した求め方」
もカバーしているのですから

 

 

 

《 例 》
・ x2 = 36　 → x =±\(\small{\sqrt{36}}\)

 

「平方根を利用した求め方」であっと言う間ですが、あえて「解の公式」で
→ x2-36 = 0 　 右辺は「因数分解を利用」同様「0」にします。式を、ax2+bx+c = 0 の形にする

 

 

 

・ (x+3)2 = 36　 → x+3 =±\(\small{\sqrt{36}}\)

 

「平方根を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに

→	x2+6x-27 = 0 … 「展開」「移項」で、ax2+bx+c = 0 の形に

 

 

 

・ x2+8x+15 = 0　　→(x+3)(x+5) = 0

 

→	「因数分解を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに

 

→ 逆を言えば、きれいな解が出た時は、
因数分解 (x+5)(x+3) = 0 できていた ということですね

 

 

 

・ 4x2-4x-3 = 0　→(2x+1)(2x-3) = 0

 

→	「因数分解を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに

 

 

 

・ x2-4x+2 = 0　　→ -2×(-1)、－2＋(-1) = -3・・・ウーン

 

→	明らかに「きれいに因数分解できない」ですね → √ が出ますね！

→ 「解の公式」の本当の出番ですね！

 

 

 

・ 4x2+8x-5 = 0

 

→	きれいに因数分解できそうなできなさそうな… → 解の公式！

 

 

 

〈おまけ武器④〉平方完成利用

 

・平方完成とは

 

平方完成とは、
　
係数がない　見た目(展開しないと)、x1 の項がない
の形にすることですね

 

例えば
(x+1)2は展開すると、x2+2x+1ですね
逆に、x2+2x+1を因数分解すると　(x+1)2ですね
では、x2+2xを因数分解すると、x(x+2)ですね
ですが「平方完成」は
おつりが出てもいいから (x±定数)2の形にしようというものです
おつりは 自由な数字で清算してOKです。とにかく（・・・・）元の式と同量であればよいですね

 

x2+2x = (x+1)2-1 ← -1がお釣り清算分 となります
確かに、(x+1)2-1を展開すると x2+2x+1-1 で帳尻が合っていますね！

 

「平方完成」の利用場面は、この後お話しする

・	「二次方程式を解く武器」であったり
・	「解の公式の作り方」であったり、
・	高校数学では「二次関数の頂点の座標を求める場合」に必要となりますね

 

ex)
y = x2+2x-3 のグラフの頂点を求めましょう(高校)

 

(平方完成すると)
y = (x+1)2-4
　∴ 頂点(-1, -4)となります　(一次関数の平行移動と同じ考え方ですね)

 

(因数分解すると)
y = (x-1)(x+3)
　∴ x軸との交点は(1, 0) (-3, 0)となります

 

(x = 0 を代入すると)
y = (0)2+2(0)-3 = -3
　∴ y軸との交点は(0,-3)となります

 

グラフにすると

 

中学の二次関数は、必ず原点(0, 0)を通る「y = ax2」までですね！

 

 

それでは本題に戻りまして
平方完成 〔 (x±〇)2の形なのに帳尻があっている〕してみましょう

 

 

①「xの項の半分を用意」して、②「暗算で展開して、増えてしまったものを引いて帳尻合わせ」 ですね

 

 

 

では、「二次方程式の解法」に「平方完成」を利用してみましょう

 

《 例 》
4x2+8x-5 = 0 　(上の問題と同じものです)

 

 

 

 

《 例 》
x2-4x+2 = 0 　(2つ前の問題 解に√ が残る問題でも試しますね)

 

 

 

以上のように、4つの武器
「平方根の求め方を利用」「因数分解を利用」「解の公式」「平方完成利用」で
全ての 二次方程式の計算問題が解けますね！

 

「解の公式」は、「万能」ではありますが、「面倒」ですね
　→ 最終手段的な方法といえますね

 

ex)　10mmのボルトは10mmのスパナで回したい、
　万能なモンキーレンチはできれば使いたくない という感じでしょうか…
　(女子にはわかりにくい例えですいません！)

