中学数学 二次方程式

 

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A  数と式 B  図形 C  関数 D  資料の活用
(1) 平方根 (2) 式の展開・因数分解 (3) 二次方程式

二次方程式の必要性と解の意味
因数分解や平方の形に変形することによる二次方程式の解法
 ・ 〈武器① 〉平方根の求め方を利用して解く
 ・ 両辺をxで割ってはいけない
 ・ 〈武器②〉因数分解を利用して解く
 ・ 因数分解利用で、右辺を「0」にする理由
 ・ 二次方程式の解の書き方
ウ 解の公式を用いた二次方程式の解法
 ・ 〈武器③〉解の公式を利用して解く
 ・ 〈おまけ武器④〉平方完成利用(平方完成とは)
 ・ 解の公式の作り方
 ① 判別式D
  ・ 簡略版判別式 D/4
 ② 解と係数の関係
 ③ 応用計算問題
二次方程式の活用
 ・ 「整数」の例題問題
 ・ 「図形」の例題問題
 ・ 「割合」の例題問題
 ・ 「落下」の例題問題
 ・ 「食塩水」の例題問題

 

二次方程式

 

ア 二次方程式の必要性と解の意味

 

この単元で言う 「二次方程式」とは、正確には、
「1元二次方程式」ですね ( 〇元〇次の意味)

 

すなわち、
ax2+bx+c=0 や ax2+bx(a, b, c は定数、a≠0)のような方程式ですね (一元 = 使用する「文字」の種類が1種類 )

 

たとえば、
4x2+8x+3=0 のような形ですね
→ 使っている文字は「x」の1種類(一元)ですね
→ 右辺を全て「移項」して「0」にしたとき
左辺で最も次数の高い項が、「2次」ですね

 

そして、
「一次方程式」同様、「x」が「x2」であっても
「xの値を求めたい!」というものが「二次方程式」であって、
そのまま「二次方程式の必要性」ということになりますね!

 

 

 

基本的に「方程式」は、「移項」や「等式の性質」を駆使して、 

 

左辺を「x」だけの形( x = 〇〇 )にすれば、〇〇が「解」ですね

 

「二次方程式」の解き方は、
・「移項」、
・「等式の性質」のほかに、
・「因数分解」、
・「解の公式
が新たな「武器」として必要なだけですね!

 

 

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イ 因数分解や平方の形に変形することによる二次方程式の解法

 

それでは実際に二次方程式を解いていきましょう

 

 

〈 武器① 〉平方根の求め方を利用

 

x2 = 9 A. x = ±3 でしたね

 

左辺の「x2 」を「x」にするためには、
機械的に右辺全体に「±√ 」を付けるだけでしたね!

 

これをもう少ししっかり言うと、

左辺が、丸々2乗されている 場合、
右辺全体に ±√を付けるだけ』 となりますね (平方根の掘り下げ利用)

 

 

《 例 》
・x2 = 16 → 左辺丸々2乗の形  → ∴x = ±\(\small{\sqrt{16}}\)  = ±4

 

・c2 = a2+b2 → 左辺丸々2乗の形  → ∴ c = \(±\small{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

・x2-25 = 0 → x2 = 25→ 左辺丸々2乗の形  → ∴ x = ±\(\small{\sqrt{25}}\)  = ±5

 

・(x+3)2 = 36 → 左辺丸々2乗の形 ←(カッコ)を「1文字」と見れますね
 → x+3=±\(\small{\sqrt{36}}\)  → x+3 = ±6  → x=-3±6  → ∴ x = 3または x = -9

 

・(x+2)2-2=5 → (x+2)2 = 7 → 左辺丸々2乗の形
 → x+2 = ±\(\small{\sqrt{7}}\)  → ∴ x = -2±\(\small{\sqrt{7}}\)

 

・9(x-3)2 = 4 → 32(x-3)2=4 → { 3(x-3) }2 = 4 → 左辺丸々2乗の形 → 3(x-3)=±\(\small{\sqrt{4}}\)→(x-3)  = \(\large{\frac{±\sqrt{4}}{3}}\)  →(x-3) = ±\(\large{\frac{2}{3}}\)  → x = 3± \(\large{\frac{2}{3}}\)  → ∴ x = \(\large{\frac{11}{3}}\), x = \(\large{\frac{7}{3}}\)
または、
9(x-3)2 = 4 → (x-3)2 = \(\large{\frac{4}{9}}\) → 左辺丸々2乗の形  →x-3 = ±\(\small{\sqrt{\large{\frac{4}{9}}}}\)  →x = 3±\(\large{\frac{2}{3}}\)  → ∴x = \(\large{\frac{11}{3}}\), x = \(\large{\frac{7}{3}}\)

 

・x(x+2)=6 → x2+2x = 6  → x2 = -2x+6 → ダメですね(右辺にxを含む項があってはいけませんね!)
→ 左辺丸々2乗の形 にできない → 平方根の求め方を利用できない → 他の解き方 → 後で出てきますのでその時にお話しますね

 

・x(x+2) = 0 → 両辺をxで割ると  → x+2 = 0  → x = -2 ??
 『ダメですね!』 xは「未知数」ですから、-1かも3かも-0.5かも「0」かも・・・まだわかりませんね!
「数学ルール」では「0で割る\(\begin{pmatrix}\large{\frac{}{0}}\end{pmatrix}\)」は「ナシ」でしたね!(0で割る)
よって、「0」かもしれない「x」や「xを含む項」で両辺を割ってはいけません!→ 他の解き方 → 後で出てきますのでその時にお話しますね

 

 

 

 

〈武器②〉因数分解を利用

 

例えば、 6( ) という「1つの項・・・・」を分解すると、
2・3・( ) ですね!(もう皆様は(カッコ)の中の数字や文字に惑わされることなく
(カッコ)を「1文字」と見れますものね!)

 

これで、6( )という「1つの項」は、「2の倍数」であり「3の倍数」で
あることは確定で、あとは( )しだいで全てが確定しますね!

 

では、 6( ) = 0・・の場合は・・・6( )は因数に「0」を持つはずということで
 ( ) = 0 とわかりますね

 

ではでは、 ( )( ) = 0 なら、  前の( )が0か、  後の( )が0か、
または
両方とも0 のいずれかということがわかりますね!

 

そして、( )( )の形は… 文字を含んだ数字を因数分解した後の形と同じですね
 ex) (x+2)(x-3)

 

これを利用して、二次方程式を解いていきます

 

 

 

《 例 》 方程式を解きましょう

 

・ x2+10x+9 = -15
→ ① 右辺は必ず「0」にします
   x2+10x+14 = 0
→ ② 左辺を因数分解します
   (x+4)(x+6) = 0
→ この式は、  (x+4)が「0」のとき、または、  (x+6)が「0」のとき成立しますね!
→ ③ よって、
 x+4 = 0  → のときx= -4
 x+6 = 0 → のときx= -6
 A. x = -4, x = -6 となります!

 

確認のため、x = -4,   x = -6  x2+10x+24 = 0に代入してみますね
 x = -4 のとき  (-4)2+10(-4)+24 = 0
 → 16-40+24 = 0
 →     0 = 0 OK

 

 x = -6 のとき  (-6)2+10(-6)+24 = 0
 → 36-60+24 = 0
 →     0 = 0 OKですね!

 

 

・ x2-3x = 0
→ x(x-3) = 0 A. x = 0, x = 3
→ 「この式が成立するためには、(x) = 0 のとき、または(x-3) = 0のとき」
という理屈が理解できれば、今後は機械的・・・に処理してもOKですね

 

すなわち、
  (x+3)(x-4)=0 という形になれば
セットの数字の「符号を逆にしたもの」が、解ですね!
 A. x = -3, x = 4

 

 

・ x2-8x+16 = 0
→ (x-4)2 = 0  A. x = 4

 

 

・ (x+3)2 = 36
→ x2+6x+9-36 = 0
→ x2+6x-27 = 0
→ (x+9)(x-3) = 0    A. x = -9, x = 3

 

 …ですが…「平方根の求め方の利用」で1度求めていますね!
 左辺丸々2乗の形  → x+3 = ±\(\small{\sqrt{36 }}\) でしたね!

 

 

二次方程式は、8割方「因数分解を利用」で求めますので、
ついつい「平方根の求め方の利用」を忘れて、ひと手間かけてしまいますね

 

ですが、よく言えば、「因数分解利用」さえできれば「平方根利用」は
ど忘れしていても大丈夫!ということですね

 

 

余談

 

因数分解利用で、右辺を「0」にする理由

 

「右辺を0にする」に納得がいかない場合のみ お読みくださいね
右辺が「0」ではない x2+10x+9 = -15 を同様に進めてみると…
 (x+9)(x+1) = -15
考えられる、 整数の ( )( ) = -15 は…

 

 (-1)(15) = -15  (1)(-15) = -15
 (-15)(1) = -15  (15)(-1) = -15
 (-3)(5) = -15  (-5)(3) = -15
 (-5)(3) = -15  (5)(-3) = -15

 

整数に限定しなければ、無限にありますね

 

例えば、(-1)(15) = -15 の場合 x+9 = -1, x+1 = 15 の場合のみ成立
→ x = -10, x = 14 となりますね

 

しかし、x = -10を x2+10x+9 = -15 に代入すると
 (-10)2+10(-10)+9 = -15
 9 = -15?

 

  x = 14 を x2+10x+9 = -15 に代入すると
 (14)2+10(14)+9 = -15
 345 = -15? 成立しませんね!

 

どうして、右辺が「0」の時のみ成立するのでしょうか?

 

x2+10x+9 = -15 を右辺を「0」にして、
x2+10x+24 = 0 で右辺の「0」を「y」としてグラフを描くと

 

y = x2+10x+24 →

  中学数学 二次方程式 |
 頂点の座標(-5, -1)


 

y = x^2+10x+24もグラフ

「0」をyとする → 原点の座標は(0, 0)
x2+10x+24 = 0 の解は
→ (x+4)(x+6) = 0 で
 x = -4, x = -6
すなわち、y = 0 のときの xの値ですね
すなわち、x座標との「交点」ですね


 

 

では、x2+10x+9 = -15 で右辺の「-15」を「y」としてのグラフを描くと
 y = x2+10x+9 → y = (x+5)2-16

 

y=x^2+10x+9のグラフ

「-15」をyとする → 原点の座標は(0, -15)
x2+10x+9 = -15 のx切片は
 → (x+9)(x+1) = -15 で
 x = -9, x = -1
すなわち、y = -15 のときの xの値
すなわち、x座標との「交点」ですね


 

以上より、「右辺を0にする」とは「原点を(0, 0)にする」ということですね
数学の基準は (0, 0) ですよね!

 

→ 右辺が「自由 (0, 自由)」では、曲線とx軸の交点は無限にありますね

 

右辺を0にする理由3

 

というわけで、因数分解を利用して二次方程式を解く場合には、
基準を(0, 0)にしてくださいね、すなわち、「右辺を0」にしてくださいね!