 

おまけの〈武器④〉平方完成利用は、「解の公式」さえしっかり使うことができれば、不要となりますが、
絶対必須となりますのでマスターしてしまいましょうね！

 

 

 

 

「平方完成」を使わない方法として

　とせずに

 

x の係数の「半分を2乗したもの」をあらかじめ両辺に足す　という方法もありますね

→　　(左辺はただの因数分解という意味に)
　　　(左辺はただの因数分解という意味に)

このようにもできますが、これはただの「平方完成」の先取りというだけで
考え方はほとんど「平方完成利用」と同じですね！
→ 店員さん「502円です」
　　と言われて、1000円を出して
　　店員さん「498円のおつりです」と言った瞬間に
　　「あっ！2円あります」とするのか

 

　　店員さん「502円です」
　　と言われて、あらかじめ
　　1002円出して500円のおつりをいただくのか
　　の違いですね

 

 

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

①　判別式D

 

判別式は、二次方程式ax2+bx+c = 0 の解が
　① 2個 なのか
　② 1個 なのか(重解)
　③ 解なし
なのかを判別（・・）するだけの式ですね！
　リトマス紙のようなものでしょうか

 

 

 

「b2-4ac 」…どこかで見ましたね

 

x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{\color{red}{ b^2-4ac}}}{2a}}\)

 

解の公式の√部分の中身ですね
これで判別式Dの仕組みがわかりますね

 

→	b2-4ac が「プラス」なら、√ の前の±が生きるので  → 解が2つですね
→	b2-4ac が「0」なら、√ の前の±の意味がなくなるので  → 解が1つですね
→	b2-4ac が「マイナス」なら、√ の中がマイナス！→ そんな実数はない  →解なしですね

 

 

 

《 例 》
解の個数を調べましょう
・3x2+4x+1 = 0
　D = b2-4ac = 16-4･3･1  = 4　＞0　∴ 2つ

 

・2x2-7x-5 = 0
　D = 49-4･2･(-5) = 89　＞0　∴ 2つ

 

・4x2+12x+9 = 0
　D = 144-4･4･9 = 0　∴ 1つ

 

・x2+4x+5 = 0
　D = 16-4･1･5 = -4　＜0　∴ 解なし

 

 

 

《 例 1》
方程式x2+2ax+4 = 0 がただ一つの解を持つとき、
aの値を求めましょう

 

→ 「ただ一つの解」  → 判別式D = 0 のとき
D = b2-4ac  = (2a)2-4･1･4  = 4a2-16
→ 4a2-16 が 0 のとき重解！
→ a2-4 = 0
→ (a-2)(a+2) = 0
　A.　a = -2, a = 2

 

 

 

《 例 2》
方程式 3x2-4x-a = 0 がただ一つの解を持つとき、
aの値を求めましょう

 

→ 「ただ一つの解」  → 判別式D = 0 のとき
D = (-4)2-4･3･(-a)  = 16+12a
→ 16+12a = 0 のとき重解 → a =-\(\large{\frac{4}{3}}\)

 

 

 

〈簡略版判別式D/4〉

 

 

 

《 例 》　解の個数を調べましょう

 

・ 3x2+4x+1 = 0
　D/4 = (4の半分)2-ac  = (2)2-3・1 = 1　＞0　∴ 2つ

 

・4x2+12x+9
　D/4 = (6)2-4･9  = 36-36  = 0　∴ 1つ

 

 

《 例 1’》　《 例 1》と同じ問題です
方程式x2+2ax+4 = 0 がただ一つの解を持つとき、aの値を求めましょう

 

D/4 = (bの半分の)2-ac = a2-1･4  = a2-4  = (a+2)(a-2) が0のとき重解
　→ (a+2)(a-2) = 0
　A.　a = -2, a = 2 ←同じですね

 

 

 

 

 

《 例 》
5x2-6x-18=0 について

 

①　解の公式(通常版)で解きましょう

 

②　簡易版で解きましょう 　(5x2-6x-18=0)

 

③	解は何個でしょうか (①②から解は2つと分かりますが確認のため)

　(5x2-6x-18=0)
D = (-6)2-4(5)(-18)
　= 36+360
　= 396 ＞0　　∴ 2個

 

④　簡易版で何個でしょうか 　(5x2-6x-18=0)
D/4 = (-3)2-(5)(-18)
　= 9+90
　= 99 ＞0　　∴ 2個　(396の\(\large{\frac{1}{4}}\)になっている)

 

 

《 例 》
x2+3x-18=0 を簡易版で解きましょう

 

→ もちろん 奇数b にも対応していますが…

 

x = \(\large{\frac{-(1.5)±\sqrt{(1.5)^2-(1)(-18)}}{1}}\)
　= -1.5±\(\small{\sqrt{2.25+18}}\)
　= -1.5±\(\small{\sqrt{20.25}}\)
　= -1.5±4.5
　= -6, 3

 

→	△.5の2乗や、小数(分数)の「前出し」を考えさせられる
⇒	使い勝手が悪いですね　→　それなら通常版！

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

②　解と係数の関係

 

x2+bx+c = 0 の2つの解が α、β であるならば、
x2+bx+c = 0 は  (x-α)(x-β) = 0 と因数分解できる といえるはずですね

 

(x-α)(x-β) = 0 を展開すると
x2-(α+β)x+αβ = 0  = x2+bx+c
…ということは、それぞれの係数を対応させると

 

-(α+β)=b  → α+β=-b → 「2つの解を足したものは-b」

・αβ=c → 「2つの解を掛けたものはc」

 

 

実際の数字で確認すると
　x2+5x+6  → (x+3)(x+2) = 0  → α = -3、β = -2

・	α+β = -3+(-2) = -5 = 確かに「-b」 ですね
・	αβ = -3×(-2) = 6 = 確かに「c」 ですね

 

当たり前と言えば当たり前ですね

 

 

 

《 例 》
・x2+3x-2 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう
　A.　α+β = -3、 αβ = -2
　→ 因数分解をして、解を求める作業が不要ですね！

 

 

・x2+5x+3 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、αβの値を求めましょう
　A.　α+β = -5、 αβ = 3

 

 

 

せっかくですので、もう少し、全部をカバーさせますね
(↓x2の前にaがある)
ax2+bx+c = 0 は両辺をaで割って  → x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0 とできますね
x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0 の2つの解が α、β であるならば、
x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0 は  (x-α)(x-β) = 0 と因数分解できることになりますね

 

(x-α)(x-β) = 0 を展開すると
x2-(α+β)x+αβ = 0  = x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\)
ということは、それぞれの係数を対応させると

 

 

・	-(α+β)=\(\large{\frac{b}{a}}\) → α+β=-\(\large{\frac{b}{a}}\) →「2つの解を足したものは  -\(\large{\frac{b}{a}}\)

・αβ=\(\large{\frac{c}{a}}\) →「2つの解を掛けたものは \(\large{\frac{c}{a}}\)」

 

 

これでx2 の係数が「1」でなくてもOK、全てをカバーしていますね！
上のx2(1x2)の、
α+β = -b は -\(\large{\frac{b}{a}}\)  = -\(\large{\frac{b}{1}}\)  = -bだったのですね！
αβ = c は \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{c}{1}}\) = c だったのですね！

 

 

 

 

《 例 》

・	3x2-8x+5 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう

 

　α+β = -\(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{8}{3}}\)
　αβ = \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)

 

 

・	3x2+5x+1 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう

 

　α+β = -\(\large{\frac{b}{a}}\) = -\(\large{\frac{5}{3}}\)
　αβ = \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
3x2+5x+1 = 0 の解を α、βとするとき、以下の値を求めましょう

 

(1)　α2+β2

 