 

 

 

練習問題因数分解後は2秒で解を言えるように

練習問題因数分解後は2秒で解を言えるように

 

 

余談

 

二次方程式の解の書き方

 

まず、ここまでで分かったことは、

 

二次方程式の解は、基本「2つ」あるということでしょうか
他にも、2つの解の値が全く同じで、結果「ただ1つ」に見える「重解」、
解のない「解なし」の3種類となりますね

 

 

そして、本題の「解答の書き方」ですが、何気に色々ありますね
あまりこだわるところではありませんが…

 

例えば、
・次の方程式を解きましょう

 

x2-5x+6 = 0
(x-2)(x-3) = 0

 

A. x = 2 または x = 3
A. x = 2, x = 3
A. x = 2, 3
A. x = 2 と x = 3
A. 2, 3

 

どれが正しい解の書き方なのでしょうか?
→ 1番正確な表現は ①ですね

 

解の正しい書式1

 

①の「x = 2またはx = 3」ですね!
④の「2と3」は・・・
解の正しい書式2
このように無理やり重複部分をつくって、
「2と3ならいつでもOKなんでしょ、x2-5x+6 = 0 の x2のx には2を入れて、
-5x の x には3を入れたら、0にならないんだけど!なんて言われたらたまりませんね!

 

→ 同時使用性はありません!

 

「または」が1番無難ですね!
②の「 ,」も、③の「 ,」も、一般社会では「と」「や」に当たりますが、
数学のこの場面では、暗黙の了解で「または」の意味ですね

 

 

 

「または」も一般社会と数学界では、捉え方が異なりますね!

 

・ 一般社会の「または」 → 一方を選んだら他方を否定
・ 数学界の「または」 → 一方を選んでも他方を否定しない

 

 

湖の女神様:「あなたの落とした斧は、この金の斧ですか?または、この銀の斧ですか?」
きこり:「銀の斧です、金の斧は私のものではありません」
湖の女神様:「よろしい」

 

 

湖の女神様:「あなたの落とした斧は、この金の斧ですか?または、この銀の斧ですか?」
数学者:「銀の斧です、そして金の斧も私のです」
湖の女神様:「『または』と言ったでしょ! どっちかでしょ!」
数学者:「『または』と言ったでしょ!だから両方OKでしょ!」

 

 

 

⑤の A. 2, 3 は危険ですね
これは、「xの値を求めましょう」ならマルかもしれませんが、
「方程式を解きましょう」では、必ず「x = 」を付けてくださいね!

 

「無難」「暗黙の了解」「危険」など、はっきりしない言い回しが
多くなりましたが、実際はっきりしていないのです

 

結局、
A. x = 2 または x = 3 (正確だけど、あまり見かけない)
A. x = 2, x = 3 (教科書でよく使われている)
A. x = 2, 3 (普段よく使う)
A. x = 2 と x = 3 (あまり見かけないし危険)
A. 2, 3 (OUT!)

 

というわけで、
テストでは②
家では③ でよいのではと思います

 

A. x = 2±\(\small{\sqrt{3}}\) などは、
A. x = 2+\(\small{\sqrt{3}}\), x = 2-\(\small{\sqrt{3}}\) としなくても
A. x = 2±\(\small{\sqrt{3}}\) でOKなんですよね…

 

 

 

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ウ 解の公式を用いた二次方程式の解法

 

〈武器③〉解の公式を利用

 

明らかに整数では因数分解できない二次方程式がありますね
そういう場合は、「解の公式」というものに当てはめれば、解が出ます!

 

公式

解の公式

 

ax2+bx+c = 0の解は     

 

 x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)

 

 

最初、憶えるのは大変ですが、憶えてしまえば便利ですね
今までの、「平方根を利用した求め方」や「因数分解を利用した求め方」
もカバーしているのですから

 

 

 

《 例 》
・ x2 = 36  → x =±\(\small{\sqrt{36}}\)

 

「平方根を利用した求め方」であっと言う間ですが、あえて「解の公式」で

→ x2-36 = 0 … 右辺は「因数分解を利用」同様「0」にします←式を、ax2+bx+c = 0 の形にする
→ x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\) … aとはx2の係数、bとはxの係数、cとは定数項
 x = \(\large{\frac{-(0)±\sqrt{(0)^2-4・1・(-36)}}{2(1)}}\) … a = 1, b = 0, c =-36 を当てはめた
→ x = \(\large{\frac{±\sqrt{4・36}}{2}}\) = \(\large{\frac{±2・6}{2}}\) =±6
 A. x = ±6

 

 

 

・ (x+3)2 = 36  → x+3 =±\(\small{\sqrt{36}}\)

 

「平方根を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに
→ x2+6x-27 = 0 … ax2+bx+c = 0 の形に。「展開」「移項」で

→ x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)
  = \(\large{\frac{-6±\sqrt{36-4・(-27)}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{-6±\sqrt{36+108}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{-6±\sqrt{144}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{-6±12}{2}}\)
  = -3±6  A. x = -9, 3

 

 

 

・ x2+8x+15 = 0  →(x+3)(x+5) = 0

 

→「因数分解を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに

→ x = \(\large{\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{-8±\sqrt{4}}{2}}\)
  = -4±1  A. x = -5, x = -3

 

→ 逆を言えば、きれいな解が出た時は、
因数分解 (x+5)(x+3) = 0 できていた ということですね

 

 

 

・ 4x2-4x-3 = 0  →(2x+1)(2x-3) = 0

 

→「因数分解を利用した求め方」であっと言う間ですが、これも試しに

→ x = \(\large{\frac{4±\sqrt{16-4・4・(-3)}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{4±\sqrt{16+48}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{4±\sqrt{64}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{4±8}{8}}\)
  = \(\large{\frac{1±2}{2}}\)  A. x = \(\large{\frac{3}{2}}\), -\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

・ x2-4x+2 = 0  → -2×(-1)、-2+(-1) = -3・・・ウーン

 

→ 明らかに「きれいに因数分解できない」ですね → √ が出ますね!
→ 「解の公式」の本当の出番ですね!