→	この手の問題は、まず  α+β、  αβを求めておきましょうね

　α+β = -\(\large{\frac{5}{3}}\)、　αβ = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

→	α2+β2 =(α+β)2-2αβ と変形できますね

 

∴ (-\(\large{\frac{5}{3}}\))2-2(\(\large{\frac{1}{3}}\)) =\(\large{\frac{25}{9}}\)-\(\large{\frac{2}{3}}\) = \(\large{\frac{25-6}{9}}\)=\(\large{\frac{19}{9}}\)

 

 

(2)　α3+β3

 

→	工夫してみると α3+β3 = (α+β)(α2+β2)-αβ2-βα2 =(α+β)(α2+β2)-αβ(α+β)

 

 

 

 

もちろん 3x2+5x+1 = 0 の2つの解を実際に求めて、
代入ミチミチ計算でも同じ値が出るはずですが…ちょっと…いやすぎですね

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

③　応用計算問題

 

《 例 》
方程式  3x2-(2a-5)x-3a-1 = 0の解の1つが2であるとき、
aの値と、もう一つの解を求めましょう

 

→	xに1つ目の解「2」を代入すれば、与式はaしか残らないのがわかりますね

→ aがわかるはず
　3(2)2-(2a-5)(2)-3a-1 = 0
　12-4a+10-3a-1 = 0
　-7a = -21
∴ a = 3

 

→	与式にa = 3 を代入すれば → ただの二次方程式

→ もう一つの解がわかるはず
　3x2-〔2(3)-5〕x-3(3)-1 = 0
　3x2-x-10 = 0　←たすき掛けが厳しいなら、解の公式で
　(3x+5)(x-2) = 0
∴ x = -\(\large{\frac{5}{3}}\)　←新たに判明した解
　x = 2　←問題文からすでに分かっていた解
　A.　a = 3 ,　x =-\(\large{\frac{5}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
方程式ax(x+1)+b(x+1)(x+2)+c(x+2)(x+3) = 0 の解が「0」と「1」のとき、a：b：c を求めましょう

 

→	よくわからないので、解っている値をどんどん代入してみる

・与式のxに0を代入してみると
0+2b+6c = 0 → b+3c = 0  → 1b = -3c …①
∴ b：c = \(\large{\frac{1}{1}}\)：-\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3：-1 …(1)
　( =で繋がった式を、比にする)

 

→ あとは、a：b (a、bだけの式) か a：c(a、cだけの式) がわかれば a：b：c とつながるな
・与式のxにもう一つの解「1」を代入してみると
2a+6b+12c = 0  → a+3b+6c = 0 …②

 

→ ②に①を代入すれば、②はaとcだけの式になるな
a+3(-3c)+6c = 0  → a-3c = 0  → a = 3c
∴ a：c = \(\large{\frac{1}{1}}\)：\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3：1…(2)

 

→ (1)と(2)をつなげるには
どちらにも使われているcの数字を合わす ですね
b：c　　　 = 3：-1
　 c：a = 1：3 = -1：-3

 

∴ b：c：a = 3：-1：-3
A.　a：b：c = -3：3：-1　(または3：-3：1)

 

 

 

《 例 》
方程式x2+ax+b = 0 の解が   x = 5しか持たない(重解)とき、a、bの値を求めましょう

 

→	解が2つなら  → (x+1)(x+2) = 0 のような形

→ 解が1つ → (x+1)2 のような形 ですね

 

よって、x = 5 なので、  (x-5)2 = 0 の形ですね
これを展開すると、 x2-10x+25 = 0
係数を対応させて
　A.　a = -10、　b = 25

 

 

 

《 例 》
方程式x2-6x+a = 0 の解が1つしかない(重解)とき、a の値を求めましょう

 

→ 平方完成すれば、  (x+1)2 = 0 のような形になるはずですね
　(x-3)2-9+a = 0
　(x-3)2 = -a+9
→ この右辺の「-a+9」 が「0」になればよいということですね
　-a+9 = 0 → a = 9　A.　a = 9

 

(別解)
判別式D/4 = (半b)2-ac = 0の時、重解ですね
→ (-3)2-1・a = 0  → 9-a = 0　A.　a = 9

 

 

 

《 例 》
方程式x2-ax+12 = 0 が正の整数解をもつとき、 aの値を全て求めましょう

 

→ 「正」の「整数解」になるような因数分解の形は
　(x-整数)(x-整数) = 0 のような形
　cf) (x+整数)(x+整数) = 0 は「負」の「整数解」ですね

 

→ 掛けて「12」になるような2数は…
① (x-1)(x-12) = 0  → x2-13x+12
② (x-2)(x-6) = 0  → x2-8x+12
③ (x-3)(x-4) = 0  → x2-7x+12
　係数を対応させて…　A,　a = 7, 8, 13

 

 

 

《 例 》
方程式x2-a2x+138 = 0 の2つの解が、ともに正の整数になるような正の整数a の値を求めましょう

 

→ ① (x-2)(x-69) = 0  → x2-71x+138 = 0
→ ② (x-3)(x-46) = 0  → x2-49x+138 = 0
→ ③ (x-6)(x-23) = 0  → x2-29x+138 = 0
　↑23は素数なのでここまで

 

a2 = 71 → a = ±\(\small{\sqrt{71}}\)
a2 = 49 → a = ±7
a2 = 29 → a = ±\(\small{\sqrt{29}}\)
　→ aは正の整数(という条件)より　A.　a = 7

 

 

 

〔 式の値 〕

 

《 例 》
2次方程式 x2+2x-2=0 の負の解をa とするとき、2a2-3a+1 の値を求めよ

 

・ x=\(\large{\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2}}\) ＝\(\large{\frac{-2±\sqrt{4\ \cdot \ 3}}{2}}\) ＝-1±\(\small{\sqrt{3}}\)
　∴ 負の解a は、-1-\(\small{\sqrt{3}}\)

 

→ この後の代入作業がいつも嫌になりますね  →  何かいい方法はないかな…

 

(方法① α+β, αβ の利用(解と係数の関係))
　今回の問題では使えませんね ←　α+β, αβの型に変形できない。解も１つしか使わない。

 

(方法② 「＝0」の利用)　
例えば、x2+2x-2=0 の解が 1なら、1を代入すれば左辺は0になるということ、 解が2なら、2を代入すれば左辺が0になるということ、 解がa なら、a を代入すれば左辺は0になるということ、
→ そして、解a を代入した瞬間の形 a2+2a-2=0 　これを利用したい!
→ 2a2-3a+1
　=a2+a2+2a+2a-7a-2-2+5
　=a2+2a-2+a2+2a-2-7a+5 ←強引に a2+2a-2=0 が利用できるように変形した
 =0+0-7a+5 =-7a+5
∴ これにaの値を代入して、 -7(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))+5 =7+7\(\small{\sqrt{3}}\)+5 =12+7\(\small{\sqrt{3}}\)

 

(方法③ 次数減らし)
②同様、解がa を代入すれば左辺は0になるということ、
→ そして、解a を代入した瞬間の形→ a2+2a-2=0 → a2=-2a+2 → a2 =(実は) -2a+2
∴ 2a2-3a+1
　=2(-2a+2)-3a+1
　=-4a+4-3a+1
　=-7a+5 ←2次式を1次にできた
∴ -7(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))+5 = 7+7\(\small{\sqrt{3}}\)+5 = 12+7\(\small{\sqrt{3}}\)

 

(方法④ せめて因数分解)
2a2-3a+1 =(2a　  )(a　  ) ＝(2a-1)(a-1)
∴ {2(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))-1}{(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))-1}
　=(-2-2\(\small{\sqrt{3}}\)-1)(-2-\(\small{\sqrt{3}}\))
　=(-3-2\(\small{\sqrt{3}}\))(-2-\(\small{\sqrt{3}}\))
　=(3+2\(\small{\sqrt{3}}\))(2+\(\small{\sqrt{3}}\))
　=6+3\(\small{\sqrt{3}}\)+4\(\small{\sqrt{3}}\)+6
　=12+7\(\small{\sqrt{3}}\) ←今回はそんなに楽にならなかった