→ x = \(\large{\frac{4±\sqrt{16-4・1・2}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{4±\sqrt{8}}{2}}\)
  = \(\large{\frac{4±2\sqrt{2}}{2}}\)
  = 2±\(\small{\sqrt{2}}\)  A. x = 2±\(\small{\sqrt{2}}\)

 

 

 

・ 4x2+8x-5 = 0

 

→ きれいに因数分解できそうなできなさそうな… → 解の公式!

→ x = \(\large{\frac{-8±\sqrt{64-4・4・(-5)}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{-8±\sqrt{64+80}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{-8±\sqrt{144}}{8}}\)
  = \(\large{\frac{-8±12}{8}}\)
  = \(\large{\frac{-2±3}{2}}\)  A. x = -\(\large{\frac{5}{2}}\),\(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

〈おまけ武器④〉平方完成利用

 

・平方完成とは

 

平方完成とは、
 (x±〇)^2±定数の形
係数がない 見た目(展開しないと)、x1 の項がない
の形にすることですね

 

例えば
(x+1)2は展開すると、x2+2x+1ですね
逆に、x2+2x+1を因数分解すると (x+1)2ですね
では、x2+2xを因数分解すると、x(x+2)ですね
ですが「平方完成」は
おつりが出てもいいから (x±定数)2の形にしようというものです
おつりは 自由な数字で清算してOKです。とにかく・・・・元の式と同量であればよいですね

 

x2+2x = (x+1)2-1 ← -1がお釣り清算分となります
確かに、(x+1)2-1を展開すると x2+2x+1-1 で帳尻が合っていますね!

 

「平方完成」の利用場面は、この後お話しする
・「二次方程式を解く武器」であったり
・「解の公式の作り方」であったり、
・高校数学では「二次関数の頂点の座標を求める場合」に必要となりますね

 

ex) y = x2+2x-3 のグラフの頂点を求めましょう(高校)

 

(平方完成すると) y = (x+1)2-4 ∴ 頂点(-1, -4)となります (一次関数の平行移動と同じ考え方ですね)

 

(因数分解すると) y = (x-1)(x+3) ∴ x軸との交点は(1, 0) (-3, 0)となります

 

(x = 0 を代入すると) y = (0)2+2(0)-3 = -3 ∴ y軸との交点は(0,-3)となります

 

グラフにすると

y = x^2+2x-3のグラフ

 

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中学の二次関数は、必ず原点(0, 0)を通る「y = ax2」までですね!

 

 

それでは本題に戻りまして
平方完成 〔 (x±〇)2の形なのに帳尻があっている〕してみましょう

 

練習問題平方完成を行う

 

練習問題平方完成を行う

練習問題平方完成を行う

 

 

では、「二次方程式の解法」に「平方完成」を利用してみましょう

 

《 例 》
・4x2+8x-5 = 0 ←(上の問題と同じものです)
→ x2+2x-\(\large{\frac{5}{4}}\) = 0 …x2の係数4で両辺を割った (x2の係数を「1」にする)
→ x2+2x = \(\large{\frac{5}{4}}\) …定数項を右辺に移項しておく

→ (x+1)2-1=\(\large{\frac{5}{4}}\)

… (x±数)2 の形にして、そして数合わせ
ex) (x+1)2を展開すると、x2+2x+1←「+1」が元より増えてしまった部分


→ (x+1)2 = \(\large{\frac{5}{4}}\)+1 …新たに発生した定数項「-1」も右辺に移項した
→ (x+1)2 = \(\large{\frac{9}{4}}\)…「平方完成」完成!(本来は(x+1)2-\(\large{\frac{9}{4}}\) = 0が完成形)
→ 「平方根の求め方利用」が使える形! (左辺丸々2乗)
→ x+1 = ±\(\small{\sqrt{\large{\frac{9}{4}}}}\)
→ x = ±\(\large{\frac{3}{2}}\)-1 … √ の前出しと、移項
∴ x = -\(\large{\frac{5}{2}}\), x = \(\large{\frac{1}{2}}\)

 

 

 

・ x2-4x+2 = 0  2つ前の 解に√ が残る問題でも試しますね

→ (x-2)2-4 = -2 …+2の移項、x2-4xの平方完成(-4が数合わせ)
→ (x-2)2 = 2 …左辺丸々2乗の形に!
→ x-2 = ±\(\small{\sqrt{2}}\)
→ x = 2±\(\small{\sqrt{2}}\)
 A. 2±\(\small{\sqrt{2}}\) ← 同じですね!

 

 

以上のように、3つの武器
平方根の求め方を利用」「因数分解を利用」「解の公式」で
全ての 二次方程式の計算問題が解けますね!

 

「解の公式」は、「万能」ではありますが、「面倒」ですね
 → 最終手段的な方法といえますね

 

ex) 10mmのボルトは10mmのスパナで回したい、
 万能なモンキーレンチはできれば使いたくない という感じでしょうか…
 (女子にはわかりにくい例えですいません!)

 

おまけの〈武器④〉平方完成利用は、「解の公式」さえしっかり
使うことができれば、不要となりますが、
絶対必須となりますのでマスターしてしまいましょうね!