 

(方法⑤ 最悪でも直接代入がありますね)
2a2-3a+1
　＝2(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))2-3(-1-\(\small{\sqrt{3}}\))+1
　=2(1+2\(\small{\sqrt{3}}\)+3)+3+3\(\small{\sqrt{3}}\)+1
　=8+4\(\small{\sqrt{3}}\)+3\(\small{\sqrt{3}}\)+4
　=12+7\(\small{\sqrt{3}}\)

 

 

 

 

→　ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

エ　二次方程式の活用

 

二次方程式を利用する具体的な問題ですね

 

→ 正確には「利用」というより、式を立ててみて、xを求めるべく計算していたら2乗の形が発生した → 結果、二次方程式の文章問題だった。ということですね

 

→ 問題を読んだ時に、これは1次方程式の問題なのか、連立方程式の問題なのか、2次方程式の問題なのかを分かる必要はないですね → ただ文章を数字と文字で表してみた → 結果、～方程式の問題だった

 

整数

 

《 例 》
連続する3つの整数があります。最小の数の平方の3倍は 最大の数の3倍から
中央の数の平方の2倍を引いたものに等しいとき、3つの整数を求めましょう

 

→	連続する3つの整数を、  n, n+1, n+2 とおく  (n-1, n, n+1)でも何でも可)

→ 文章を式にすると
　3n2 = 3(n+2)-2(n+1)2　あとはn について解くだけですね
　3n2 = 3n+6-2n2-4n-2
　5n2+n-4 = 0
　(5n-4)(n+1) = 0
∴ n = \(\large{\frac{4}{5}}\), -1
　3つの数は整数より、n = -1　条件に合わない解は、ばっさり切ってOKです
n = -1を n, n+1, n+2 に代入して　A.　-1, 0, 1

 

 

 

 

図形

 

《 例 》
縦が横より5cm長い長方形があります。縦の長さを3cm短くして、
横の長さを 2倍すると、元の長方形より面積が20cm2 増加しました
元の長方形の縦と横の長さを求めましょう

 

 

どちらでもOKです　右図でいきますね

 

(新しい長方形)-(元の正方形)  = 20cm2
　→ 元の長方形の横をxとする
・新しい長方形の面積 = (x+5-3)･2x  = (x+2)･2x  = 2x2+4x
・元の長方形の面積 = (x+5)･x  = x2+5x
→ 2x2+4x-(x2+5x) =20
　x2-x-20 = 0
　(x-5)(x+4) = 0　∴ x = -4, 5
x＞0 より　←図形の長さにマイナスはない
x = 5　A.　 縦10cm　横5cm

 

 

cf問題) これは何％増加したということでしょうか？
\(\large{\frac{長方形の面積}{元の正方形の面積}}\) = \(\large{\frac{50}{25}}\) = 2 →200%増(2倍)

 

 

 

 

割合

 

《 例 》
商品Aはx％値上げをすると、売り上げ個数が\(\large{\frac{1}{3}}\)％減少します
売り上げ金額を12％増やすには 何％値上げすればよいでしょうか (x＜100)
　(値段問題の考え方)

 

→	変動幅しかないので計算できませんね 元（・）商品A 1個の値段を a円 元（・）商品Aの 売り上げ個数(合計個数)を b個とします 売り上げ金額 = 合計金額

→ 合計金額 = 1個の金額×合計個数 = ab円

 

(イメージ)

 

→ 新ab- 元ab =1.12 ではダメですね！ 右辺が「割合」ですので
→ \(\large{\frac{新ab}{元ab}}\) = 1.12 ですね！
　または、新ab = 1.12(元ab)

 

・新ab = a(1+x)×b(1-\(\large{\frac{x}{3}}\))
・元ab = そのままab

 