 

 

 

余談

 

解の公式の作り方

 

解の公式は、  ax2+bx+c = 0 の式を何とか x =(左辺がxだけ)の式にするということですね!
ですが
① x = にすると、右辺にx2が残る→×
② x(x±数字)にすると、最後xかxを含む項で両辺を割らなければならない→「0」かもしれない未知数xで両辺を割ってはいけない→×
③ 左辺をx2だけにして、平方根の求め方利用したい→右辺にxが残っている→×!ですがおしい!
④ 左辺を「丸々2乗」の形にして、平方根の求め方→〇!→「平方完成」の技が必要ということですね!
もちろん今までの「移項」「等式の性質」も必要ですね
では

 

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ax^2+bx+c=0

 

まずは「平方完成」の準備として
x2 の係数で両辺を割って
x2の係数を「1」にします

 

x^2+bx/a+c/a=0

 

定数項はどんどん右辺に移項します

 

x^2+bx/a=-c/a

 

左辺を「平方完成」します

 

(x+b/2a)^2-b^2/4a^2=-c/a

 

新たにできた定数項も右辺に

 

(x+b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2

 

右辺を通分、計算しておきますか

 

(x+b/2a)^2=-4ac+b^2/4a^2

 

左辺丸々2乗の形になったので、
右辺丸々に±√ を付けます

 

±√-4ac+b^2/4a^2

 

右辺の√ の前出し

 

±√-4ac+b^2/2a

 

左辺の残りの定数項も移行します

 

±√-4ac+b^2/2a-b/2a

 

整理計算

 

-b±√b^2-4ac/2a

 

 

 

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① 判別式D

 

判別式は、二次方程式ax2+bx+c = 0 の解が
 ① 2個 なのか
 ② 1個 なのか(重解)
 ③ 解なし なのかを判別・・するだけの式ですね!
 リトマス紙のようなものでしょうか

 

ax2+bx+c = 0 において
判別式 D = b2-4ac
 ・b2-4ac>0 のとき 解は「2つ」
 ・b2-4ac = 0 のとき 解は「1つ」
 ・b2-4ac<0 のとき 解は「なし」

 

 

「b2-4ac 」…どこかで見ましたね

 

x = \(\large{\frac{-b±\sqrt{\color{red}{ b^2-4ac}}}{2a}}\)

 

解の公式の√部分の中身ですね
これで判別式Dの仕組みがわかりますね

 

→ b2-4ac が「プラス」なら、√ の前の±が生きるので  → 解が2つですね
→ b2-4ac が「0」なら、√ の前の±の意味がなくなるので  → 解が1つですね
→ b2-4ac が「マイナス」なら、√ の中がマイナス!→ そんな実数はない  →解なしですね

 

 

 

《 例 》
解の個数を調べましょう
・3x2+4x+1 = 0
 D = b2-4ac = 16-4・3・1  = 4 >0 ∴ 2つ

 

・2x2-7x-5 = 0
 D = 35-4・2・(-5) = 75 >0 ∴ 2つ

 

・4x2+12x+9 = 0
 D = 144-4・4・9 = 0 ∴ 1つ

 

・x2+4x+5 = 0
 D = 16-4・1・5 = -4 <0 ∴ 解なし

 

 

 

《 例 1》
方程式x2+2ax+4 = 0 がただ一つの解を持つとき、
aの値を求めましょう

 

→ 「ただ一つの解」  → 判別式D = 0 のとき
D = b2-4ac  = (2a)2-4・1・4  = 4a2-16
→ 4a2-16 = 0 のとき重解!
→ a2-4 = 0
→ (a-2)(a+2) = 0
 A. a = -2, a = 2

 

 

 

《 例 2》
方程式 3x2-4x-a = 0 がただ一つの解を持つとき、
aの値を求めましょう

 

D = (-4)2-4・3・(-a)  = 16+12a
→ 16+12a = 0 のとき重解a =-\(\large{\frac{4}{3}}\)

 

 

 

〈簡略版判別式D/4〉

 

ax2+(偶数b)x+c = 0 の場合
D = b2-4acより少し楽な「判別式\(\large{\frac{D}{4}}\)」が使えますね

 

判別式D/4 = (\(\large{\frac{b}{2}}\))2-ac

 

簡単に言うと 
D/4 = (bの半分の)2-ac

 

使えると少し早く少し楽ですが、D = b2-4ac だけでも十分といえます

 

 

《 例 》 解の個数を調べましょう

 

・ 3x2+4x+1 = 0
 D/4 = (4の半分)2-ac  = (2)2-3・1 = 1 >0 ∴ 2つ

 

・4x2+12x+9
 D/4 = (6)2-4・9  = 36-36  = 0 ∴ 1つ

 

 

《 例 1’》 《 例 1》と同じ問題です
方程式x2+2ax+4 = 0 がただ一つの解を持つとき、aの値を求めましょう

 

D/4 = (bの半分の)2-ac = a2-1・4  = a2-4  = (a+2)(a-2) が0のとき重解
 → (a+2)(a-2) = 0
 A. a = -2, a = 2 ←同じですね

 

 

 

→ ページの先頭に戻る

 

 

 

 

 

② 解と係数の関係

 

x2+bx+c = 0 の2つの解が α、β であるならば、
x2+bx+c = 0 は  (x-α)(x-β) = 0 と因数分解できる といえるはずですね

 

(x-α)(x-β) = 0 を展開すると
x2-(α+β)x+αβ = 0  = x2+bx+c
…ということは、それぞれの係数を対応させる

 

・-(α+β)=b  → α+β=-b → 「2つの解を足したものは-b」
αβ=c → 「2つの解を掛けたものはc」

 

 

実際の数字で確認すると
 x2+5x+6  → (x+3)(x+2) = 0  → α = -3、β = -2
 ・α+β = -3+(-2) = -5 = 確かに「-b」 ですね
 ・αβ = -3×(-2) = 6 = 確かに「c」 ですね

 

当たり前と言えば当たり前ですね

 

 

 

《 例 》
・x2+3x-2 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう
 A. α+β = -3、 αβ = -2
 → 因数分解をして、解を求める作業が不要ですね!

 

 

・x2+5x+3 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、αβの値を求めましょう
 A. α+β = -5、 αβ = 3

 

 

 

せっかくですので、もう少し、全部をカバーさせますね
(↓x2の前にaがある)
ax2+bx+c = 0 は両辺をaで割って  → x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0 とできますね
x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0の2つの解が α、β であるならば、
x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\) = 0 は  (x-α)(x-β) = 0 と因数分解できることになりますね

 

(x-α)(x-β) = 0 を展開すると
x2-(α+β)x+αβ = 0  = x2+\(\large{\frac{b}{a}}\)x+\(\large{\frac{c}{a}}\)
ということは、それぞれの係数を対応させると

 

 

・-(α+β)=\(\large{\frac{b}{a}}\) → α+β=-\(\large{\frac{b}{a}}\) →「2つの解を足したものは  -\(\large{\frac{b}{a}}\)
αβ=\(\large{\frac{c}{a}}\) →「2つの解を掛けたものは \(\large{\frac{c}{a}}\)」

 

 

これでx2 の係数が「1」でなくてもOK、全てをカバーしていますね!
上のx2(1x2)の、
α+β = -b は -\(\large{\frac{b}{a}}\)  = -\(\large{\frac{b}{1}}\)  = -bだったのですね!
αβ = c は \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{c}{1}}\) = c だったのですね!

 

【 解と係数の関係 】

 

x2+bx+c = 0 の2つの解を α、β とすると
 ・ α+β = -b
 ・ αβ = c

 

 

ax2+bx+c = 0 の2つの解を α、β とすると
 ・ α+β = -\(\large{\frac{b}{a}}\)
 ・ αβ = \(\large{\frac{c}{a}}\)

 

 

 

《 例 》
・3x2-8x+5 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう

 

 α+β = -\(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{8}{3}}\)
 αβ = \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{5}{3}}\)

 

 

・3x2+5x+1 = 0 の解を α、βとするとき、  α+β、  αβの値を求めましょう

 

 α+β = -\(\large{\frac{b}{a}}\) = -\(\large{\frac{5}{3}}\)
 αβ = \(\large{\frac{c}{a}}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
3x2+5x+1 = 0 の解を α、βとするとき、、以下の値を求めましょう

 

(1) α22

 

→ この手の問題は、まず  α+β、  αβを求めておきましょうね
 α+β = -\(\large{\frac{5}{3}}\)、 αβ = \(\large{\frac{1}{3}}\)

 

→ α22 =(α+β)2-2αβ と変形できますね

 

∴ (-\(\large{\frac{5}{3}}\))2-2(\(\large{\frac{1}{3}}\)) =\(\large{\frac{25}{9}}\)-\(\large{\frac{2}{3}}\) = \(\large{\frac{25-6}{9}}\)=\(\large{\frac{16}{9}}\)

 

 

(2) (α+β)2

 

→ 展開してみると → (α+β)2 = α2-2αβ+β2
→ 並び替えると α22-2αβ

→ α22は(1)で求めていますね!\(\large{\frac{16}{9}}\)
  αβ は\(\large{\frac{1}{3}}\)でしたね
∴ α22-2αβ=\(\large{\frac{16}{9}}\)-2(\(\large{\frac{1}{3}}\))= \(\large{\frac{16}{9}}\)-\(\large{\frac{2}{3}}\)= \(\large{\frac{16-6}{9}}\) =\(\large{\frac{10}{9}}\)

 

 

この手の問題は、どうすれば、α+β、αβ、で構成された式に変形できるのかがミソ(展開したり(α+β)2の形にしてみたり)ですね

 

 

もちろん 3x2+5x+1 = 0 の2つの解を実際に求めて、
代入ミチミチ計算でも同じ値が出るはずですが…ちょっと…いやすぎですね

 

 

 

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③ 応用計算問題

 

《 例 》
方程式  3x2-(2a-5)x-3a-1 = 0の解の1つが2であるとき、
aの値と、もう一つの解を求めましょう

 

→ xに1つ目の解「2」を代入すれば、与式はaしか残らないのがわかりますね
→ aがわかるはず
 3(2)2-(2a-5)(2)-3a-1 = 0
 12-4a+10-3a-1 = 0
 -7a = -21
a = 3

 

→ 与式にa = 3 を代入すれば → ただの二次方程式
→ もう一つの解がわかるはず
 3x2-〔2(3)-5〕x-3(3)-1 = 0
 3x2-x-10 = 0 ←たすき掛けが厳しいなら、解の公式で
 (3x+5)(x-2) = 0
x = -\(\large{\frac{5}{3}}\) ←新たに判明した解
 x = 2 ←問題文からすでに分かっていた解
 A. a = 3 , x =-\(\large{\frac{5}{3}}\)

 

 

 

《 例 》
方程式ax(x+1)+b(x+1)(x+2)+c(x+2)(x+3) = 0 の解が「0」と「1」のとき、a:b:c を求めましょう

 

→ よくわからないので、解っている値をどんどん代入してみる
・与式のxに0を代入してみると
0+2b+6c = 0 → b+3c = 0  → 1b = -3c …①
∴ b:c = \(\large{\frac{1}{1}}\):-\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:-1 …(1)
 ( =で繋がった式を、比にする)

 

→ あとは、a:b (a、bだけの式) か a:c(a、cだけの式) がわかれば a:b:c とつながるな
・与式のxにもう一つの解「1」を代入してみると
2a+6b+12c = 0  → a+3b+6c = 0 …②

 