方程式は、  \(\large{\frac{a(1+x)×b(1-\large{\frac{x}{3}})}{ab}}\) = 1.12
(または、元を1.12倍すれば新より
1.12ab＝\(\large{\frac{a(1+x)×b(1-\large{\frac{x}{3}})}{ab}}\))

 

∴ x = 1.8, x = 0.2  → x = 180, 20(％)
　x＜100 より　x = 20
A.　20％値上げすればよい (個数は\(\large{\frac{20}{3}}\)％減)

 

 

 

 

《 例 》
AB間の距離は20km、ｓ君はAからBへ、ｔ君はBからAへ、同時に出発しました
2人がすれ違ってからｔ君は1時間20分後にAに着きました
ｓ君の速度が4km/時のとき、出発からすれ違うまでの時間を求めましょう

 

→ まずは図ですね

 

 

・全体が解っているのは距離20kmですから
 → 理想は   距離AC+距離CB = 20km でしょうか
・すれ違うまでの時間(SがCに着くまでの時間)をxとしてみますね
 → 距離AC = Sの速さ×時間x = 4x
・ACの距離が解ったので(4x)、ｔの速さが解りますね
→ ｔの速さ = 距離AC÷ｔ のCA間の時間 = \(\large{\frac{4x}{\large{\frac{4}{3}}}}\) =\(\large{\frac{12x}{4}}\) = 3x

 

⇒ 距離BC = ｔの速さ×時間x = 3x×x = 3x2
∴ AC+BC = 4x+3x2 = 20
　3x2+4x-20 = 0
　(3x+10)(x-2) = 0
∴ x = -\(\large{\frac{10}{3}}\), 2
x＞0より (時間はプラス) x = 2
　　A.　2時間

 

 

 

 

落下

 

《 例 》
井戸に石を落とすと、2秒後に水音がしました。井戸の深さを求めましょう
石はx秒後に5x2m落ちるとし、音の速さは340m/秒秒とします

 

 

 

→ 全体が解っているものは、往復所要時間の 2秒 ですね

　時間+時間 = 2秒 が理想でしょうか
→ ex. 水面までの時間が2秒なら → 距離は5(2)2＝20mだ
　　水面までの時間が3秒なら → 距離は5(3)2＝45mだ
　　水面までの時間がx秒なら → 距離は5(x)2＝5x2mだ
←(問題文の5x2 は「距離」です「速さ」ではありません)
・水面までの時間 = x秒 (往路)
・戻る時間 = 距離÷速さ = \(\large{\frac{5x^2}{340}}\) 秒 (復路)

 

 

x＞0 より(時間はプラス) 　x = -34+2\(\small{\sqrt{323}}\) 秒

 

∴ 水面までの距離 は… 5x2に-34+2\(\small{\sqrt{323}}\)を代入して

 

 

 

 

 

食塩水

 

《 例 》
10％の食塩水10kgから、いくらかをくみ出し、それと同量の「水」を足し、
さらに最初にくみ出した量の2倍をくみ出し、それと同量の「水」を足すと
7.2％になりました。最初にくみ出した水は何kgでしょう

 

移り変わりを略図で表すと　(食塩水問題の考え方)
→ 1つ前と変わらないものを青
→ 1つ前と変わるものを赤にしますね

 

 

 

 

 

最後の割合が7.2％と言っていますね

 

今回は塩や割合を
何を何で割ったか、かけたか、を分かりやすいように、
そのままの値で行いましたが
普段はその都度簡単な形にしてOKですね
\(\large{\frac{\large{\frac{1}{10}}(10-x)}{10}}\)　→　\(\large{\frac{1}{100}}\)(10-x)　など

 

 

 

 

方程式の文章問題は

 

・	図を書いて、イメージですね
・	順を追ってつぶしていく (いきなり最終式が出ることは少ないですね)
・	文字が入って複雑な項も、惑わされずにこれは「距離」、これは「塩」、これは「割合」など思い込む (信じる！) ですね

 

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で!!

　スポンサーリンク