→ ②に①を代入すれば、②はaとcだけの式になるな
a+3(-3c)+6c = 0  → a-3c = 0  → a = 3c
∴ a:c = \(\large{\frac{1}{1}}\):\(\large{\frac{1}{3}}\) = 3:1…(2)

 

→ (1)と(2)をつなげるには
どちらにも使われているcの数字を合わす ですね
b:c    = 3:-1
  c:a = 1:3 = -1:-3

 

∴ b:c:a = 3:-1:-3
A. a:b:c = -3:3:-1 (または3:-3:1)

 

 

 

《 例 》
方程式x2+ax+b = 0 の解が   x = 5しか持たない(重解)とき、a、bの値を求めましょう

 

→ 解が2つなら  → (x+1)(x+2) = 0 のような形
→ 解が1つ → (x+1)2 のような形 ですね

 

よって、x = 5 なので、  (x-5)2 = 0 の形ですね
これを展開すると、 x2-10x+25 = 0
 A. a = -10、 b = 25

 

 

 

《 例 》
方程式x2-6x+a = 0 の解が1つしかない(重解)とき、a の値を求めましょう

 

→ 平方完成すれば、  (x+1)2 = 0 のような形になるはずですね
 (x-3)2-9+a = 0
 (x-3)2 = -a+9
→ この右辺の「-a+9」 が「0」になればよいということですね
 -a+9 = 0 → a = 9 A. a = 9

 

(別解)
判別式D/4 = (bの半分の)2-ac = 0の時、重解ですね
→ (3)2-1・a = 0  → 9-a = 0 A. a = 9

 

 

 

《 例 》
方程式x2-ax+12 = 0 が正の整数解をもつとき、
aの値を全て求めましょう

 

→ 「正」の「整数解」になるような因数分解の形は
 (x-整数)(x-整数) = 0 のような形
 cf) (x+整数)(x+整数) = 0 は「負」の「整数解」ですね

 

→ 掛けて「12」になるような2数は…
① (x-1)(x-12) = 0  → x2-13x+12
② (x-2)(x-6) = 0  → x2-8x+12
③ (x-3)(x-4) = 0  → x2-7x+12
 係数を対応させて… A, a = 7, 8, 13

 

 

 

《 例 》
方程式x2-a2x+138 = 0 の2つの解が、ともに正の整数になるような正の整数a の値を求めましょう

 

→ ① (x-2)(x-69) = 0  → x2-71x+138 = 0
→ ② (x-3)(x-46) = 0  → x2-49x+138 = 0
→ ③ (x-6)(x-23) = 0  → x2-29x+138 = 0
 ↑23は素数なのでここまで

 

a2 = 71 → a = ±\(\small{\sqrt{71}}\)
a2 = 49 → a = ±7
a2 = 29 → a = ±\(\small{\sqrt{29}}\)
 → aは正の整数(という条件)より A. a = 7

 

 

 

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エ 二次方程式の活用

 

二次方程式を利用する具体的な問題ですね

 

整数

 

《 例 》
連続する3つの整数があります。最小の数の平方の3倍は 最大の数の3倍から
中央の数の平方の2倍を引いたものに等しいとき、3つの整数を求めましょう

 

→ 連続する3つの整数を、  n, n+1, n+2 とおく  (n-1, n, n+1)でも何でも可)
→ 文章を式にすると
 3n2 = 3(n+2)-2(n+1)2 あとはn について解くだけですね
 3n2 = 3n+6-2n2-4n-2
 5n2+n-4 = 0
 (5n-4)(n+1) = 0
∴ n = \(\large{\frac{4}{5}}\), -1
 3つの数は整数より、n = -1 条件に合わない解は、ばっさり切ってOKです
n = -1を n, n+1, n+2 に代入して A. -1, 0, 1

 

 

 

 

図形

 

《 例 》
縦が横より5cm長い長方形があります。縦の長さを3cm短くして、
横の長さを 2倍すると、元の長方形より面積が20cm2 増加しました
元の長方形の縦と横の長さを求めましょう

 

長方形イラスト

 

どちらでもOKです 右図でいきますね

 

(新しい長方形)-(元の正方形)  = 20cm2
 → 元の長方形の横をxとする
・新しい長方形の面積 = (x+5-3)・2x  = (x+2)・2x  = 2x2+4x
・元の長方形の面積 = (x+5)・x  = x2+5x
→ 2x2+4x-(x2+5x) =20
 x2-x-20 = 0
 (x-5)(x+4) = 0 ∴ x = -4, 5
x>0 より ←図形の長さにマイナスはない
x = 5 A.  縦10cm 横5cm

 

 

cf問題) これは何%増加したということでしょうか?
\(\large{\frac{長方形の面積}{元の正方形の面積}}\) = \(\large{\frac{50}{25}}\) = 2 →200%増(2倍)

 

 

 

 

割合

 

《 例 》
商品Aはx%値上げをすると、売り上げ個数が\(\large{\frac{1}{3}}\)%減少します
売り上げ金額を12%増やすには 何%値上げすればよいでしょうか (x<100)

 

→ 変動幅しかないので計算できませんね
 商品A 1個の値段を a円
 商品Aの 売り上げ個数 = 合計個数を b個とします
 売り上げ金額 = 合計金額
→ 合計金額 = 1個の金額×合計個数 = ab円

 

(イメージ)

イメージ図

これで面積のように
考えることができますね


 

→ 新ab- 元ab =1.12 ではダメですね! 右辺が「割合」ですので
→ \(\large{\frac{新ab}{元ab}}\) = 1.12 ですね!

 

・新ab = a(1+x)×b(1-\(\large{\frac{x}{3}}\))
・元ab = そのままab

 

方程式は、  \(\large{\frac{a(1+x)×b(1-\large{\frac{x}{3}})}{ab}}\) = 1.12
中学数学 二次方程式 |

(1+x)(1-\(\large{\frac{x}{3}}\)) = 1.12 … 約分をした
(1+x)(3-x) = 3.36 … 両辺×3
3-x+3x-x2 = 3.36 … 左辺展開
x2-2x = -0.36 … 両辺×-1、 移項
(x-1)2 = 1-0.36 = 0.64 …平方完成
x-1 = ±\(\small{\sqrt{0.64}}\) = ±0.8
x = 1±0.8

 

∴ x = 1.8, x = 0.2  → x = 180, 20(%)
 x<100 より x = 20
A. 20%値上げすればよい (個数は\(\large{\frac{20}{3}}\)%減)

 

・ 答を書く前に、
 過去の○○をxにしたのか、未来の○○をxにしたのか再度確認ですね

 

・ 売り上げ個数 → 合計個数
 売り上げ金額 → 合計金額
 と言い換えれば、少しイメージしやすくなりますね

 

 

 

《 例 》
AB間の距離は20km君はAからBへ、君はBからAへ、同時に出発しました
2人がすれ違ってから君は1時間20分後にAに着きました
s君の速度が4km/時のとき、出発からすれ違うまでの時間を求めましょう

 

→ まずは図ですね

 

中学数学 二次方程式 |

 

→ 全体が解っているのは距離20kmですから
 理想は   距離AC+距離CB = 20km でしょうか
→ すれ違うまでの時間(SがCに着くまでの時間)をxとしてみますね
 ・距離AC = Sの速さ×時間x = 4x
→ ACの距離が解ったので(4x)、tの速さが解りますね
 tの速さ = 距離AC÷t のCA間の時間 = \(\large{\frac{4x}{\large{\frac{4}{3}}}}\) =\(\large{\frac{12x}{4}}\) = 3x

 

→ ・距離BC = tの速さ×時間x = 3x×x = 3x2
∴ AC+BC = 4x+3x2 = 20
 3x2+4x-20 = 0
 (3x+10)(x-2) = 0
∴ x = -\(\large{\frac{10}{3}}\), 2
x>0より (時間はプラス) x = 2
  A. 2時間

 

 

 

 

落下

 

《 例 》
井戸に石を落とすと、2秒後に水音がしました。井戸の深さを求めましょう
石はx秒後に5x2mで落ちるとし、音の速さは340m/秒秒とします

 

落下イメージ

 

→ 「石」が水面に着いたとたんに、
「石」が「音」に変身して戻ってくる
イメージでしょうか


 

→ 全体が解っているものは、往復所要時間の 2秒 ですね
 時間+時間 = 2秒 が理想でしょうか
→ 石が水面に達するまでの時間をxとすると、
 水面までの距離 = 5x2 ←(問題文の5x2 は「距離」です「速さ」ではありません)
・水面までの時間 = x秒 (往路)
・戻る時間 = 距離÷速さ = \(\large{\frac{5x^2}{340}}\) (復路)

 

∴ x+\(\large{\frac{5x^2}{340}}\) = 2
5x2+340x-680 = 0
x2+68x-136 = 0
x = \(\large{\frac{-68±\sqrt{4624-4・(-136)}}{2}}\)
 = -68±\(\large{\frac{\sqrt{5168}}{2}}\)
 = \(\large{\frac{-68±4\sqrt{323}}{2}}\)
 = -34±2\(\small{\sqrt{323}}\)

 

x>0 より(時間はプラス) x = -34+2\(\small{\sqrt{323}}\) 秒

 

∴ 水面までの距離 は… 5x2に-34+2\(\small{\sqrt{323}}\)を代入して

→ 5(-34+2\(\small{\sqrt{323}}\))2
 = 5(1156-136\(\small{\sqrt{323}}\)+1292)
 = 5(2448-136\(\small{\sqrt{323}}\))
 = 680(18-\(\small{\sqrt{323}}\))
A. 680(18-\(\small{\sqrt{323}}\)) m

 

 

 

 

 

食塩水

 

《 例 》
10%の食塩水10kgから、いくらかをくみ出し、それと同量の「水」を足し、
さらに最初にくみ出した量の2倍をくみ出し、それと同量の「水」を足すと
7.2%になりました。最初にくみ出した水は何kgでしょう

 

 

→ 1つ前と変わらないものを青
→ 1つ前と変わるものを赤にしますね
マル図

中学数学 二次方程式 |

中学数学 二次方程式 |


 

 

中学数学 二次方程式 |

中学数学 二次方程式 |


 

 

中学数学 二次方程式 |

 

方程式 \(\large{\frac{0.1(10-x)}{10}}\)・(10-2x)×\(\large{\frac{1}{10}}\)= 0.072 の完成→あとは解くだけですね

 

\(\large{\frac{0.1(10-x)(10-2x)}{100}}\) = 0.072 …左辺を少し整理
(10-x)(10-2x) = 72 … 両辺×1000
100-20x-10x+2x2-72 = 0 …展開、移項
2x2-30x+28 = 0 …計算
x2-15x+14 = 0 …両辺÷2
(x-14)(x-1) = 0 …因数分解

 

∴ x = 1, 14
 0kg<x<10kgより
 A. 1kg

 

 

 

方程式の文章問題は

 

・図を書いて、イメージですね
・順を追ってつぶしていく (いきなり最終式が出ることは少ないですね)
・文字が入って複雑な項も、惑わされずにこれは「距離」「塩」「合計」など思い込む (信じる!) ですね

 

 

 

 

その他の問題は、「問題集」で!!

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2017/12/5 23:12  
 
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